स्पिन निरूपण: Difference between revisions

Revision as of 23:14, 30 November 2023

गणित में, स्पिन निरूपण आर्बिटरी आयाम और हस्ताक्षर (अर्थात, अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या विशेष ऑर्थोगोनल समूह के विशेष प्रक्षेपी निरूपण हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, वह स्पिन समूह के लाई समूह के दो समकक्ष निरूपण हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के दोहरा आवरण समूह हैं। इनका अध्ययन सामान्यतः वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओं पर किया जाता है, किन्तु इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

स्पिन निरूपण के घटको को स्पिनर कहा जाता है। वह इलेक्ट्रॉन जैसे फरमिओन्स के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

स्पिन निरूपण का निर्माण विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, किन्तु सामान्यतः निर्माण में समूह के सदिश निरूपण में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-समष्टि का विकल्प सम्मिलित होता है (संभवतः केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त, इसके लिए सामान्यतः सदिश निरूपण के सम्मिश्रता का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले सम्मिश्र संख्याओं पर स्पिन निरूपण को परिभाषित करना और वास्तविक संरचनाओं को प्रस्तुत करके वास्तविक निरूपण प्राप्त करना सुविधाजनक है।

स्पिन निरूपण के गुण, सूक्ष्म विधि से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन निरूपण अधिकांशतः अपरिवर्तनीय (गणित) द्विरेखीय रूप को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को क्लासिकल लाई समूह में m्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, यह m्बेडिंग विशेषण होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के मध्य विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।

सेट-अप

मान लीजिए कि $V$ एक परिमित आयामी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका गैर अपक्षयी द्विघात रूप $Q$ है। इस प्रकार $Q$ को संरक्षित करने वाले (वास्तविक या सम्मिश्र) रैखिक मानचित्र ओर्थोगोनल समूह $O(V, Q)$ बनाते हैं। समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह $SO(V, Q)$ कहा जाता है। (अनिश्चित द्विघात रूप के साथ $V$ वास्तविक के लिए, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को सामान्यतः इस स्थिति में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, $SO(V, Q)$ में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ है स्पिन समूह $Spin(V, Q)$ को दोहरा आवरण करें। इस प्रकार एक समूह समरूपता $h : Spin(V, Q) \to SO(V, Q)$ है जिसके कर्नेल में दो घटक ${1, -1}$ दर्शाए गए हैं, जहां $1$ पहचान घटक है। इस प्रकार, $Spin(V, Q)$ के समूह घटक $g$ और $-g$ , $SO(V, Q)$ की समरूपता के पश्चात् समतुल्य हैं; अर्थात, $Spin(V, Q)$ में किसी भी $g$ के लिए $h (g) = h (-g)$ उपयोग किया जाता है।

समूह $O(V, Q), SO(V, Q)$ और $Spin(V, Q)$ सभी लाई समूह हैं और निश्चित $(V, Q)$ के लिए उनके निकट समान लाई बीजगणित है, इसलिए $so (V, Q)$ यदि $V$ वास्तविक है तो $V$ इसकी सम्मिश्रता $V C = V \otimes R C$ का एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि है और द्विघात रूप $Q$ स्वाभाविक रूप से $V C$ पर द्विघात रूप $Q C$ तक विस्तारित होता है। यह $SO(V, Q)$ को $SO(V C, Q C)$ के उपसमूह के रूप में m्बेड करता है और इसलिए हम $Spin(V, Q)$ को $Spin(V C, Q C)$ के उपसमूह के रूप में अनुभव कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त $so (V C, Q C)$ $so (V, Q)$ का सम्मिश्रता है।

सम्मिश्र स्थिति में द्विघात रूपों को $V$ के आयाम $n$ द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सामान्यतः, हम $V = C n$ मान सकते हैं और

Q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.

संबंधित लाई समूहों $O(n, C), SO(n, C), Spin(n, C)$ और उनके लाई बीजगणित $so (n, C)$ के रूप में दर्शाया गया है .

वास्तविक स्थिति में द्विघात रूपों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $(p, q)$ की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां $n = p + q$ $V$ का आयाम है और $p - q$ हस्ताक्षर है। सामान्यतः, हम $V = R n$ और मान सकते हैं

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).

संगत लाई समूह और लाई बीजगणित को $O(p, q), SO(p, q), Spin(p, q)$ और $so (p, q)$ से दर्शाया जाता है। हम हस्ताक्षर को स्पष्ट करने के लिए $R n$ के समष्टि पर $R p, q$ लिखते हैं।

स्पिन निरूपण एक अर्थ में $Spin(n, C)$ और $Spin(p, q)$ का सबसे सरल निरूपण है जो $SO(n, C)$ और $SO(p, q)$ के निरूपण से नहीं आता है। एक स्पिन निरूपण, इसलिए, एक वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि $S$ है, जिसमें $Spin(n, C)$ या $Spin(p, q)$ से सामान्य रैखिक समूह $GL(S)$ तक एक समूह समरूपता $ρ$ सम्मिलित है, जैसे कि घटक $-1$ नहीं है

यदि $S$ एक ऐसा निरूपण है तो लाई समूहों और लाई बीजगणित के मध्य संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित निरूपण को प्रेरित करता है अर्थात $so (n, C)$ या $so (p, q)$ से लाई बीजगणित $gl (S)$ तक एक लाई बीजगणित समरूपता कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ $S$ के एंडोमोर्फिज्म का उपयोग किया जाता है।

स्पिन निरूपण का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है यदि $S$ $Spin(p, q)$ का एक वास्तविक स्पिन निरूपण है तो इसका सम्मिश्रता $Spin(p, q)$ का एक सम्मिश्र स्पिन निरूपण है जो $so (p, q)$ के निरूपण के रूप में है। इसलिए $so (n, C)$ के सम्मिश्र निरूपण तक विस्तारित है। इसलिए विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए हम पहले $Spin(n, C)$ और $so (n, C)$ के सम्मिश्र स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं, फिर उन्हें $so (p, q)$ और $Spin(p, q)$ के सम्मिश्र स्पिन निरूपण तक सीमित करते हैं, फिर अंत में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं।

सम्मिश्र स्पिन निरूपण

मान लीजिए कि मानक द्विघात रूप $Q$ के साथ $V = C n$ है

{\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).

ध्रुवीकरण द्वारा $Q$ से जुड़े $V$ पर सममित द्विरेखीय रूप को $⟨.,.⟩$ दर्शाया जाता है।

आइसोट्रोपिक उपसमष्टि और मूल प्रक्रिया सिस्टम

$so (n, C)$ के स्पिन निरूपण का एक मानक निर्माण $W \cap W * = 0$ के साथ $V$ के अधिकतम पूर्णतया आइसोट्रोपिक उप-समष्टि ( $Q$ के संबंध में) की एक जोड़ी $(W, W *)$ की पसंद से प्रारंभ होता है। आइए हम ऐसा चयन करे. यदि $n = 2 m$ या $n = 2 m + 1$ , तो $W$ और $W *$ दोनों का आयाम $m$ है। यदि $n = 2 m$ , तो $V = W \oplus W *$ , जबकि यदि $n = 2 m + 1$ , तो $V = W \oplus U \oplus W *$ , जहां $U$ , $W \oplus W *$ का 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है। $Q$ से जुड़ा द्विरेखीय रूप $⟨.,.⟩$ $W$ और $W *$ के मध्य एक युग्मन उत्पन्न करता है, जो अविघटित होना चाहिए क्योंकि $W$ और $W *$ पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उपसमष्टि हैं और $Q$ अविघटित है। इसलिए $W$ और $W *$ दोहरे सदिश समष्टि हैं।

अधिक स्पष्ट रूप से मान लीजिए कि $a 1, \dots a m$ , $W$ के लिए एक आधार है। फिर $W *$ का एक अद्वितीय आधार $α 1, ... α m$ है, जैसे कि

\langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.

यदि $A$ एक $m \times m$ आव्यूह है तो $A$ इस आधार के संबंध में $W$ के एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और $A T$ का समष्टिांतरण $W *$ के परिवर्तन को प्रेरित करता है

\langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle

$W$ में सभी $w$ और $w *$ में $W *$ के लिए। यह इस प्रकार है कि $V$ का एंडोमोर्फिज्म $ρ A$ , $W$ पर $A$ के बराबर, W∗ पर $- A T$ और $U$ पर शून्य (यदि $n$ विषम है) विषम है

\langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle

सभी $u, v$ में $V$ के लिए, और इसलिए (मौलिक समूह देखें) $so (n, C) \subset End(V)$ का एक घटक है

इस निर्माण में विकर्ण आव्यूहों का उपयोग करके $so (n, C)$ के कार्टन उपबीजगणित $h$ को परिभाषित किया जाता है, $so (n, C)$ की रैंक $m$ है और विकर्ण $n \times n$ आव्यूह एक $m$ -आयामी एबेलियन उपबीजगणित निर्धारित करते हैं।

मान लीजिए $ε 1, \dots ε m$ $h *$ का आधार है, जैसे कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स $A$ के लिए $A, ε k (ρ A)$ की $k$ वीं विकर्ण प्रविष्टि है। स्पष्ट रूप से यह $h *$ के लिए एक आधार है क्योंकि द्विरेखीय रूप $so (n, C)$ की पहचान करता है स्पष्ट रूप से $\wedge ^{2}V$ के साथ है

x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=2(\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y),\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),

^[1]

अब $h$ से संबंधित मूल प्रक्रिया का निर्माण करना आसान है। मूल समष्टि ( $h$ की क्रिया के लिए एक साथ इगेनस्पेस) निम्नलिखित घटकों द्वारा विस्तृत हैं:

a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,

मूल प्रक्रिया के साथ (एक साथ इगेनवैल्यू)

\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}

a_{i}\wedge \alpha _{j}

(जो

h

में है यदि

i = j)

) मूल प्रक्रिया

\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}

के साथ

\alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,

मूल प्रक्रिया के साथ

-\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j},

और यदि $n$ अद्वितीय है, और $u$ का अशून्य घटक $U$ है ,

a_{i}\wedge u,

मूल प्रक्रिया के साथ

\varepsilon _{i}

\alpha _{i}\wedge u,

मूल प्रक्रिया के साथ

-\varepsilon _{i}.

इस प्रकार, आधार के संबंध में $ε 1, \dots ε m$ , मूल प्रक्रियाें सदिश $h *$ हैं जो कि क्रमपरिवर्तन हैं

(\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)

के क्रमपरिवर्तन के साथ

(\pm 1,0,0,\dots ,0)

यदि $n = 2 m + 1$ अद्वितीय है।

धनात्मक मूल प्रक्रिया की एक प्रणाली $ε i + ε j (i \neq j), ε i - ε j (i < j)$ और ( $n$ विषम के लिए) $ε i$ द्वारा दी गई है। संबंधित सरल मूल प्रक्रिया हैं

\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.

धनात्मक मूल प्रक्रियाें सरल मूल प्रक्रियाों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं।

स्पिन निरूपण और उनका भार

$so (n, C)$ के स्पिन निरूपण का एक निर्माण बाहरी बीजगणित का उपयोग करता है

S=\wedge ^{\bullet }W

और/या

S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.

