सामान्य क्रम

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क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्रों का गुणनफल, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विलोपन संक्रियकों को सामान्यतः सामान्य क्रम (जिसे विक क्रम भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण संक्रियक गुणनफल में सभी विलोपन संक्रियकों के बाईं ओर होते हैं। किसी गुणनफल को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य क्रमण (जिसे विक क्रमण भी कहा जाता है) कहा जाता है। असामान्य क्रम और असामान्य क्रमण को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विलोपन संक्रियकों को निर्माण संक्रियकों के बाईं ओर रखा गया है।

क्वांटम क्षेत्र या निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को कई वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक अपेक्षा मानों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो निर्माण और विलोपन संक्रियकों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।

सामान्य क्रम की प्रक्रिया क्वांटम यांत्रिकी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। शास्त्रीय यांत्रिकी हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय संक्रियक क्रम चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर उत्पन्न करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत निर्वात ऊर्जा को समाप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।

संकेतन

यदि ${\hat {O}}$ निर्माण और/या विलोपन संक्रियकों (या समकक्ष, क्वांटम क्षेत्र) के यादृच्छिक गुणनफल को दर्शाता है, तो ${\hat {O}}$ का सामान्य क्रमबद्ध रूप ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

एक वैकल्पिक संकेतन ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ है।

ध्यान दें कि सामान्य क्रमण अवधारणा है जो मात्र संक्रियकों के गुणनफलों के लिए समझ में आती है। संक्रियकों के योग पर सामान्य क्रम लागू करने का प्रयत्न उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य क्रम रैखिक क्रिया नहीं है।

बोसोन

बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।

एकल बोसॉन

यदि हम मात्र प्रकार के बोसॉन से प्रारंभ करते हैं तो रुचि के दो संक्रियक हैं:

• ${\hat {b}}^{\dagger }$: बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
• ${\hat {b}}$: बोसॉन का विलोपन संक्रियक।

ये दिक्परिवर्तक संबंध

$\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1$

को संतुष्ट करते हैं, जहां $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1$।

उदाहरण

1. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। यह ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$:

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ सामान्य क्रम है।

अभिव्यक्ति ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ को नहीं बदला गया है क्योंकि यह स्थिति से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण संक्रियक $({\hat {b}}^{\dagger })$ स्थिति से ही विलोपन संक्रियक $({\hat {b}})$ के बाईं ओर है।

2. एक अधिक रोचक उदाहरण ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$:

${:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ का सामान्य क्रम है।

यहां सामान्य क्रमण क्रिया ने ${\hat {b}}$ के बाईं ओर ${\hat {b}}^{\dagger }$ रखकर प्रतिबंधों को फिर से व्यवस्थित किया है।

इन दोनों परिणामों को

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1$ प्राप्त करने के लिए ${\hat {b}}$ और ${\hat {b}}^{\dagger }$ द्वारा पालन किए गए दिक्परिवर्तक संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है।

या

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1$।

इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

3. एकाधिक संक्रियकों वाला उदाहरण है:

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.$

4. सरल उदाहरण से ज्ञात होता है कि सामान्य क्रम को एकपदी से सभी संक्रियकों तक रैखिकता द्वारा आत्मनिर्भर विधि से नहीं बढ़ाया जा सकता है:

${:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={:\,}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}={:\,}1{\,:}+{:\,}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\,:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\neq {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:\,}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}$

निहितार्थ यह है कि सामान्य क्रमण संक्रियकों पर रैखिक फलन नहीं है।

एकाधिक बोसॉन

यदि हम अब $N$ विभिन्न बोसॉन पर विचार करें तो $2N$ संक्रियक हैं:

• ${\hat {b}}_{i}^{\dagger }$: द $i^{th}$ बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
• ${\hat {b}}_{i}$: द $i^{th}$ बोसॉन का विलोपन संक्रियक।

यहाँ $i=1,\ldots ,N$.

ये रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

$\left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}$

जहां $i,j=1,\ldots ,N$ और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है।

इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

${\hat {b}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}^{\dagger }$

${\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}={\hat {b}}_{j}\,{\hat {b}}_{i}$

${\hat {b}}_{i}\,{\hat {b}}_{j}^{\dagger }={\hat {b}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{i}+\delta _{ij}.$

उदाहरण

1. दो भिन्न बोसॉन ($N=2$) के लिए हमारे निकट

$:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$

$:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}$ है।

2. तीन भिन्न बोसॉन ($N=3$) के लिए हमारे निकट

$:{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$ है।

ध्यान दें कि चूँकि (परिवर्तन संबंधों द्वारा) ${\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}$ जिस क्रम में हम विलोपन संक्रियक लिखते हैं, वह कोई अंतर नहीं रखता है।

