फलनात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह

सैद्धांतिक भौतिकी में, कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण समूह (एफआरजी) पुनर्सामान्यीकरण समूह (आरजी) अवधारणा का कार्यान्वयन है जिसका उपयोग क्वांटम और सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में किया जाता है, खासकर जब दृढ़ता से बातचीत करने वाले सिस्टम से निपटते हैं। यह विधि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के कार्यात्मक तरीकों को केनेथ जी. विल्सन के सहज पुनर्सामान्यीकरण समूह विचार के साथ जोड़ती है। यह तकनीक ज्ञात सूक्ष्म कानूनों और भौतिक प्रणालियों में जटिल स्थूल घटनाओं के बीच सुचारू रूप से अंतरण करने की अनुमति देती है। इस अर्थ में, यह माइक्रोफ़िज़िक्स की सरलता से मैक्रोफ़िज़िक्स की जटिलता तक संक्रमण को पाटता है। लाक्षणिक रूप से कहें तो, एफआरजी एक परिवर्तनीय रिज़ॉल्यूशन वाले माइक्रोस्कोप के रूप में कार्य करता है। एक ज्ञात माइक्रोफिजिकल कानूनों की उच्च-रिज़ॉल्यूशन वाली तस्वीर से शुरू होता है और बाद में मैक्रोस्कोपिक सामूहिक घटनाओं की मोटे-दाने वाली तस्वीर प्राप्त करने के लिए रिज़ॉल्यूशन कम हो जाता है। विधि गैर-परेशान करने वाली नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह एक छोटे युग्मन स्थिरांक में विस्तार पर निर्भर नहीं करती है। गणितीय रूप से, एफआरजी स्केल-निर्भर प्रभावी कार्रवाई के लिए एक सटीक कार्यात्मक अंतर समीकरण पर आधारित है।

प्रभावी कार्रवाई के लिए प्रवाह समीकरण

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, प्रभावी कार्रवाई $\Gamma$ शास्त्रीय भौतिकी क्रिया (भौतिकी) का एक एनालॉग है $S$ और किसी दिए गए सिद्धांत के क्षेत्रों पर निर्भर करता है। इसमें सभी क्वांटम और थर्मल उतार-चढ़ाव शामिल हैं। की विविधता $\Gamma$ सटीक क्वांटम क्षेत्र समीकरण उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए ब्रह्माण्ड विज्ञान या सुपरकंडक्टर्स के बिजली का गतिविज्ञान के लिए। गणितीय रूप से, $\Gamma$ एक-कण इरेड्यूसेबल फेनमैन आरेख का उत्पादक कार्य है। दिलचस्प भौतिकी, प्रचारकों और अंतःक्रियाओं के लिए प्रभावी युग्मन के रूप में, इसे सीधे तौर पर निकाला जा सकता है। एक सामान्य अंतःक्रिया क्षेत्र सिद्धांत में प्रभावी कार्रवाई $\Gamma$हालाँकि, इसे प्राप्त करना कठिन है। एफआरजी गणना करने के लिए एक व्यावहारिक उपकरण प्रदान करता है $\Gamma$ पुनर्सामान्यीकरण समूह अवधारणा को नियोजित करना।

एफआरजी में केंद्रीय वस्तु एक पैमाने पर निर्भर प्रभावी क्रिया कार्यात्मक है $\Gamma _{k}$ इसे अक्सर निम्नलिखित क्रियाओं की औसत क्रिया कहा जाता है। आरयूजी स्लाइडिंग स्केल पर निर्भरता $k$ एक नियमितीकरण (भौतिकी) (इन्फ्रारेड कटऑफ) जोड़कर पेश किया गया है $R_{k}$ पूर्ण व्युत्क्रम प्रचारक के लिए $\Gamma _{k}^{(2)}$. मोटे तौर पर, नियामक $R_{k}$ गति के साथ धीमे मोड को अलग करता है $q\lesssim k$ उन्हें एक बड़ा द्रव्यमान देकर, जबकि उच्च गति मोड प्रभावित नहीं होते हैं। इस प्रकार, $\Gamma _{k}$ इसमें संवेग के साथ सभी क्वांटम और सांख्यिकीय उतार-चढ़ाव शामिल हैं $q\gtrsim k$. बहने वाली क्रिया $\Gamma _{k}$ सटीक कार्यात्मक प्रवाह समीकरण का पालन करता है

