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Revision as of 15:35, 29 November 2022

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित, एक अभिन्न प्रांत एक शून्य रिंग क्रमविनिमेय अंगूठी है जिसमें किसी भी दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है।^[1]^[2] इंटीग्रल प्रांत पूर्णांक के रिंग (गणित) के सामान्यीकरण हैं और विभाज्यता (रिंग थ्योरी) का अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग प्रदान करते हैं। एक अभिन्न प्रांत में, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में रद्द करने की संपत्ति होती है, अर्थात यदि a ≠ 0, एक समानता ab = ac तात्पर्य b = c.

इंटीग्रल प्रांत को लगभग सार्वभौमिक रूप से ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन इसमें कुछ भिन्नता है। यह लेख इस परंपरा का अनुसरण करता है कि छल्ले की गुणक पहचान होती है, जिसे सामान्यतः 1 दर्शाया जाता है, लेकिन कुछ लेखक इसका पालन नहीं करते हैं, अभिन्न प्रांत को गुणक पहचान की आवश्यकता नहीं होने के कारण।^[3]^[4] कभी-कभी गैर-अनुक्रमिक अभिन्न प्रांत स्वीकार किए जाते हैं।^[5] यह लेख, प्रायः, क्रमविनिमेय स्थिति के लिए इंटीग्रल प्रांत शब्द को Rक्षित करने और गैर-क्रमविनिमेय रिंग्स सहित सामान्य स्थिति के लिए प्रांत (रिंग थ्योरी) का उपयोग करने के अधिक सामान्य सम्मेलन का अनुसरण करता है।

कुछ स्रोत, विशेष रूप से सर्ज लैंग, अभिन्न प्रांत के लिए संपूर्ण रिंग शब्द का उपयोग करते हैं।^[6] उपवर्ग (सेट सिद्धांत) की निम्नलिखित श्रृंखला के साथ कुछ विशिष्ट प्रकार के अभिन्न प्रांत दिए गए हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

परिभाषा

एक अभिन्न प्रांत एक शून्य सबरिंग क्रमविनिमेय रिंग है जिसमें किसी भी दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है। समान रूप से:

एक अभिन्न प्रांत एक गैर-शून्य क्रमविनिमेय वलय है जिसमें कोई गैर-शून्य विभाजक नहीं है।
एक अभिन्न प्रांत एक क्रमविनिमेय रिंग है जिसमें शून्य आदर्श {0} एक प्रमुख आदर्श है।
एक अभिन्न प्रांत एक गैर-शून्य क्रमविनिमेय रिंग है जिसके लिए प्रत्येक गैर-शून्य तत्व गुणन के अंतर्गत रद्द करने की संपत्ति है।
एक अभिन्न प्रांत एक अंगूठी है जिसके लिए गैर-शून्य तत्वों का सेट गुणन के अंतर्गत एक क्रमविनिमेय एकाभ (monoid) है (क्योंकि गुणन के अंतर्गत एक एकाभ बंद होना चाहिए)।
एक अभिन्न प्रांत एक गैर-शून्य क्रमविनिमेय रिंग है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व r के लिए, रिंग के प्रत्येक तत्व x को उत्पाद xr में मानचित्रण करने वाला फ़ंक्शन अंतःक्षेपक है। इस संपत्ति वाले तत्वों को नियमित कहा जाता है, इसलिए यह आवश्यक है कि अंगूठी के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व नियमित हों।
एक अभिन्न प्रांत एक अंगूठी है जो एक क्षेत्र (गणित) के एक उपसमूह के लिए समरूपी है। (एक अभिन्न प्रांत दिया गया है, कोई इसे अपने अंशों के क्षेत्र में लागू कर सकता है।)

