दो आयामों में द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसॉन

द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसोन द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का परिवार है।

चूंकि वे मुक्त क्षेत्र हैं यानी गैर-अंतःक्रियात्मक, मुक्त बोसोनिक सीएफटी आसानी से सटीक रूप से हल किए जाते हैं।

कूलम्ब गैस औपचारिकता के माध्यम से, वे न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) जैसे सीएफटी की बातचीत में सटीक परिणाम देते हैं। इसके अलावा, वे स्ट्रिंग सिद्धांत के विश्वपत्रक दृष्टिकोण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

एक मुक्त बोसोनिक सीएफटी में, विरासोरो बीजगणित का केंद्रीय चार्ज कोई भी जटिल मान ले सकता है। हालाँकि, मूल्य $c=1$ कभी-कभी परोक्ष रूप से मान लिया जाता है। के लिए $c=1$, कॉम्पैक्टीफिकेशन त्रिज्या के मनमाने मूल्यों के साथ कॉम्पैक्टिफाइड मुक्त बोसोनिक सीएफटी मौजूद हैं।

लैग्रेंजियन सूत्रीकरण

दो आयामों में मुक्त बोसोनिक सिद्धांत की क्रिया (भौतिकी) मुक्त बोसॉन की कार्यात्मकता है $\phi$,

$S[\phi ]={\frac {1}{4\pi }}\int d^{2}x{\sqrt {g}}(g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi +QR\phi )\ ,$

कहाँ $g_{\mu \nu }$ द्वि-आयामी स्थान का मीट्रिक टेंसर है जिस पर सिद्धांत तैयार किया गया है, $R$ उस स्थान का रिक्की अदिश राशि है। पैरामीटर $Q\in \mathbb {C}$ बैकग्राउंड चार्ज कहलाता है.

दो आयामों में जो विशेष है वह है मुक्त बोसोन का स्केलिंग आयाम $\phi$ गायब हो जाता है. यह गैर-लुप्त होने वाले पृष्ठभूमि चार्ज की उपस्थिति की अनुमति देता है, और सिद्धांत के अनुरूप समरूपता के मूल में है।

संभाव्यता सिद्धांत में, मुक्त बोसॉन का निर्माण गाऊसी मुक्त क्षेत्र के रूप में किया जा सकता है। यह यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों के रूप में सहसंबंध कार्यों की प्राप्ति प्रदान करता है।

समरूपता

एबेलियन एफ़िन ले बीजगणित

समरूपता बीजगणित दो चिरल संरक्षित धाराओं द्वारा उत्पन्न होता है: बायीं ओर चलने वाली धारा और दाहिनी ओर चलने वाली धारा, क्रमशः

$J=\partial \phi \quad {\text{and}}\quad {\bar {J}}={\bar {\partial }}\phi$

जो पालन करता है $\partial {\bar {J}}={\bar {\partial }}J=0$. प्रत्येक धारा एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित उत्पन्न करती है ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$. बाईं ओर चलने वाली एफ़िन लाई बीजगणित की संरचना बाईं ओर चलने वाली धारा के स्व-ऑपरेटर उत्पाद विस्तार में एन्कोड की गई है,

$J(y)J(z)={\frac {-{\frac {1}{2}}}{(y-z)^{2}}}+O(1)$

समान रूप से, यदि करंट को लॉरेंट श्रृंखला के रूप में लिखा जाता है $J(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }J_{n}z^{-n-1}$ मुद्दे के बारे में $z=0$, एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित की विशेषता लेट ब्रैकेट है

$[J_{m},J_{n}]={\frac {1}{2}}n\delta _{m+n,0}$

बीजगणित के झूठ बीजगणित का केंद्र किसके द्वारा उत्पन्न होता है? $J_{0}$, और बीजगणित आयाम 1 या 2 के पारस्परिक रूप से आने वाले उपबीजगणित का प्रत्यक्ष योग है:

${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}={\text{Span}}(J_{0})\oplus \bigoplus _{n=1}^{\infty }{\text{Span}}(J_{n},J_{-n})$

अनुरूप समरूपता

किसी भी मूल्य के लिए $Q\in \mathbb {C}$, एबेलियन एफ़िन ली बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित में जनरेटर के साथ विरासोरो बीजगणित है  :${\begin{aligned}L_{n}&=-\sum _{m\in {\mathbb {Z} }}J_{n-m}J_{m}+Q(n+1)J_{n}\ ,\qquad (n\neq 0)\ ,\\L_{0}&=-2\sum _{m=1}^{\infty }J_{-m}J_{m}-J_{0}^{2}+QJ_{0}\ ,\end{aligned}}$

