ऋणात्मक आवृत्ति

वामावर्त-घूर्णन सदिश (cos t, sin t) की प्रति इकाई समय में +1 रेडियन की सकारात्मक आवृत्ति होती है। एक दक्षिणावर्त घूर्णन करने वाला सदिश (cos −t, sin −t) नहीं दर्शाया गया है जिसकी प्रति इकाई समय में -1 रेडियन की नकारात्मक आवृत्ति होती है। दोनों प्रत्येक 2π इकाई समय में एकक वृत्त के चारों ओर विपरीत दिशाओं में घूर्णन करते हैं।

गणित में, सांकेतिक आवृत्ति (नकारात्मक और सकारात्मक आवृत्ति) आवृत्ति की अवधारणा पर विस्तारित होती है, केवल एक निरपेक्ष मान जो यह दर्शाता है कि कुछ दोहराई जाने वाली घटना कितनी बार घटित होती है, इसके अतिरिक्त उन स्थितियों की घटनाओं के लिए दो विरोधी अभिविन्यासों में से एक का प्रतिनिधित्व करने वाला एक सकारात्मक या नकारात्मक संकेत भी होता है। निम्नलिखित उदाहरण इस अवधारणा को स्पष्ट करने में सहायता प्रदान करते हैं:

• किसी घूर्णन करने वाली वस्तु के लिए, उसके घूर्णन करने की आवृत्ति का निरपेक्ष मान इंगित करता है कि वस्तु समय की प्रति इकाई कितने चक्कर लगाती है, जबकि संकेत यह स्पष्ट कर सकता है कि वह दक्षिणावर्त या वामावर्त घूम रही है।
  • गणितीय रूप से कहें तो, सदिश$(\cos(t),\sin(t))$ की धनात्मक आवृत्ति +1 रेडियन प्रति इकाई समय होती है तथा यह वृत्त इकाई के चारों ओर वामावर्त घूर्णन करती है, जबकि वेक्टर $(\cos(-t),\sin(-t))$ समय की प्रति इकाई -1 रेडियन की नकारात्मक आवृत्ति होती है, जो दक्षिणावर्त घूर्णन करती है।
• पेंडुलम जैसे एक सरल आवर्ती दोलक के लिए इसकी आवृत्ति का पूर्ण मान इंगित करता है कि यह समय की प्रति इकाई कितनी बार आगे और पीछे घूर्णन करती है, जबकि संकेत यह स्पष्ट कर सकता है कि दो विपरीत दिशाओं में से किस दिशा में इसने चलना आरंभ किया।
• कार्तीय निर्देशांक पद्धति में दर्शाए गए एक आवर्ती फलन के लिए इसकी आवृत्ति का पूर्ण मान इंगित करता है कि यह अपने डोमेन में कितनी बार अपने मानों को दोहराता है, जबकि इसकी आवृत्ति का संकेत परिवर्तन करना इसके y-अक्ष के चारों ओर एक प्रतिबिंब का निरूपण कर सकता है।

ज्यावक्र

मान लीजिए कि समय की प्रति इकाई रेडियन की इकाइयों के साथ $\omega$ एक गैर-नकारात्मक कोणीय आवृत्ति तथा $\varphi$ रेडियन में एक चरण है। फलन $\theta (t)=-\omega t+\varphi$ में स्लोप $-\omega .$ है। जब ज्यावक्र के तर्क के रूप में उपयोग किया जाता है तो $-\omega$ एक नकारात्मक आवृत्ति को प्रस्तुत कर सकता है।

चूँकि कोसाइन एक सम फलन है इसलिए नकारात्मक आवृत्ति ज्यावक्र $\cos(-\omega t+\varphi )$ सकारात्मक आवृत्ति ज्यावक्र $\cos(\omega t-\varphi ).$ से अप्रभेद्य है।

इसी प्रकार, चूँकि साइन एक विषम फलन है, नकारात्मक आवृत्ति ज्यावक्र $\sin(-\omega t+\varphi )$ सकारात्मक आवृत्ति ज्यावक्र ${\text{-}}\sin(\omega t-\varphi )$ या $\sin(\omega t-\varphi +\pi ).$ से अप्रभेद्य है।

इस प्रकार किसी भी ज्यावक्र को केवल सकारात्मक आवृत्तियों के संदर्भ में दर्शाया जा सकता है।

एक नकारात्मक आवृत्ति के कारण साइन फलन (बैंगनी) cos (लाल) को 1/4 चक्र तक ले जाता है।

अंतर्निहित फेज स्लोप का संकेत अस्पष्ट है। क्योंकि $\cos(\omega t+\varphi )$ नेतृत्व $\sin(\omega t+\varphi )$ द्वारा ${\tfrac {\pi }{2}}$ रेडियंस (या 1/4 चक्र) सकारात्मक आवृत्तियों के लिए और नकारात्मक आवृत्तियों के लिए समान मात्रा में अंतराल, चरण ढलान के बारे में अस्पष्टता को कोसाइन और साइन ऑपरेटर को एक साथ देखकर और यह देखकर हल किया जाता है कि कौन सा दूसरे से आगे है।

का चिन्ह $\omega$ जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन में भी संरक्षित है:

$e^{i\omega t}=\underbrace {\cos(\omega t)} _{R(t)}+i\cdot \underbrace {\sin(\omega t)} _{I(t)},$

(Eq.1)

चूँकि $R(t)$ और $I(t)$ को अलग-अलग प्रेक्षित तथा तुलना की जा सकती है। एक सामान्य व्याख्या यह है $e^{i\omega t}$यह इसके किसी भी घटक की तुलना में एक सरल कार्य है, क्योंकि यह गुणक यूलर के सूत्र#त्रिकोणमिति से संबंध को सरल बनाता है, जो इसके विश्लेषणात्मक संकेत के रूप में इसके औपचारिक विवरण की ओर ले जाता है $\cos(\omega t)$.

