बेथे लैटिस

"Cayley tree" redirects here. For finite trees with equal-length root-to-leaf paths, see ordered Bell number.

समन्वय संख्या z = 3 के साथ एक बेथ जाली

सांख्यिकीय यांत्रिकी और गणित में, बेथे जाली (जिसे नियमित वृक्ष भी कहा जाता है) एक अनंत वृक्ष (ग्राफ सिद्धांत) है | जुड़ा हुआ चक्र-मुक्त ग्राफ जहां सभी शीर्षों में पड़ोसियों की संख्या समान होती है। बेथे जाली को 1935 में हंस बेथे द्वारा भौतिकी साहित्य में पेश किया गया था। ऐसे ग्राफ में, प्रत्येक नोड z पड़ोसियों से जुड़ा होता है; संख्या z को क्षेत्र के आधार पर या तो समन्वय संख्या या डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) कहा जाता है।

अपनी विशिष्ट टोपोलॉजिकल संरचना के कारण, इस ग्राफ पर जाली मॉडल (भौतिकी) के सांख्यिकीय यांत्रिकी को अन्य जाली की तुलना में हल करना अक्सर आसान होता है। समाधान इन प्रणालियों के लिए अक्सर उपयोग किए जाने वाले बेथे दृष्टिकोण से संबंधित हैं।

मूल गुण

बेथे जाली के साथ काम करते समय, किसी दिए गए शीर्ष को मूल के रूप में चिह्नित करना अक्सर सुविधाजनक होता है, ताकि ग्राफ़ के स्थानीय गुणों पर विचार करते समय इसे संदर्भ बिंदु के रूप में उपयोग किया जा सके।

परतों का आकार

एक बार जब एक शीर्ष को मूल के रूप में चिह्नित किया जाता है, तो हम अन्य शीर्षों को जड़ से उनकी दूरी के आधार पर परतों में समूहित कर सकते हैं। दूरी पर शीर्षों की संख्या $d>0$ जड़ से है $z(z-1)^{d-1}$, क्योंकि मूल के अलावा प्रत्येक शीर्ष आसन्न है $z-1$ शीर्ष जड़ से एक अधिक दूरी पर हैं और जड़ समीपवर्ती है $z$ की दूरी पर शिखर 1.

सांख्यिकीय यांत्रिकी में

बेथे जाली सांख्यिकीय यांत्रिकी में मुख्य रूप से रुचि रखती है क्योंकि बेथे जाली पर जाली मॉडल अक्सर अन्य जाली, जैसे कि स्क्वायर जाली | द्वि-आयामी वर्ग जाली की तुलना में हल करना आसान होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि चक्रों की कमी कुछ अधिक जटिल अंतःक्रियाओं को दूर कर देती है। जबकि बेथे जाली अन्य जाली की तरह भौतिक सामग्रियों में परस्पर क्रिया का उतना करीब से अनुमान नहीं लगाती है, फिर भी यह उपयोगी जानकारी प्रदान कर सकती है।

आइसिंग मॉडल का सटीक समाधान

आइसिंग मॉडल लौहचुंबकत्व का एक गणितीय मॉडल है, जिसमें किसी सामग्री के चुंबकीय गुणों को जाली में प्रत्येक नोड पर एक स्पिन द्वारा दर्शाया जाता है, जो या तो +1 या -1 है। मॉडल एक स्थिरांक से भी सुसज्जित है $K$ आसन्न नोड्स और एक स्थिरांक के बीच बातचीत की ताकत का प्रतिनिधित्व करना $h$ बाहरी चुंबकीय क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करना।

बेथ जाली पर आइसिंग मॉडल को विभाजन फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है

$Z=\sum _{\{\sigma \}}\exp \left(K\sum _{(i,j)}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right).$

चुम्बकत्व

स्थानीय चुंबकत्व की गणना करने के लिए, हम एक शीर्ष को हटाकर जाली को कई समान भागों में तोड़ सकते हैं। यह हमें एक पुनरावृत्ति संबंध देता है जो हमें एन गोले (बेथ जाली के परिमित एनालॉग) के साथ केली पेड़ के चुंबकत्व की गणना करने की अनुमति देता है

$M={\frac {e^{h}-e^{-h}x_{n}^{q}}{e^{h}+e^{-h}x_{n}^{q}}},$ कहाँ $x_{0}=1$ और के मूल्य $x_{i}$ पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करें