इस विरासोरो उपबीजगणित का केंद्रीय प्रभार हैऔर एफ़िन लाई बीजगणित जनरेटर के साथ विरासोरो जनरेटर के कम्यूटेशन संबंध हैं$[L_{m},J_{n}]=-nJ_{m+n}-{\frac {Q}{2}}m(m+1)\delta _{m+n,0}$

यदि पैरामीटर $Q$ मुक्त बोसोन के पृष्ठभूमि चार्ज के साथ मेल खाता है, फिर क्षेत्र

$T(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }L_{n}z^{-n-2}$ मुक्त बोसॉन के ऊर्जा-संवेग टेंसर के साथ मेल खाता है। इसलिए संबंधित विरासोरो बीजगणित की अनंतिम अनुरूप मानचित्रों के बीजगणित के रूप में ज्यामितीय व्याख्या है, और सिद्धांत की स्थानीय अनुरूप समरूपता को एन्कोड करता है।

अतिरिक्त समरूपता

केंद्रीय आवेश और/या संघनन की त्रिज्या के विशेष मूल्यों के लिए, मुक्त बोसोनिक सिद्धांत न केवल उनके हो सकते हैं ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$ समरूपता, लेकिन अतिरिक्त समरूपता भी। विशेष रूप से, पर $c=1$, संघनन की त्रिज्या के विशेष मानों के लिए, गैर-एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित, अतिसममिति, आदि दिखाई दे सकते हैं।

प्राथमिक फ़ील्ड को संबद्ध करें

एक मुक्त बोसोनिक सीएफटी में, सभी फ़ील्ड या तो एफ़िन प्राथमिक फ़ील्ड हैं या एफ़िन वंशज हैं। एफ़िन समरूपता के लिए धन्यवाद, एफ़िन वंशज क्षेत्रों के सहसंबंध कार्यों को सैद्धांतिक रूप से एफ़िन प्राथमिक क्षेत्रों के सहसंबंध कार्यों से निकाला जा सकता है।

परिभाषा

एक एफ़िन प्राथमिक फ़ील्ड $V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)$ बाएँ और दाएँ के साथ ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$-प्रभार $\alpha ,{\bar {\alpha }}$ धाराओं के साथ इसके ओपीई द्वारा परिभाषित किया गया है,

$J(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\alpha }{y-z}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)\quad ,\quad {\bar {J}}(y)V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\frac {\bar {\alpha }}{{\bar {y}}-{\bar {z}}}}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)+O(1)$ ये ओपीई संबंधों के समतुल्य हैं

$J_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {J}}_{n>0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=0\quad ,\quad J_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)=\alpha V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)\quad ,\quad {\bar {J}}_{0}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)={\bar {\alpha }}V_{\alpha ,{\bar {\alpha }}}(z)$

प्रभार $\alpha ,{\bar {\alpha }}$ इन्हें बाएँ और दाएँ गति वाले संवेग भी कहा जाता है। यदि वे मेल खाते हैं, तो एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र को विकर्ण कहा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है $V_{\alpha }(z)=V_{\alpha ,\alpha }(z)$.

मुक्त बोसॉन के सामान्य-क्रम वाले घातांक प्राथमिक क्षेत्र हैं। विशेष रूप से, क्षेत्र

$:e^{2\alpha \phi (z)}:$

संवेग के साथ विकर्ण एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र है $\alpha$. इस फ़ील्ड और सामान्य रूप से एफ़िन प्राथमिक फ़ील्ड को कभी-कभी वर्टेक्स ऑपरेटर कहा जाता है।

एक एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र अनुरूप आयाम के साथ विरासोरो प्राथमिक क्षेत्र भी है

$\Delta (\alpha )=\alpha (Q-\alpha )$

दो फ़ील्ड $V_{\alpha }(z)$ और $V_{Q-\alpha }(z)$ बाएँ और दाएँ अनुरूप आयाम समान हैं, हालाँकि उनकी गति भिन्न है।

ओपीई और संवेग संरक्षण

एफ़िन समरूपता के कारण, मुक्त बोसोनिक सीएफटी में गति संरक्षित रहती है। फ़्यूज़न नियमों के स्तर पर, इसका मतलब यह है कि किन्हीं दो एफ़िन प्राथमिक फ़ील्ड के फ़्यूज़न में केवल एफ़िन प्राथमिक फ़ील्ड दिखाई दे सकता है,

$V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}\times V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}=V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}$