$S$ पर $V$ की एक क्रिया इस प्रकार है कि $W \oplus W *$ में किसी भी घटक $v = w + w *$ और $S$ में किसी भी $ψ$ के लिए क्रिया इस प्रकार दी गई है:

v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),

जहां दूसरा पद एक संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो $W$ और $W *$ को जोड़ता है। यह क्रिया क्लिफोर्ड संबंधों $v 2 = Q (v) 1$ का सम्मान करती है और इसलिए $V$ के क्लिफोर्ड बीजगणित $Cl n C$ से $End(S)$ तक एक समरूपता उत्पन्न करती है। एक समान क्रिया को $S'$ पर परिभाषित किया जा सकता है ताकि $S$ और $S'$ ' दोनों क्लिफोर्ड मॉड्यूल हों।

ली बीजगणित $so (n, C)$ $Spin(n) \to SO(n)$ को आवरण करने से प्रेरित मैपिंग $spin n C$ के माध्यम से $Cl n C$ में सम्मिश्र ली बीजगणित स्पिनसी के लिए आइसोमोर्फिक है।^[2]

v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $S$ और $S'$ दोनों $so (n, C)$ का प्रतिनिधित्व करते हैं। वह वास्तव में समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, इसलिए हम $S$ पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

स्पष्ट विवरण से पता चलता है कि कार्टन उपबीजगणित के घटक $α i \land a i$ $h$ द्वारा $S$ पर कार्य करते हैं

(\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).

$S$ के लिए आधार रूप के घटको द्वारा दिया गया है

a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}

$0 \leq k \leq m$ और $i 1 < ... < i k$ के लिए ये स्पष्ट रूप से $h$ $α i \land a i$ की क्रिया के लिए भार रिक्त समष्टि का विस्तार करते हैं, दिए गए आधार सदिश पर इगेनवैल्यू - $1/2$ है यदि $i = i j$ कुछ $j$ के लिए है और इगेनवैल्यू $1/2$ है

यह इस प्रकार है कि भार ( निरूपण सिद्धांत) का $S$ के सभी संभावित संयोजन हैं

{\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}

और प्रत्येक भार समष्टि ( निरूपण सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक $S$ डिराक स्पिनर कहलाते हैं।

जब $n$ सम है, तो $S$ एक अप्रासंगिक निरूपण नहीं है इस प्रकार $S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W$ और $S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W$ अपरिवर्तनीय उप-समष्टि हैं। भार को सम संख्या में ऋण चिह्न वाले और विषम संख्या में ऋण चिह्न वाले में विभाजित किया जाता है। S+ और S− दोनों आयाम 2m−1 के अपरिवर्तनीय निरूपण हैं जिनके घटकों को वेइल स्पिनर कहा जाता है। उन्हें चिरल स्पिन निरूपण या अर्ध-स्पिन निरूपण के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त धनात्मक मूल प्रणाली के संबंध में, S+ और S− का भार सबसे अधिक है

{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}

और

{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}

क्रमशः क्लिफ़ोर्ड क्रिया Cl_nC को End(S) के साथ पहचानती है और सम उपबीजगणित को S₊ और S₋ को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म के साथ पहचाना जाता है। इस स्थिति में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपी है।

जब n विषम है, तो S आयाम 2^m के so(n,C) का एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है, एक इकाई सदिश u ∈ U की क्लिफोर्ड क्रिया द्वारा दी गई है

u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.

और इसलिए u∧w या u∧w∗ रूप के so(n,C) के घटक W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित नहीं करते हैं। इस प्रकार S का उच्चतम भार है

{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.

क्लिफोर्ड की कार्रवाई S पर विश्वसनीय नहीं है Cl_nC को End(S) ⊕ End(S′) के साथ पहचाना जा सकता है, जहां u S ′ पर विपरीत चिह्न के साथ कार्य करता है। अधिक स्पष्ट रूप से दोनों निरूपण Cl_nC (जिसे प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है) के समता समावेशन α से संबंधित हैं, जो कि सम उपबीजगणित पर पहचान है और Cl_nC के विषम भाग पर पहचान घटा है। दूसरे शब्दों में, S से S' तक एक रैखिक समरूपता है, जो S' पर Cl_nC में A की क्रिया को S' पर α(A) की क्रिया से पहचानती है।

द्विरेखीय रूप

यदि λ, S का भार है, तो −λ भी है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि S दोहरे निरूपण S का समरूपी है^∗.

जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S^∗ शूर के लेम्मा द्वारा स्केल तक अद्वितीय है, क्योंकि S अपरिवर्तनीय है, और यह S के माध्यम से गैर-अपरिवर्तनीय अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म β को परिभाषित करता है

\beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).

यहाँ अपरिवर्तनशीलता का अर्थ यह है

\beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0

so(n,C) में सभी ξ और S में φ ψ के लिए - दूसरे शब्दों में ξ की क्रिया β के संबंध में विषम है। वास्तव में अधिक सही है S∗ विपरीत क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व करता है और इसलिए चूंकि Cl_nC में केवल दो गैर-सामान्य सरल मॉड्यूल S और S ′ हैं, जो समता इन्वॉल्यूशन α से संबंधित हैं, Cl_nC का एक एंटीऑटोमोर्फिज्म τ है जैसे कि

\quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)

वास्तव में सीएलएनसी में किसी भी A के लिए τ m सम के लिए प्रत्यावर्तन (V पर पहचान से प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है और m विषम के लिए संयुग्मन (V पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है। यह दो एंटीऑटोमोर्फिज्म समता इनवोलुशन α से संबंधित हैं, जो कि V पर पहचान को घटाकर प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों so(n,C) में ξ के लिए τ(ξ) = −ξ को संतुष्ट करते हैं।

जब n = 2m, स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से m की समता पर निर्भर करती है। m के लिए भी एक भार λ में ऋण चिह्नों की एक समान संख्या होती है यदि और केवल यदि −λ तो यह इस प्रकार है कि भिन्न-भिन्न समरूपताएँ हैं B_±: S_± → S_±^∗ प्रत्येक अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व के साथ इसके दोहरे प्रत्येक को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। इन्हें एक समरूपता B: S → S∗ में जोड़ा जा सकता है। m विषम के लिए, λ S+ का भार है यदि और केवल यदि −λ S− का भार है तो इस प्रकार S₊ से S₋^∗ तक एक समरूपता होती है जो फिर से मापदंड तक अद्वितीय होती है, और इसका स्थानान्तरण S₋ से S₊^∗ तक एक समरूपता प्रदान करता है ∗ इन्हें फिर से एक समरूपता B: S → S∗ में जोड़ा जा सकता है।

m सम और m विषम दोनों के लिए, B की पसंद में स्वतंत्रता को इस तथ्य पर बल देकर समग्र मापदंड तक सीमित किया जा सकता है कि B के अनुरूप बिलिनियर फॉर्म β संतुष्ट करता है , जहां τ निश्चित एंटीऑटोमोर्फिज्म (या तो प्रत्यावर्तन या संयुग्मन) है।

समरूपता और टेंसर वर्ग

β: S ⊗ S → 'C' के समरूपता गुण क्लिफोर्ड बीजगणित या निरूपण सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकते हैं। वास्तव में और भी बहुत कुछ कहा जा सकता है: टेंसर वर्ग S ⊗ S को विभिन्न k के लिए V पर k-रूपों के प्रत्यक्ष योग में विघटित होना चाहिए, क्योंकि इसके भार 'h' में सभी घटक हैं^∗ जिसके घटक {−1,0,1} से संबंधित हैं। अब समतुल्य रैखिक मानचित्र S ⊗ S → ∧^कV^∗ अपरिवर्तनीय मानचित्रों से विशेष रूप से मेल खाता है ∧^kV ⊗ S ⊗ S → 'C' और गैर-शून्य ऐसे मानचित्रों का निर्माण ∧ को सम्मिलित करके किया जा सकता है^{क्लिफ़र्ड बीजगणित में k}V। इसके अतिरिक्त, यदि β(φ,ψ) = ε β(ψ,φ) और τ का चिन्ह ε है_k पर ∧^कV तो

\beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )

∧ में A के लिए^कV.

यदि n = 2m+1 विषम है तो यह शूर के लेम्मा से अनुसरण करता है

S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}

(दोनों पक्षों का आयाम 2 है^2mऔर दाईं ओर का निरूपण असमान है)। क्योंकि समरूपता इनवोल्यूशन τ द्वारा शासित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧ की समरूपता²V^∗घटक j के साथ वैकल्पिक होता है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है

\sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)

और चिह्न यह निर्धारित करता है कि S में कौन से निरूपण होते हैं²S और जो ∧ में होता है²S.^[3] विशेष रूप से

\beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),

और

\beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )

v ∈ V के लिए (जो ∧ का समरूपी है^2mV), पुष्टि करता है कि τ, m सम के लिए प्रत्यावर्तन है, और m विषम के लिए संयुग्मन है।

यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक सम्मिलित है, किन्तु परिणाम अधिक परिष्कृत अपघटन है: S²S_±, ∧²S_± और S₊ ⊗ S₋ क्या प्रत्येक को k-रूपों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (जहाँ k = m के लिए स्वद्वैत और प्रतिस्वद्वैत m-रूपों में और अपघटन होता है)।

मुख्य परिणाम निम्न तालिका के अनुसार, n मॉड्यूलो 8 के आधार पर, S पर मौलिक लाई बीजगणित के उपबीजगणित के रूप में 'so'(n,'C') की प्राप्ति है:

n mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Spinor algebra	${\mathfrak {so}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {so}}(S_{-})$	${\mathfrak {so}}(S)$	${\mathfrak {gl}}(S_{\pm })$	${\mathfrak {sp}}(S)$	${\mathfrak {sp}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {sp}}(S_{-})$	${\mathfrak {sp}}(S)$	${\mathfrak {gl}}(S_{\pm })$	${\mathfrak {so}}(S)$

n ≤ 6 के लिए, ये m्बेडिंग समरूपताएं हैं (n = 6 के लिए 'gl' के बजाय 'sl' पर):

{\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )

{\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))

{\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )

{\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )

{\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).

वास्तविक निरूपण

so(n,C) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण क्रिया को वास्तविक उपबीजगणित तक सीमित करके so(p,q) के वास्तविक निरूपण S उत्पन्न करते हैं। हालाँकि, अतिरिक्त वास्तविकता संरचनाएँ हैं जो वास्तविक लाई बीजगणित की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय हैं। ये तीन प्रकार में आते हैं.

अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र r है: S → S r के साथ²=आईडी_S. r का निश्चित बिंदु सेट तब वास्तविक सदिश उपसमष्टि S होता है_R S के साथ S का_R ⊗ सी = S। इसे वास्तविक संरचना कहा जाता है।
अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र j है: S → S j के साथ² = −id_S. यह इस प्रकार है कि त्रिक i, j और k:=ij S को चतुर्धातुक सदिश समष्टि S बनाते हैं_H. इसे चतुर्धातुक संरचना कहा जाता है।
अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र B है: S → S^∗यह उलटा है। यह S पर छद्महर्मिटियन बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है और इसे 'हर्मिटियन संरचना' कहा जाता है।

'so'(p,q) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय संरचना का प्रकार केवल हस्ताक्षर p - q modulo 8 पर निर्भर करता है, और निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है।

p−q mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
Structure	R + R	R	C	H	H + H	H	C	R

यहां आर, सी और एच क्रमशः वास्तविक, हर्मिटियन और चतुर्धातुक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और आर + आर और एच + एच इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन निरूपण दोनों क्रमशः वास्तविक या चतुर्धातुक संरचनाओं को स्वीकार करते हैं।

विवरण और तालिकाएँ

वास्तविक निरूपण के विवरण को पूरा करने के लिए, हमें यह वर्णन करना होगा कि ये संरचनाएं अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के साथ कैसे तथ्यचीत करती हैं। चूँकि n = p + q ≅ p - q mod 2, दो स्थिति हैं: आयाम और हस्ताक्षर दोनों सम हैं, और आयाम और हस्ताक्षर दोनों विषम हैं।

अद्वितीय मामला सरल है, केवल सम्मिश्र स्पिन निरूपण S है, और हर्मिटियन संरचनाएं नहीं होती हैं। सामान्य स्थिति n = 1 के अतिरिक्त, S हमेशा सम-आयामी होता है, मान लीजिए dim S = 2N। 'so'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'so'(K,L) हैं, K + L = 2N और 'so' के साथ^∗(N,'H'), जबकि 'sp'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'sp'(2N,'R') और K के साथ 'sp'(K,L) हैं + एल = एन। S पर V की क्लिफोर्ड कार्रवाई की उपस्थिति दोनों मामलों में के = एल को मजबूर करती है जब तक कि पीक्यू = 0 नहीं, उस स्थिति में केएल = 0, जिसे बस 'तो' (2 एन) या 'Sपी' (एन) द्वारा दर्शाया जाता है ). इसलिए विषम स्पिन निरूपण को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है।

	n mod 8	1, 7	3, 5
p−q mod 8		so(2N,C)	sp(2N,C)
1, 7	R	so(N,N) or so(2N)	sp(2N,R)
3, 5	H	so^∗(N,H)	sp(N/2,N/2)^† or sp(N)

(†) $N$ के लिए भी है $n > 3$ और के लिए $n = 3$ , यह है $sp (1)$ .

सम-आयामी मामला समान है। के लिए $n > 2$ , सम्मिश्र अर्ध-स्पिन निरूपण सम-आयामी हैं। हमें अतिरिक्त रूप से हर्मिटियन संरचनाओं और वास्तविक रूपों से निपटना होगा $sl (2 N, C)$ , जो हैं $sl (2 N, R)$ , $su (K, L)$ साथ $K + L = 2 N$ , और $sl (N, H)$ . परिणामी सम स्पिन निरूपण को निम्नानुसार संक्षेपित किया गया है।

	n mod 8	0	2, 6	4
p-q mod 8		so(2N,C)+so(2N,C)	sl(2N,C)	sp(2N,C)+sp(2N,C)
0	R+R	so(N,N)+so(N,N)^∗	sl(2N,R)	sp(2N,R)+sp(2N,R)
2, 6	C	so(2N,C)	su(N,N)	sp(2N,C)
4	H+H	so^∗(N,H)+so^∗(N,H)	sl(N,H)	sp(N/2,N/2)+sp(N/2,N/2)^†

(*) के लिए $pq = 0$ , हमारे निकट इसके बजाय है $so (2 N) + so (2 N)$

(†) $N$ के लिए भी है $n > 4$ और के लिए $pq = 0$ (जो भी सम्मिलित है $n = 4$ साथ $N = 1$ ), इसके बजाय हमारे निकट है $sp (N) + sp (N)$

सम्मिश्र स्थिति में निम्न-आयामी समरूपता के निम्नलिखित वास्तविक रूप हैं।

Euclidean signature	Minkowskian signature	Other signatures
${\mathfrak {so}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)$	${\mathfrak {so}}(1,1)\cong \mathbb {R}$
${\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {sp}}(1)$	${\mathfrak {so}}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {sp}}(1)\oplus {\mathfrak {sp}}(1)$	${\mathfrak {so}}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$	${\mathfrak {so}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(5)\cong {\mathfrak {sp}}(2)$	${\mathfrak {so}}(4,1)\cong {\mathfrak {sp}}(1,1)$	${\mathfrak {so}}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )$
${\mathfrak {so}}(6)\cong {\mathfrak {su}}(4)$	${\mathfrak {so}}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {H} )$	${\mathfrak {so}}(4,2)\cong {\mathfrak {su}}(2,2)$	${\mathfrak {so}}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )$

वास्तविक लाई बीजगणित की एकमात्र विशेष समरूपताएँ इस तालिका से गायब हैं ${\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)$ और ${\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).$

↑ Fulton & Harris 1991 Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction.
↑ since if $\alpha :q\to (v\to q.v.q^{-1})$ is the covering, then $d\alpha :q\to (v\to q.v-v.q)$ , so $d\alpha (v.w)=2\varphi _{v,w}$ and since $v.w+w.v$ is a scalar, we get $d\alpha (1/4[v,w])=\varphi _{v,w}$
↑ This sign can also be determined from the observation that if φ is a highest weight vector for S then φ⊗φ is a highest weight vector for ∧^mV ≅ ∧^m+1V, so this summand must occur in S²S.

संदर्भ

Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935), "Spinors in n dimensions", American Journal of Mathematics, American Journal of Mathematics, Vol. 57, No. 2, 57 (2): 425–449, doi:10.2307/2371218, JSTOR 2371218.
Cartan, Élie (1966), The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9.
Chevalley, Claude (1954), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9.
Deligne, Pierre (1999), "Notes on spinors", in P. Deligne; P. Etingof; D. S. Freed; L. C. Jeffrey; D. Kazhdan; J. W. Morgan; D. R. Morrison; E. Witten (eds.), Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians, Providence: American Mathematical Society, pp. 99–135. See also the programme website for a preliminary version.
Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, vol. 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97495-4, MR 1153249.
Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0.
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nd ed.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN 978-0-691-05756-9.

[1] Fulton & Harris 1991 Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction.

[2] since if $\alpha :q\to (v\to q.v.q^{-1})$ is the covering, then $d\alpha :q\to (v\to q.v-v.q)$ , so $d\alpha (v.w)=2\varphi _{v,w}$ and since $v.w+w.v$ is a scalar, we get $d\alpha (1/4[v,w])=\varphi _{v,w}$

[3] This sign can also be determined from the observation that if φ is a highest weight vector for S then φ⊗φ is a highest weight vector for ∧^mV ≅ ∧^m+1V, so this summand must occur in S²S.

