सममिति विघात: Difference between revisions

Revision as of 18:59, 30 November 2023

भौतिकी में, समरूपता टूटना ऐसी घटना है जहां अव्यवस्थित लेकिन सममित स्थिति व्यवस्थित, लेकिन कम सममित स्थिति में ढह जाती है।^[1] यह पतन अक्सर कई संभावित द्विभाजन सिद्धांतों में से है जिसे कण कम ऊर्जा अवस्था में पहुंचने पर ले सकता है। कई संभावनाओं के कारण, पर्यवेक्षक पतन के परिणाम को मनमाना मान सकता है। यह घटना क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) और इसके अलावा, भौतिकी की समकालीन समझ के लिए मौलिक है।^[2] विशेष रूप से, यह ग्लासो-वेनबर्ग-सलाम मॉडल में केंद्रीय भूमिका निभाता है जो मानक मॉडल का हिस्सा बनता है modelling the electroweak sector.

एक (काला) कण हमेशा सबसे कम ऊर्जा पर संचालित होता है। प्रस्तावित में

\mathbb {Z} _{2}

-सममितीय प्रणाली, इसकी दो संभावित (बैंगनी) अवस्थाएँ हैं। जब यह स्वतः ही समरूपता तोड़ देता है, तो यह दो अवस्थाओं में से में ढह जाता है। इस घटना को सहज समरूपता टूटने के रूप में जाना जाता है।

कम ऊर्जा अवस्था ग्रहण करने से पहले सममित प्रणाली (एक हिग्स तंत्र) में कण का 3डी प्रतिनिधित्व

एक अनंत प्रणाली (मिन्कोवस्की स्थान) में समरूपता टूटती है, हालांकि परिमित प्रणाली (यानी, कोई भी वास्तविक सुपर-संघनित प्रणाली) में, प्रणाली कम पूर्वानुमानित होती है, लेकिन कई मामलों में क्वांटम टनलिंग होती है।^[2]^[3] समरूपता को तोड़ना और सुरंग बनाना कण के गैर-सममित अवस्था में ढहने से संबंधित है क्योंकि यह कम ऊर्जा की तलाश करता है।^[4]

समरूपता टूटने को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है, स्पष्ट समरूपता टूटना और सहज समरूपता टूटना। उनकी विशेषता यह है कि क्या गति के समीकरण अपरिवर्तनीय होने में विफल रहते हैं, या निर्वात अवस्था अपरिवर्तनीय होने में विफल रहती है।

गैर-तकनीकी विवरण

यह खंड स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटने का वर्णन करता है। आम आदमी के शब्दों में, यह विचार है कि भौतिक प्रणाली के लिए, सबसे कम ऊर्जा विन्यास (निर्वात अवस्था) प्रणाली का सबसे सममित विन्यास नहीं है। मोटे तौर पर तीन प्रकार की समरूपताएं हैं जिन्हें तोड़ा जा सकता है: असतत, लाई समूह और गेज, बढ़ती तकनीकीता में क्रमबद्ध।

असतत समरूपता वाले सिस्टम का उदाहरण लाल ग्राफ वाले चित्र द्वारा दिया गया है: गुरुत्वाकर्षण के अधीन, इस ग्राफ पर चलते हुए कण पर विचार करें। फ़ंक्शन द्वारा समान ग्राफ़ दिया जा सकता है $f(x)=(x^{2}-a^{2})^{2}$ . यह प्रणाली y-अक्ष में परावर्तन के अंतर्गत सममित है। कण के लिए तीन संभावित स्थिर अवस्थाएँ हैं: पहाड़ी की चोटी पर $x=0$ , या नीचे, पर $x=\pm a$ . जब कण शीर्ष पर होता है, तो विन्यास प्रतिबिंब समरूपता का सम्मान करता है: परावर्तित होने पर कण उसी स्थान पर रहता है। हालाँकि, सबसे कम ऊर्जा विन्यास वे हैं $x=\pm a$ . जब कण इनमें से किसी भी विन्यास में होता है, तो यह y-अक्ष में प्रतिबिंब के तहत स्थिर नहीं रहता है: प्रतिबिंब दो निर्वात स्थितियों को बदल देता है।

निरंतर समरूपता वाला उदाहरण पिछले उदाहरण के 3डी एनालॉग द्वारा दिया गया है, पहाड़ी की चोटी के माध्यम से अक्ष के चारों ओर ग्राफ को घुमाने से, या समकक्ष रूप से ग्राफ द्वारा दिया गया है $f(x,y)=(x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}$ . यह मूलतः मैक्सिकन टोपी की क्षमता का ग्राफ है। इसमें पहाड़ी के शीर्ष के माध्यम से अक्ष के चारों ओर घूमने से दी गई सतत समरूपता है (साथ ही किसी रेडियल विमान के माध्यम से प्रतिबिंब द्वारा असतत समरूपता भी है)। पुनः, यदि कण पहाड़ी के शीर्ष पर है तो यह घूर्णन के तहत स्थिर हो जाता है, लेकिन शीर्ष पर इसकी गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा अधिक होती है। तल पर, यह अब घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है लेकिन इसकी गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा को कम कर देता है। इसके अलावा घूर्णन कण को एक ऊर्जा न्यूनतम विन्यास से दूसरे में ले जाता है। यहां नवीनता है जो पिछले उदाहरण में नहीं देखी गई थी: किसी भी निर्वात अवस्था से पहाड़ी के नीचे गर्त के चारों ओर घूमकर, केवल थोड़ी मात्रा में ऊर्जा के साथ किसी अन्य निर्वात अवस्था तक पहुंचना संभव है, जबकि पिछले उदाहरण में, अन्य निर्वात तक पहुँचने के लिए, कण को पहाड़ी को पार करना होगा, जिसके लिए बड़ी मात्रा में ऊर्जा की आवश्यकता होगी।