उदाहरण

मूल रूप में उदाहरण अंगूठी है $\mathbb {Z}$ सभी पूर्णांकों का।
हर क्षेत्र एक अभिन्न प्रांत है। उदाहरण के लिए, मैदान $\mathbb {R}$ सभी वास्तविक संख्याओं का एक अभिन्न प्रांत है। इसके विपरीत, प्रत्येक R्टिनियन अभिन्न प्रांत एक क्षेत्र है। विशेष रूप से, सभी परिमित अभिन्न प्रांत परिमित क्षेत्र हैं (अधिक सामान्यतः, वेडरबर्न के छोटे प्रमेय द्वारा, परिमित प्रांत (रिंग सिद्धांत) परिमित क्षेत्र हैं)। पूर्णांकों का वलय $\mathbb {Z}$ एक गैर-R्टिनियन अनंत अभिन्न प्रांत का एक उदाहरण प्रदान करता है जो एक क्षेत्र नहीं है, जिसमें आदर्शों के अनंत अवरोही क्रम होते हैं जैसे:

\mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots

यदि गुणांक एक अभिन्न प्रांत से आते हैं तो बहुपदों के छल्ले अभिन्न प्रांत हैं। उदाहरण के लिए, अंगूठी $\mathbb {Z} [x]$ पूर्णांक गुणांक वाले एक चर में सभी बहुपदों का एक अभिन्न प्रांत है; तो अंगूठी है $\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ सम्मिश्र संख्या गुणांक वाले n-चर में सभी बहुपदों की संख्या।

प्रधान आदर्शों से भागफल लेकर पिछले उदाहरण का और अधिक उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंगूठी $\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))$ समतल दीर्घवृत्तीय वक्र के संगत एक पूर्णांकीय प्रांत है। अखंडता दिखाकर जाँच की जा सकती है $y^{2}-x(x-1)(x-2)$ एक अलघुकरणीय बहुपद है।

अंगूठी $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$ किसी भी गैर-वर्ग पूर्णांक के लिए एक अभिन्न प्रांत है $n$ यदि $n>0$ , तो यह वलय सदैव का उपवलय होता है $\mathbb {R}$ , अन्यथा, यह $\mathbb {C} .$ का एक उपसमूह है।
पी-आदिक पूर्णांक (p-adic integers) का वलय $\mathbb {Z} _{p}$ एक अभिन्न प्रांत है।

यदि $U$ सम्मिश्र संख्या का एक जुड़ाव खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {C}$ , फिर अंगूठी ${\mathcal {H}}(U)$ सभी होलोमॉर्फिक कार्यों से मिलकर एक अभिन्न प्रांत है। विश्लेषणात्मक विविध के जुड़े खुले सबसेट पर विश्लेषणात्मक कार्यों के छल्ले के लिए भी यही सच है।

एक नियमित स्थानीय रिंग एक अभिन्न प्रांत है। वास्तव में, एक नियमित स्थानीय रिंग एक अद्वितीय गुणनखंड प्रांत है।^[7]^[8]

गैर-उदाहरण

निम्नलिखित वलय अभिन्न प्रांत नहीं हैं।

शून्य वलय (वह वलय जिसमें $0=1$ ).

भागफल की अंगूठी $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ जब एम एक समग्र संख्या है। वास्तव में, एक उचित गुणनखंड चुनें $m=xy$ (जिसका अर्थ है कि $x$ तथा $y$ के बराबर नहीं हैं $1$ या $m$ ). फिर $x\not \equiv 0{\bmod {m}}$ तथा $y\not \equiv 0{\bmod {m}}$ , लेकिन $xy\equiv 0{\bmod {m}}$ .

दो अशून्य क्रमविनिमेय वलयों का उत्पाद वलय। ऐसे उत्पाद में $R\times S$ , किसी के पास $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ .

भागफल की अंगूठी $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})$ किसी के लिए $n\in \mathbb {Z}$ . के चित्र $x+n$ तथा $x-n$ अशून्य हैं, जबकि इस वलय में उनका गुणनफल 0 है।

n ≥ 2 होने पर किसी भी शून्य रिंग पर n × n मैट्रिक्स (गणित) का मैट्रिक्स रिंग। यदि $M$ तथा $N$ मैट्रिसेस ऐसे हैं कि की छवि $N$ के कर्नेल में निहित है $M$ , फिर $MN=0$ . उदाहरण के लिए, ऐसा होता है $M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})$ .

