चिरल पॉट्स मॉडल

चिरल पॉट्स मॉडल सांख्यिकीय यांत्रिकी में जाली (समूह) पर स्पिन मॉडल है जिसका अध्ययन हेलेन औ-यांग पर्क और जैक्स पर्क सहित अन्य लोगों ने किया है। इसे पॉट्स मॉडल के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, और पॉट्स मॉडल की तरह, मॉडल को कॉन्फ़िगरेशन द्वारा परिभाषित किया गया है जो ग्राफ़ (अलग गणित) के प्रत्येक शीर्ष पर स्पिन (भौतिकी) के असाइनमेंट हैं, जहां प्रत्येक स्पिन में से ले सकता है $N$ मूल्य. प्रत्येक किनारे को निर्दिष्ट स्पिन के साथ शीर्षों से जोड़ना $n$ और $n'$, बोल्ट्ज़मान कारक $W(n,n')$ सौंपा गया है। इस मॉडल के लिए दाहिनी ओर का मतलब यही है $W(n,n')\neq W(n',n)$. जब भार यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करते हैं, तो यह पूर्णांक है, इस अर्थ में कि कुछ मात्राओं का सटीक मूल्यांकन किया जा सकता है।

इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स मॉडल के लिए, वज़न को उच्च जीनस (गणित) बीजगणितीय वक्र, चिरल पॉट्स वक्र द्वारा परिभाषित किया गया है। अन्य सॉल्व करने योग्य मॉडलों के विपरीत, जिनके वजन को से कम या उसके बराबर जीनस के वक्रों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है, ताकि उन्हें त्रिकोणमितीय कार्यों, जीनस शून्य मामले के लिए तर्कसंगत कार्यों, या जीनस 1 मामले के लिए थीटा फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया जा सके, इस मॉडल में उच्च जीनस थीटा शामिल है कार्य, जिनके लिए सिद्धांत कम विकसित है।

संबंधित चिरल घड़ी मॉडल, जिसे 1980 के दशक में डेविड हस और स्टेलन ओस्टलुंड द्वारा स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था, चिरल पॉट्स मॉडल के विपरीत, बिल्कुल हल करने योग्य नहीं है।

मॉडल

यह मॉडल पहले से ज्ञात सभी मॉडलों की श्रेणी से बाहर है और कई अनसुलझे प्रश्न उठाता है जो बीजगणितीय ज्यामिति की कुछ सबसे जटिल समस्याओं से संबंधित हैं जो 150 वर्षों से हमारे साथ हैं। चिरल पॉट्स मॉडल का उपयोग अनुरूप-असमान चरण संक्रमण को समझने के लिए किया जाता है। एन = 3 और 4 के लिए, अभिन्न मामला 1986 में स्टोनी ब्रुक में खोजा गया और अगले वर्ष प्रकाशित हुआ।

स्व-द्वैत मामला

यदि वेट फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण समान फ़ंक्शन लौटाता है तो मॉडल को आत्म दोहरी कहा जाता है। विशेष (जीनस 1) मामला 1982 में फतेयेव और अलेक्जेंडर ज़मोलोडचिकोव द्वारा हल किया गया था। अलकराज और सैंटोस के काम पर लगे कुछ प्रतिबंधों को हटाकर, इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स मॉडल का अधिक सामान्य स्व-दोहरा मामला खोजा गया था।वजन उत्पाद के रूप में दिया गया है और वजन में पैरामीटर्स को फ़र्मेट वक्र पर दिखाया गया है, जिसमें जीनस 1 से अधिक है।

सामान्य मामला

सभी k (तापमान चर) के लिए सामान्य समाधान पाया गया।वज़न भी उत्पाद के रूप में दिया गया था और यह कम्प्यूटेशनल रूप से (फोरट्रान पर) परीक्षण किया गया था कि वे स्टार-त्रिकोण संबंध को संतुष्ट करते हैं। इसका प्रमाण बाद में प्रकाशित हुआ।

परिणाम

ऑर्डर पैरामीटर

श्रृंखला से ऑर्डर पैरामीटर का अनुमान लगाया गया था सरल रूप होना

$$\langle \sigma ^{n}\rangle =(1-k'^{2})^{\beta },\quad \beta =n(N-n)/2N^{2}.$$

इस अनुमान को सिद्ध करने में कई साल लग गए, क्योंकि उच्च जीनस वक्र के कारण सामान्य कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स तकनीक का उपयोग नहीं किया जा सका। यह अनुमान 2005 में बैक्सटर द्वारा सिद्ध किया गया था कार्यात्मक समीकरणों और मिचियो जिम्बो एट अल की टूटी हुई रैपिडिटी लाइन तकनीक का उपयोग करना। दो हल्के विश्लेषणात्मक कार्यों को मानते हुए यांग-बैक्सटर इंटीग्रेबल मॉडल के क्षेत्र में आमतौर पर उपयोग की जाने वाली प्रकार की स्थितियाँ। हाल ही में, पत्रों की श्रृंखला में ऑर्डर पैरामीटर प्राप्त करने का बीजगणितीय (आइसिंग मॉडल | आइसिंग-जैसा) तरीका दिया गया है, जो बीजगणितीय संरचना में अधिक जानकारी देता है।

