हैमबर्गर क्षण समस्या

गणित में हंस लुडविग हैम्बर्गर के नाम पर हैमबर्गर क्षण समस्या को एक अनुक्रम (m₀, m₁, m₂, ...) के अनुसार तैयार किया गया है, क्या कोई धनात्मक बोरेल माप μ सम्मिलित है (उदाहरण के लिए, संचयी वितरण फलन द्वारा निर्धारित माप एक यादृच्छिक चर का) वास्तविक रेखा पर इस प्रकार

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x){\text{ ?}}$

दूसरे शब्दों में, समस्या के धनात्मक उत्तर का अर्थ है कि (m0, m1, m2, ...) कुछ धनात्मक बोरेल माप μ के क्षणों का क्रम है।

स्टिल्टजेस क्षण समस्या, वोरोबयेव क्षण समस्या और हॉसडॉर्फ क्षण समस्या समान हैं लेकिन वास्तविक रेखा को $[0,+\infty )$ से प्रतिस्थापित करते हैं (स्टिल्टजेस और वोरोबयेव लेकिन वोरोबयेव मैट्रिक्स सिद्धांत के संदर्भ में समस्या तैयार करते हैं) या एक परिबद्ध अंतराल (हॉसडॉर्फ) )

लक्षण वर्णन

हैमबर्गर क्षण समस्या हल करने योग्य है (अर्थात, (एमएन) क्षणों का एक क्रम है) यदि और केवल यदि गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर संबंधित हेंकेल कर्नेल हो

$A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)$

धनात्मक निश्चित कर्नेल है, अर्थात,

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0$

प्रत्येक मनमाना अनुक्रम के लिए (सी_j)_{j ≥ 0} सम्मिश्र संख्याएँ जो परिमित हैं (अर्थात सी_j= 0, j के बहुत सारे मानों को छोड़कर)।

दावों के एकमात्र भाग के लिए बस उस पर ध्यान दें

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)$

जो कि गैर-ऋणात्मक है $\mu$ गैर-ऋणात्मक है.

हम इसके विपरीत के लिए एक तर्क प्रस्तुत करते हैं। माना कि Z+ गैर ऋणात्मक पूर्णांक है और F0(Z+) वित्तीय समर्थन के साथ समिश्र मूल्यवान अनुक्रमों के समूह को दर्शाता है। धनात्मक हेंकेल कर्नेल ए परिमित समर्थन के साथ समिश्र-मूल्यवान अनुक्रमों के समूह पर एक (संभवतः पतित) सेसक्विलिनियर उत्पाद को प्रेरित करता है। यह बदले में एक हिल्बर्ट समष्टि देता है

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

जिसका विशिष्ट तत्व एक तुल्यता वर्ग है जिसे [f] द्वारा दर्शाया जाता है।

मान लीजिए कि F0(Z+) में तत्व en(m) = δnm द्वारा परिभाषित है। कोई उस पर ध्यान देता है

$\langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}],[e_{m+1}]\rangle .$

इसलिए, T[en] = [en + 1] के साथ ${\mathcal {H}}$ पर "शिफ्ट" सक्रियक T सममित है।

दूसरी ओर, वांछित अभिव्यक्ति

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$

सुझाव देता है कि μ एक स्व-सहायक सक्रियक का वर्णक्रमीय माप है। (अधिक सटीक रूप से कहा गया है, μ नीचे T परिभाषित एक सक्रियक ${\overline {T}}$ और सदिश [1] के लिए वर्णक्रमीय माप है, (रीड & और साइमन 1975, p. 145) यदि हम एक "फलन मॉडल" पा सकते हैं जैसे कि सममित सक्रियक T को X से गुणा किया जाता है, तो के स्व-सहायक विस्तार का वर्णक्रमीय रिज़ॉल्यूशन दावा सिद्ध करता है।

एक फलन मॉडल F0(Z+) से प्राकृतिक समरूपता द्वारा एक एकल वास्तविक चर में बहुपद के समूह और n ≥ 0 के लिए समिश्र गुणांक द्वारा दिया जाता है, xn के साथ en की पहचान करें। मॉडल में, सक्रियक टी को x से गुणा किया जाता है और एक सघन रूप से परिभाषित सममित सक्रियक होता है। यह दिखाया जा सकता है कि T में सदैव स्व-सहायक एक्सटेंशन होते हैं। मान लीजिए कि ${\overline {T}}$ उनमें से एक है और μ इसका वर्णक्रमीय माप है।

इसलिए

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x).$

वहीं दूसरी ओर,

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_{n}.$

अस्तित्व के वैकल्पिक प्रमाण के लिए जो केवल स्टिल्टजेस इंटीग्रल्स का उपयोग करता है, विशेष रूप से प्रमेय 3.2 में भी देखें।

समाधान की विशिष्टता

समाधान एक उत्तल सेट बनाते हैं, इसलिए समस्या के या तो अनंत रूप से कई समाधान होते हैं या एक अद्वितीय समाधान होता है।

(n + 1) × (n + 1) हैंकेल मैट्रिक्स पर विचार करें

$\Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].$

A की धनात्मकता का अर्थ है कि प्रत्येक n के लिए, det(Δ_n) ≥ 0. यदि det(Δ_n) = 0, कुछ n के लिए, तो

$({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$

परिमित-आयामी है और T स्व-सहायक है। तो इस स्थिति में हैमबर्गर क्षण समस्या का समाधान अद्वितीय है और μ, टी का वर्णक्रमीय माप होने के कारण, सीमित समर्थन प्राप्त है।

सामान्यत, समाधान अद्वितीय होता है यदि स्थिरांक C और D इस प्रकार हों कि सभी n, |mn| के लिए ≤ सीडीएनएन! (रीड & और साइमन 1975, p. 145) यह अधिक सामान्य कार्लमैन की स्थिति से पता चलता है।

ऐसे उदाहरण हैं जहां समाधान अद्वितीय नहीं है, उदाहरण के लिए देखें।

परिणाम

कोई यह देख सकता है कि हैमबर्गर क्षण समस्या का वास्तविक रेखा पर ऑर्थोगोनल बहुपदों से गहरा संबंध है। ग्राम-श्मिट प्रक्रिया ऑर्थोगोनल बहुपद का आधार देती है जिसमें सक्रियक ${\overline {T}}$ के पास त्रिविकर्ण जैकोबी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व होता है। यह बदले में धनात्मक हेंकेल कर्नेल के एक त्रिविकर्ण मॉडल की ओर ले जाता है।

टी के केली परिवर्तन की एक स्पष्ट गणना बाएं आधे तल पर विश्लेषणात्मक कार्यों के नेवानलिन्ना वर्ग के साथ संबंध को दर्शाती है। गैर-कम्यूटेटिव सेटिंग की ओर बढ़ते हुए, यह क्रेइन के सूत्र को प्रेरित करता है जो आंशिक आइसोमेट्री के विस्तार को पैरामीट्रिज करता है।

संचयी वितरण फलन और संभाव्यता घनत्व फलन को अक्सर व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को क्षण उत्पन्न करने वाले फलन में लागू करके पाया जा सकता है:

$m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}},$

बशर्ते कि यह फलन अभिसरण हो।

संदर्भ

• Chihara, T.S. (1978), An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of modern mathematical physics, vol. 2, Academic Press, pp. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
• Shohat, J. A.; Tamarkin, J. D. (1943), The Problem of Moments, New York: American mathematical society, ISBN 0-8218-1501-6.