हैमबर्गर क्षण समस्या

गणित में हंस लुडविग हैम्बर्गर के नाम पर हैमबर्गर क्षण समस्या को एक अनुक्रम (m₀, m₁, m₂, ...) के अनुसार निर्धारित किया गया है जिसमे धनात्मक बोरेल माप μ सम्मिलित है। उदाहरण के लिए संचयी वितरण फलन द्वारा निर्धारित माप फलन के यादृच्छिक चर का वास्तविक समीकरण है:

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x){\text{ ?}}$

दूसरे शब्दों में समस्या के धनात्मक उत्तर का अर्थ है कि (m₀, m₁, m₂, ...) कुछ धनात्मक बोरेल माप μ के क्षणों का अनुक्रम है।

सामान्यतः स्टील्जे क्षण समस्या, वोरोबयेव क्षण समस्या और हॉसडॉर्फ क्षण समस्या लगभग समान हैं लेकिन वास्तविक रेखा को $[0,+\infty )$ से प्रतिस्थापित करती हैं। स्टील्जे और वोरोबयेव आव्यूह सिद्धांत या हॉसडॉर्फ अंतराल के संदर्भ में कई समस्याए उत्पन्न करती हैं।

विवरण

हैमबर्गर क्षण समस्या हल करने योग्य है अर्थात (m_n) क्षणों का एक क्रम यदि गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर संबंधित हेंकेल कर्नेल धनात्मक निश्चित कर्नेल है:

$A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)$

अर्थात,

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0$

सम्मिश्र संख्याओं के प्रत्येक अनुक्रम (c_j)_{j ≥ 0} 0 के लिए, जो परिमित हैं अर्थात j के सभी मानों के अतिरिक्त c_j = 0 है।

जहां,

$\sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|\sum _{j\geq 0}c_{j}x^{j}\right|^{2}\,d\mu (x)$

जो कि गैर-ऋणात्मक है यदि $\mu$ गैर-ऋणात्मक है।

हम इसके विपरीत फलन के लिए एक तर्क प्रस्तुत करते हैं। माना कि Z⁺ गैर ऋणात्मक पूर्णांक है और F₀(Z⁺) वित्तीय समर्थन के साथ समिश्र अनुक्रमों के समूह को दर्शाता है। धनात्मक हेंकेल कर्नेल A परिमित समर्थन के साथ समिश्र-मूल्यवान अनुक्रमों के समूह पर एक रैखिक समीकरण को प्रदर्शित करता है जहां हिल्बर्ट समष्टि $({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$ है।

जिसका विशिष्ट फलन एक तुल्यता वर्ग है जिसे [f] द्वारा दर्शाया जाता है।

माना कि F₀(Z⁺) फलन e_n(m) = δ_nm द्वारा परिभाषित है:

$\langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}],[e_{m+1}]\rangle .$

इसलिए T[e_n] = [e_{n + 1}] के साथ ${\mathcal {H}}$ पर शिफ्ट सक्रियक T सममित है।

दूसरी ओर, वांछित समीकरण है:

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)$

जहां μ एक संयुक्त सक्रियक की वर्णक्रमीय माप है। सामान्यतः (रीड & और साइमन 1975, p. 145) द्वारा कहा गया है कि μ, T द्वारा परिभाषित एक सक्रियक ${\overline {T}}$ और सदिश [1] के लिए वर्णक्रमीय माप है यदि हम एक "फलन मॉडल" को प्राप्त कर सकते हैं जैसे कि सममित सक्रियक T को X से गुणा किया जाता है तब फलन के संयुक्त विस्तार का वर्णक्रमीय विश्लेषण सिद्ध किया जा सकता है।

फलन मॉडल F₀(Z⁺) को प्राकृतिक समरूपता द्वारा एक एकल वास्तविक चर में बहुपद के समूह और n ≥ 0 के लिए समिश्र गुणांक xⁿ के साथ e_n को प्रदर्शित किया जाता है। मॉडल में सक्रियक T को x से गुणा किया जाता है और एक समिश्र गुणांक के रूप परिभाषित सममित सक्रियक होता है। यह दिखाया जा सकता है कि T में सदैव संयुक्त विस्तार होता हैं। माना कि ${\overline {T}}$ उनमें से एक है और μ इसकी वर्णक्रमीय माप है।

इसलिए

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x).$

दूसरी ओर,

$\langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_{n}.$

फलन के वैकल्पिक प्रमाण के लिए जो केवल स्टील्जे बहुपद का उपयोग करता है, विशेष रूप से प्रमेय 3.2 में भी देखें।

समाधान की विशिष्टता

समाधान एक अवमुख समुच्चय बनाते हैं, इसलिए समस्या के अद्वितीय और अनंत रूप से कई समाधान होते हैं।

जहां (n + 1) × (n + 1) हैंकेल आव्यूह पर विचार करें:

$\Delta _{n}=\left[{\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{matrix}}\right].$

प्रायः A की धनात्मकता का अर्थ है कि प्रत्येक n के लिए, det(Δ_n) ≥ 0 है यदि कुछ n के लिए det(Δ_n) = 0 है जहां $({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )$ परिमित-आयामी है और T संयुक्त विस्तार है। इस स्थिति में हैमबर्गर क्षण समस्या का समाधान अद्वितीय है और μ, T का वर्णक्रमीय माप होने के कारण सीमित समर्थन प्राप्त करता है।

सामान्यतः समाधान अद्वितीय होता है यदि स्थिरांक C और D इस प्रकार हों जैसे कि सभी n के लिए |m_n| ≤ CDⁿn! है। यह अधिक सामान्य कार्लमैन (रीड & और साइमन 1975, p. 145) की स्थिति से पता चलता है।

जहां समाधान अद्वितीय नहीं है, उदाहरण के लिए परिणाम देखें।

परिणाम

प्रायः यह देख सकता है कि हैमबर्गर क्षण समस्या का वास्तविक रेखा पर लंबकोणीय बहुपदों से अधिक संबंध है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया लंबकोणीय बहुपद का आधार है जिसमें सक्रियक ${\overline {T}}$ के पास त्रिविकर्ण जैकोबी आव्यूह प्रतिनिधित्व होता है। यह धनात्मक हेंकेल कर्नेल के एक त्रिविकर्ण मॉडल के लगभग समान है।

T के केली रूपांतरण की एक स्पष्ट गणना बाएं तल पर विश्लेषणात्मक फलन के नेवानलिन्ना समूह के साथ संबंध को दर्शाती है। गैर- क्रम विनिमय नियम की ओर बढ़ते हुए, यह क्रेइन के सूत्र को प्रेरित करता है जो आंशिक सममितीय के विस्तार को पैरामीट्रिज करता है।

संचयी वितरण फलन और संभाव्यता घनत्व फलन को प्रायः व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण को क्षण उत्पन्न करने वाले फलन में प्रयुक्त करके प्राप्त जा सकता है:

$m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}},$

लेकिन फलन जब अभिमुख हो।

संदर्भ

• Chihara, T.S. (1978), An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, Science Publishers, ISBN 0-677-04150-0
• Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Fourier Analysis, Self-Adjointness, Methods of modern mathematical physics, vol. 2, Academic Press, pp. 145, 205, ISBN 0-12-585002-6
• Shohat, J. A.; Tamarkin, J. D. (1943), The Problem of Moments, New York: American mathematical society, ISBN 0-8218-1501-6.