भागफल की अंगूठी $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)$ किसी भी क्षेत्र के लिए $k$ और कोई भी गैर-निरंतर बहुपद $f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ . के चित्र $f$ तथा $g$ इस भागफल वलय में शून्येतर तत्व हैं जिनका गुणनफल 0 है। यह तर्क समान रूप से यह दर्शाता है $(fg)$ प्रमुख आदर्श नहीं है। इस परिणाम की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि एक समारोह का शून्य $fg$ एक संबधित बीजगणितीय सेट बनाते हैं जो सामान्य रूप से अप्रासंगिक नहीं है (अर्थात, बीजगणितीय किस्म नहीं है)। एकमात्र स्थिति जहां यह बीजगणितीय सेट अप्रासंगिक हो सकता है, जब $fg$ एक अलघुकरणीय बहुपद की एक शक्ति है, जो समान बीजगणितीय समुच्चय को परिभाषित करता है।

इकाई अंतराल पर निरंतर कार्यों की अंगूठी। कार्यों पर विचार करें

f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}

न

f

न

g

हर जगह शून्य है, लेकिन

fg

है।

बीजगणित का टेंसर उत्पाद $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ . इस अंगूठी में दो गैर-तुच्छ इडेमपोटेंट हैं, $e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ तथा $e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)$ . वे ओर्थोगोनल हैं, जिसका अर्थ है $e_{1}e_{2}=0$ , और इसलिए $\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ एक प्रांत नहीं है। वास्तव में, एक समरूपता है $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ द्वारा परिभाषित $(z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}$ . इसके व्युत्क्रम द्वारा परिभाषित किया गया है $z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})$ . इस उदाहरण से पता चलता है कि अपरिवर्तनीय एफ़िन स्कीमों की योजनाओं का एक फाइबर उत्पाद अपरिवर्तनीय नहीं होना चाहिए।

विभाज्यता, प्रधान तत्व, और अलघुकरणीय तत्व

इस खंड में, R एक पूर्णांकीय प्रांत है।

R के तत्व a और b दिए गए हैं, कोई कहता है कि a, b को विभाजित करता है, या b की विभाज्यता है, या b, a का गुणक है, यदि R में कोई तत्व x मौजूद है जैसे कि ax = b.

R की इकाई वे तत्व हैं जो 1 को विभाजित करते हैं; ये बिल्कुल R में उल्टे तत्व हैं। इकाइयां अन्य सभी तत्वों को विभाजित करती हैं।

यदि a, b को विभाजित करता है और b, a को विभाजित करता है, तो a और b 'सहयोगी तत्व' या 'सहयोगी' हैं।^[9] समतुल्य रूप से, a और b सहयोगी हैं यदि a = ub किसी इकाई के लिए u हैं.

एक अलघुकरणीय तत्व एक गैर-शून्य गैर-इकाई है जिसे दो गैर-इकाइयों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

एक गैर-शून्य गैर-इकाई p एक प्रमुख तत्व है,यदि, जब भी p उत्पाद a, b को विभाजित करता है, तो p ,a को विभाजित करता है या p, b को विभाजित करता है। समतुल्य रूप से, एक तत्व p अभाज्य है यदि और केवल तभी जब मुख्य आदर्श (p) एक अशून्य अभाज्य आदर्श है।

अलघुकरणीय तत्वों और प्रधान तत्वों की दोनों धारणाएं वलय में अभाज्य संख्याओं की सामान्य परिभाषा को सामान्य करती हैं $\mathbb {Z} ,$ यदि कोई ऋणात्मक अभाज्यों को प्रधान मानता है।

प्रत्येक प्रमुख तत्व अलघुकरणीय है। इसका वार्तालाप सामान्य रूप से सत्य नहीं है: उदाहरण के लिए, द्विघात पूर्णांक वलय में $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ तत्व 3 अलघुकरणीय है (यदि यह गैर-तुच्छ रूप से कारक है, तो कारकों में प्रत्येक के पास मानक 3 होना चाहिए, लेकिन कोई मानक 3 तत्व नहीं हैं क्योंकि $a^{2}+5b^{2}=3$ कोई पूर्णांक समाधान नहीं है), लेकिन अभाज्य नहीं है (3 विभाजन के बाद से $\left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)$ किसी भी कारक को विभाजित किए बिना)। एक अद्वितीय कारककरण प्रांत (या अधिक सामान्यतः, एक जीसीडी प्रांत) में, एक अलघुकरणीय तत्व एक प्रमुख तत्व है।