$x_{n}={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x_{n-1}^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x_{n-1}^{q-1}}}$ में $K>0$ जब सिस्टम लौहचुंबकीय होता है, तो उपरोक्त अनुक्रम अभिसरण करता है, इसलिए हम बेथ जाली पर चुंबकत्व का मूल्यांकन करने के लिए सीमा ले सकते हैं। हम पाते हैं

$M={\frac {e^{2h}-x^{q}}{e^{2h}+x_{q}}},$ जहां x एक समाधान है $x={\frac {e^{-K+h}+e^{K-h}x^{q-1}}{e^{K+h}+e^{-K-h}x^{q-1}}}$.

इस समीकरण के या तो 1 या 3 समाधान हैं। ऐसे मामले में जहां 3 हैं, अनुक्रम $x_{n}$ जब सबसे छोटे में परिवर्तित हो जाएगा $h>0$ और सबसे बड़ा कब $h<0$.

निःशुल्क ऊर्जा

आइसिंग मॉडल में जाली के प्रत्येक स्थल पर मुक्त ऊर्जा f द्वारा दी गई है

${\frac {f}{kT}}={\frac {1}{2}}[-Kq-q\ln(1-z^{2})+\ln(z^{2}+1-z(x+1/x))+(q-2)\ln(x+1/x-2z)]$,

कहाँ $z=\exp(-2K)$ और $x$ पहले जैसा है.

गणित में

यादृच्छिक चलने की वापसी संभावना

संभावना है कि डिग्री की बेथ जाली पर एक यादृच्छिक चलना $z$ किसी दिए गए शीर्ष से प्रारंभ करके अंततः उसी शीर्ष पर वापस लौट आता है ${\frac {1}{z-1}}$. यह दिखाने के लिए आइए $P(k)$ यदि हम दूरी पर हैं तो हमारे शुरुआती बिंदु पर लौटने की संभावना होगी $k$ दूर। हमारे पास पुनरावृत्ति संबंध है

$P(k)={\frac {1}{z}}P(k-1)+{\frac {z-1}{z}}P(k+1)$ सभी के लिए $k>1$, जैसा कि प्रारंभिक शीर्ष के अलावा प्रत्येक स्थान पर होता है $z-1$ किनारे प्रारंभिक शीर्ष से दूर जा रहे हैं और 1 किनारा इसकी ओर जा रहा है। इस समीकरण को कुल मिलाकर सारांशित करें $k>1$, हम पाते हैं

$\sum _{k=1}^{\infty }P(k)={\frac {1}{z}}P(0)+{\frac {1}{z}}P(1)+\sum _{k=2}^{\infty }P(k)$.

हमारे पास है $P(0)=1$, क्योंकि यह इंगित करता है कि हम अभी शुरुआती शीर्ष पर लौट आए हैं, इसलिए $P(1)=1/(z-1)$, वह मूल्य है जो हम चाहते हैं।

ध्यान दें कि यह द्वि-आयामी वर्गाकार जाली पर यादृच्छिक चलने के मामले के बिल्कुल विपरीत है, जिसकी प्रसिद्ध वापसी संभावना 1 है। ऐसी जाली 4-नियमित है, लेकिन 4-नियमित बेथे जाली की वापसी संभावना 1/3 है।

बंद वॉक की संख्या

कोई भी लंबाई के बंद रास्तों की संख्या को आसानी से सीमित कर सकता है $2k$ डिग्री के साथ बेथे लैटिस के दिए गए शीर्ष पर शुरू करना $z$ नीचे की ओर से। प्रत्येक चरण को या तो एक बाहरी कदम (प्रारंभिक शीर्ष से दूर) या एक आंतरिक कदम (प्रारंभिक शीर्ष की ओर) के रूप में विचार करके, हम देखते हैं कि लंबाई का कोई भी बंद कदम $2k$ बिलकुल होना चाहिए $k$ बाहरी कदम और $k$ अंदर के कदम. हमने किसी भी बिंदु पर बाहरी कदमों की तुलना में अंदर की ओर अधिक कदम नहीं उठाए होंगे, इसलिए कदम दिशाओं (या तो अंदर या बाहर) के अनुक्रम की संख्या दी गई है $k$वें कैटलन संख्या $C_{k}$. कम से कम हैं $z-1$ प्रत्येक बाहरी कदम के लिए विकल्प, और प्रत्येक अंदर की ओर जाने वाले कदम के लिए हमेशा ठीक 1 विकल्प, इसलिए बंद चालों की संख्या कम से कम होती है $(z-1)^{k}C_{k}$.