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 {{Short description|Particular projective representations of the orthogonal or special orthogonal groups}}
-गणित में, स्पिन अभ्यावेदन मनमाने [[आयाम]] और [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (यानी, अनिश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]]ों सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]]ों के विशेष प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व हैं। अधिक सटीक रूप से, वे [[स्पिन समूह]]ों के लाई समूह के दो समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के डबल कवरिंग समूह हैं। इनका अध्ययन आमतौर पर [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]ओं पर किया जाता है, लेकिन इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।
+गणित में, स्पिन  निरूपण  आर्बिटरी [[आयाम]] और [[मीट्रिक हस्ताक्षर|हस्ताक्षर]] (अर्थात, अनिश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]] सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]] के विशेष प्रक्षेपी  निरूपण हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, वह [[स्पिन समूह]] के लाई समूह के दो समकक्ष  निरूपण हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के दोहरा आवरण समूह हैं। इनका अध्ययन सामान्यतः [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं पर किया जाता है, किन्तु इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।
-स्पिन प्रतिनिधित्व के तत्वों को [[स्पिनर]] कहा जाता है। वे [[इलेक्ट्रॉन]] जैसे [[फरमिओन्स]] के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
+स्पिन  निरूपण के घटको को [[स्पिनर]] कहा जाता है। वह [[इलेक्ट्रॉन]] जैसे [[फरमिओन्स]] के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
-स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर निर्माण में समूह के वेक्टर प्रतिनिधित्व में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-स्थान का विकल्प शामिल होता है (शायद केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के मुकाबले, इसके लिए आमतौर पर वेक्टर प्रतिनिधित्व के जटिलीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले जटिल संख्याओं पर स्पिन प्रतिनिधित्व को परिभाषित करना और [[वास्तविक संरचना]]ओं को पेश करके [[वास्तविक प्रतिनिधित्व]] प्राप्त करना सुविधाजनक है।
+स्पिन  निरूपण का निर्माण विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, किन्तु सामान्यतः निर्माण में समूह के सदिश  निरूपण में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-समष्टि का विकल्प सम्मिलित होता है (संभवतः केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त, इसके लिए सामान्यतः सदिश  निरूपण के सम्मिश्रता का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले सम्मिश्र संख्याओं पर स्पिन  निरूपण को परिभाषित करना और [[वास्तविक संरचना]]ओं को प्रस्तुत करके [[वास्तविक प्रतिनिधित्व|वास्तविक]]  निरूपण प्राप्त करना सुविधाजनक है।
-स्पिन प्रतिनिधित्व के गुण, सूक्ष्म तरीके से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन प्रतिनिधित्व अक्सर [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] [[द्विरेखीय रूप]]ों को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को [[शास्त्रीय झूठ समूह]]ों में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, ये [[एम्बेडिंग]] [[विशेषण]]ात्मक होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के बीच विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।
+स्पिन  निरूपण के गुण, सूक्ष्म विधि से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन  निरूपण अधिकांशतः [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] [[द्विरेखीय रूप]] को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को [[शास्त्रीय झूठ समूह|क्लासिकल लाई समूह]] में m्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, यह [[एम्बेडिंग|m्बेडिंग]] [[विशेषण]] होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के मध्य विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।
 ==सेट-अप==
-होने देना {{math|''V''}} [[आयाम ([[सदिश स्थल]])]] बनें|परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान गैर-अपक्षयी रूप [[द्विघात रूप]] के साथ {{math|''Q''}}. (वास्तविक या जटिल) रैखिक मानचित्रों का संरक्षण {{math|''Q''}} ऑर्थोगोनल समूह बनाएं {{math|O(''V'', ''Q'')}}. समूह के [[पहचान घटक]] को विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है {{math|SO(''V'', ''Q'')}}. (के लिए {{math|''V''}} अनिश्चित द्विघात रूप के साथ वास्तविक, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को आमतौर पर इस मामले में दो घटकों के साथ उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) [[समूह समरूपता]] तक, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} में अद्वितीय [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] डबल कवरिंग ग्रुप, स्पिन ग्रुप है {{math|Spin(''V'', ''Q'')}}. इस प्रकार [[समूह समरूपता]] है {{math|''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')}} जिसके [[कर्नेल (समूह सिद्धांत)]] में दो तत्व दर्शाए गए हैं {{math|<nowiki>{1, −1}</nowiki>}}, कहाँ {{math|1}} [[पहचान तत्व]] है. इस प्रकार, समूह तत्व {{math|''g''}} और {{math|''−g''}} का {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} समरूपता के बाद समतुल्य हैं {{math|SO(''V'', ''Q'')}}; वह है, {{math|1=''h''(''g'') = ''h''(''−g'')}} किसी के लिए {{math|''g''}} में {{math|Spin(''V'', ''Q'')}}.
+मान लीजिए कि {{math|''V''}} एक परिमित आयामी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका गैर अपक्षयी द्विघात रूप {{math|''Q''}} है। इस प्रकार {{math|''Q''}} को संरक्षित करने वाले (वास्तविक या सम्मिश्र) रैखिक मानचित्र ओर्थोगोनल समूह {{math|O(''V'', ''Q'')}} बनाते हैं। समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} कहा जाता है। (अनिश्चित द्विघात रूप के साथ {{math|''V''}} वास्तविक के लिए, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को सामान्यतः इस स्थिति में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ है स्पिन समूह {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को दोहरा आवरण करें। इस प्रकार एक समूह समरूपता {{math|''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')}} है  जिसके कर्नेल में दो घटक {{math|<nowiki>{1, −1}</nowiki>}} दर्शाए गए हैं, जहां {{math|1}} पहचान घटक है। इस प्रकार, {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} के समूह घटक {{math|''g''}} और {{math|''−g''}}, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} की समरूपता के पश्चात् समतुल्य हैं; अर्थात, {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} में किसी भी {{math|''g''}} के लिए {{math|1=''h''(''g'') = ''h''(''−g'')}} उपयोग किया जाता है।
-समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी [[झूठ समूह]] हैं, और निश्चित के लिए {{math|(''V'', ''Q'')}} उनके पास समान बीजगणित है, {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}}. अगर {{math|''V''}} तो फिर असली है {{math|''V''}} इसकी [[जटिलता]] का वास्तविक वेक्टर उपस्थान है {{math|''V''<sub>'''C'''</sub> {{=}} ''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}}, और द्विघात रूप {{math|''Q''}} स्वाभाविक रूप से द्विघात रूप तक विस्तारित होता है {{math|''Q''<sub>'''C'''</sub>}} पर {{math|''V''<sub>'''C'''</sub>}}. यह एम्बेड करता है {{math|SO(''V'', ''Q'')}} के [[उपसमूह]] के रूप में {{math|SO(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}}, और इसलिए हमें एहसास हो सकता है {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} के उपसमूह के रूप में {{math|Spin(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}}. आगे, {{math|'''so'''(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} का जटिलीकरण है {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}}.
+समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी लाई समूह हैं और निश्चित {{math|(''V'', ''Q'')}} के लिए उनके निकट समान लाई बीजगणित है, इसलिए {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} यदि {{math|''V''}} वास्तविक है तो {{math|''V''}} इसकी सम्मिश्रता {{math|''V''<sub>'''C'''</sub> {{=}} ''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}} का एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि है और द्विघात रूप {{math|''Q''}} स्वाभाविक रूप से {{math|''V''<sub>'''C'''</sub>}} पर द्विघात रूप {{math|''Q''<sub>'''C'''</sub>}} तक विस्तारित होता है। यह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} को {{math|SO(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में m्बेड करता है और इसलिए हम {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को {{math|Spin(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में अनुभव कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त {{math|'''so'''(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} का सम्मिश्रता है।
-जटिल मामले में, द्विघात रूपों को आयाम द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है {{math|''n''}} का {{math|''V''}}. निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} और
+सम्मिश्र स्थिति में द्विघात रूपों को {{math|''V''}} के आयाम {{math|''n''}} द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} मान सकते हैं और
 :<math>Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.</math>
-संबंधित झूठ समूहों को दर्शाया गया है {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}} और उनके झूठ बीजगणित के रूप में {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}.
+संबंधित लाई समूहों {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}}   और उनके लाई बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के रूप में दर्शाया गया है .
-वास्तविक स्थिति में, द्विघात रूपों को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है {{math|(''p'', ''q'')}} कहाँ {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} का आयाम है {{math|''V''}}, और {{math|''p'' − ''q''}}सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम है। निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} और
+वास्तविक स्थिति में द्विघात रूपों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों {{math|(''p'', ''q'')}} की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} {{math|''V''}} का आयाम है और {{math|''p'' − ''q''}} हस्ताक्षर है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} और मान सकते हैं
 :<math>Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).</math>
-संबंधित लाई समूह और लाई बीजगणित को दर्शाया गया है {{math|O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')}} और {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}}. हम लिखते हैं {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} की जगह {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}हस्ताक्षर को स्पष्ट बनाने के लिए।
+संगत लाई समूह और लाई बीजगणित को  {{math|O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')}} और {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} से दर्शाया जाता है। हम हस्ताक्षर को स्पष्ट करने के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के समष्टि पर {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} लिखते हैं।