गेज समरूपता तोड़ना सबसे सूक्ष्म है, लेकिन इसके महत्वपूर्ण भौतिक परिणाम होते हैं। मोटे तौर पर कहें तो, इस खंड के प्रयोजनों के लिए गेज समरूपता अंतरिक्ष समय में प्रत्येक बिंदु पर निरंतर समरूपता वाले सिस्टम का असाइनमेंट है। गेज समरूपता गेज क्षेत्रों के लिए बड़े पैमाने पर उत्पादन को रोकती है, फिर भी बड़े पैमाने पर गेज क्षेत्र (डब्ल्यू और जेड बोसॉन) देखे गए हैं। इस असंगति को हल करने के लिए सहज समरूपता तोड़ना विकसित किया गया था। विचार यह है कि ब्रह्मांड के प्रारंभिक चरण में यह उच्च ऊर्जा अवस्था में था, जो पहाड़ी के शीर्ष पर कण के अनुरूप था, और इसलिए इसमें पूर्ण गेज समरूपता थी और सभी गेज क्षेत्र द्रव्यमान रहित थे। जैसे ही यह ठंडा हुआ, यह निर्वात के विकल्प में बस गया, इस प्रकार स्वचालित रूप से समरूपता टूट गई, इस प्रकार गेज समरूपता को हटा दिया गया और उन गेज क्षेत्रों की बड़े पैमाने पर पीढ़ी की अनुमति दी गई। पूर्ण स्पष्टीकरण अत्यधिक तकनीकी है: विद्युत कमजोर अंतःक्रिया देखें।

सहज समरूपता टूटना

स्वतःस्फूर्त समरूपता विखंडन (एसएसबी) में, सिस्टम की गति के समीकरण अपरिवर्तनीय होते हैं, लेकिन कोई भी निर्वात अवस्था (निम्नतम ऊर्जा अवस्था) नहीं होती है।

दो-तरफा समरूपता वाले उदाहरण के लिए, यदि कोई परमाणु है जिसमें दो निर्वात अवस्थाएँ हैं, तो इनमें से किसी अवस्था पर कब्जा करने से दो-गुना समरूपता टूट जाती है। जैसे ही सिस्टम कम ऊर्जा तक पहुंचता है, राज्यों में से किसी को चुनने का यह कार्य एसएसबी है। जब ऐसा होता है, तो परमाणु नहीं रहता $\mathbb {Z} _{2}$ सममित (परावर्तक रूप से सममित) और निम्न ऊर्जा अवस्था में ढह गया है।

इस तरह की समरूपता को तोड़ना ऑर्डर पैरामीटर द्वारा पैरामीट्रिज्ड होता है। इस प्रकार की समरूपता टूटने का विशेष मामला गतिशील समरूपता टूटना है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) की लैग्रैन्जियन सेटिंग में, लैग्रैन्जियन $L$ क्वांटम फ़ील्ड्स की कार्यात्मकता है जो समरूपता समूह की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है $G$ . हालाँकि, जब कण कम ऊर्जा में ढह जाता है तो बनने वाला निर्वात अपेक्षा मान अपरिवर्तनीय नहीं हो सकता है $G$ . इस उदाहरण में, यह आंशिक रूप से समरूपता को तोड़ देगा $G$ , उपसमूह में $H$ . यह स्वतःस्फूर्त समरूपता का टूटना है।

हालाँकि, गेज समरूपता के संदर्भ में, एसएसबी वह घटना है जिसके द्वारा गेज-अपरिवर्तनीयता के बावजूद गेज सिद्धांत 'द्रव्यमान प्राप्त करता है' कि ऐसे क्षेत्र द्रव्यमान रहित हों। ऐसा इसलिए है क्योंकि गेज समरूपता का एसएसबी गेज-इनवेरिएंस को तोड़ देता है, और ऐसा ब्रेक बड़े पैमाने पर गेज क्षेत्रों के अस्तित्व की अनुमति देता है। यह गोल्डस्टोन के प्रमेय से महत्वपूर्ण छूट है|गोल्डस्टोन के प्रमेय, जहां गोल्डस्टोन बोसोन|नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन द्रव्यमान प्राप्त कर सकता है, इस प्रक्रिया में हिग्स बॉसन बन सकता है।^[5] इसके अलावा, इस संदर्भ में मानक रहते हुए 'समरूपता तोड़ने' का उपयोग मिथ्या नाम है, क्योंकि गेज 'समरूपता' वास्तव में समरूपता नहीं है बल्कि सिस्टम के विवरण में अतिरेक है। गणितीय रूप से, यह अतिरेक तुच्छीकरण (गणित) का विकल्प है, जो कुछ हद तक आधार के विकल्प से उत्पन्न होने वाले अतिरेक के समान है।

स्वतःस्फूर्त समरूपता का टूटना चरण संक्रमणों से भी जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, आइसिंग मॉडल में, जैसे ही सिस्टम का तापमान क्रांतिक तापमान से नीचे गिरता है $\mathbb {Z} _{2}$ निर्वात की समरूपता टूट गई है, जिससे सिस्टम का चरण संक्रमण हो गया है।

स्पष्ट समरूपता तोड़ना

स्पष्ट समरूपता तोड़ने (ईएसबी) में, प्रणाली का वर्णन करने वाले गति के समीकरण टूटी हुई समरूपता के तहत भिन्न होते हैं। हैमिल्टनियन यांत्रिकी या लैग्रेंजियन यांत्रिकी में, ऐसा तब होता है जब हैमिल्टनियन (या लैग्रैन्जियन) में कम से कम शब्द होता है जो स्पष्ट रूप से दी गई समरूपता को तोड़ता है।

हैमिल्टनियन सेटिंग में, अक्सर इसका अध्ययन किया जाता है कि हैमिल्टनियन को कब लिखा जा सकता है $H=H_{0}+H_{\text{int}}$ .