जबकि अंकगणित का मौलिक प्रमेय लागू नहीं होता है $\mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]$ , आइडियल (रिंग थ्योरी) का अनूठा गुणनखंड है। लस्कर-नोथेर प्रमेय देखें।

गुण

एक क्रमविनिमेय रिंग R एक अभिन्न प्रांत है अगर और केवल अगर R का आदर्श (0) एक प्रमुख आदर्श है।
यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और P, R में एक आदर्श है, तो भागफल वलय R/P एक अभिन्न प्रांत है यदि और केवल यदि P एक प्रमुख आदर्श है।
माना R एक पूर्णांकीय प्रांत है। फिर R पर बहुपद के छल्ले (किसी भी संख्या में अनिश्चित) अभिन्न प्रांत हैं। यह विशेष रूप से स्थिति है यदि R एक क्षेत्र (गणित) है।
रद्दीकरण संपत्ति किसी भी अभिन्न प्रांत में होती है: किसी भी a, b, और cके लिए एक अभिन्न प्रांत में, यदि a ≠ 0 और ab = ac तो b = c इसे बताने का दूसरा तरीका यह है कि फ़ंक्शन x ↦ ax प्रांत में किसी भी अशून्य a के लिए अंतःक्षेपी है।
रद्दीकरण संपत्ति किसी भी अभिन्न प्रांत में आदर्शों के लिए है: यदि xI = xJ, तो या तो x शून्य है या I = J है।
एक अभिन्न प्रांत अधिकतम आदर्शों पर एक अंगूठी के स्थानीयकरण के चौराहे के बराबर है।
अभिन्न प्रांत की आगमनात्मक सीमा एक अभिन्न प्रांत है।
यदि $A,B$ बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर अभिन्न प्रांत हैं, फिर $A\otimes _{k}B$ एक अभिन्न प्रांत है। यह हिल्बर्ट के नलस्टेलनसैट्ज का परिणाम है,^{[note 1]} और, बीजगणितीय ज्यामिति में, इसका तात्पर्य इस कथन से है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर दो अफाइन बीजगणितीय किस्मों के उत्पाद का समन्वय वलय फिर से एक अभिन्न प्रांत है।

अंशों का क्षेत्र

अभिन्न प्रांत R के भिन्न K का क्षेत्र, R में a और b के साथ भिन्न a/b का सेट है और b ≠ 0 मॉड्यूल एक उपयुक्त तुल्यता संबंध है, जो सामान्य योग और गुणन संक्रियाओं से सुसज्जित है। यह इस अर्थ में R वाला सबसे छोटा क्षेत्र है कि एक अंतःक्षेपी वलय समरूपता है R → K ऐसा है कि कोई भी इंजेक्टिव रिंग होमोमोर्फिज्म R से K के माध्यम से एक फील्ड फैक्टर के लिए। पूर्णांकों के रिंग के अंशों का क्षेत्र $\mathbb {Z}$ परिमेय संख्याओं का क्षेत्र है $\mathbb {Q} .$ किसी क्षेत्र के अंशों का क्षेत्र स्वयं क्षेत्र के लिए समरूपता है।

बीजगणितीय ज्यामिति

अभिन्न प्रांत की विशेषता इस स्थिति से होती है कि वे कम रिंग वाले होते हैं (अर्थात x² = 0 का अर्थ है x = 0) और अलघुकरणीय वलय (अर्थात् केवल एक न्यूनतम अभाज्य गुणजावली है)। पूर्व की स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि रिंग के एक रिंग का शून्य अतिवादी शून्य है, ताकि सभी रिंग के न्यूनतम प्राइम्स का प्रतिच्छेदन शून्य हो। बाद की स्थिति यह है कि रिंग में केवल एक न्यूनतम प्राइम होता है। यह इस प्रकार है कि एक कम और अलघुकरणीय अंगूठी का अद्वितीय न्यूनतम प्रधान आदर्श शून्य आदर्श है, इसलिए ऐसे छल्ले अभिन्न प्रांत हैं। इसका विलोम स्पष्ट है: एक अभिन्न प्रांत में कोई गैर शून्य निलपोटेंट तत्व नहीं है, और शून्य आदर्श अद्वितीय न्यूनतम प्रधान आदर्श है।