-स्पिन निरूपण, अर्थ में, झूठ समूहों का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} जो कि अभ्यावेदन से नहीं आते हैं {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|SO(''p'', ''q'')}}. इसलिए, स्पिन प्रतिनिधित्व वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है {{math|''S''}} समूह समरूपता के साथ {{math|''ρ''}} से {{math|Spin(''n'', '''C''')}} या {{math|Spin(''p'', ''q'')}} [[सामान्य रैखिक समूह]] के लिए {{math|GL(''S'')}} ऐसा कि तत्व {{math|−1}} के कर्नेल में नहीं है {{math|''ρ''}}.
+स्पिन निरूपण एक अर्थ में  {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का सबसे सरल निरूपण है जो  {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|SO(''p'', ''q'')}} के निरूपण से नहीं आता है। एक स्पिन निरूपण, इसलिए, एक वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि {{math|''S''}} है, जिसमें {{math|Spin(''n'', '''C''')}} या {{math|Spin(''p'', ''q'')}} से सामान्य रैखिक समूह {{math|GL(''S'')}} तक एक समूह समरूपता {{math|''ρ''}} सम्मिलित है, जैसे कि घटक {{math|−1}} नहीं है
-अगर {{math|''S''}} ऐसा प्रतिनिधित्व है, फिर लाई समूहों और लाई बीजगणित के बीच संबंध के अनुसार, यह लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व को प्रेरित करता है, यानी, लाई बीजगणित समरूपता {{math|'''so'''(''n'', ''C'')}} या {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} लाई बीजगणित के लिए {{math|'''gl'''(''S'')}}रेखीय मानचित्र#एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म का {{math|''S''}} कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत के साथ।
+यदि {{math|''S''}} एक ऐसा निरूपण है तो लाई समूहों और लाई बीजगणित के मध्य संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित निरूपण को प्रेरित करता है अर्थात {{math|'''so'''(''n'', ''C'')}} या {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} से लाई बीजगणित {{math|'''gl'''(''S'')}} तक एक लाई बीजगणित समरूपता कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ {{math|''S''}} के एंडोमोर्फिज्म का उपयोग किया जाता है।
-स्पिन अभ्यावेदन का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है: यदि {{math|''S''}} का वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''p'', ''q'')}}, तो इसका जटिलीकरण जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''p'', ''q'')}}; के प्रतिनिधित्व के रूप में {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}}, इसलिए इसका विस्तार जटिल प्रतिनिधित्व तक होता है {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}. विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए, हम पहले जटिल स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}, फिर उन्हें जटिल स्पिन अभ्यावेदन तक सीमित रखें {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}}, फिर अंततः वास्तविक स्पिन अभ्यावेदन में संभावित कटौती का विश्लेषण करें।
+स्पिन निरूपण का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है यदि {{math|''S''}} {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक वास्तविक स्पिन निरूपण है तो इसका सम्मिश्रता {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक सम्मिश्र स्पिन निरूपण है जो {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} के निरूपण के रूप में है। इसलिए {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र निरूपण तक विस्तारित है। इसलिए विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए हम पहले {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं, फिर उन्हें {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण तक सीमित करते हैं, फिर अंत में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं।
-==जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व==
+==सम्मिश्र स्पिन  निरूपण==
-होने देना {{math|1=''V'' = '''C'''<sup>''n''</sup>}} मानक द्विघात रूप के साथ {{math|''Q''}} ताकि
+मान लीजिए कि मानक द्विघात रूप {{math|''Q''}} के साथ {{math|1=''V'' = '''C'''<sup>''n''</sup>}} है
 :<math>\mathfrak{so}(V,Q) = \mathfrak{so}(n,\mathbb C).</math>
-[[सममित द्विरेखीय रूप]] पर {{math|''V''}} के लिए जुड़े {{math|''Q''}}ध्रुवीकरण पहचान द्वारा#सममित द्विरेखीय रूपों को दर्शाया जाता है {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}}.
+ध्रुवीकरण द्वारा {{math|''Q''}} से जुड़े {{math|''V''}} पर सममित द्विरेखीय रूप को {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} दर्शाया जाता है।
-===आइसोट्रोपिक उपस्थान और रूट सिस्टम===
+===आइसोट्रोपिक उपसमष्टि और मूल प्रक्रिया सिस्टम===
-के स्पिन अभ्यावेदन का मानक निर्माण {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}जोड़ी के चयन से शुरू होता है {{math|(''W'', ''W''<sup>∗</sup>)}}
+{{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक मानक निर्माण {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}} के साथ {{math|''V''}} के अधिकतम पूर्णतया आइसोट्रोपिक उप-समष्टि ({{math|''Q''}} के संबंध में) की एक जोड़ी {{math|(''W'', ''W''<sup>∗</sup>)}} की पसंद से प्रारंभ होता है। आइए हम ऐसा चयन करे. यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम {{math|''m''}} है। यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जहां {{math|''U''}}, {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} का 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है। {{math|''Q''}} से जुड़ा द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}}  {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के मध्य एक युग्मन उत्पन्न करता है, जो अविघटित होना चाहिए क्योंकि  {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उपसमष्टि हैं और {{math|''Q''}} अविघटित है। इसलिए  {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोहरे सदिश समष्टि हैं।
-अधिकतम [[आइसोट्रोपिक द्विघात रूप]]ों का (के संबंध में)। {{math|''Q''}}) का {{math|''V''}} साथ {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}}. आइए हम ऐसा चुनाव करें. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम है {{math|''m''}}. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, कहाँ {{math|''U''}} 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}. द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} के लिए जुड़े {{math|''Q''}} के बीच [[द्विरेखीय मानचित्र]] उत्पन्न करता है {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}}, जो अविक्षिप्त होना चाहिए, क्योंकि {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उप-स्थान हैं और {{math|''Q''}} अविकृत है। इस तरह {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोहरे सदिश स्थान हैं।
-अधिक ठोस रूप से, आइए {{math|''a''<sub>1</sub>, &hellip; ''a''<sub>''m''</sub>}} के लिए आधार बनें {{math|''W''}}. फिर अनोखा आधार है {{math|''&alpha;''<sub>1</sub>, ... ''&alpha;''<sub>''m''</sub>}} का {{math|''W''<sup>∗</sup>}} ऐसा है कि
+अधिक स्पष्ट रूप से मान लीजिए कि {{math|''a''<sub>1</sub>, &hellip; ''a''<sub>''m''</sub>}}, {{math|''W''}} के लिए एक आधार है। फिर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} का एक अद्वितीय आधार {{math|''&alpha;''<sub>1</sub>, ... ''&alpha;''<sub>''m''</sub>}} है, जैसे कि
 :<math> \langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}.</math>
-अगर {{math|''A''}} {{math|''m'' &times; ''m''}} मैट्रिक्स, फिर {{math|''A''}} की एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है {{math|''W''}} इस आधार और स्थानान्तरण के संबंध में {{math|''A''<sup>T</sup>}} के परिवर्तन को प्रेरित करता है {{math|''W''<sup>∗</sup>}} साथ
+यदि {{math|''A''}} एक {{math|''m'' &times; ''m''}} आव्यूह है तो {{math|''A''}} इस आधार के संबंध में {{math|''W''}} के एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और {{math|''A''<sup>T</sup>}} का समष्टिांतरण {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के परिवर्तन को प्रेरित करता है
 :<math> \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle</math>
-सभी के लिए {{math|''w''}} में {{math|''W''}} और {{math|''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W''<sup>∗</sup>}}. यह इस प्रकार है कि एंडोमोर्फिज्म {{math|''&rho;''<sub>''A''</sub>}} का {{math|''V''}}, के बराबर {{math|''A''}} पर {{math|''W''}}, {{math|&minus;''A''<sup>T</sup>}} पर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} और शून्य पर {{math|''U''}} (अगर {{math|''n''}} विषम है), तिरछा है,
+{{math|''W''}} में सभी {{math|''w''}} और  {{math|''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के लिए। यह इस प्रकार है कि {{math|''V''}} का एंडोमोर्फिज्म {{math|''&rho;''<sub>''A''</sub>}}, {{math|''W''}} पर {{math|''A''}} के बराबर, W∗ पर {{math|&minus;''A''<sup>T</sup>}} और {{math|''U''}} पर शून्य (यदि {{math|''n''}} विषम है) विषम है
 :<math> \langle  \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle</math>
-सभी के लिए {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}}, और इसलिए ([[शास्त्रीय समूह]] देखें) का तत्व {{math|'''so'''(''n'', '''C''') ⊂ End(''V'')}}.
+सभी {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}} के लिए, और इसलिए (मौलिक समूह देखें) {{math|'''so'''(''n'', '''C''') ⊂ End(''V'')}} का एक घटक है
+इस निर्माण में विकर्ण आव्यूहों का उपयोग करके {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के कार्टन उपबीजगणित {{math|'''h'''}} को परिभाषित किया जाता है, {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की रैंक {{math|''m''}} है और विकर्ण {{math|''n'' &times; ''n''}} आव्यूह एक {{math|''m''}}-आयामी एबेलियन उपबीजगणित निर्धारित करते हैं।
-इस निर्माण में विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग कार्टन उपबीजगणित को परिभाषित करता है {{math|'''h'''}} का {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}: के [[एक झूठ समूह की रैंक|झूठ समूह की रैंक]] {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} है {{math|''m''}}, और विकर्ण {{math|''n'' &times; ''n''}} मैट्रिक्स निर्धारित करते हैं {{math|''m''}}-आयामी एबेलियन उपबीजगणित।
+मान लीजिए {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}} {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} का आधार है, जैसे कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स {{math|''A''}} के लिए {{math|''A'', ''ε''<sub>''k''</sub>(''&rho;''<sub>''A''</sub>)}} की {{math|''k''}}वीं विकर्ण प्रविष्टि है। स्पष्ट रूप से यह {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} के लिए एक आधार है क्योंकि द्विरेखीय रूप {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की पहचान करता है स्पष्ट रूप से <math>\wedge^2 V</math> के साथ है
-होने देना {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}} का आधार बनें {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} ऐसा कि, विकर्ण मैट्रिक्स के लिए {{math|''A'', ''ε''<sub>''k''</sub>(''&rho;''<sub>''A''</sub>)}} है {{math|''k''}}वें विकर्ण प्रविष्टि {{math|''A''}}. स्पष्टतः यह आधार है {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}}. चूँकि द्विरेखीय रूप से पहचान होती है {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} साथ <math>\wedge^2 V</math>, स्पष्ट रूप से,