एफ़िन प्राथमिक फ़ील्ड के ऑपरेटर उत्पाद विस्तार इसलिए रूप लेते हैं

$V_{\alpha _{1},{\bar {\alpha }}_{1}}(z_{1})V_{\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})=C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})(z_{1}-z_{2})^{-2\alpha _{1}\alpha _{2}}({\bar {z}}_{1}-{\bar {z}}_{2})^{-2{\bar {\alpha }}_{1}{\bar {\alpha }}_{2}}\left(V_{\alpha _{1}+\alpha _{2},{\bar {\alpha }}_{1}+{\bar {\alpha }}_{2}}(z_{2})+O(z_{1}-z_{2})\right)$ कहाँ $C(\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i})$ ओपीई गुणांक और पद है $O(z_{1}-z_{2})$ एफ़िन वंशज क्षेत्रों का योगदान है। ओपीई की पृष्ठभूमि चार्ज पर कोई स्पष्ट निर्भरता नहीं है।

सहसंबंध कार्य

एफ़िन वार्ड की पहचान के अनुसार $N$-गोले पर बिंदु कार्य,

$\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \neq 0\implies \sum _{i=1}^{N}\alpha _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\bar {\alpha }}_{i}=Q$

इसके अलावा, एफ़िन समरूपता पूरी तरह से गोले की निर्भरता को निर्धारित करती है $N$पदों पर बिंदु कार्य,

$\left\langle \prod _{i=1}^{N}V_{\alpha _{i},{\bar {\alpha }}_{i}}(z_{i})\right\rangle \propto \prod _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{-2\alpha _{i}\alpha _{j}}({\bar {z}}_{i}-{\bar {z}}_{j})^{-2{\bar {\alpha }}_{i}{\bar {\alpha }}_{j}}$

सहसंबंध कार्यों का एकल-मूल्यांकन गति पर बाधा उत्पन्न करता है,

$\Delta (\alpha _{i})-\Delta ({\bar {\alpha }}_{i})\in {\frac {1}{2}}\mathbb {Z}$

मॉडल

गैर-कॉम्पैक्ट मुक्त बोसोन

एक मुक्त बोसोनिक सीएफटी को गैर-कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि गति निरंतर मान ले सकती है।

गैर-कॉम्पैक्ट मुक्त बोसोनिक सीएफटी के साथ $Q\neq 0$ गैर-महत्वपूर्ण स्ट्रिंग सिद्धांत का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। इस संदर्भ में, गैर-कॉम्पैक्ट मुक्त बोसोनिक सीएफटी को रैखिक डिलेटन सिद्धांत कहा जाता है।

एक निःशुल्क बोसोनिक सीएफटी $Q=0$ अर्थात। $c=1$ आयामी लक्ष्य स्थान वाला सिग्मा मॉडल है।

• यदि लक्ष्य स्थान यूक्लिडियन वास्तविक रेखा है, तो गति काल्पनिक है $\alpha ={\bar {\alpha }}\in i\mathbb {R}$, और अनुरूप आयाम सकारात्मक है $\Delta (\alpha )\geq 0$.
• यदि लक्ष्य स्थान मिन्कोव्स्की वास्तविक रेखा है, तो गति वास्तविक है $\alpha ={\bar {\alpha }}\in \mathbb {R}$, और अनुरूप आयाम नकारात्मक है $\Delta (\alpha )\leq 0$.
• यदि लक्ष्य स्थान वृत्त है, तो संवेग अलग-अलग मान लेता है, और हमारे पास सघन मुक्त बोसॉन होता है।

सघन मुक्त बोसोन

त्रिज्या के साथ सघन मुक्त बोसोन $R$मुक्त बोसोनिक सीएफटी है जहां बाएँ और दाएँ संवेग मान लेते हैं

$(\alpha ,{\bar {\alpha }})=\left({\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right],{\frac {i}{2}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]\right)\quad {\text{with}}\quad (n,w)\in \mathbb {Z} ^{2}$

पूर्णांक $n,w$ फिर उन्हें संवेग और वाइंडिंग संख्या कहा जाता है। संघनन त्रिज्या के अनुमत मान हैं $R\in \mathbb {C} ^{*}$ अगर $Q=0$ और $R\in {\frac {1}{iQ}}\mathbb {Z}$ अन्यथा। अगर $Q=0$, त्रिज्या के साथ मुक्त बोसॉन $R$ और ${\frac {1}{R}}$ उसी सीएफटी का वर्णन करें। सिग्मा मॉडल के दृष्टिकोण से, इस तुल्यता को टी-द्वैत कहा जाता है।

अगर $Q=0$, कॉम्पैक्टिफाइड मुक्त बोसॉन सीएफटी किसी भी रीमैन सतह पर मौजूद है। टोरस पर इसका द्वि-आयामी_अनुरूप_फ़ील्ड_सिद्धांत#फ़ील्ड_और_सहसंबंध_कार्य ${\frac {\mathbb {C} }{\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} }}$ है