यहाँ $H_{0}$ 'बेस हैमिल्टनियन' है, जिसमें कुछ स्पष्ट समरूपता है। अधिक स्पष्ट रूप से, यह लाई समूह|(झूठ) समूह की कार्रवाई के तहत सममित है $G$ . अक्सर यह पूर्णांक हैमिल्टनियन होता है। $H_{\text{int}}$ h> गड़बड़ी या अंतःक्रिया हैमिल्टनियन है। की कार्रवाई के तहत यह अपरिवर्तनीय नहीं है $G$ . यह अक्सर छोटे, परेशान करने वाले पैरामीटर के समानुपाती होता है।

यह मूलतः क्वांटम यांत्रिकी में गड़बड़ी सिद्धांत का प्रतिमान है। इसके उपयोग का उदाहरण परमाणु स्पेक्ट्रा की बारीक संरचना का पता लगाना है।

उदाहरण

समरूपता तोड़ने से निम्नलिखित में से कोई भी परिदृश्य कवर हो सकता है:

किसी संरचना के स्पष्ट रूप से यादृच्छिक गठन द्वारा भौतिकी के अंतर्निहित नियमों की सटीक समरूपता का टूटना;
भौतिकी में स्थिति जिसमें जमीनी स्थिति में सिस्टम की तुलना में कम समरूपता होती है;
ऐसी स्थितियाँ जहां सिस्टम की वास्तविक स्थिति गतिशीलता की अंतर्निहित समरूपता को प्रतिबिंबित नहीं करती है क्योंकि स्पष्ट रूप से सममित स्थिति अस्थिर है (स्थिरता स्थानीय संपत्ति विषमता की कीमत पर प्राप्त की जाती है);
ऐसी स्थितियां जहां किसी सिद्धांत के समीकरणों में कुछ समरूपताएं हो सकती हैं, हालांकि उनके समाधान नहीं हो सकते (समरूपताएं छिपी हुई हैं)।

भौतिकी साहित्य में चर्चा की गई टूटी हुई समरूपता के पहले मामलों में से गुरुत्वाकर्षण और हाइड्रोस्टैटिक संतुलन में असम्पीडित प्रवाह के समान रूप से घूमने वाले शरीर द्वारा लिए गए रूप से संबंधित है। कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी^[6] और जल्द ही बाद में लिओविले,^[7] 1834 में, इस तथ्य पर चर्चा की गई कि त्रि-अक्षीय दीर्घवृत्त इस समस्या के लिए संतुलन समाधान था जब घूर्णन शरीर की गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा की तुलना में गतिज ऊर्जा निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक हो गई। मैकलॉरिन गोलाकार द्वारा प्रस्तुत अक्षीय समरूपता इस द्विभाजन बिंदु पर टूट गई है। इसके अलावा, इस द्विभाजन बिंदु के ऊपर, और निरंतर कोणीय गति के लिए, गतिज ऊर्जा को कम करने वाले समाधान मैकलॉरिन गोलाकार के बजाय गैर-अक्षीय सममित जैकोबी दीर्घवृत्त हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Heylighen, Francis (2023). "Entanglement, Symmetry Breaking and Collapse: Correspondences Between Quantum and Self-Organizing Dynamics". Foundations of Science. Brussels, Belgium. 28: 85–107. doi:10.1007/s10699-021-09780-7. S2CID 4568832 – via SpringerLink.
↑ ^2.0 ^2.1 Gross, David J. (1996-12-10). "मौलिक भौतिकी में समरूपता की भूमिका". PNAS. 93 (25): 14256–14259. doi:10.1073/pnas.93.25.14256. PMC 34470. PMID 11607718.
↑ Ohira, Ryutaro; Mukaiyama, Takashi; Toyoda, Kenji (2020-02-01). "ट्रैप्ड-आयन क्वांटम टनलिंग रोटर में घूर्णी समरूपता को तोड़ना". Physical Review A. American Physical Society. 101 (2): 022106. arXiv:1907.07404. Bibcode:2020PhRvA.101b2106O. doi:10.1103/PhysRevA.101.022106.
↑ Castellani, Elena; Teh, Nicholas; Brading, Katherine (2017-12-14). Edward, Zalta (ed.). "समरूपता और समरूपता का टूटना". Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2021 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University.
↑ Law, Johnathan; Rennie, Richard (2009). "Goldstone's theorem". भौतिकी का एक शब्दकोश (6 ed.). Oxford University Press. doi:10.1093/acref/9780199233991.001.0001. ISBN 9780199233991. Retrieved 2023-03-01.
↑ Jacobi, C.G.J. (1834). "Über die figur des gleichgewichts". Annalen der Physik und Chemie. 109 (33): 229–238. Bibcode:1834AnP...109..229J. doi:10.1002/andp.18341090808.
↑ Liouville, J. (1834). "Sur la figure d'une masse fluide homogène, en équilibre et douée d'un mouvement de rotation". Journal de l'École Polytechnique (14): 289–296.

बाहरी संबंध

Quotations related to Symmetry breaking at Wikiquote

[1] Heylighen, Francis (2023). "Entanglement, Symmetry Breaking and Collapse: Correspondences Between Quantum and Self-Organizing Dynamics". Foundations of Science. Brussels, Belgium. 28: 85–107. doi:10.1007/s10699-021-09780-7. S2CID 4568832 – via SpringerLink.

[:0-2] 2.0 ^2.1 Gross, David J. (1996-12-10). "मौलिक भौतिकी में समरूपता की भूमिका". PNAS. 93 (25): 14256–14259. doi:10.1073/pnas.93.25.14256. PMC 34470. PMID 11607718.

[:12-3] Ohira, Ryutaro; Mukaiyama, Takashi; Toyoda, Kenji (2020-02-01). "ट्रैप्ड-आयन क्वांटम टनलिंग रोटर में घूर्णी समरूपता को तोड़ना". Physical Review A. American Physical Society. 101 (2): 022106. arXiv:1907.07404. Bibcode:2020PhRvA.101b2106O. doi:10.1103/PhysRevA.101.022106.

[:1-4] Castellani, Elena; Teh, Nicholas; Brading, Katherine (2017-12-14). Edward, Zalta (ed.). "समरूपता और समरूपता का टूटना". Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2021 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University.

[5] Law, Johnathan; Rennie, Richard (2009). "Goldstone's theorem". भौतिकी का एक शब्दकोश (6 ed.). Oxford University Press. doi:10.1093/acref/9780199233991.001.0001. ISBN 9780199233991. Retrieved 2023-03-01.

[6] Jacobi, C.G.J. (1834). "Über die figur des gleichgewichts". Annalen der Physik und Chemie. 109 (33): 229–238. Bibcode:1834AnP...109..229J. doi:10.1002/andp.18341090808.

[7] Liouville, J. (1834). "Sur la figure d'une masse fluide homogène, en équilibre et douée d'un mouvement de rotation". Journal de l'École Polytechnique (14): 289–296.