$k\,\partial _{k}\Gamma _{k}={\frac {1}{2}}{\text{STr}}\,k\,\partial _{k}R_{k}\,(\Gamma _{k}^{(1,1)}+R_{k})^{-1},$

1993 में क्रिस्टोफ़ वेटेरिच और टिम आर. मॉरिस द्वारा व्युत्पन्न। यहाँ $\partial _{k}$ आरजी पैमाने के संबंध में एक व्युत्पन्न को दर्शाता है $k$ फ़ील्ड के निश्चित मान पर. आगे, $\Gamma _{k}^{(1,1)}$ के कार्यात्मक व्युत्पन्न को दर्शाता है $\Gamma _{k}$ समीकरण की टेंसर संरचना के कारण क्रमशः बायीं ओर और दायीं ओर से। इस सुविधा को अक्सर प्रभावी कार्रवाई के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा सरलीकृत दिखाया जाता है। के लिए कार्यात्मक अंतर समीकरण $\Gamma _{k}$ प्रारंभिक शर्त के साथ पूरक होना चाहिए $\Gamma _{k\to \Lambda }=S$, जहां शास्त्रीय कार्रवाई $S$ सूक्ष्म पराबैंगनी पैमाने पर भौतिकी का वर्णन करता है $k=\Lambda$. महत्वपूर्ण रूप से, अवरक्त सीमा में $k\to 0$ पूर्ण प्रभावी कार्यवाही $\Gamma =\Gamma _{k\to 0}$ प्राप्त होना। वेटेरिच समीकरण में ${\text{STr}}$ एक सुपरट्रेस को दर्शाता है जो संवेग, आवृत्तियों, आंतरिक सूचकांकों और क्षेत्रों का योग करता है (प्लस के साथ बोसॉन और माइनस चिह्न के साथ फर्मियन को लेते हुए)। के लिए सटीक प्रवाह समीकरण $\Gamma _{k}$ एक-लूप संरचना है। यह गड़बड़ी सिद्धांत की तुलना में महत्वपूर्ण सरलीकरण है, जहां मल्टी-लूप आरेखों को शामिल किया जाना चाहिए। दूसरा कार्यात्मक व्युत्पन्न $\Gamma _{k}^{(2)}=\Gamma _{k}^{(1,1)}$ नियामक की उपस्थिति द्वारा संशोधित पूर्ण व्युत्क्रम क्षेत्र प्रचारक है $R_{k}$.

का पुनर्सामान्यीकरण समूह विकास $\Gamma _{k}$ सिद्धांत स्थान में चित्रित किया जा सकता है, जो सभी संभावित चलने वाले कपलिंगों का बहुआयामी स्थान है $\{c_{n}\}$ समस्या की समरूपता द्वारा अनुमति दी गई। जैसा कि चित्र में योजनाबद्ध रूप से सूक्ष्म पराबैंगनी पैमाने पर दिखाया गया है $k=\Lambda$ एक प्रारंभिक स्थिति से शुरू होता है $\Gamma _{k=\Lambda }=S$.

समरूपता द्वारा अनुमत सभी संभावित युग्मों के सिद्धांत स्थान में पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह।

फिसलने वाले पैमाने के रूप में $k$ कम किया जाता है, बहती हुई क्रिया $\Gamma _{k}$ कार्यात्मक प्रवाह समीकरण के अनुसार सिद्धांत स्थान में विकसित होता है। नियामक का चयन $R_{k}$ अद्वितीय नहीं है, जो पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह में कुछ योजना निर्भरता का परिचय देता है। इस कारण से, नियामक के विभिन्न विकल्प $R_{k}$ चित्र में विभिन्न पथों के अनुरूप। इन्फ्रारेड पैमाने पर $k=0$हालाँकि, पूर्ण प्रभावी कार्रवाई $\Gamma _{k=0}=\Gamma$ कट-ऑफ के प्रत्येक विकल्प के लिए वसूली की जाती है $R_{k}$, और सभी प्रक्षेप पथ सिद्धांत स्थान में एक ही बिंदु पर मिलते हैं।