$Z_{R}(\tau )=Z_{\frac {1}{R}}(\tau )={\frac {1}{|\eta (\tau )|^{2}}}\sum _{n,w\in \mathbb {Z} }q^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}+Rw\right]^{2}}{\bar {q}}^{{\frac {1}{4}}\left[{\frac {n}{R}}-Rw\right]^{2}}$

कहाँ $q=e^{2\pi i\tau }$, और $\eta (\tau )$ डेडेकाइंड और-फ़ंक्शन है। यह विभाजन फ़ंक्शन सिद्धांत के अनुरूप आयामों के स्पेक्ट्रम पर विरासोरो बीजगणित#वर्णों का योग है।

जैसा कि सभी मुक्त बोसोनिक सीएफटी में होता है, एफ़िन प्राथमिक क्षेत्रों के सहसंबंध कार्यों में फ़ील्ड की स्थिति पर निर्भरता होती है जो एफ़िन समरूपता द्वारा निर्धारित होती है। शेष स्थिर कारक ऐसे संकेत हैं जो फ़ील्ड की गति और घुमावदार संख्याओं पर निर्भर करते हैं।

मामले में सीमा की स्थिति c=1

न्यूमैन और डिरिचलेट सीमा शर्तें

की वजह $\mathbb {Z} _{2}$ स्वचालितता $J\to -J$ एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित का दो प्रकार की सीमा स्थितियाँ हैं जो एफ़िन समरूपता को संरक्षित करती हैं, अर्थात्

$J={\bar {J}}\quad {\text{or}}\quad J=-{\bar {J}}$

यदि सीमा रेखा है $z={\bar {z}}$, ये स्थितियाँ क्रमशः न्यूमैन सीमा स्थिति और मुक्त बोसॉन के लिए डिरिचलेट सीमा स्थिति से मेल खाती हैं $\phi$.

सीमा राज्य

एक सघन मुक्त बोसॉन के मामले में, प्रत्येक प्रकार की सीमा स्थिति सीमा राज्यों के परिवार की ओर ले जाती है, जो पैरामीट्रिज्ड होती है $\theta \in {\frac {\mathbb {R} }{2\pi \mathbb {Z} }}$. ऊपरी आधे तल पर संगत एक-बिंदु कार्य करता है $\{\Im z>0\}$ हैं

${\begin{aligned}\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{in\theta }\delta _{w,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {n^{2}}{2R^{2}}}}}\\\left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle _{{\text{Neumann}},\theta }&={\frac {e^{iw\theta }\delta _{n,0}}{|z-{\bar {z}}|^{\frac {R^{2}w^{2}}{2}}}}\end{aligned}}$

एक गैर-कॉम्पैक्ट मुक्त बोसॉन के मामले में, केवल न्यूमैन सीमा स्थिति होती है, जबकि डिरिचलेट सीमा स्थिति वास्तविक पैरामीटर द्वारा पैरामीट्रिज्ड होती है। संगत एक-बिंदु कार्य हैं

${\begin{aligned}\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{{\text{Dirichlet}},\theta }&={\frac {e^{\alpha \theta }}{|z-{\bar {z}}|^{2\Delta (\alpha )}}}\\\left\langle V_{\alpha }(z)\right\rangle _{\text{Neumann}}&=\delta (i\alpha )\end{aligned}}$ कहाँ $\alpha \in i\mathbb {R}$ और $\theta \in \mathbb {R}$ यूक्लिडियन बोसॉन के लिए.

अनुरूप सीमा शर्तें

न्यूमैन और डिरिचलेट सीमाएँ ही एकमात्र सीमाएँ हैं जो मुक्त बोसोन की एफ़िन समरूपता को संरक्षित करती हैं। हालाँकि, अतिरिक्त सीमाएँ मौजूद हैं जो केवल अनुरूप समरूपता को संरक्षित करती हैं।

यदि त्रिज्या अपरिमेय है, तो अतिरिक्त सीमा राज्यों को संख्या द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है $x\in [-1,1]$. प्राथमिक क्षेत्रों को संबद्ध करने के एक-बिंदु कार्य $(n,w)\neq (0,0)$ गायब होना। हालाँकि, विरासोरो प्राथमिक क्षेत्र जो कि एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र के एफ़िन वंशज हैं $(n,w)=(0,0)$ गैर-तुच्छ एक-बिंदु कार्य हैं।

यदि त्रिज्या तर्कसंगत है $R={\frac {p}{q}}$, अतिरिक्त सीमा राज्यों को मैनिफोल्ड द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है ${\frac {SU(2)}{\mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{q}}}$.