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-{{multiple issues
-|{{expert|Physics|reason=Lacking. It discusses symmetry breaking like a dictionary without saying why its so critically important in nearly every field of physics. Does not even discuss [[Noether's theorem]] here or in subpages.|date= May 2014}}
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-[[File:Spontaneous symmetry breaking from an instable equilibrium.svg|thumb|एक गेंद प्रारंभ में केंद्रीय पहाड़ी (सी) के शीर्ष पर स्थित होती है। यह स्थिति एक अस्थिर संतुलन है: एक बहुत छोटा [[गड़बड़ी सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी)]] इसे दो स्थिर कुओं बाएं (एल) या दाएं (आर) में से एक में गिरने का कारण बनेगा। भले ही पहाड़ी सममित हो और गेंद के दोनों तरफ गिरने का कोई कारण न हो, देखी गई अंतिम स्थिति सममित नहीं है।|308x308px]]
-{{Use American English|date = March 2019}}
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-भौतिकी में, समरूपता टूटना एक ऐसी घटना है जहां एक अव्यवस्थित लेकिन सममित स्थिति एक व्यवस्थित, लेकिन कम सममित स्थिति में ढह जाती है।<ref>{{Cite journal |last=Heylighen |first=Francis |title=Entanglement, Symmetry Breaking and Collapse: Correspondences Between Quantum and Self-Organizing Dynamics |url=https://link.springer.com/article/10.1007/s10699-021-09780-7 |journal=[[Foundations of Science]] |year=2023 |volume=28 |publication-place=Brussels, Belgium |pages=85–107 |doi= 10.1007/s10699-021-09780-7|s2cid=4568832 |via=SpringerLink}}</ref> यह पतन अक्सर कई संभावित [[द्विभाजन सिद्धांत]]ों में से एक है जिसे एक कण कम ऊर्जा अवस्था में पहुंचने पर ले सकता है। कई संभावनाओं के कारण, एक पर्यवेक्षक पतन के परिणाम को मनमाना मान सकता है। यह घटना [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (क्यूएफटी) और इसके अलावा, भौतिकी की समकालीन समझ के लिए मौलिक है।<ref name=":0">{{Cite journal |last=Gross |first=David J. |date=1996-12-10 |title=मौलिक भौतिकी में समरूपता की भूमिका|journal=[[PNAS]] |volume=93 |issue=25 |pages=14256–14259 |doi=10.1073/pnas.93.25.14256 |pmid=11607718 |pmc=34470 |doi-access=free }}</ref> विशेष रूप से, यह ग्लासो-वेनबर्ग-सलाम मॉडल में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है जो [[मानक मॉडल]] का हिस्सा बनता है modelling the electroweak sector.[[File:SpontaneousSymmetryBreaking.png|thumb|257x257px|एक (काला) कण हमेशा सबसे कम ऊर्जा पर संचालित होता है। प्रस्तावित में <math>\mathbb{Z}_2</math>-सममितीय प्रणाली, इसकी दो संभावित (बैंगनी) अवस्थाएँ हैं। जब यह स्वतः ही समरूपता तोड़ देता है, तो यह दो अवस्थाओं में से एक में ढह जाता है। इस घटना को सहज समरूपता टूटने के रूप में जाना जाता है।]][[File:Sponsymbreaking.png|thumb|234x234px|कम ऊर्जा अवस्था ग्रहण करने से पहले एक सममित प्रणाली (एक [[हिग्स तंत्र]]) में एक कण का 3डी प्रतिनिधित्व]]एक अनंत प्रणाली ([[मिन्कोवस्की स्थान]]) में समरूपता टूटती है, हालांकि एक परिमित प्रणाली (यानी, कोई भी वास्तविक सुपर-संघनित प्रणाली) में, प्रणाली कम पूर्वानुमानित होती है, लेकिन कई मामलों में [[क्वांटम टनलिंग]] होती है।<ref name=":0" /><ref name=":12">{{Cite journal |last1=Ohira |first1=Ryutaro |last2=Mukaiyama |first2=Takashi |last3=Toyoda |first3=Kenji |date=2020-02-01 |editor-first= |title=ट्रैप्ड-आयन क्वांटम टनलिंग रोटर में घूर्णी समरूपता को तोड़ना|journal=[[Physical Review A]] |publisher=[[American Physical Society]] |volume=101 |issue=2 |page=022106 |doi=10.1103/PhysRevA.101.022106 |arxiv=1907.07404 |bibcode=2020PhRvA.101b2106O}}</ref> समरूपता को तोड़ना और सुरंग बनाना एक कण के गैर-सममित अवस्था में ढहने से संबंधित है क्योंकि यह कम ऊर्जा की तलाश करता है।<ref name=":1">{{Cite journal |last1=Castellani |first1=Elena |last2=Teh |first2=Nicholas |last3=Brading |first3=Katherine |date=2017-12-14 |editor-last=Edward |editor-first=Zalta |title=समरूपता और समरूपता का टूटना|url=https://plato.stanford.edu/entries/symmetry-breaking/#SymmBrea |journal=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |edition=Fall 2021 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |via=}}</ref>
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 समरूपता टूटने को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है, स्पष्ट समरूपता टूटना और सहज समरूपता टूटना। उनकी विशेषता यह है कि क्या गति के समीकरण अपरिवर्तनीय होने में विफल रहते हैं, या [[निर्वात अवस्था]] अपरिवर्तनीय होने में विफल रहती है।
 == गैर-तकनीकी विवरण ==