यह बीजगणितीय ज्यामिति में, इस तथ्य में अनुवाद करता है कि एक एफ़िन बीजगणितीय सेट की समन्वय अंगूठी एक अभिन्न प्रांत है अगर और केवल अगर बीजगणितीय सेट एक बीजगणितीय विविधता है।

अधिक आम तौर पर, एक क्रमविनिमेय रिंग एक अभिन्न प्रांत है अगर और केवल अगर रिंग का स्पेक्ट्रम एक अभिन्न योजना एफ़िन स्कीम है।

विशेषता और समरूपता

एक अभिन्न प्रांत की विशेषता (बीजगणित) या तो 0 या एक अभाज्य संख्या है।

यदि R प्रमुख विशेषता पी का एक अभिन्न प्रांत है, तो फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म एफ (एक्स) = एक्स^p इंजेक्शन है।

यह भी देखें

डेडेकाइंड-हस्से मानदंड - एक अभिन्न प्रांत के प्रमुख होने के लिए आवश्यक अतिरिक्त संरचना
शून्य-उत्पाद संपत्ति

↑ Proof: First assume A is finitely generated as a k-algebra and pick a $k$ -basis $g_{i}$ of $B$ . Suppose ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (only finitely many $f_{i},h_{j}$ are nonzero). For each maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ of $A$ , consider the ring homomorphism $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ . Then the image is ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and thus either ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ or ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and, by linear independence, ${\overline {f_{i}}}=0$ for all $i$ or ${\overline {h_{i}}}=0$ for all $i$ . Since ${\mathfrak {m}}$ is arbitrary, we have ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ the intersection of all maximal ideals $=(0)$ where the last equality is by the Nullstellensatz. Since $(0)$ is a prime ideal, this implies either ${\textstyle \sum f_{i}A}$ or ${\textstyle \sum h_{i}A}$ is the zero ideal; i.e., either $f_{i}$ are all zero or $h_{i}$ are all zero. Finally, $A$ is an inductive limit of finitely generated k-algebras that are integral domains and thus, using the previous property, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ is an integral domain. $\square$

↑ Bourbaki, p. 116.
↑ Dummit and Foote, p. 228.
↑ B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.
↑ I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
↑ J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)
↑ Pages 91–92 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001
↑ No label or title -- debug: Q24655880, Wikidata Q24655880
↑ No label or title -- debug: Q56049883, Wikidata Q56049883
↑ Durbin, John R. (1993). आधुनिक बीजगणित: एक परिचय (3rd ed.). John Wiley and Sons. p. 224. ISBN 0-471-51001-7. [एक अभिन्न डोमेन] के तत्व ए और बी को एसोसिएट्स कहा जाता है अगर ए {{cite book}}: Text "ए." ignored (help); Text "बी और बी" ignored (help)

संदर्भ

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Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.
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B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

बाहरी संबंध

"where does the term "integral domain" come from?".

[10] Proof: First assume A is finitely generated as a k-algebra and pick a $k$ -basis $g_{i}$ of $B$ . Suppose ${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$ (only finitely many $f_{i},h_{j}$ are nonzero). For each maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ of $A$ , consider the ring homomorphism $A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B$ . Then the image is ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and thus either ${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$ or ${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$ and, by linear independence, ${\overline {f_{i}}}=0$ for all $i$ or ${\overline {h_{i}}}=0$ for all $i$ . Since ${\mathfrak {m}}$ is arbitrary, we have ${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$ the intersection of all maximal ideals $=(0)$ where the last equality is by the Nullstellensatz. Since $(0)$ is a prime ideal, this implies either ${\textstyle \sum f_{i}A}$ or ${\textstyle \sum h_{i}A}$ is the zero ideal; i.e., either $f_{i}$ are all zero or $h_{i}$ are all zero. Finally, $A$ is an inductive limit of finitely generated k-algebras that are integral domains and thus, using the previous property, $A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B$ is an integral domain. $\square$

[1] Bourbaki, p. 116.

[2] Dummit and Foote, p. 228.

[3] B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.

[4] I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.