यह बंधन उतना कड़ा नहीं है, जितना वास्तव में है $z$ आरंभिक शीर्ष से बाहरी कदम के लिए विकल्प, जो आरंभ में और चलने के दौरान किसी भी संख्या में होता है। चलने की सटीक संख्या की गणना करना कठिन है, और सूत्र द्वारा दिया गया है

$(z-1)^{k}C_{k}\cdot {\frac {z-1}{z}}\ _{2}F_{1}(k+1/2,1,k+2,4(z-1)/z^{2}),$ कहाँ $_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,z)$ हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन है. हम इस तथ्य का उपयोग a के दूसरे सबसे बड़े eigenvalue को बांधने के लिए कर सकते हैं $d$-नियमित ग्राफ. होने देना $G$ एक हो $d$-नियमित ग्राफ़ के साथ $n$ शीर्ष, और चलो $A$ इसकी आसन्नता मैट्रिक्स हो. तब ${\text{tr }}A^{2k}$ लंबाई के बंद रास्तों की संख्या है $2k$. बंद चालों की संख्या जारी है $G$ कम से कम है $n$ डिग्री के साथ बेथे जाली पर बंद चालों की संख्या का गुना $d$ एक विशेष शिखर से शुरू करते हुए, हम बेथ जाली पर चलने वाले रास्तों को मैप कर सकते हैं $G$ जो किसी दिए गए शिखर से शुरू होते हैं और केवल उन रास्तों पर वापस जाते हैं जिन पर पहले से ही चल रहे थे। वहाँ अक्सर अधिक पैदल यात्राएँ होती हैं $G$, क्योंकि हम अतिरिक्त पैदल चलने के लिए साइकिल का उपयोग कर सकते हैं। का सबसे बड़ा eigenvalue $A$ है $d$, और देना $\lambda _{2}$ हमारे पास एक eigenvalue का दूसरा सबसे बड़ा निरपेक्ष मान है

$n(d-1)^{k}C_{k}\leq {\text{tr}}A^{2k}\leq d^{2k}+(n-1)\lambda _{2}^{2k}.$ यह देता है $\lambda _{2}^{2k}\geq {\frac {1}{n-1}}(n(d-1)^{k}C_{k}-d^{2k})$. नोट किया कि $C_{k}=(4-o(1))^{k}$ जैसा $k$ बढ़ता है, हम दे सकते हैं $n$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ते हैं $k$ यह देखने के लिए कि वहाँ बहुत ही सीमित संख्या में हैं $d$-नियमित ग्राफ़ $G$ जिसके लिए एक eigenvalue का दूसरा सबसे बड़ा निरपेक्ष मान अधिकतम है $\lambda$, किसी के लिए $\lambda <2{\sqrt {d-1}}.$ एक्सपेंडर ग्राफ|(n,d,λ)-ग्राफ के अध्ययन में यह एक दिलचस्प परिणाम है।

केली ग्राफ़ और केली पेड़ों से संबंध

Further information: Cayley graph

सम समन्वय संख्या 2n का एक बेथ ग्राफ एक मुक्त जनरेटिंग सेट के संबंध में रैंक n के एक मुक्त समूह के असम्बद्ध केली ग्राफ के लिए आइसोमोर्फिक है।

झूठ समूहों में जाली

बेथे लैटिस कुछ अतिशयोक्तिपूर्ण झूठ समूहों के असतत उपसमूहों के रूप में भी पाए जाते हैं, जैसे कि फ़ुचियन समूह। इस प्रकार, वे जाली (समूह) के अर्थ में भी जाली हैं।

यह भी देखें

• क्रिस्टल

संदर्भ

• Bethe, H. A. (1935). "Statistical theory of superlattices". Proc. R. Soc. Lond. A. 150 (871): 552–575. Bibcode:1935RSPSA.150..552B. doi:10.1098/rspa.1935.0122. Zbl 0012.04501.
• Ostilli, M. (2012). "Cayley Trees and Bethe Lattices, a concise analysis for mathematicians and physicists". Physica A. 391 (12): 3417. arXiv:1109.6725. Bibcode:2012PhyA..391.3417O. doi:10.1016/j.physa.2012.01.038. S2CID 119693543.