छह वर्टेक्स मॉडल से कनेक्शन

1990 में बज़ानोव और स्ट्रोगनोव दिखाया कि एल-ऑपरेटर (लैक्स जोड़ी) मौजूद हैं जो यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करते हैं

$L_{i_{1}\alpha }^{j_{1}\beta }(x)L_{i_{2}\beta }^{j_{2}\gamma }(y)R_{j_{1}j_{2}}^{k_{1}k_{2}}(y/x)=R_{i_{1}i_{2}}^{j_{1}j_{2}}(y/x)L_{j_{2}\alpha }^{k_{2}\beta }(y)L_{j_{1}\beta }^{k_{1}\gamma }(x),\quad 0<i,j,k\leq 1,\quad 0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq N-1.$

जहां 2 × 2 आर-ऑपरेटर (आर-मैट्रिक्स) छह शीर्ष मॉडल आर-मैट्रिक्स है (वर्टेक्स मॉडल देखें)। चार चिरल पॉट्स वजन एस के उत्पाद को दो एल-ऑपरेटरों को आपस में जोड़ते हुए दिखाया गया था

$L_{i_{1}\alpha _{1}}^{i_{2}\alpha _{2}}{\hat {L}}_{i_{2}\beta _{1}}^{i_{3}\beta _{2}}S_{\alpha _{2}\beta _{2}}^{\alpha _{3}\beta _{3}}=S_{\alpha _{1}\beta _{1}}^{\alpha _{2}\beta _{2}}{\hat {L}}_{i_{1}\beta _{2}}^{i_{2}\beta _{3}}L_{i_{2}\alpha _{2}}^{i_{3}\alpha _{3}},\quad 0<i_{i}\leq 1,\quad 0\leq \alpha _{i},\beta _{i}\leq N-1.$

इसने सफलता को प्रेरित किया, अर्थात् चिरल पॉट्स मॉडल के स्थानांतरण मैट्रिक्स के लिए कार्यात्मक संबंधों की खोज की गई।

मुक्त ऊर्जा और अंतरापृष्ठीय तनाव

इन कार्यात्मक संबंधों का उपयोग करते हुए, बैक्सटर चिरल पॉट्स मॉडल के स्थानांतरण मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​की गणना करने में सक्षम था, और विशिष्ट ऊष्मा α=1-2/N के लिए महत्वपूर्ण घातांक प्राप्त किया, जिसे संदर्भ 12 में भी अनुमानित किया गया था। इंटरफ़ेशियल तनाव की गणना भी उनके द्वारा घातांक μ=1/2+1/N के साथ की गई थी।

गांठ सिद्धांत से संबंध

इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स वज़न उत्पाद के रूप में दिए गए हैं जैसा

$W_{pq}(n)\!=\!{\Big (}{\mu _{p} \over \mu _{q}}{\Big )}^{\!\!n}\prod _{j=1}^{n}{y_{q}-x_{p}\omega ^{j} \over y_{p}-x_{q}\omega ^{j}},\quad {\overline {W}}_{pq}(n)\!=\!{\big (}{\mu _{p}\mu _{q}}{\big )}^{\!n}\!\prod _{j=1}^{n}{\omega x_{p}\!-\!x_{q}\omega ^{j} \over y_{q}\!-\!y_{p}\omega ^{j}},$

कहाँ $\omega ^{N}=1$ एकता की आदिम जड़ है और हम प्रत्येक तेज़ी वैरिएबल पी के साथ तीन वैरिएबल जोड़ते हैं $(x_{p},y_{p},\mu _{p})$ संतुष्टि देने वाला

$x_{p}^{N}+y_{p}^{N}=k(1+x_{p}^{N}y_{p}^{N}),\quad k'^{2}+k^{2}=1,\quad k'\mu _{p}^{N}=1-ky_{p}^{N},\quad k'\mu _{p}^{-N}=1-kx_{p}^{N}.$

यह देखना आसान है

$W_{pp}(a-b)=1,\quad {\overline {W}}_{pp}(a-b)=\delta _{a,b}$

जो रिडेमिस्टर चाल I के समान है। यह भी ज्ञात था कि भार व्युत्क्रम संबंध को संतुष्ट करते हैं,

$W_{pq}(a-b)W_{qp}(a-b)=1,\quad \sum _{d=0}^{N-1}{\overline {W}}_{pq}(a-d){\overline {W}}_{qp}(d-a')=r_{pq}\delta _{a,a'}.$

यह रिडेमिस्टर चाल II के बराबर है। तारा-त्रिकोण संबंध

$\sum _{d=1}^{N}\,{\overline {W}}_{pr}(a-d)\,W_{pq}(d-c)\,{\overline {W}}_{rq}(d-b)=R_{pqr}\,{\overline {W}}_{pq}(a-b)\,{W}_{pr}(b-c)\,W_{rq}(a-c)$

रिडेमिस्टर चाल III के बराबर है। इन्हें नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

Property of the Weights: Reidemeister Move I

Inversion Relation of the Weights: Reidemeister Move II

Star-triangle relation: Reidemeister Move III

इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स मॉडल का वजन

यह भी देखें

• जेडएन मॉडल