[5] J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)

[6] Pages 91–92 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

[7] No label or title -- debug: Q24655880, Wikidata Q24655880

[8] No label or title -- debug: Q56049883, Wikidata Q56049883

[9] Durbin, John R. (1993). आधुनिक बीजगणित: एक परिचय (3rd ed.). John Wiley and Sons. p. 224. ISBN 0-471-51001-7. [एक अभिन्न डोमेन] के तत्व ए और बी को एसोसिएट्स कहा जाता है अगर ए {{cite book}}: Text "ए." ignored (help); Text "बी और बी" ignored (help)

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 गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित, एक अभिन्न प्रांत एक शून्य रिंग [[क्रमविनिमेय अंगूठी]] है जिसमें किसी भी दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है।<ref>Bourbaki, p.&nbsp;116.</ref><ref>Dummit and Foote, p.&nbsp;228.</ref> इंटीग्रल प्रांत [[पूर्णांक]] के रिंग (गणित) के सामान्यीकरण हैं और विभाज्यता (रिंग थ्योरी) का अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग प्रदान करते हैं। एक अभिन्न प्रांत में, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में [[रद्द करने की संपत्ति]] होती है, अर्थात यदि {{nowrap|''a'' ≠ 0}}, एक समानता {{nowrap|''ab'' {{=}} ''ac''}} तात्पर्य {{nowrap|''b'' {{=}} ''c''}}.
-इंटीग्रल प्रांत को लगभग सार्वभौमिक रूप से ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन इसमें कुछ भिन्नता है। यह लेख इस परंपरा का अनुसरण करता है कि छल्ले की [[गुणक पहचान]] होती है, जिसे सामान्यतः 1 दर्शाया जाता है, लेकिन कुछ लेखक इसका पालन नहीं करते हैं, अभिन्न प्रांत को गुणक पहचान की आवश्यकता नहीं होने के कारण।<ref>B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.</ref><ref>I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.</ref> कभी-कभी गैर-अनुक्रमिक अभिन्न प्रांत स्वीकार किए जाते हैं।<ref>J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" ([[Graduate Studies in Mathematics]] Vol. 30, AMS)</ref> यह लेख, प्रायः, क्रमविनिमेय स्थिति के लिए इंटीग्रल प्रांत शब्द को आरक्षित करने और गैर-क्रमविनिमेय रिंग्स सहित सामान्य स्थिति के लिए [[डोमेन (रिंग थ्योरी)|प्रांत (रिंग थ्योरी)]] का उपयोग करने के अधिक सामान्य सम्मेलन का अनुसरण करता है।
+इंटीग्रल प्रांत को लगभग सार्वभौमिक रूप से ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन इसमें कुछ भिन्नता है। यह लेख इस परंपरा का अनुसरण करता है कि छल्ले की [[गुणक पहचान]] होती है, जिसे सामान्यतः 1 दर्शाया जाता है, लेकिन कुछ लेखक इसका पालन नहीं करते हैं, अभिन्न प्रांत को गुणक पहचान की आवश्यकता नहीं होने के कारण।<ref>B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.</ref><ref>I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.</ref> कभी-कभी गैर-अनुक्रमिक अभिन्न प्रांत स्वीकार किए जाते हैं।<ref>J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" ([[Graduate Studies in Mathematics]] Vol. 30, AMS)</ref> यह लेख, प्रायः, क्रमविनिमेय स्थिति के लिए इंटीग्रल प्रांत शब्द को Rक्षित करने और गैर-क्रमविनिमेय रिंग्स सहित सामान्य स्थिति के लिए [[डोमेन (रिंग थ्योरी)|प्रांत (रिंग थ्योरी)]] का उपयोग करने के अधिक सामान्य सम्मेलन का अनुसरण करता है।