इसके जटिल संयुग्म के साथ एक विश्लेषणात्मक निरूपण का योग तथ्यपूर्ण वास्तविक-मूल्यवान फलन का निष्कर्षण करता है जिसका वे प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए:

$\cos(\omega t)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\left(e^{i\omega t}+e^{-i\omega t}\right),$

(Eq.2)

जो किंचित भ्रामक व्याख्या को जीवित करता है कि $\cos(\omega t)$ में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियाँ सम्मिलित हैं। किन्तु "योग" में सभी काल्पनिक घटकों $({\tfrac {1}{2}}i\sin(\omega t)-{\tfrac {1}{2}}i\sin(\omega t))$ का निरस्तीकरण करना सम्मिलित है। उस निरस्तीकरण के परिणामस्वरूप केवल आवृत्ति के संकेत के विषय में अस्पष्टता उत्पन्न होती है। किसी भी चिह्न का उपयोग करने से समान कोज्या तरंग का समतुल्य प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है।

किसी भी माप में जो दोनों आवृत्तियों को इंगित करता है तथा दोनों आवृत्तियों में से एक मिथ्या सकारात्मकता या अन्य का उपनाम है क्योंकि $\omega$ केवल एक ही चिन्ह हो सकता है। उदाहरण के लिए, फूरियर रूपांतरण हमें केवल यह बताता है कि $\cos(\omega t)$, $\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)$ के साथ समान रूप से अच्छी तरह सहसंबंधित होता है जिस प्रकार $\cos(\omega t)-i\sin(\omega t).$के साथ संबंधित होता है। तथापि, एक वास्तविक ज्यावक्र को सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्ति के संयोजन के रूप में मानना कभी-कभी उपयोगी (और गणितीय रूप से मान्य) होता है।

अनुप्रयोग

फूरियर रूपांतरण को सरल बनाना

संभवतः ऋणात्मक आवृत्ति का अत्यधिक प्रसिद्ध अनुप्रयोग सूत्र है:

${\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,$

जो आवृत्ति $\omega .$ पर फलन$f(t)$ में ऊर्जा का माप है। जब तर्क $\omega ,$ की निरंतरता के लिए मूल्यांकन किया जाता है तो परिणाम को फूरियर रूपांतरण कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, फलन पर विचार करें:

$f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.$

तथा:

${\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}$

ध्यान दें कि यद्यपि अधिकांश फलनों में अनंत अवधि के साइन वक्र सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु आदर्शीकरण एक सामान्य सरलीकरण है जो समझने में सुविधा प्रदान करता है।

इस परिणाम के पहले कार्यकाल को देखते हुए, कब $\omega =\omega _{1},$ नकारात्मक आवृत्ति $-\omega _{1}$ केवल स्थिर गुणांक छोड़कर, सकारात्मक आवृत्ति को रद्द कर देता है $A_{1}$ (क्योंकि $e^{i0t}=e^{0}=1$), जो अनंत अभिन्न अंग को अलग करने का कारण बनता है। $\omega$ के अन्य मानों पर अवशिष्ट दोलनों के कारण पूर्ण शून्य में परिवर्तित हो जाता है। इस आदर्शीकृत फूरियर रूपांतरण को सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:

${\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\omega _{2}).$

यथार्थवादी अवधियों के लिए, विचलन और अभिसरण कम चरम होते हैं, और छोटे गैर-शून्य अभिसरण (वर्णक्रमीय रिसाव) कई अन्य आवृत्तियों पर दिखाई देते हैं, लेकिन नकारात्मक आवृत्ति की अवधारणा अभी भी लागू होती है। जोसेफ फूरियर के मूल सूत्रीकरण (साइन और कोसाइन रूपांतरण) के लिए कोसाइन के लिए एक अभिन्न और साइन के लिए दूसरे की आवश्यकता होती है। और परिणामी त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियाँ अक्सर जटिल घातांकीय अभिव्यक्तियों की तुलना में कम सुव्यवस्थित होती हैं। (विश्लेषणात्मक संकेत देखें, Euler's formula § Relationship to trigonometry, और चरण)

सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्तियों का नमूनाकरण और उपनाम

Main article: Aliasing § Complex sinusoids

यह चित्र दो जटिल साइनसोइड्स, रंगीन सोने और सियान को दर्शाता है, जो वास्तविक और काल्पनिक नमूना बिंदुओं के समान सेट में फिट होते हैं। इस प्रकार जब दर (एफ) पर नमूना लिया जाता है तो वे एक-दूसरे के उपनाम होते हैं_s) ग्रिड लाइनों द्वारा दर्शाया गया है। सोने के रंग का फ़ंक्शन एक सकारात्मक आवृत्ति को दर्शाता है, क्योंकि इसका वास्तविक भाग (कॉस फ़ंक्शन) इसके काल्पनिक भाग को एक चक्र के 1/4 से आगे ले जाता है। सियान फ़ंक्शन एक नकारात्मक आवृत्ति को दर्शाता है, क्योंकि इसका वास्तविक भाग काल्पनिक भाग से पीछे है।

यह भी देखें

• कोण#संकेत

अग्रिम पठन

• Positive and Negative Frequencies
• Lyons, Richard G. (Nov 11, 2010). Chapt 8.4. Understanding Digital Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. 944 pgs. ISBN 0137027419.
• Lyons, Richard G. (Nov 2001). "Understanding Digital Signal Processing's Frequency Domain". RF Design magazine. Retrieved Dec 29, 2022.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)