रुचि के अधिकांश मामलों में वेटेरिच समीकरण को केवल लगभग ही हल किया जा सकता है। आमतौर पर किसी प्रकार का विस्तार $\Gamma _{k}$ निष्पादित किया जाता है, जिसे बाद में सीमित क्रम में काट दिया जाता है, जिससे सामान्य अंतर समीकरणों की एक सीमित प्रणाली बन जाती है। विभिन्न व्यवस्थित विस्तार योजनाएँ (जैसे व्युत्पन्न विस्तार, शीर्ष विस्तार, आदि) विकसित की गईं। उपयुक्त योजना का चुनाव शारीरिक रूप से प्रेरित होना चाहिए और दी गई समस्या पर निर्भर होना चाहिए। विस्तार में आवश्यक रूप से एक छोटा पैरामीटर (जैसे इंटरेक्शन युग्मन स्थिरांक) शामिल नहीं होता है और इस प्रकार वे सामान्य रूप से, गैर-परेशान प्रकृति के होते हैं।

हालाँकि, ध्यान दें कि (प्रीफैक्टर-) सम्मेलनों और प्रभावी कार्रवाई की ठोस परिभाषा के संबंध में कई विकल्पों के कारण, साहित्य में वेटेरिच समीकरण के अन्य (समकक्ष) संस्करण मिल सकते हैं।

कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण के पहलू

• वेटेरिच प्रवाह समीकरण एक सटीक समीकरण है। हालाँकि, व्यवहार में, कार्यात्मक अंतर समीकरण को छोटा किया जाना चाहिए, अर्थात इसे कुछ चर के कार्यों या यहां तक ​​कि कुछ परिमित-आयामी उप-सिद्धांत स्थान पर भी प्रक्षेपित किया जाना चाहिए। जैसा कि हर गैर-परेशान करने वाली विधि में होता है, कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण में त्रुटि अनुमान का प्रश्न गैर-तुच्छ है। एफआरजी में त्रुटि का अनुमान लगाने का तरीका क्रमिक चरणों में ट्रंकेशन में सुधार करना है, यानी अधिक से अधिक चलने वाले कपलिंग को शामिल करके उप-सिद्धांत स्थान को बढ़ाना है। विभिन्न ट्रंकेशन के लिए प्रवाह में अंतर त्रुटि का एक अच्छा अनुमान देता है। वैकल्पिक रूप से, कोई विभिन्न नियामक कार्यों का उपयोग कर सकता है $R_{k}$ किसी दिए गए (निश्चित) ट्रंकेशन में और संबंधित नियामक विकल्पों के लिए इन्फ्रारेड में आरजी प्रवाह का अंतर निर्धारित करें। यदि बोसोनाइजेशन का उपयोग किया जाता है, तो कोई विभिन्न बोसोनाइजेशन प्रक्रियाओं के संबंध में अंतिम परिणामों की असंवेदनशीलता की जांच कर सकता है।
• एफआरजी में, सभी आरजी विधियों की तरह, आरजी प्रवाह की टोपोलॉजी से भौतिक प्रणाली के बारे में बहुत सारी जानकारी प्राप्त की जा सकती है। विशेष रूप से, पुनर्सामान्यीकरण समूह विकास के निश्चित बिंदु (गणित) की पहचान बहुत महत्वपूर्ण है। निश्चित बिंदुओं के निकट रनिंग कपलिंग का प्रवाह प्रभावी रूप से रुक जाता है और आर.जी $\beta$-फ़ंक्शंस शून्य तक पहुंचते हैं। (आंशिक रूप से) स्थिर अवरक्त निश्चित बिंदुओं की उपस्थिति सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) की अवधारणा से निकटता से जुड़ी हुई है। सार्वभौमिकता इस अवलोकन में प्रकट होती है कि कुछ बहुत विशिष्ट भौतिक प्रणालियों का आलोचनात्मक व्यवहार समान होता है। उदाहरण के लिए, अच्छी सटीकता के लिए, पानी में तरल-गैस चरण संक्रमण और चुंबक में लौहचुंबकीय चरण संक्रमण के महत्वपूर्ण घातांक समान हैं। पुनर्सामान्यीकरण समूह भाषा में, एक ही सार्वभौमिकता वर्ग से विभिन्न प्रणालियाँ एक ही (आंशिक रूप से) स्थिर अवरक्त निश्चित बिंदु पर प्रवाहित होती हैं। इस तरह मैक्रोफिजिक्स विशेष भौतिक मॉडल के सूक्ष्म विवरण से स्वतंत्र हो जाता है।
• गड़बड़ी सिद्धांत की तुलना में, कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण पुनर्सामान्यीकरण योग्य और गैर-सामान्यीकरण योग्य युग्मन के बीच सख्त अंतर नहीं करता है। समस्या की समरूपता द्वारा अनुमत सभी चलने वाले कपलिंग एफआरजी प्रवाह के दौरान उत्पन्न होते हैं। हालाँकि, इन्फ्रारेड की ओर विकास के दौरान गैर-असामान्यीकरण योग्य कपलिंग आंशिक रूप से निश्चित बिंदुओं तक बहुत तेजी से पहुंचते हैं, और इस प्रकार प्रवाह प्रभावी रूप से पुनर्सामान्यीकरण योग्य कपलिंग की संख्या द्वारा दिए गए आयाम की हाइपरसतह पर ढह जाता है। गैर-सामान्यीकृत युग्मनों को ध्यान में रखते हुए उन गैर-सार्वभौमिक विशेषताओं का अध्ययन करने की अनुमति मिलती है जो सूक्ष्म क्रिया की ठोस पसंद के प्रति संवेदनशील हैं $S$ और परिमित पराबैंगनी कटऑफ़ $\Lambda$.
• वेटेरिच समीकरण को 1984 में जोसेफ पोल्चिंस्की द्वारा प्राप्त पोल्चिंस्की कार्यात्मक समीकरण के लीजेंड्रे परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है। एफआरजी में उपयोग की जाने वाली प्रभावी औसत कार्रवाई की अवधारणा, हालांकि, पोल्चिंस्की में बहने वाली नंगे कार्रवाई की तुलना में अधिक सहज है। समीकरण. इसके अलावा, व्यावहारिक गणना के लिए एफआरजी पद्धति अधिक उपयुक्त साबित हुई।
• आमतौर पर, दृढ़ता से बातचीत करने वाली प्रणालियों की कम-ऊर्जा भौतिकी को स्वतंत्रता की मैक्रोस्कोपिक डिग्री (यानी कण उत्तेजना) द्वारा वर्णित किया जाता है जो स्वतंत्रता की सूक्ष्म उच्च-ऊर्जा डिग्री से बहुत अलग हैं। उदाहरण के लिए, क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स क्वार्क और ग्लूऑन की परस्पर क्रिया का एक क्षेत्र सिद्धांत है। हालाँकि, कम ऊर्जा पर, स्वतंत्रता की उचित डिग्री बैरियन और मेसन हैं। एक अन्य उदाहरण संघनित पदार्थ भौतिकी में बीईसी/बीसीएस क्रॉसओवर समस्या है। जबकि सूक्ष्म सिद्धांत को दो-घटक गैर-सापेक्षवादी फ़र्मियन के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, कम ऊर्जा पर समग्र (कण-कण) डिमर स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री बन जाता है, और इसे मॉडल में स्पष्ट रूप से शामिल करने की सलाह दी जाती है। स्वतंत्रता की निम्न-ऊर्जा समग्र डिग्री को आंशिक बोसोनाइजेशन (हबर्ड-स्ट्रैटनोविच परिवर्तन) की विधि द्वारा विवरण में पेश किया जा सकता है। हालाँकि, यह परिवर्तन यूवी पैमाने पर एक बार और सभी के लिए किया जाता है $\Lambda$. एफआरजी में स्वतंत्रता की मैक्रोस्कोपिक डिग्री को शामिल करने का एक अधिक कुशल तरीका पेश किया गया था, जिसे फ्लोइंग बोसोनाइजेशन या रीबोसोनाइजेशन के रूप में जाना जाता है। स्केल-निर्भर फ़ील्ड परिवर्तन की सहायता से, यह सभी आरजी स्केल पर लगातार हबर्ड-स्ट्रैटोनोविच परिवर्तन करने की अनुमति देता है $k$.

विक-आदेशित प्रभावी इंटरैक्शन के लिए कार्यात्मक पुनर्सामान्यीकरण-समूह

प्रभावी कार्रवाई के लिए प्रवाह समीकरण के विपरीत, यह योजना प्रभावी बातचीत के लिए तैयार की गई है

${\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]=-\ln Z[G_{0}^{-1}\eta ,G_{0}^{-1}\eta ^{+}]-\eta G_{0}^{-1}\eta ^{+}$ जो नंगे प्रचारकों द्वारा विच्छेदित एन-कण अंतःक्रिया शीर्ष उत्पन्न करता है $G_{0}$;

$Z[\eta ,\eta ^{+}]$ एन-कण ग्रीन फ़ंक्शंस के लिए मानक जनरेटिंग फ़ंक्शनल है।

ग्रीन फ़ंक्शन के संबंध में प्रभावी बातचीत का विक आदेश $D$ द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

${\mathcal {W}}[\eta ,\eta ^{+}]=\exp(-\Delta _{D}){\mathcal {V}}[\eta ,\eta ^{+}]$.