-यह खंड स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटने का वर्णन करता है। आम आदमी के शब्दों में, यह विचार है कि एक भौतिक प्रणाली के लिए, सबसे कम ऊर्जा विन्यास (निर्वात अवस्था) प्रणाली का सबसे सममित विन्यास नहीं है। मोटे तौर पर तीन प्रकार की समरूपताएं हैं जिन्हें तोड़ा जा सकता है: असतत, लाई समूह और गेज, बढ़ती तकनीकीता में क्रमबद्ध।
+यह खंड स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटने का वर्णन करता है। आम आदमी के शब्दों में, यह विचार है कि भौतिक प्रणाली के लिए, सबसे कम ऊर्जा विन्यास (निर्वात अवस्था) प्रणाली का सबसे सममित विन्यास नहीं है। मोटे तौर पर तीन प्रकार की समरूपताएं हैं जिन्हें तोड़ा जा सकता है: असतत, लाई समूह और गेज, बढ़ती तकनीकीता में क्रमबद्ध।
-असतत समरूपता वाले सिस्टम का एक उदाहरण लाल ग्राफ वाले चित्र द्वारा दिया गया है: [[गुरुत्वाकर्षण]] के अधीन, इस ग्राफ पर चलते हुए एक कण पर विचार करें। फ़ंक्शन द्वारा एक समान ग्राफ़ दिया जा सकता है <math>f(x) = (x^2 - a^2)^2</math>. यह प्रणाली y-अक्ष में परावर्तन के अंतर्गत सममित है। कण के लिए तीन संभावित स्थिर अवस्थाएँ हैं: पहाड़ी की चोटी पर <math>x = 0</math>, या नीचे, पर <math>x = \pm a</math>. जब कण शीर्ष पर होता है, तो विन्यास प्रतिबिंब समरूपता का सम्मान करता है: परावर्तित होने पर कण उसी स्थान पर रहता है। हालाँकि, सबसे कम ऊर्जा विन्यास वे हैं <math>x = \pm a</math>. जब कण इनमें से किसी भी विन्यास में होता है, तो यह y-अक्ष में प्रतिबिंब के तहत स्थिर नहीं रहता है: प्रतिबिंब दो निर्वात स्थितियों को बदल देता है।
+असतत समरूपता वाले सिस्टम का उदाहरण लाल ग्राफ वाले चित्र द्वारा दिया गया है: [[गुरुत्वाकर्षण]] के अधीन, इस ग्राफ पर चलते हुए कण पर विचार करें। फ़ंक्शन द्वारा समान ग्राफ़ दिया जा सकता है <math>f(x) = (x^2 - a^2)^2</math>. यह प्रणाली y-अक्ष में परावर्तन के अंतर्गत सममित है। कण के लिए तीन संभावित स्थिर अवस्थाएँ हैं: पहाड़ी की चोटी पर <math>x = 0</math>, या नीचे, पर <math>x = \pm a</math>. जब कण शीर्ष पर होता है, तो विन्यास प्रतिबिंब समरूपता का सम्मान करता है: परावर्तित होने पर कण उसी स्थान पर रहता है। हालाँकि, सबसे कम ऊर्जा विन्यास वे हैं <math>x = \pm a</math>. जब कण इनमें से किसी भी विन्यास में होता है, तो यह y-अक्ष में प्रतिबिंब के तहत स्थिर नहीं रहता है: प्रतिबिंब दो निर्वात स्थितियों को बदल देता है।
-निरंतर समरूपता वाला एक उदाहरण पिछले उदाहरण के 3डी एनालॉग द्वारा दिया गया है, पहाड़ी की चोटी के माध्यम से एक अक्ष के चारों ओर ग्राफ को घुमाने से, या समकक्ष रूप से ग्राफ द्वारा दिया गया है <math>f(x,y) = (x^2 + y^2 - a^2)^2</math>. यह मूलतः मैक्सिकन टोपी की क्षमता का ग्राफ है। इसमें पहाड़ी के शीर्ष के माध्यम से अक्ष के चारों ओर घूमने से दी गई एक सतत समरूपता है (साथ ही किसी रेडियल विमान के माध्यम से प्रतिबिंब द्वारा एक असतत समरूपता भी है)। पुनः, यदि कण पहाड़ी के शीर्ष पर है तो यह घूर्णन के तहत स्थिर हो जाता है, लेकिन शीर्ष पर इसकी गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा अधिक होती है। तल पर, यह अब घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है लेकिन इसकी गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा को कम कर देता है। इसके अलावा घूर्णन कण को एक ऊर्जा न्यूनतम विन्यास से दूसरे में ले जाता है। यहां एक नवीनता है जो पिछले उदाहरण में नहीं देखी गई थी: किसी भी निर्वात अवस्था से पहाड़ी के नीचे गर्त के चारों ओर घूमकर, केवल थोड़ी मात्रा में ऊर्जा के साथ किसी अन्य निर्वात अवस्था तक पहुंचना संभव है, जबकि पिछले उदाहरण में, अन्य निर्वात तक पहुँचने के लिए, कण को पहाड़ी को पार करना होगा, जिसके लिए बड़ी मात्रा में ऊर्जा की आवश्यकता होगी।
+निरंतर समरूपता वाला उदाहरण पिछले उदाहरण के 3डी एनालॉग द्वारा दिया गया है, पहाड़ी की चोटी के माध्यम से अक्ष के चारों ओर ग्राफ को घुमाने से, या समकक्ष रूप से ग्राफ द्वारा दिया गया है <math>f(x,y) = (x^2 + y^2 - a^2)^2</math>. यह मूलतः मैक्सिकन टोपी की क्षमता का ग्राफ है। इसमें पहाड़ी के शीर्ष के माध्यम से अक्ष के चारों ओर घूमने से दी गई सतत समरूपता है (साथ ही किसी रेडियल विमान के माध्यम से प्रतिबिंब द्वारा असतत समरूपता भी है)। पुनः, यदि कण पहाड़ी के शीर्ष पर है तो यह घूर्णन के तहत स्थिर हो जाता है, लेकिन शीर्ष पर इसकी गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा अधिक होती है। तल पर, यह अब घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है लेकिन इसकी गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा को कम कर देता है। इसके अलावा घूर्णन कण को एक ऊर्जा न्यूनतम विन्यास से दूसरे में ले जाता है। यहां नवीनता है जो पिछले उदाहरण में नहीं देखी गई थी: किसी भी निर्वात अवस्था से पहाड़ी के नीचे गर्त के चारों ओर घूमकर, केवल थोड़ी मात्रा में ऊर्जा के साथ किसी अन्य निर्वात अवस्था तक पहुंचना संभव है, जबकि पिछले उदाहरण में, अन्य निर्वात तक पहुँचने के लिए, कण को पहाड़ी को पार करना होगा, जिसके लिए बड़ी मात्रा में ऊर्जा की आवश्यकता होगी।