 :<math>x \wedge y \mapsto \varphi_{x \wedge y}, \quad \varphi_{x \wedge y}(v) = 2(\langle y, v\rangle x - \langle x, v\rangle y),\quad x \wedge y \in \wedge^2V,\quad x,y,v \in V, \quad \varphi_{x \wedge y} \in \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}),</math><ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991}} Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction.</ref>
-अब इससे संबंधित [[ मूल प्रक्रिया |मूल प्रक्रिया]] का निर्माण करना आसान है {{math|'''h'''}}. [[मूल स्थान]] (क्रिया के लिए साथ eigenspaces)। {{math|'''h'''}}) निम्नलिखित तत्वों द्वारा फैले हुए हैं:
+अब {{math|'''h'''}} से संबंधित [[ मूल प्रक्रिया |मूल प्रक्रिया]] का निर्माण करना आसान है। मूल समष्टि ({{math|'''h'''}} की क्रिया के लिए एक साथ इगेनस्पेस) निम्नलिखित घटकों द्वारा विस्तृत हैं:
-:<math> a_i\wedge a_j,\; i\neq j,</math> जड़ प्रणाली के साथ (एक साथ eigenvalue) <math>\varepsilon_i + \varepsilon_j</math>
+:<math> a_i\wedge a_j,\; i\neq j,</math> मूल प्रक्रिया के साथ (एक साथ इगेनवैल्यू) <math>\varepsilon_i + \varepsilon_j</math>
-:<math> a_i\wedge \alpha_j</math> (जो इसमें है {{math|'''h'''}} अगर {{math|''i'' {{=}} ''j'')}} जड़ के साथ <math> \varepsilon_i - \varepsilon_j</math>
+:<math> a_i\wedge \alpha_j</math> (जो {{math|'''h'''}} में है यदि {{math|''i'' {{=}} ''j'')}}) मूल प्रक्रिया <math> \varepsilon_i - \varepsilon_j</math> के साथ
-:<math> \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i - \varepsilon_j,</math>
+:<math> \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> -\varepsilon_i - \varepsilon_j,</math>
-और अगर {{math|''n''}} अजीब है, और {{math|''u''}} का अशून्य तत्व है {{math|''U''}},
+और यदि {{math|''n''}} अद्वितीय है, और {{math|''u''}} का अशून्य घटक {{math|''U''}} है ,
-:<math> a_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> \varepsilon_i </math>
+:<math> a_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> \varepsilon_i </math>
-:<math> \alpha_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i.</math>
+:<math> \alpha_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> -\varepsilon_i.</math>
-इस प्रकार, आधार के संबंध में {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}}, जड़ें सदिश हैं {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} जो कि क्रमपरिवर्तन हैं
+इस प्रकार, आधार के संबंध में {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}}, मूल प्रक्रियाें सदिश {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} हैं  जो कि क्रमपरिवर्तन हैं
 :<math>(\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math>
 के क्रमपरिवर्तन के साथ
 :<math>(\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math>
-अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}} अजीब है।
+यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}} अद्वितीय है।
-[[सकारात्मक जड़]]ों की प्रणाली दी गई है {{math|''ε''<sub>''i''</sub> + ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' ≠ ''j''), ''ε''<sub>''i''</sub> &minus; ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' < ''j'')}} और के लिए {{math|''n''}} विषम) {{math|''ε''<sub>''i''</sub>}}. संगत सरल जड़ (रूट सिस्टम) हैं
+धनात्मक [[सकारात्मक जड़|मूल प्रक्रिया]] की एक प्रणाली {{math|''ε''<sub>''i''</sub> + ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' ≠ ''j''), ''ε''<sub>''i''</sub> &minus; ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' < ''j'')}} और ({{math|''n''}} विषम के लिए) {{math|''ε''<sub>''i''</sub>}} द्वारा दी गई है। संबंधित सरल मूल प्रक्रिया हैं
 :<math>\varepsilon_1-\varepsilon_2, \varepsilon_2-\varepsilon_3, \ldots, \varepsilon_{m-1}-\varepsilon_m, \left\{\begin{matrix}
 \varepsilon_{m-1}+\varepsilon_m& n=2m\\
 \varepsilon_m & n=2m+1.
 \end{matrix}\right.</math>
-धनात्मक जड़ें सरल जड़ों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं।
+धनात्मक मूल प्रक्रियाें सरल मूल प्रक्रियाों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं।
-===स्पिन प्रतिनिधित्व और उनका वजन===
+===स्पिन  निरूपण और उनका भार===
-के स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} [[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग करता है
+{{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक निर्माण बाहरी बीजगणित का उपयोग करता है
 :<math>S=\wedge^\bullet W</math> और/या <math>S'=\wedge^\bullet W^*.</math>
-की क्रिया है {{math|''V''}} पर {{math|''S''}} ऐसा कि किसी भी तत्व के लिए {{math|1=''v'' = ''w'' + ''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} और कोई भी {{math|''&psi;''}} में {{math|''S''}} कार्रवाई इस प्रकार दी गई है:
+{{math|''S''}} पर {{math|''V''}} की एक क्रिया इस प्रकार है कि {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} में किसी भी घटक {{math|1=''v'' = ''w'' + ''w''<sup>∗</sup>}} और {{math|''S''}} में किसी भी {{math|''&psi;''}} के लिए क्रिया इस प्रकार दी गई है:
 :<math>  v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), </math>
-जहां दूसरा पद संकुचन ([[आंतरिक गुणन]]) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो जोड़े हैं {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}}. यह कार्रवाई [[क्लिफोर्ड संबंध]]ों का सम्मान करती है {{math|1=''v''<sup>2</sup> = ''Q''(''v'')'''1'''}}, और इसलिए क्लिफ़ोर्ड बीजगणित से समरूपता उत्पन्न होती है {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} का {{math|''V''}} को {{math|End(''S'')}}. इसी तरह की कार्रवाई को परिभाषित किया जा सकता है {{math|''S''&prime;}}, ताकि दोनों {{math|''S''}} और {{math|''S''&prime;}} [[क्लिफोर्ड मॉड्यूल]] हैं।
+जहां दूसरा पद एक संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} को जोड़ता है। यह क्रिया क्लिफोर्ड संबंधों {{math|1=''v''<sup>2</sup> = ''Q''(''v'')'''1'''}} का सम्मान करती है और इसलिए {{math|''V''}} के क्लिफोर्ड बीजगणित {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} से {{math|End(''S'')}} तक एक समरूपता उत्पन्न करती है। एक समान क्रिया को {{math|''S''&prime;}} पर परिभाषित किया जा सकता है ताकि  {{math|''S''}} और {{math|''S''&prime;}}' दोनों क्लिफोर्ड मॉड्यूल हों।
-झूठ बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} जटिल लाई बीजगणित के समरूपी है {{math|'''spin'''<sub>''n''</sub><sup>'''C'''</sup>}} में {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} कवरिंग द्वारा प्रेरित मैपिंग के माध्यम से {{math|Spin(''n'') → SO(''n'')}}<ref>since if <math>\alpha: q\to (v\to q.v.q^{-1})</math> is the covering, then <math>d\alpha: q\to (v\to q.v-v.q)</math>, so <math>d\alpha(v.w)=2\varphi_{v, w}</math> and since <math>v.w+w.v</math> is a scalar, we get <math>d\alpha(1/4[v, w])=\varphi_{v, w}</math></ref>
+ली बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} {{math|Spin(''n'') → SO(''n'')}} को आवरण करने से प्रेरित मैपिंग {{math|'''spin'''<sub>''n''</sub><sup>'''C'''</sup>}} के माध्यम से {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} में सम्मिश्र ली बीजगणित स्पिनसी के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref>since if <math>\alpha: q\to (v\to q.v.q^{-1})</math> is the covering, then <math>d\alpha: q\to (v\to q.v-v.q)</math>, so <math>d\alpha(v.w)=2\varphi_{v, w}</math> and since <math>v.w+w.v</math> is a scalar, we get <math>d\alpha(1/4[v, w])=\varphi_{v, w}</math></ref>
 :<math> v \wedge w \mapsto \tfrac14[v,w].</math>
-यह इस प्रकार है कि दोनों {{math|''S''}} और {{math|''S''&prime;}} का प्रतिनिधित्व हैं {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}. वे वास्तव में समरूपता निरूपण हैं, इसलिए हम एस पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
+इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि {{math|''S''}} और {{math|''S''&prime;}} दोनों {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} का प्रतिनिधित्व करते हैं। वह वास्तव में समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, इसलिए हम {{math|''S''}} पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
-स्पष्ट विवरण से पता चलता है कि तत्व {{math|''&alpha;''<sub>''i''</sub> ∧ ''a''<sub>''i''</sub>}} कार्टन उपबीजगणित का {{math|'''h'''}} पर कार्रवाई {{math|''S''}} द्वारा
+स्पष्ट विवरण से पता चलता है कि कार्टन उपबीजगणित के घटक {{math|''&alpha;''<sub>''i''</sub> ∧ ''a''<sub>''i''</sub>}} {{math|'''h'''}} द्वारा {{math|''S''}} पर कार्य करते हैं
 :<math> (\alpha_i\wedge a_i) \cdot \psi = \tfrac14 (2^{\tfrac12})^{2} ( \iota(\alpha_i)(a_i\wedge\psi)-a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi))
 = \tfrac12 \psi - a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi).</math>
-के लिए आधार {{math|''S''}} प्रपत्र के तत्वों द्वारा दिया गया है
+{{math|''S''}} के लिए आधार रूप के घटको द्वारा दिया गया है
 :<math> a_{i_1}\wedge a_{i_2}\wedge\cdots\wedge a_{i_k}</math>
-के लिए {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''m''}} और {{math|''i''<sub>1</sub> < ... < ''i''<sub>''k''</sub>}}. ये स्पष्ट रूप से कार्रवाई के लिए वेट स्पेस (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का विस्तार करते हैं {{math|'''h'''}}: {{math|''&alpha;''<sub>''i''</sub> ∧ ''a''<sub>''i''</sub>}} का दिए गए आधार वेक्टर पर eigenvalue -1/2 है यदि {{math|1=''i'' = ''i''<sub>''j''</sub>}} कुछ के लिए {{math|''j''}}, और इसका eigenvalue है {{math|1/2}} अन्यथा।
+{{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''m''}} और {{math|''i''<sub>1</sub> < ... < ''i''<sub>''k''</sub>}} के लिए ये स्पष्ट रूप से {{math|'''h'''}} {{math|''&alpha;''<sub>''i''</sub> ∧ ''a''<sub>''i''</sub>}} की क्रिया के लिए भार रिक्त समष्टि का विस्तार करते हैं, दिए गए आधार सदिश पर इगेनवैल्यू -{{math|1/2}} है यदि {{math|1=''i'' = ''i''<sub>''j''</sub>}} कुछ {{math|''j''}} के लिए है और इगेनवैल्यू {{math|1/2}} है
-यह इस प्रकार है कि [[वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)]] का {{math|''S''}} के सभी संभावित संयोजन हैं
+यह इस प्रकार है कि [[वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत)|भार ( निरूपण सिद्धांत)]] का {{math|''S''}} के सभी संभावित संयोजन हैं
 :<math>\bigl(\pm \tfrac12,\pm \tfrac12, \ldots \pm\tfrac12\bigr)</math>
-और प्रत्येक भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक {{math|''S''}}[[डिराक स्पिनर]] कहलाते हैं।
+और प्रत्येक भार समष्टि ( निरूपण सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक {{math|''S''}} [[डिराक स्पिनर]] कहलाते हैं।
-कब {{math|''n''}} सम है, {{math|''S''}} [[अघुलनशील प्रतिनिधित्व]] नहीं है: <math>S_+=\wedge^{\mathrm{even}} W</math> और <math>S_-=\wedge^{\mathrm{odd}} W</math> अपरिवर्तनीय उपस्थान हैं. भारों को सम संख्या में ऋण चिह्नों वाले और विषम संख्या में ऋण चिह्नों वाले भारों में विभाजित किया जाता है। दोनों एस<sub>+</sub> और एस<sub>&minus;</sub> आयाम 2 के अपरिवर्तनीय निरूपण हैं<sup>m−1</sup>जिनके तत्वों को [[वेइल स्पिनर]]्स कहा जाता है। उन्हें चिरल स्पिन अभ्यावेदन या अर्ध-स्पिन अभ्यावेदन के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त सकारात्मक जड़ प्रणाली के संबंध में, एस का उच्चतम भार<sub>+</sub> और एस<sub>&minus;</sub> हैं