 कुछ स्रोत, विशेष रूप से [[सर्ज लैंग]], अभिन्न प्रांत के लिए संपूर्ण रिंग शब्द का उपयोग करते हैं।<ref>Pages 91–92 of {{Lang Algebra|edition=3}}</ref>
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 * मूल रूप में  उदाहरण अंगूठी है <math>\Z</math> सभी पूर्णांकों का।
-* हर क्षेत्र एक अभिन्न प्रांत है। उदाहरण के लिए, मैदान <math>\R</math> सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं का एक अभिन्न प्रांत है। इसके विपरीत, प्रत्येक [[मतलब अंगूठी|आर्टिनियन अभिन्न]] प्रांत एक क्षेत्र है। विशेष रूप से, सभी परिमित अभिन्न प्रांत [[परिमित क्षेत्र]] हैं (अधिक सामान्यतः, वेडरबर्न के छोटे प्रमेय द्वारा, परिमित प्रांत (रिंग सिद्धांत) परिमित क्षेत्र हैं)। पूर्णांकों का वलय <math>\Z</math> एक गैर-आर्टिनियन अनंत अभिन्न प्रांत का एक उदाहरण प्रदान करता है जो एक क्षेत्र नहीं है, जिसमें आदर्शों के अनंत अवरोही क्रम होते हैं जैसे:
+* हर क्षेत्र एक अभिन्न प्रांत है। उदाहरण के लिए, मैदान <math>\R</math> सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं का एक अभिन्न प्रांत है। इसके विपरीत, प्रत्येक [[मतलब अंगूठी|R्टिनियन अभिन्न]] प्रांत एक क्षेत्र है। विशेष रूप से, सभी परिमित अभिन्न प्रांत [[परिमित क्षेत्र]] हैं (अधिक सामान्यतः, वेडरबर्न के छोटे प्रमेय द्वारा, परिमित प्रांत (रिंग सिद्धांत) परिमित क्षेत्र हैं)। पूर्णांकों का वलय <math>\Z</math> एक गैर-R्टिनियन अनंत अभिन्न प्रांत का एक उदाहरण प्रदान करता है जो एक क्षेत्र नहीं है, जिसमें आदर्शों के अनंत अवरोही क्रम होते हैं जैसे:
 ::<math>\Z \supset 2\Z \supset \cdots \supset 2^n\Z \supset 2^{n+1}\Z \supset \cdots</math>
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 R के तत्व a और b दिए गए हैं, कोई कहता है कि a, b को विभाजित करता है, या b की विभाज्यता है, या b, a का गुणक है, यदि R में कोई तत्व x मौजूद है जैसे कि {{nowrap|1=''ax'' = ''b''}}.
-R की इकाई वे तत्व हैं जो 1 को विभाजित करते हैं; ये बिल्कुल आर में उल्टे तत्व हैं। इकाइयां अन्य सभी तत्वों को विभाजित करती हैं।
+R की इकाई वे तत्व हैं जो 1 को विभाजित करते हैं; ये बिल्कुल R में उल्टे तत्व हैं। इकाइयां अन्य सभी तत्वों को विभाजित करती हैं।
-यदि a, b को विभाजित करता है और b, a को विभाजित करता है, तो a और b 'सहयोगी तत्व' या 'सहयोगी' हैं।<ref>{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=आधुनिक बीजगणित: एक परिचय|edition=3rd |date=1993 |publisher=John Wiley and Sons |isbn=0-471-51001-7 |page=224 |quote=[एक अभिन्न डोमेन] के तत्व ''ए'' और ''बी'' को ''एसोसिएट्स'' कहा जाता है अगर ''ए'' | ''बी'' और ''बी'' | ''ए''.}}</ref> समतुल्य रूप से, ए और बी सहयोगी हैं यदि {{nowrap|1=''a'' = ''ub''}} किसी इकाई के लिए (रिंग थ्योरी) यू.
+यदि a, b को विभाजित करता है और b, a को विभाजित करता है, तो a और b 'सहयोगी तत्व' या 'सहयोगी' हैं।<ref>{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=आधुनिक बीजगणित: एक परिचय|edition=3rd |date=1993 |publisher=John Wiley and Sons |isbn=0-471-51001-7 |page=224 |quote=[एक अभिन्न डोमेन] के तत्व ''ए'' और ''बी'' को ''एसोसिएट्स'' कहा जाता है अगर ''ए'' | ''बी'' और ''बी'' | ''ए''.}}</ref> समतुल्य रूप से, a और b सहयोगी हैं यदि {{nowrap|1=''a'' = ''ub''}} किसी इकाई के लिए u हैं.