-गेज समरूपता तोड़ना सबसे सूक्ष्म है, लेकिन इसके महत्वपूर्ण भौतिक परिणाम होते हैं। मोटे तौर पर कहें तो, इस खंड के प्रयोजनों के लिए गेज समरूपता [[ अंतरिक्ष समय ]] में प्रत्येक बिंदु पर निरंतर समरूपता वाले सिस्टम का एक असाइनमेंट है। गेज समरूपता [[गेज क्षेत्र]]ों के लिए बड़े पैमाने पर उत्पादन को रोकती है, फिर भी बड़े पैमाने पर गेज क्षेत्र (डब्ल्यू और जेड बोसॉन) देखे गए हैं। इस असंगति को हल करने के लिए सहज समरूपता तोड़ना विकसित किया गया था। विचार यह है कि ब्रह्मांड के प्रारंभिक चरण में यह एक उच्च ऊर्जा अवस्था में था, जो पहाड़ी के शीर्ष पर कण के अनुरूप था, और इसलिए इसमें पूर्ण गेज समरूपता थी और सभी गेज क्षेत्र द्रव्यमान रहित थे। जैसे ही यह ठंडा हुआ, यह निर्वात के विकल्प में बस गया, इस प्रकार स्वचालित रूप से समरूपता टूट गई, इस प्रकार गेज समरूपता को हटा दिया गया और उन गेज क्षेत्रों की बड़े पैमाने पर पीढ़ी की अनुमति दी गई। एक पूर्ण स्पष्टीकरण अत्यधिक तकनीकी है: [[विद्युत कमजोर अंतःक्रिया]] देखें।
+गेज समरूपता तोड़ना सबसे सूक्ष्म है, लेकिन इसके महत्वपूर्ण भौतिक परिणाम होते हैं। मोटे तौर पर कहें तो, इस खंड के प्रयोजनों के लिए गेज समरूपता [[ अंतरिक्ष समय |अंतरिक्ष समय]] में प्रत्येक बिंदु पर निरंतर समरूपता वाले सिस्टम का असाइनमेंट है। गेज समरूपता [[गेज क्षेत्र]]ों के लिए बड़े पैमाने पर उत्पादन को रोकती है, फिर भी बड़े पैमाने पर गेज क्षेत्र (डब्ल्यू और जेड बोसॉन) देखे गए हैं। इस असंगति को हल करने के लिए सहज समरूपता तोड़ना विकसित किया गया था। विचार यह है कि ब्रह्मांड के प्रारंभिक चरण में यह उच्च ऊर्जा अवस्था में था, जो पहाड़ी के शीर्ष पर कण के अनुरूप था, और इसलिए इसमें पूर्ण गेज समरूपता थी और सभी गेज क्षेत्र द्रव्यमान रहित थे। जैसे ही यह ठंडा हुआ, यह निर्वात के विकल्प में बस गया, इस प्रकार स्वचालित रूप से समरूपता टूट गई, इस प्रकार गेज समरूपता को हटा दिया गया और उन गेज क्षेत्रों की बड़े पैमाने पर पीढ़ी की अनुमति दी गई। पूर्ण स्पष्टीकरण अत्यधिक तकनीकी है: [[विद्युत कमजोर अंतःक्रिया]] देखें।
 ==सहज समरूपता टूटना==
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 स्वतःस्फूर्त समरूपता विखंडन (एसएसबी) में, सिस्टम की [[गति के समीकरण]] अपरिवर्तनीय होते हैं, लेकिन कोई भी निर्वात अवस्था (निम्नतम ऊर्जा अवस्था) नहीं होती है।
-दो-तरफा समरूपता वाले उदाहरण के लिए, यदि कोई परमाणु है जिसमें दो निर्वात अवस्थाएँ हैं, तो इनमें से किसी एक अवस्था पर कब्जा करने से दो-गुना समरूपता टूट जाती है। जैसे ही सिस्टम कम ऊर्जा तक पहुंचता है, राज्यों में से किसी एक को चुनने का यह कार्य एसएसबी है। जब ऐसा होता है, तो परमाणु नहीं रहता  <math>\mathbb{Z}_2</math> सममित (परावर्तक रूप से सममित) और निम्न ऊर्जा अवस्था में ढह गया है।
+दो-तरफा समरूपता वाले उदाहरण के लिए, यदि कोई परमाणु है जिसमें दो निर्वात अवस्थाएँ हैं, तो इनमें से किसी अवस्था पर कब्जा करने से दो-गुना समरूपता टूट जाती है। जैसे ही सिस्टम कम ऊर्जा तक पहुंचता है, राज्यों में से किसी को चुनने का यह कार्य एसएसबी है। जब ऐसा होता है, तो परमाणु नहीं रहता <math>\mathbb{Z}_2</math> सममित (परावर्तक रूप से सममित) और निम्न ऊर्जा अवस्था में ढह गया है।
-इस तरह की समरूपता को तोड़ना एक [[ऑर्डर पैरामीटर]] द्वारा पैरामीट्रिज्ड होता है। इस प्रकार की समरूपता टूटने का एक विशेष मामला गतिशील समरूपता टूटना है।
+इस तरह की समरूपता को तोड़ना [[ऑर्डर पैरामीटर]] द्वारा पैरामीट्रिज्ड होता है। इस प्रकार की समरूपता टूटने का विशेष मामला गतिशील समरूपता टूटना है।
-क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) की लैग्रैन्जियन सेटिंग में, लैग्रैन्जियन <math>L</math> क्वांटम फ़ील्ड्स की एक कार्यात्मकता है जो समरूपता समूह की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है <math>G</math>. हालाँकि, जब कण कम ऊर्जा में ढह जाता है तो बनने वाला निर्वात अपेक्षा मान अपरिवर्तनीय नहीं हो सकता है <math>G</math>. इस उदाहरण में, यह आंशिक रूप से समरूपता को तोड़ देगा <math>G</math>, एक उपसमूह में <math>H</math>. यह स्वतःस्फूर्त समरूपता का टूटना है।
+क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) की लैग्रैन्जियन सेटिंग में, लैग्रैन्जियन <math>L</math> क्वांटम फ़ील्ड्स की कार्यात्मकता है जो समरूपता समूह की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है <math>G</math>. हालाँकि, जब कण कम ऊर्जा में ढह जाता है तो बनने वाला निर्वात अपेक्षा मान अपरिवर्तनीय नहीं हो सकता है <math>G</math>. इस उदाहरण में, यह आंशिक रूप से समरूपता को तोड़ देगा <math>G</math>, उपसमूह में <math>H</math>. यह स्वतःस्फूर्त समरूपता का टूटना है।