$:{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

$:{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}$

बोसोनिक संक्रियक फलन

अधिष्ठान संख्या संक्रियक ${\hat {n}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger }{\hat {b}}$ के साथ बोसोनिक संक्रियक फलन $f({\hat {n}})$ का सामान्य क्रम , टेलर श्रृंखला के अतिरिक्त भाज्य घात${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {n}}({\hat {n}}-1)\cdots ({\hat {n}}-k+1)$ और न्यूटन श्रृंखला का उपयोग करके पूर्ण किया जा सकता है: यह दिखाना सरल है कि कारक घात ${\hat {n}}^{k}$ सामान्य-क्रमबद्ध (प्राकृतिक) घातांक ${\hat {n}}^{\underline {k}}$ के बराबर हैं और इसलिए निर्माण द्वारा सामान्य रूप से क्रमबद्ध हैं,

${\tilde {f}}({\hat {n}})=\sum _{k=0}^{\infty }\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)\,{\frac {{\hat {n}}^{\underline {k}}}{k!}}$

जैसे कि एक संक्रियक फलन ${\tilde {f}}({\hat {n}})$ का न्यूटन श्रृंखला विस्तार

${\hat {n}}^{\underline {k}}={\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{\dagger k}{\hat {b}}{\vphantom {\hat {n}}}^{k}={:\,}{\hat {n}}^{k}{\,:},$

$n=0$ पर $k$-वें अग्र अंतर $\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0)$ के साथ, सदैव सामान्य क्रम में होता है।

यहां, आइगेनमान समीकरण ${\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle$ ${\hat {n}}$ और $n$ से संबंधित है।

परिणामस्वरूप, यादृच्छिक फलन $f({\hat {n}})$ की सामान्य क्रम वाली टेलर श्रृंखला संबंधित फलन ${\tilde {f}}({\hat {n}})$ की न्यूटन श्रृंखला के बराबर होती है, जो

${\tilde {f}}({\hat {n}})={:\,}f({\hat {n}}){\,:}$ को पूर्ण करती है,

यदि $f(x)$ की टेलर श्रृंखला के श्रृंखला गुणांक, निरंतर $x$ के साथ, ${\tilde {f}}(n)$ की न्यूटन श्रृंखला के गुणांक से मेल खाते हैं, पूर्णांक $n$,

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}},\\{\tilde {f}}(n)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}\,{\frac {n^{\underline {k}}}{k!}},\\F_{k}&=\partial _{x}^{k}f(0)=\Delta _{n}^{k}{\tilde {f}}(0),\end{aligned}}$

के साथ, $x=0$ पर $k$-वें आंशिक व्युत्पन्न $\partial _{x}^{k}f(0)$ के साथ। फलन $f$ और ${\tilde {f}}$ ${\mathcal {N}}[f]$ के अनुसार तथाकथित सामान्य-क्रम परिवर्तन

${\begin{aligned}{\tilde {f}}(n)&={\mathcal {N}}_{x}[f(x)](n)\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}\int _{-\infty }^{0}\mathrm {d} x\,e^{x}\,f(x)\,(-x)^{-(n+1)}\\&={\frac {1}{\Gamma (-n)}}{\mathcal {M}}_{-x}[e^{x}f(x)](-n),\end{aligned}}$

के माध्यम से संबंधित हैं, ${\mathcal {M}}$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, विवरण के लिए देखें।

फर्मिअन्स

फ़र्मिअन वे कण हैं जो फ़र्मी-डिरैक आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम फर्मिओनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।

एकल फर्मियन

एक एकल फर्मियन के लिए रुचि के दो संक्रियक होते हैं:

• ${\hat {f}}^{\dagger }$: फर्मियन का निर्माण संक्रियक।
• ${\hat {f}}$: फर्मियन का विलोपन संक्रियक।

ये प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों

$\left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1$

को संतुष्ट करते हैं, जहां $\left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA$ प्रति दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। इन्हें

${\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }=0$

${\hat {f}}\,{\hat {f}}=0$

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है।

फर्मियोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें निकटवर्ती संक्रियकों के बीच दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक दिक्परिवर्तक के लिए ऋण चिह्न मिलता है।

उदाहरण

1. हम पुनः सबसे सरल स्थिति से प्रारंभ करते हैं:

$:{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

यह अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदला गया है। विपरीत स्थिति में, हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो संक्रियकों का क्रम बदलना होता है:

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}$

इन्हें

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,=1-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}=1+:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:$

या

${\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1$ दिखाने के लिए, दिक्परिवर्तक संबंधों के साथ जोड़ा जा सकता है।

यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक स्थिति के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