संबंधित सिद्धांत और सामान्यीकरण

एकाधिक बोसॉन और ऑर्बिफोल्ड्स

से $N$ द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसॉन, समरूपता बीजगणित के साथ उत्पाद सीएफटी बनाना संभव है ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}$. कुछ या सभी बोसॉन को संघटित किया जा सकता है।

विशेष रूप से, सघनीकरण $N$ पर बैकग्राउंड चार्ज के बिना बोसोन $N$-डायमेंशनल टोरस (नेवू-श्वार्ज़ बी-फील्ड के साथ) सीएफटी के परिवार को जन्म देता है जिसे नारायण कॉम्पेक्टिफिकेशन कहा जाता है। ये सीएफटी किसी भी रीमैन सतह पर मौजूद हैं, और पर्टर्बेटिव स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण $J\to -J$ एफ़िन ले बीजगणित का ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}$, और अधिक सामान्य ऑटोमोर्फिज्म के ${\hat {\mathfrak {u}}}_{1}^{N}$, वहाँ मुक्त बोसोनिक सीएफटी की कक्षाएँ मौजूद हैं।उदाहरण के लिए, $\mathbb {Z} _{2}$ सघन मुक्त बोसॉन की कक्षा $Q=0$ महत्वपूर्ण द्वि-आयामी एश्किन-टेलर मॉडल है।

कूलम्ब गैस औपचारिकता

कूलम्ब गैस औपचारिकता मुक्त बोसोनिक सीएफटी से इंटरैक्टिंग सीएफटी, या उनके कुछ सहसंबंध कार्यों के निर्माण की तकनीक है। विचार यह है कि फॉर्म के स्क्रीनिंग ऑपरेटरों का उपयोग करके गड़बड़ी सिद्धांत को मुफ्त सीएफटी किया जाए $\textstyle {\int }d^{2}z\,O(z)$, कहाँ $O(z)$ अनुरूप आयामों का संबद्ध प्राथमिक क्षेत्र है $(\Delta ,{\bar {\Delta }})=(1,1)$. अपनी परेशान करने वाली परिभाषा के बावजूद, गति संरक्षण के कारण तकनीक सटीक परिणाम देती है। बैकग्राउंड चार्ज के साथ एकल मुक्त बोसॉन के मामले में $Q$, वहाँ दो विकर्ण स्क्रीनिंग ऑपरेटर मौजूद हैं $\textstyle {\int }V_{b},\textstyle {\int }V_{b^{-1}}$, कहाँ $Q=b+b^{-1}$. सहसंबंध कार्य करता है इन स्क्रीनिंग ऑपरेटरों का उपयोग करके न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) की गणना की जा सकती है, जो डॉट्सेंको-फतेव इंटीग्रल्स को जन्म देती है।लिउविले क्षेत्र सिद्धांत में सहसंबंध कार्यों के अवशेषों की भी गणना की जा सकती है, और इससे तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक के लिए DOZZ सूत्र की मूल व्युत्पत्ति हुई।

के मामले में $N$ मुक्त बोसॉन, स्क्रीनिंग शुल्क की शुरूआत का उपयोग लिउविले क्षेत्र सिद्धांत#कन्फॉर्मल टोडा सिद्धांत सहित गैर-तुच्छ सीएफटी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इन गैर-तुच्छ सीएफटी की समरूपता का वर्णन एबेलियन एफ़िन ली बीजगणित के उप-बीजगणित द्वारा किया गया है। स्क्रीनिंग के आधार पर, ये उप-बीजगणित डब्ल्यू-बीजगणित हो भी सकते हैं और नहीं भी।

कूलम्ब गैस औपचारिकता का उपयोग द्वि-आयामी सीएफटी जैसे क्यू-स्टेट पॉट्स मॉडल और में भी किया जा सकता है $O(n)$ नमूना।

विभिन्न सामान्यीकरण

मनमाने आयामों में, अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत मौजूद हैं जिन्हें अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत#मीन क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है। हालाँकि ये दो आयामों में मुक्त बोसोनिक सीएफटी का सामान्यीकरण नहीं हैं। पूर्व में, यह अनुरूप आयाम है जो संरक्षित है (मॉड्यूलो पूर्णांक)। उत्तरार्द्ध में, यह गति है.

दो आयामों में, सामान्यीकरण में शामिल हैं:

• द्रव्यमान रहित मुक्त फर्मियन।
• भूत सीएफटी।
• सुपरसिमेट्रिक मुक्त सीएफटी।