-हालाँकि, गेज समरूपता के संदर्भ में, एसएसबी वह घटना है जिसके द्वारा गेज-अपरिवर्तनीयता के बावजूद [[गेज सिद्धांत]] 'द्रव्यमान प्राप्त करता है' कि ऐसे क्षेत्र द्रव्यमान रहित हों। ऐसा इसलिए है क्योंकि गेज समरूपता का एसएसबी गेज-इनवेरिएंस को तोड़ देता है, और ऐसा ब्रेक बड़े पैमाने पर गेज क्षेत्रों के अस्तित्व की अनुमति देता है। यह गोल्डस्टोन के प्रमेय से एक महत्वपूर्ण छूट है|गोल्डस्टोन के प्रमेय, जहां एक [[गोल्डस्टोन बोसोन]]|नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन द्रव्यमान प्राप्त कर सकता है, इस प्रक्रिया में [[हिग्स बॉसन]] बन सकता है।<ref>{{Cite book |last1=Law |first1=Johnathan |url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199233991.001.0001/acref-9780199233991 |title=भौतिकी का एक शब्दकोश|last2=Rennie |first2=Richard |publisher=[[Oxford University Press]] |year=2009 |isbn=9780199233991 |edition=6 |chapter=Goldstone's theorem |doi=10.1093/acref/9780199233991.001.0001 |access-date=2023-03-01}}</ref>
+हालाँकि, गेज समरूपता के संदर्भ में, एसएसबी वह घटना है जिसके द्वारा गेज-अपरिवर्तनीयता के बावजूद [[गेज सिद्धांत]] 'द्रव्यमान प्राप्त करता है' कि ऐसे क्षेत्र द्रव्यमान रहित हों। ऐसा इसलिए है क्योंकि गेज समरूपता का एसएसबी गेज-इनवेरिएंस को तोड़ देता है, और ऐसा ब्रेक बड़े पैमाने पर गेज क्षेत्रों के अस्तित्व की अनुमति देता है। यह गोल्डस्टोन के प्रमेय से महत्वपूर्ण छूट है|गोल्डस्टोन के प्रमेय, जहां [[गोल्डस्टोन बोसोन]]|नंबू-गोल्डस्टोन बोसोन द्रव्यमान प्राप्त कर सकता है, इस प्रक्रिया में [[हिग्स बॉसन]] बन सकता है।<ref>{{Cite book |last1=Law |first1=Johnathan |url=https://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199233991.001.0001/acref-9780199233991 |title=भौतिकी का एक शब्दकोश|last2=Rennie |first2=Richard |publisher=[[Oxford University Press]] |year=2009 |isbn=9780199233991 |edition=6 |chapter=Goldstone's theorem |doi=10.1093/acref/9780199233991.001.0001 |access-date=2023-03-01}}</ref>
-इसके अलावा, इस संदर्भ में मानक रहते हुए 'समरूपता तोड़ने' का उपयोग एक मिथ्या नाम है, क्योंकि गेज 'समरूपता' वास्तव में एक समरूपता नहीं है बल्कि सिस्टम के विवरण में एक अतिरेक है। गणितीय रूप से, यह अतिरेक [[तुच्छीकरण (गणित)]] का एक विकल्प है, जो कुछ हद तक आधार के विकल्प से उत्पन्न होने वाले अतिरेक के समान है।
+इसके अलावा, इस संदर्भ में मानक रहते हुए 'समरूपता तोड़ने' का उपयोग मिथ्या नाम है, क्योंकि गेज 'समरूपता' वास्तव में समरूपता नहीं है बल्कि सिस्टम के विवरण में अतिरेक है। गणितीय रूप से, यह अतिरेक [[तुच्छीकरण (गणित)]] का विकल्प है, जो कुछ हद तक आधार के विकल्प से उत्पन्न होने वाले अतिरेक के समान है।
-स्वतःस्फूर्त समरूपता का टूटना चरण संक्रमणों से भी जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, [[आइसिंग मॉडल]] में, जैसे ही सिस्टम का तापमान क्रांतिक तापमान से नीचे गिरता है <math>\mathbb{Z}_2</math> निर्वात की समरूपता टूट गई है, जिससे सिस्टम का एक चरण संक्रमण हो गया है।
+स्वतःस्फूर्त समरूपता का टूटना चरण संक्रमणों से भी जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, [[आइसिंग मॉडल]] में, जैसे ही सिस्टम का तापमान क्रांतिक तापमान से नीचे गिरता है <math>\mathbb{Z}_2</math> निर्वात की समरूपता टूट गई है, जिससे सिस्टम का चरण संक्रमण हो गया है।
 ==स्पष्ट समरूपता तोड़ना==
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 {{main|Explicit symmetry breaking}}
-स्पष्ट समरूपता तोड़ने (ईएसबी) में, एक प्रणाली का वर्णन करने वाले गति के समीकरण टूटी हुई समरूपता के तहत भिन्न होते हैं। [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] या [[लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] में, ऐसा तब होता है जब हैमिल्टनियन (या लैग्रैन्जियन) में कम से कम एक शब्द होता है जो स्पष्ट रूप से दी गई समरूपता को तोड़ता है।
+स्पष्ट समरूपता तोड़ने (ईएसबी) में, प्रणाली का वर्णन करने वाले गति के समीकरण टूटी हुई समरूपता के तहत भिन्न होते हैं। [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] या [[लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] में, ऐसा तब होता है जब हैमिल्टनियन (या लैग्रैन्जियन) में कम से कम शब्द होता है जो स्पष्ट रूप से दी गई समरूपता को तोड़ता है।
 हैमिल्टनियन सेटिंग में, अक्सर इसका अध्ययन किया जाता है कि हैमिल्टनियन को कब लिखा जा सकता है <math>H = H_0 + H_{\text{int}}</math>.
-यहाँ <math>H_0</math> एक 'बेस हैमिल्टनियन' है, जिसमें कुछ स्पष्ट समरूपता है। अधिक स्पष्ट रूप से, यह लाई समूह|(झूठ) समूह की कार्रवाई के तहत सममित है <math>G</math>. अक्सर यह एक पूर्णांक हैमिल्टनियन होता है। <math>H_{\text{int}}</math> h> एक गड़बड़ी या अंतःक्रिया हैमिल्टनियन है। की कार्रवाई के तहत यह अपरिवर्तनीय नहीं है <math>G</math>. यह अक्सर एक छोटे, परेशान करने वाले पैरामीटर के समानुपाती होता है।