कहाँ $\Delta =D\delta ^{2}/(\delta \eta \delta \eta ^{+})$ फ़ील्ड स्पेस में लाप्लासियन है। यह ऑपरेशन सामान्य क्रम के समान है और संबंधित ग्रीन फ़ंक्शन डी के साथ स्रोत फ़ील्ड के कनवल्शन द्वारा गठित सभी संभावित शब्दों को इंटरैक्शन से बाहर करता है। कुछ कटऑफ का परिचय $\Lambda$ पोल्किंस्की समीकरण

${\frac {\partial }{\partial \Lambda }}{{V}_{\Lambda }}(\psi )=-{{\dot {\Delta }}_{G_{0,\Lambda }}}{{V}_{\Lambda }}(\psi )+\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}$ विक-आदेशित समीकरण का रूप लेता है

${\partial _{\Lambda }}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}=-{\Delta _{{{\dot {D}}_{\Lambda }}+{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}}}{{\mathcal {W}}_{\Lambda }}+{e^{-\Delta _{D_{\Lambda }}^{12}}}\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {W}}_{\Lambda }^{(2)}$ कहाँ

$\Delta _{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}^{12}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(1)}{\mathcal {V}}_{\Lambda }^{(2)}={\frac {1}{2}}\left({{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }},{{\dot {G}}_{0,\Lambda }}{\frac {\delta {{V}_{\Lambda }}(\psi )}{\delta \psi }}}\right)$

अनुप्रयोग

इस पद्धति को भौतिकी में कई समस्याओं पर लागू किया गया था, उदाहरण के लिए:

• सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत में, एफआरजी ने शास्त्रीय रैखिक में चरण संक्रमणों की एक एकीकृत तस्वीर प्रदान की $O(N)$-विभिन्न आयामों में सममित अदिश सिद्धांत $d$, के लिए महत्वपूर्ण प्रतिपादकों सहित $d=3$ और बेरेज़िंस्की-कोस्टरलिट्ज़-थूलेस चरण संक्रमण के लिए $d=2$, $N=2$.
• गेज क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, उदाहरण के लिए, क्यूसीडी और इसके बड़े-स्वाद विस्तार के चिरल चरण संक्रमण और अवरक्त गुणों की जांच के लिए एफआरजी का उपयोग किया गया था।
• संघनित पदार्थ भौतिकी में, यह विधि जाली मॉडल (उदाहरण के लिए हबर्ड मॉडल या कुंठित चुंबकीय प्रणाली), प्रतिकारक बोस गैस, दो-घटक फर्मी गैस के लिए बीईसी/बीसीएस क्रॉसओवर, कोंडो प्रभाव, अव्यवस्थित प्रणाली और गैर-संतुलन घटना का इलाज करने में सफल साबित हुई। .
• गुरुत्वाकर्षण के लिए एफआरजी के अनुप्रयोग ने चार स्पेसटाइम आयामों में क्वांटम गुरुत्वकर्षण की गैर-विपरीत पुनर्सामान्यीकरण के पक्ष में तर्क प्रदान किए, जिसे एसिम्प्टोटिक सुरक्षा परिदृश्य के रूप में जाना जाता है।
• गणितीय भौतिकी में एफआरजी का उपयोग विभिन्न क्षेत्र सिद्धांतों की पुनर्सामान्यीकरण क्षमता को साबित करने के लिए किया गया था।

यह भी देखें

• पुनर्सामान्यीकरण समूह
• पुनर्सामान्यीकरण
• गंभीर घटनाएँ
• स्केल अपरिवर्तनीयता
• क्वांटम गुरुत्व में स्पर्शोन्मुख सुरक्षा

संदर्भ

कागजात

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शैक्षणिक समीक्षाएँ

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• J. Polonyi, Janos (2003), "Lectures on the functional renormalization group method", Cent. Eur. J. Phys., 1 (1): 1–71, arXiv:hep-th/0110026, Bibcode:2003CEJPh...1....1P, doi:10.2478/BF02475552, S2CID 53407529

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