2. किसी भी अधिक जटिल स्थिति का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम निर्माण या विलोपन संक्रियक दो बार दिखाई देगा। उदाहरण के लिए:

$:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0$

एकाधिक फर्मियन

$N$ अलग-अलग फर्मियन के लिए $2N$ संक्रियक हैं:

• ${\hat {f}}_{i}^{\dagger }$: $i^{th}$ फर्मियन का निर्माण संक्रियक।
• ${\hat {f}}_{i}$: $i^{th}$ फर्मियन का विलोपन संक्रियक।

यहाँ $i=1,\ldots ,N$।

ये प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

$\left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0$

$\left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}$

जहां $i,j=1,\ldots ,N$ और $\delta _{ij}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाते है।

इन्हें इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:

${\hat {f}}_{i}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}^{\dagger }$

${\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}=-{\hat {f}}_{j}\,{\hat {f}}_{i}$

${\hat {f}}_{i}\,{\hat {f}}_{j}^{\dagger }=\delta _{ij}-{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{i}.$

फ़र्मियन संक्रियकों के गुणनफलों के सामान्य क्रम की गणना करते समय हमें अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करने के लिए आवश्यक निकटवर्ती संक्रियकों के दिक्परिवर्तक (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। यह वैसा ही है जैसे हम निर्माण और विलोपन संक्रियकों को प्रति दिक्परिवर्तक का दिखावा करते हैं और फिर हम यह सुनिश्चित करने के लिए अभिव्यक्ति को पुन: व्यवस्थित करते हैं कि निर्माण संक्रियक बाईं ओर हैं और विलोपन संक्रियक दाईं ओर हैं - प्रत्येक समय प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों को ध्यान में रखते हुए।

उदाहरण

1. दो अलग-अलग फर्मियन के लिए ($N=2$) हमारे निकट है

$:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

यहां अभिव्यक्ति स्थिति से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदलता है।

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

यहां हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो संक्रियकों के क्रम को आपस में बदल दिया है।

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}$

ध्यान दें कि बोसोनिक स्थिति के विपरीत, जिस क्रम में हम यहां संक्रियक लिखते हैं, वह मायने रखता है।

2. तीन अलग-अलग फर्मियन के लिए ($N=3$) हमारे निकट है

$:{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

ध्यान दें कि चूंकि (प्रति दिक्परिवर्तक संबंधों द्वारा) ${\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$ जिस क्रम में हम संक्रियक लिखते हैं वह इस स्थिति में मायने रखता है।

वैसे ही हमारे निकट है

$:{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}$

$:{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग

निर्माण और विलोपन संक्रियकों के सामान्य क्रम किए गए गुणनफल का निर्वात अपेक्षा मान शून्य है। इसका कारण यह है कि, निर्वात अवस्था को द्वारा निरूपित किया जाता है $|0\rangle$, निर्माण और प्रलय संक्रियक संतुष्ट होते हैं

$\langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }=0\qquad {\textrm {and}}\qquad {\hat {a}}|0\rangle =0$

(यहाँ ${\hat {a}}^{\dagger }$ और ${\hat {a}}$ निर्माण और विलोपन संक्रियक हैं (या तो बोसोनिक या फर्मियोनिक))।

होने देना ${\hat {O}}$ निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गैर-रिक्त गुणनफल को निरूपित करें। हालाँकि इससे संतुष्टि हो सकती है

$\langle 0|{\hat {O}}|0\rangle \neq 0,$

हमारे निकट है

$\langle 0|:{\hat {O}}:|0\rangle =0.$

क्वांटम मैकेनिकल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को परिभाषित करते समय सामान्य आदेशित संक्रियक विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। यदि किसी सिद्धांत का हैमिल्टनियन सामान्य क्रम में है तो जमीनी अवस्था ऊर्जा शून्य होगी: $\langle 0|{\hat {H}}|0\rangle =0$.

मुक्त क्षेत्र

दो मुक्त क्षेत्र φ और χ के साथ,

$:\phi (x)\chi (y):\,\,=\phi (x)\chi (y)-\langle 0|\phi (x)\chi (y)|0\rangle$

जहां $|0\rangle$ पुनः निर्वात अवस्था है। जैसे-जैसे y, x के करीब पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक सामान्यतः सीमा में बदल जाता है, लेकिन उनके बीच के अंतर की अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है। यह हमें :φ(x)χ(x) को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

विक का प्रमेय

Main article: Wick's theorem

विक का प्रमेय समय के आदेशित गुणनफल के बीच संबंध बताता है $n$ क्षेत्र और का योग सामान्य क्रम किए गए गुणनफल। इसके लिए व्यक्त किया जा सकता है $n$ यहां तक ​​कि के रूप में भी