+यहाँ <math>H_0</math> 'बेस हैमिल्टनियन' है, जिसमें कुछ स्पष्ट समरूपता है। अधिक स्पष्ट रूप से, यह लाई समूह|(झूठ) समूह की कार्रवाई के तहत सममित है <math>G</math>. अक्सर यह पूर्णांक हैमिल्टनियन होता है। <math>H_{\text{int}}</math> h> गड़बड़ी या अंतःक्रिया हैमिल्टनियन है। की कार्रवाई के तहत यह अपरिवर्तनीय नहीं है <math>G</math>. यह अक्सर छोटे, परेशान करने वाले पैरामीटर के समानुपाती होता है।
-यह मूलतः क्वांटम यांत्रिकी में [[गड़बड़ी सिद्धांत]] का प्रतिमान है। इसके उपयोग का एक उदाहरण परमाणु स्पेक्ट्रा की बारीक संरचना का पता लगाना है।
+यह मूलतः क्वांटम यांत्रिकी में [[गड़बड़ी सिद्धांत]] का प्रतिमान है। इसके उपयोग का उदाहरण परमाणु स्पेक्ट्रा की बारीक संरचना का पता लगाना है।
 == उदाहरण ==
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 समरूपता तोड़ने से निम्नलिखित में से कोई भी परिदृश्य कवर हो सकता है:
 :* किसी संरचना के स्पष्ट रूप से यादृच्छिक गठन द्वारा भौतिकी के अंतर्निहित नियमों की सटीक समरूपता का टूटना;
-:* भौतिकी में एक स्थिति जिसमें जमीनी स्थिति में सिस्टम की तुलना में कम समरूपता होती है;
+:* भौतिकी में स्थिति जिसमें जमीनी स्थिति में सिस्टम की तुलना में कम समरूपता होती है;
 :* ऐसी स्थितियाँ जहां सिस्टम की वास्तविक स्थिति गतिशीलता की अंतर्निहित समरूपता को प्रतिबिंबित नहीं करती है क्योंकि स्पष्ट रूप से सममित स्थिति अस्थिर है (स्थिरता [[स्थानीय संपत्ति]] विषमता की कीमत पर प्राप्त की जाती है);
 :* ऐसी स्थितियां जहां किसी सिद्धांत के समीकरणों में कुछ समरूपताएं हो सकती हैं, हालांकि उनके समाधान नहीं हो सकते (समरूपताएं छिपी हुई हैं)।
-भौतिकी साहित्य में चर्चा की गई टूटी हुई समरूपता के पहले मामलों में से एक गुरुत्वाकर्षण और हाइड्रोस्टैटिक संतुलन में असम्पीडित प्रवाह के एक समान रूप से घूमने वाले शरीर द्वारा लिए गए रूप से संबंधित है। [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]]<ref>{{cite journal| last=Jacobi | first=C.G.J. | title=Über die figur des gleichgewichts | journal=[[Annalen der Physik und Chemie]] | volume=109 | issue=33| pages=229–238 | year=1834| doi=10.1002/andp.18341090808 | bibcode=1834AnP...109..229J | url=https://zenodo.org/record/2027349 }}</ref> और जल्द ही बाद में [[लिओविले]],<ref>{{cite journal| last=Liouville | first=J. | title=Sur la figure d'une masse fluide homogène, en équilibre et douée d'un mouvement de rotation| journal=Journal de l'École Polytechnique | issue=14| pages=289–296 | year=1834}}</ref> 1834 में, इस तथ्य पर चर्चा की गई कि एक त्रि-अक्षीय दीर्घवृत्त इस समस्या के लिए एक संतुलन समाधान था जब घूर्णन शरीर की गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा की तुलना में गतिज ऊर्जा एक निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक हो गई। [[मैकलॉरिन गोलाकार]] द्वारा प्रस्तुत अक्षीय समरूपता इस द्विभाजन बिंदु पर टूट गई है। इसके अलावा, इस द्विभाजन बिंदु के ऊपर, और निरंतर कोणीय गति के लिए, गतिज ऊर्जा को कम करने वाले समाधान मैकलॉरिन गोलाकार के बजाय गैर-अक्षीय सममित जैकोबी दीर्घवृत्त हैं।
+भौतिकी साहित्य में चर्चा की गई टूटी हुई समरूपता के पहले मामलों में से गुरुत्वाकर्षण और हाइड्रोस्टैटिक संतुलन में असम्पीडित प्रवाह के समान रूप से घूमने वाले शरीर द्वारा लिए गए रूप से संबंधित है। [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]]<ref>{{cite journal| last=Jacobi | first=C.G.J. | title=Über die figur des gleichgewichts | journal=[[Annalen der Physik und Chemie]] | volume=109 | issue=33| pages=229–238 | year=1834| doi=10.1002/andp.18341090808 | bibcode=1834AnP...109..229J | url=https://zenodo.org/record/2027349 }}</ref> और जल्द ही बाद में [[लिओविले]],<ref>{{cite journal| last=Liouville | first=J. | title=Sur la figure d'une masse fluide homogène, en équilibre et douée d'un mouvement de rotation| journal=Journal de l'École Polytechnique | issue=14| pages=289–296 | year=1834}}</ref> 1834 में, इस तथ्य पर चर्चा की गई कि त्रि-अक्षीय दीर्घवृत्त इस समस्या के लिए संतुलन समाधान था जब घूर्णन शरीर की गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा की तुलना में गतिज ऊर्जा निश्चित महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक हो गई। [[मैकलॉरिन गोलाकार]] द्वारा प्रस्तुत अक्षीय समरूपता इस द्विभाजन बिंदु पर टूट गई है। इसके अलावा, इस द्विभाजन बिंदु के ऊपर, और निरंतर कोणीय गति के लिए, गतिज ऊर्जा को कम करने वाले समाधान मैकलॉरिन गोलाकार के बजाय गैर-अक्षीय सममित जैकोबी दीर्घवृत्त हैं।
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