+जब {{math|''n''}} सम है, तो {{math|''S''}} एक अप्रासंगिक निरूपण नहीं है इस प्रकार <math>S_+=\wedge^{\mathrm{even}} W</math> और <math>S_-=\wedge^{\mathrm{odd}} W</math>  अपरिवर्तनीय उप-समष्टि हैं। भार को सम संख्या में ऋण चिह्न वाले और विषम संख्या में ऋण चिह्न वाले में विभाजित किया जाता है। S+ और S− दोनों आयाम 2m−1 के अपरिवर्तनीय निरूपण हैं जिनके घटकों को वेइल स्पिनर कहा जाता है। उन्हें चिरल स्पिन निरूपण या अर्ध-स्पिन निरूपण के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त धनात्मक मूल प्रणाली के संबंध में, S+ और S− का भार सबसे अधिक है
 :<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, \tfrac12\bigr)</math> और <math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, -\tfrac12\bigr)</math>
-क्रमश। क्लिफ़ोर्ड क्रिया सीएल की पहचान करती है<sub>''n''</sub>एंड(''एस'') और क्लिफोर्ड बीजगणित के साथ सी की पहचान ''एस'' को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म से की जाती है<sub>+</sub> और एस<sub>&minus;</sub>. इस मामले में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपता है।
+क्रमशः क्लिफ़ोर्ड क्रिया Cl<sub>''n''</sub>'''C''' को End(''S'') के साथ पहचानती है और सम उपबीजगणित को ''S''<sub>+</sub> और ''S''<sub>−</sub> को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म के साथ पहचाना जाता है। इस स्थिति में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपी है।
-जब n विषम है, तो S आयाम 2 के 'so'(n,'C') का अघुलनशील प्रतिनिधित्व है<sup>म</sup>: इकाई वेक्टर की क्लिफोर्ड क्रिया यू ∈ यू द्वारा दी गई है
+जब n विषम है, तो S आयाम 2<sup>m</sup> के so(n,C) का एक अघुलनशील प्रतिनिधित्व है, एक इकाई सदिश u ∈ U की क्लिफोर्ड क्रिया द्वारा दी गई है
 :<math> u\cdot \psi = \left\{\begin{matrix}
 \psi&\hbox{if } \psi\in \wedge^{\mathrm{even}} W\\
 -\psi&\hbox{if } \psi\in \wedge^{\mathrm{odd}} W
 \end{matrix}\right.</math>
-और ''u''∧''w'' या ''u''∧''w'' रूप के so(''n'',C) के तत्व<sup>∗</sup>W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित न करें। S का उच्चतम भार है
+और इसलिए u∧w या u∧w∗ रूप के so(n,C) के घटक W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित नहीं करते हैं। इस प्रकार S का उच्चतम भार है
 :<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots \tfrac12\bigr).</math>
-क्लिफोर्ड की कार्रवाई S:Cl पर विश्वसनीय नहीं है<sub>''n''</sub>C को End(''S'') ⊕ End(''S''′) से पहचाना जा सकता है, जहां ''u'' ''S'''' पर विपरीत चिह्न के साथ कार्य करता है। अधिक सटीक रूप से, दो निरूपण सीएल की [[समता (गणित)]] इनवोल्यूशन (गणित) ''α'' से संबंधित हैं<sub>''n''</sub>सी (प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है), जो सम उपबीजगणित पर पहचान है, और सीएल के विषम भाग पर पहचान घटा है<sub>''n''</sub>सी. दूसरे शब्दों में, ''एस'' से ''एस'<nowiki/>''' तक [[रैखिक समरूपता]] है, जो सीएल में '''''<nowiki/>'''ए'' की क्रिया की पहचान करती है''nS'' पर ''S'''' पर ''α''(''A'') की क्रिया के साथ C।
+क्लिफोर्ड की कार्रवाई S पर विश्वसनीय नहीं है Cl<sub>''n''</sub>'''C''' को End(''S'') ⊕ End(''S''′) के साथ पहचाना जा सकता है, जहां ''u'' ''S'' ′ पर विपरीत चिह्न के साथ कार्य करता है। अधिक स्पष्ट रूप से दोनों निरूपण Cl<sub>''n''</sub>'''C''' (जिसे प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है) के समता समावेशन α से संबंधित हैं, जो कि सम उपबीजगणित पर पहचान है और Cl<sub>''n''</sub>'''C''' के विषम भाग पर पहचान घटा है। दूसरे शब्दों में, S से S' तक एक रैखिक समरूपता है, जो S' पर Cl<sub>''n''</sub>'''C''' में A की क्रिया को S' पर α(A) की क्रिया से पहचानती है।
 ===द्विरेखीय रूप===
@@ Line 111: / Line 115: @@
 यदि λ, S का भार है, तो −λ भी है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि S दोहरे निरूपण S का समरूपी है<sup>∗</sup>.
-जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S<sup>∗</sup> शूर के लेम्मा द्वारा स्केल तक अद्वितीय है, क्योंकि एस अपरिवर्तनीय है, और यह एस के माध्यम से गैर-अपरिवर्तनीय अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म β को परिभाषित करता है
+जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S<sup>∗</sup> शूर के लेम्मा द्वारा स्केल तक अद्वितीय है, क्योंकि S अपरिवर्तनीय है, और यह S के माध्यम से गैर-अपरिवर्तनीय अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म β को परिभाषित करता है
 :<math>\beta(\varphi,\psi) = B(\varphi)(\psi).</math>
 यहाँ अपरिवर्तनशीलता का अर्थ यह है
 : <math>\beta(\xi\cdot\varphi,\psi) + \beta(\varphi,\xi\cdot\psi) = 0</math>
-'so'(n,'C') में सभी ξ और S में φ, ψ के लिए - दूसरे शब्दों में ξ की क्रिया β के संबंध में विषम है। वास्तव में, अधिक सत्य है: एस<sup>∗</sup>[[विपरीत श्रेणी]] क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व है, और इसलिए, सीएल के बाद से<sub>''n''</sub>सी में केवल दो गैर-तुच्छ [[सरल मॉड्यूल]] ''एस'' और ''एस'''' हैं, जो समता इनवोल्यूशन ''α'' से संबंधित हैं, सीएल का [[एंटीऑटोमोर्फिज्म]] ''τ'' है।<sub>''n''</sub>सी ऐसे कि
+so(n,C) में सभी ξ और S में φ ψ के लिए - दूसरे शब्दों में ξ की क्रिया β के संबंध में विषम है। वास्तव में अधिक सही है S∗ विपरीत क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व करता है और इसलिए चूंकि Cl<sub>''n''</sub>'''C''' में केवल दो गैर-सामान्य सरल मॉड्यूल S और S ′ हैं, जो समता इन्वॉल्यूशन α से संबंधित हैं, Cl<sub>''n''</sub>'''C''' का एक एंटीऑटोमोर्फिज्म τ है जैसे कि
 : <math>\quad\beta(A\cdot\varphi,\psi) = \beta(\varphi,\tau(A)\cdot\psi)\qquad (1)</math>
-सीएल में किसी भी ए के लिए<sub>''n''</sub>सी. वास्तव में ''τ'' ''एम'' के लिए प्रत्यावर्तन (''वी'' पर पहचान से प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है, और संयुग्मन (''वी'' पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है ''एम'' के लिए विषम. ये दो एंटीऑटोमोर्फिज्म समता इनवोलुशन ''α'' से संबंधित हैं, जो कि ''वी'' पर पहचान को घटाकर प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों ''τ''(''ξ'') = −''ξ'' को ''ξ'' के लिए इसलिए(''n'',C) में संतुष्ट करते हैं।
+वास्तव में सीएलएनसी में किसी भी A के लिए τ m सम के लिए प्रत्यावर्तन (V पर पहचान से प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है और m विषम के लिए संयुग्मन (V पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है। यह दो एंटीऑटोमोर्फिज्म समता इनवोलुशन α से संबंधित हैं, जो कि V पर पहचान को घटाकर प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों so(n,C) में ξ के लिए τ(ξ) = −ξ को संतुष्ट करते हैं।
-जब ''n'' = 2''m'', स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से ''m'' की समता पर निर्भर करती है। ''m'' सम के लिए, भार ''λ'' में ऋण चिह्नों की सम संख्या होती है यदि और केवल यदि −''λ'' होता है; इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अलग-अलग समरूपताएं हैं ''बी''<sub>±</sub>: एस<sub>±</sub> → एस<sub>±</sub><sup>∗</sup>प्रत्येक अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व अपने दोहरे के साथ, प्रत्येक विशिष्ट रूप से पैमाने तक निर्धारित होता है। इन्हें समरूपता बी: एस → एस में जोड़ा जा सकता है<sup>∗</sup>. m विषम के लिए, λ S का भार है<sub>+</sub> यदि और केवल यदि −λ S का भार है<sub>&minus;</sub>; इस प्रकार एस से समरूपता है<sub>+</sub> से एस<sub>&minus;</sub><sup>∗</sup>, फिर से पैमाने तक अद्वितीय, और इसका दोहरा स्थान#रेखीय मानचित्र का स्थानांतरण एस से समरूपता प्रदान करता है<sub>&minus;</sub> से एस<sub>+</sub><sup>∗</sup>. इन्हें फिर से समरूपता बी: एस → एस में जोड़ा जा सकता है<sup>∗</sup>.
+जब n = 2m, स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से m की समता पर निर्भर करती है। m के लिए भी एक भार λ में ऋण चिह्नों की एक समान संख्या होती है यदि और केवल यदि −λ तो यह इस प्रकार है कि भिन्न-भिन्न समरूपताएँ हैं ''B''<sub>±</sub>: ''S''<sub>±</sub> → ''S''<sub>±</sub><sup>∗</sup> प्रत्येक अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व के साथ इसके दोहरे प्रत्येक को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। इन्हें एक समरूपता B: S → S∗ में जोड़ा जा सकता है। m विषम के लिए, λ S+ का भार है यदि और केवल यदि −λ S− का भार है तो इस प्रकार S<sub>+</sub> से S<sub>&minus;</sub><sup>∗</sup> तक एक समरूपता होती है जो फिर से मापदंड तक अद्वितीय होती है, और इसका स्थानान्तरण S<sub>&minus;</sub> से S<sub>+</sub><sup>∗</sup> तक एक समरूपता प्रदान करता है ∗ इन्हें फिर से एक समरूपता B: S → S∗ में जोड़ा जा सकता है।
-एम सम और एम विषम दोनों के लिए, बी की पसंद में स्वतंत्रता को इस बात पर जोर देकर समग्र पैमाने तक सीमित किया जा सकता है कि बी के अनुरूप बिलिनियर फॉर्म β संतुष्ट करता है (1), जहां τ निश्चित एंटीऑटोमोर्फिज्म (या तो प्रत्यावर्तन या संयुग्मन) है।
+m सम और m विषम दोनों के लिए, B की पसंद में स्वतंत्रता को इस तथ्य पर बल देकर समग्र मापदंड तक सीमित किया जा सकता है कि B के अनुरूप बिलिनियर फॉर्म β संतुष्ट करता है , जहां τ निश्चित एंटीऑटोमोर्फिज्म (या तो प्रत्यावर्तन या संयुग्मन) है।
 ===समरूपता और टेंसर वर्ग===
-β: S ⊗ S → 'C' के समरूपता गुण क्लिफोर्ड बीजगणित या प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकते हैं। वास्तव में और भी बहुत कुछ कहा जा सकता है: टेंसर वर्ग S ⊗ S को विभिन्न k के लिए V पर k-रूपों के प्रत्यक्ष योग में विघटित होना चाहिए, क्योंकि इसके भार 'h' में सभी तत्व हैं<sup>∗</sup> जिसके घटक {−1,0,1} से संबंधित हैं। अब [[समतुल्य]] रैखिक मानचित्र S ⊗ S → ∧<sup>क</sup>वी<sup>∗</sup> अपरिवर्तनीय मानचित्रों से विशेष रूप से मेल खाता है ∧<sup>k</sup>V ⊗ S ⊗ S → 'C' और गैर-शून्य ऐसे मानचित्रों का निर्माण ∧ को शामिल करके किया जा सकता है<sup>क्लिफ़र्ड बीजगणित में k</sup>V। इसके अलावा, यदि β(φ,ψ) = ε β(ψ,φ) और τ का चिन्ह ε है<sub>''k''</sub> पर ∧<sup>क</sup>वी तो
+β: S ⊗ S → 'C' के समरूपता गुण क्लिफोर्ड बीजगणित या  निरूपण सिद्धांत का उपयोग करके निर्धारित किए जा सकते हैं। वास्तव में और भी बहुत कुछ कहा जा सकता है: टेंसर वर्ग S ⊗ S को विभिन्न k के लिए V पर k-रूपों के प्रत्यक्ष योग में विघटित होना चाहिए, क्योंकि इसके भार 'h' में सभी घटक हैं<sup>∗</sup> जिसके घटक {−1,0,1} से संबंधित हैं। अब [[समतुल्य]] रैखिक मानचित्र S ⊗ S → ∧<sup>क</sup>V<sup>∗</sup> अपरिवर्तनीय मानचित्रों से विशेष रूप से मेल खाता है ∧<sup>k</sup>V ⊗ S ⊗ S → 'C' और गैर-शून्य ऐसे मानचित्रों का निर्माण ∧ को सम्मिलित करके किया जा सकता है<sup>क्लिफ़र्ड बीजगणित में k</sup>V। इसके अतिरिक्त, यदि β(φ,ψ) = ε β(ψ,φ) और τ का चिन्ह ε है<sub>''k''</sub> पर ∧<sup>क</sup>V तो
 :<math>\beta(A\cdot\varphi,\psi) = \varepsilon\varepsilon_k \beta(A\cdot\psi,\varphi)</math>
-∧ में A के लिए<sup>क</sup>वी.
+∧ में A के लिए<sup>क</sup>V.
 यदि n = 2m+1 विषम है तो यह शूर के लेम्मा से अनुसरण करता है
 :<math> S\otimes S \cong \bigoplus_{j=0}^{m} \wedge^{2j} V^*</math>