${\begin{aligned}T\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right]=&:\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n}):+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle :\phi (x_{3})\cdots \phi (x_{n}):\\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \langle 0|T\left[\phi (x_{3})\phi (x_{4})\right]|0\rangle :\phi (x_{5})\cdots \phi (x_{n}):\\\vdots \\&+\sum _{\textrm {perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-1})\phi (x_{n})\right]|0\rangle \end{aligned}}$

जहां उन सभी अलग-अलग तरीकों का योग होता है जिनसे कोई क्षेत्र जोड़ सकता है। के लिए परिणाम $n$ अजीब जैसा दिखता है अंतिम पंक्ति को छोड़कर जो पढ़ता है

$\sum _{\text{perm}}\langle 0|T\left[\phi (x_{1})\phi (x_{2})\right]|0\rangle \cdots \langle 0|T\left[\phi (x_{n-2})\phi (x_{n-1})\right]|0\rangle \phi (x_{n}).$

यह प्रमेय संक्रियकों के समय-क्रम किए गए गुणनफलों के निर्वात अपेक्षा मानों की गणना के लिए सरल विधि प्रदान करता है और सामान्य क्रमण की शुरुआत के पीछे प्रेरणा थी।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम क्षेत्र को दो भागों में विभाजित करना शामिल है (उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) $\phi _{i}(x)=\phi _{i}^{+}(x)+\phi _{i}^{-}(x)$. क्षेत्र के गुणनफल में, क्षेत्र को दो भागों में विभाजित किया जाता है और $\phi ^{+}(x)$ भागों को इस तरह से स्थानांतरित किया जाता है कि वे सदैव सभी के बाईं ओर रहें $\phi ^{-}(x)$ भागों. लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य स्थिति में, $\phi ^{+}(x)$ इसमें मात्र निर्माण संक्रियक शामिल हैं, जबकि $\phi ^{-}(x)$ इसमें मात्र विलोपन संक्रियक शामिल हैं। चूँकि यह गणितीय पहचान है, कोई भी व्यक्ति किसी भी तरह से क्षेत्र को विभाजित कर सकता है। हालाँकि, इसे उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि क्षेत्र के किसी भी संयोजन के सामान्य क्रम किए गए गुणनफल का अपेक्षित मान शून्य हो

$\langle :\phi _{1}(x_{1})\phi _{2}(x_{2})\ldots \phi _{n}(x_{n}):\rangle =0$

व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी दिक्परिवर्तक (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए एंटी-दिक्परिवर्तक) $\phi _{i}^{+}$ और $\phi _{j}^{-}$ सभी सी-नंबर हैं। इन दो गुणों का मतलब है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य विधि से लागू कर सकते हैं, क्षेत्र के समय-क्रम वाले गुणनफलों के अपेक्षित मानों को सी-नंबर जोड़े, संकुचन के गुणनफलों में बदल सकते हैं। इस सामान्यीकृत सेटिंग में, संकुचन को समय-क्रम किए गए गुणनफल और क्षेत्र की जोड़ी के सामान्य क्रम किए गए गुणनफल के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।

सबसे सरल उदाहरण थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस स्थिति में रुचि के अपेक्षित मान सांख्यिकीय समूह हैं, सभी राज्यों पर भारित निशान $\exp(-\beta {\hat {H}})$. उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हमारे निकट है कि संख्या संक्रियक का थर्मल अपेक्षा मान मात्र बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | बोस-आइंस्टीन वितरण है

$\langle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}\rangle ={\frac {\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}})}{\mathrm {Tr} (e^{-\beta \omega {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}})}}={\frac {1}{e^{\beta \omega }-1}}$

तो यहाँ नंबर संक्रियक है ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ लेख के शेष भाग में प्रयुक्त सामान्य अर्थ में सामान्य क्रम दिया गया है, फिर भी इसके तापीय अपेक्षा मान शून्य नहीं हैं। विक के प्रमेय को लागू करना और इस थर्मल संदर्भ में सामान्य सामान्य क्रम के साथ गणना करना संभव है लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यावहारिक है। समाधान अलग क्रम को परिभाषित करना है, जैसे कि $\phi _{i}^{+}$ और $\phi _{j}^{-}$ मूल विलोपन और निर्माण संक्रियकों के रैखिक संयोजन हैं। संयोजनों को यह सुनिश्चित करने के लिए चुना जाता है कि सामान्य क्रम किए गए गुणनफलों का थर्मल अपेक्षा मान सदैव शून्य होता है, इसलिए चुना गया विभाजन तापमान पर निर्भर करेगा।

संदर्भ

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
• T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268