-(दोनों पक्षों का आयाम 2 है<sup>2m</sup>और दाईं ओर का प्रतिनिधित्व असमान है)। क्योंकि समरूपता इनवोल्यूशन τ द्वारा शासित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧ की समरूपता<sup>2</sup>वी<sup>∗</sup>घटक j के साथ वैकल्पिक होता है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है
+(दोनों पक्षों का आयाम 2 है<sup>2m</sup>और दाईं ओर का  निरूपण असमान है)। क्योंकि समरूपता इनवोल्यूशन τ द्वारा शासित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧ की समरूपता<sup>2</sup>V<sup>∗</sup>घटक j के साथ वैकल्पिक होता है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है
 :<math> \sum_{j=0}^m (-1)^j \dim \wedge^{2j} \Complex^{2m+1} = (-1)^{\frac12 m(m+1)} 2^m = (-1)^{\frac12 m(m+1)}(\dim \mathrm S^2S-\dim \wedge^2 S)</math>
-और चिह्न यह निर्धारित करता है कि एस में कौन से निरूपण होते हैं<sup>2</sup>S और जो ∧ में होता है<sup>2</sup>एस.<ref>This sign can also be determined from the observation that if ''&phi;'' is a highest weight vector for ''S'' then ''&phi;''⊗''&phi;'' is a highest weight vector for &and;<sup>''m''</sup>''V'' &cong; &and;<sup>''m''+1</sup>''V'', so this summand must occur in S<sup>2</sup>''S''.</ref> विशेष रूप से
+और चिह्न यह निर्धारित करता है कि S में कौन से निरूपण होते हैं<sup>2</sup>S और जो ∧ में होता है<sup>2</sup>S.<ref>This sign can also be determined from the observation that if ''&phi;'' is a highest weight vector for ''S'' then ''&phi;''⊗''&phi;'' is a highest weight vector for &and;<sup>''m''</sup>''V'' &cong; &and;<sup>''m''+1</sup>''V'', so this summand must occur in S<sup>2</sup>''S''.</ref> विशेष रूप से
 :<math> \beta(\phi,\psi)=(-1)^{\frac12 m(m+1)}\beta(\psi,\phi),</math> और
 :<math> \beta(v\cdot\phi,\psi) = (-1)^m(-1)^{\frac12 m(m+1)}\beta(v\cdot\psi,\phi) = (-1)^m \beta(\phi,v\cdot\psi)</math>
 v ∈ V के लिए (जो ∧ का समरूपी है<sup>2m</sup>V), पुष्टि करता है कि τ, m सम के लिए प्रत्यावर्तन है, और m विषम के लिए संयुग्मन है।
-यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक शामिल है, लेकिन परिणाम अधिक परिष्कृत अपघटन है: S<sup>2</sup>एस<sub>±</sub>, ∧<sup>2</sup>एस<sub>±</sub> और एस<sub>+</sub> ⊗ एस<sub>&minus;</sub> क्या प्रत्येक को k-रूपों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (जहाँ k = m के लिए स्वद्वैत और प्रतिस्वद्वैत m-रूपों में और अपघटन होता है)।
+यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक सम्मिलित है, किन्तु परिणाम अधिक परिष्कृत अपघटन है: S<sup>2</sup>S<sub>±</sub>, ∧<sup>2</sup>S<sub>±</sub> और S<sub>+</sub> ⊗ S<sub>&minus;</sub> क्या प्रत्येक को k-रूपों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (जहाँ k = m के लिए स्वद्वैत और प्रतिस्वद्वैत m-रूपों में और अपघटन होता है)।
-मुख्य परिणाम निम्न तालिका के अनुसार, n मॉड्यूलो 8 के आधार पर, S पर शास्त्रीय झूठ बीजगणित के उपबीजगणित के रूप में 'so'(n,'C') की प्राप्ति है:
+मुख्य परिणाम निम्न तालिका के अनुसार, n मॉड्यूलो 8 के आधार पर, S पर मौलिक लाई बीजगणित के उपबीजगणित के रूप में 'so'(n,'C') की प्राप्ति है:
 {| class="wikitable"
 |- style="text-align:center"
@@ Line 163: / Line 169: @@
 | <math> \mathfrak{so}(S) </math>
 |}
-n ≤ 6 के लिए, ये एम्बेडिंग समरूपताएं हैं (n = 6 के लिए 'gl' के बजाय 'sl' पर):
+n ≤ 6 के लिए, ये m्बेडिंग समरूपताएं हैं (n = 6 के लिए 'gl' के बजाय 'sl' पर):
 :<math> \mathfrak{so}(2,\mathbb C) \cong \mathfrak{gl}(1,\mathbb C)\qquad(=\mathbb C)</math>
 :<math> \mathfrak{so}(3,\mathbb C) \cong \mathfrak{sp}(2,\mathbb C)\qquad(=\mathfrak{sl}(2,\mathbb C))</math>
@@ Line 171: / Line 177: @@
-==वास्तविक प्रतिनिधित्व==
+==वास्तविक  निरूपण==
-so(''n'',C) के जटिल स्पिन निरूपण क्रिया को वास्तविक उपबीजगणित तक सीमित करके so(''p'',''q'') के वास्तविक निरूपण ''S'' उत्पन्न करते हैं। हालाँकि, अतिरिक्त वास्तविकता संरचनाएँ हैं जो वास्तविक झूठ बीजगणित की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय हैं। ये तीन प्रकार में आते हैं.
+so(''n'',C) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण क्रिया को वास्तविक उपबीजगणित तक सीमित करके so(''p'',''q'') के वास्तविक निरूपण ''S'' उत्पन्न करते हैं। हालाँकि, अतिरिक्त वास्तविकता संरचनाएँ हैं जो वास्तविक लाई बीजगणित की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय हैं। ये तीन प्रकार में आते हैं.
-# अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलीनियर मानचित्र ''r'' है: ''S'' → ''S'' ''r'' के साथ<sup>2</sup>=आईडी<sub>''S''</sub>. r का निश्चित बिंदु सेट तब वास्तविक वेक्टर उपसमष्टि S होता है<sub>'''R'''</sub> S के साथ S का<sub>'''R'''</sub> ⊗ सी = ''एस''। इसे वास्तविक संरचना कहा जाता है।
+# अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र ''r'' है: ''S'' → ''S'' ''r'' के साथ<sup>2</sup>=आईडी<sub>''S''</sub>. r का निश्चित बिंदु सेट तब वास्तविक सदिश उपसमष्टि S होता है<sub>'''R'''</sub> S के साथ S का<sub>'''R'''</sub> ⊗ सी = ''S''। इसे वास्तविक संरचना कहा जाता है।
-# अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलीनियर मानचित्र ''j'' है: ''S'' → ''S'' ''j'' के साथ<sup>2</sup> = −id<sub>''S''</sub>. यह इस प्रकार है कि त्रिक i, j और k:=ij S को चतुर्धातुक सदिश समष्टि S बनाते हैं<sub>'''H'''</sub>. इसे चतुर्धातुक संरचना कहा जाता है।
+# अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र ''j'' है: ''S'' → ''S'' ''j'' के साथ<sup>2</sup> = −id<sub>''S''</sub>. यह इस प्रकार है कि त्रिक i, j और k:=ij S को चतुर्धातुक सदिश समष्टि S बनाते हैं<sub>'''H'''</sub>. इसे चतुर्धातुक संरचना कहा जाता है।
-# अपरिवर्तनीय जटिल एंटीलीनियर मानचित्र ''बी'' है: ''एस'' → ''एस''<sup>∗</sup>यह उलटा है। यह एस पर छद्महर्मिटियन बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है और इसे 'हर्मिटियन संरचना' कहा जाता है।
+# अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र B है: S → ''S''<sup>∗</sup>यह उलटा है। यह S पर छद्महर्मिटियन बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है और इसे 'हर्मिटियन संरचना' कहा जाता है।
 'so'(p,q) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय संरचना का प्रकार केवल हस्ताक्षर p - q modulo 8 पर निर्भर करता है, और निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है।
@@ Line 201: / Line 207: @@
 | '''R'''
 |}
-यहां आर, सी और एच क्रमशः वास्तविक, हर्मिटियन और चतुर्धातुक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और आर + आर और एच + एच इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व दोनों क्रमशः वास्तविक या चतुर्धातुक संरचनाओं को स्वीकार करते हैं।
+यहां आर, सी और एच क्रमशः वास्तविक, हर्मिटियन और चतुर्धातुक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और आर + आर और एच + एच इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन  निरूपण दोनों क्रमशः वास्तविक या चतुर्धातुक संरचनाओं को स्वीकार करते हैं।
 ===विवरण और तालिकाएँ===
-वास्तविक प्रतिनिधित्व के विवरण को पूरा करने के लिए, हमें यह वर्णन करना होगा कि ये संरचनाएं अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के साथ कैसे बातचीत करती हैं। चूँकि n = p + q ≅ p - q mod 2, दो मामले हैं: आयाम और हस्ताक्षर दोनों सम हैं, और आयाम और हस्ताक्षर दोनों विषम हैं।
+वास्तविक  निरूपण के विवरण को पूरा करने के लिए, हमें यह वर्णन करना होगा कि ये संरचनाएं अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के साथ कैसे तथ्यचीत करती हैं। चूँकि n = p + q ≅ p - q mod 2, दो स्थिति हैं: आयाम और हस्ताक्षर दोनों सम हैं, और आयाम और हस्ताक्षर दोनों विषम हैं।
-अजीब मामला सरल है, केवल जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व एस है, और हर्मिटियन संरचनाएं नहीं होती हैं। तुच्छ मामले n = 1 के अलावा, S हमेशा सम-आयामी होता है, मान लीजिए dim S = 2N। 'so'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'so'(K,L) हैं, K + L = 2N और 'so' के साथ<sup>∗</sup>(N,'H'), जबकि 'sp'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'sp'(2N,'R') और K के साथ 'sp'(K,L) हैं + एल = एन। एस पर वी की क्लिफोर्ड कार्रवाई की उपस्थिति दोनों मामलों में के = एल को मजबूर करती है जब तक कि पीक्यू = 0 नहीं, उस स्थिति में केएल = 0, जिसे बस 'तो' (2 एन) या 'एसपी' (एन) द्वारा दर्शाया जाता है ). इसलिए विषम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है।
+अद्वितीय मामला सरल है, केवल सम्मिश्र स्पिन  निरूपण S है, और हर्मिटियन संरचनाएं नहीं होती हैं। सामान्य स्थिति n = 1 के अतिरिक्त, S हमेशा सम-आयामी होता है, मान लीजिए dim S = 2N। 'so'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'so'(K,L) हैं, K + L = 2N और 'so' के साथ<sup>∗</sup>(N,'H'), जबकि 'sp'(2N,'C') के वास्तविक रूप 'sp'(2N,'R') और K के साथ 'sp'(K,L) हैं + एल = एन। S पर V की क्लिफोर्ड कार्रवाई की उपस्थिति दोनों मामलों में के = एल को मजबूर करती है जब तक कि पीक्यू = 0 नहीं, उस स्थिति में केएल = 0, जिसे बस 'तो' (2 एन) या 'Sपी' (एन) द्वारा दर्शाया जाता है ). इसलिए विषम स्पिन  निरूपण को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है।
 {| class="wikitable" style="text-align:center"
 |-
@@ Line 231: / Line 237: @@
 (†) {{math|''N''}} के लिए भी है {{math|''n'' > 3}} और के लिए {{math|1=''n'' = 3}}, यह है {{math|'''sp'''(1)}}.
-सम-आयामी मामला समान है। के लिए {{math|''n'' > 2}}, जटिल अर्ध-स्पिन निरूपण सम-आयामी हैं। हमें अतिरिक्त रूप से हर्मिटियन संरचनाओं और वास्तविक रूपों से निपटना होगा {{math|'''sl'''(2''N'', '''C''')}}, जो हैं {{math|'''sl'''(2''N'', '''R''')}}, {{math|'''su'''(''K'', ''L'')}} साथ {{math|1=''K'' + ''L'' = 2''N''}}, और {{math|'''sl'''(''N'', '''H''')}}. परिणामी सम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नानुसार संक्षेपित किया गया है।
+सम-आयामी मामला समान है। के लिए {{math|''n'' > 2}}, सम्मिश्र अर्ध-स्पिन निरूपण सम-आयामी हैं। हमें अतिरिक्त रूप से हर्मिटियन संरचनाओं और वास्तविक रूपों से निपटना होगा {{math|'''sl'''(2''N'', '''C''')}}, जो हैं {{math|'''sl'''(2''N'', '''R''')}}, {{math|'''su'''(''K'', ''L'')}} साथ {{math|1=''K'' + ''L'' = 2''N''}}, और {{math|'''sl'''(''N'', '''H''')}}. परिणामी सम स्पिन  निरूपण को निम्नानुसार संक्षेपित किया गया है।
 {| class="wikitable" style="text-align:center"
 |-
@@ Line 264: / Line 270: @@
 | '''sp'''(''N''/2,''N''/2)+'''sp'''(''N''/2,''N''/2)<sup>†</sup>
 |}
-(*) के लिए {{math|1=''pq'' = 0}}, हमारे पास इसके बजाय है {{math|'''so'''(2''N'') + '''so'''(2''N'')}}
+(*) के लिए {{math|1=''pq'' = 0}}, हमारे निकट इसके बजाय है {{math|'''so'''(2''N'') + '''so'''(2''N'')}}
-(†) {{math|''N''}} के लिए भी है {{math|''n'' > 4}} और के लिए {{math|1=''pq'' = 0}} (जो भी शामिल है {{math|1=''n'' = 4}} साथ {{math|1=''N'' = 1}}), इसके बजाय हमारे पास है {{math|'''sp'''(''N'') + '''sp'''(''N'')}}
+(†) {{math|''N''}} के लिए भी है {{math|''n'' > 4}} और के लिए {{math|1=''pq'' = 0}} (जो भी सम्मिलित है {{math|1=''n'' = 4}} साथ {{math|1=''N'' = 1}}), इसके बजाय हमारे निकट है {{math|'''sp'''(''N'') + '''sp'''(''N'')}}
-जटिल मामले में निम्न-आयामी समरूपता के निम्नलिखित वास्तविक रूप हैं।
+सम्मिश्र स्थिति में निम्न-आयामी समरूपता के निम्नलिखित वास्तविक रूप हैं।
 {| class="wikitable"
 |- style="text-align:center"

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