 एक [[अलघुकरणीय तत्व]] एक गैर-शून्य गैर-इकाई है जिसे दो गैर-इकाइयों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
-एक गैर-शून्य गैर-इकाई पी एक प्रमुख तत्व है, जब भी पी उत्पाद एबी को विभाजित करता है, तो पी ए को विभाजित करता है या पी बी को विभाजित करता है। समतुल्य रूप से, एक तत्व p अभाज्य है यदि और केवल यदि मुख्य आदर्श (p) एक शून्येतर अभाज्य आदर्श है।
+एक गैर-शून्य गैर-इकाई p एक प्रमुख तत्व है,यदि, जब भी p उत्पाद a, b को विभाजित करता है, तो p ,a को विभाजित करता है या p, b को विभाजित करता है। समतुल्य रूप से, एक तत्व p अभाज्य है यदि और केवल तभी जब मुख्य आदर्श (p) एक अशून्य अभाज्य आदर्श है।
 अलघुकरणीय तत्वों और [[प्रधान तत्व]]ों की दोनों धारणाएं वलय में [[अभाज्य संख्या]]ओं की सामान्य परिभाषा को सामान्य करती हैं <math>\Z,</math> यदि कोई ऋणात्मक अभाज्यों को प्रधान मानता है।
-प्रत्येक प्रमुख तत्व अप्रासंगिक है। इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है: उदाहरण के लिए, [[द्विघात पूर्णांक]] वलय में <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math> तत्व 3 अप्रासंगिक है (यदि यह गैर-तुच्छ रूप से कारक है, तो कारकों में प्रत्येक के पास मानक 3 होना चाहिए, लेकिन कोई मानक 3 तत्व नहीं हैं क्योंकि <math>a^2+5b^2=3</math> कोई पूर्णांक समाधान नहीं है), लेकिन अभाज्य नहीं है (3 विभाजन के बाद से <math>\left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)</math> किसी भी कारक को विभाजित किए बिना)। एक अद्वितीय कारककरण प्रांत (या अधिक सामान्यतः, एक [[जीसीडी डोमेन|जीसीडी प्रांत]]) में, एक अलघुकरणीय तत्व एक प्रमुख तत्व है।
+प्रत्येक प्रमुख तत्व अलघुकरणीय है। इसका वार्तालाप सामान्य रूप से सत्य नहीं है: उदाहरण के लिए, [[द्विघात पूर्णांक]] वलय में <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math> तत्व 3 अलघुकरणीय है (यदि यह गैर-तुच्छ रूप से कारक है, तो कारकों में प्रत्येक के पास मानक 3 होना चाहिए, लेकिन कोई मानक 3 तत्व नहीं हैं क्योंकि <math>a^2+5b^2=3</math> कोई पूर्णांक समाधान नहीं है), लेकिन अभाज्य नहीं है (3 विभाजन के बाद से <math>\left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)</math> किसी भी कारक को विभाजित किए बिना)। एक अद्वितीय कारककरण प्रांत (या अधिक सामान्यतः, एक [[जीसीडी डोमेन|जीसीडी प्रांत]]) में, एक अलघुकरणीय तत्व एक प्रमुख तत्व है।
 जबकि [[अंकगणित का मौलिक प्रमेय]] लागू नहीं होता है <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math>, आइडियल (रिंग थ्योरी) का अनूठा गुणनखंड है। लस्कर-नोथेर प्रमेय देखें।
 == गुण ==
-* एक क्रमविनिमेय रिंग आर एक अभिन्न प्रांत है अगर और केवल अगर आर का आदर्श (0) एक प्रमुख आदर्श है।
+* एक क्रमविनिमेय रिंग R एक अभिन्न प्रांत है अगर और केवल अगर R का आदर्श (0) एक प्रमुख आदर्श है।
-* यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और P, R में एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) है, तो भागफल वलय R/P एक अभिन्न प्रांत है यदि और केवल यदि P एक प्रमुख आदर्श है।
+* यदि R एक क्रमविनिमेय वलय है और P, R में एक आदर्श है, तो भागफल वलय R/P एक अभिन्न प्रांत है यदि और केवल यदि P एक प्रमुख आदर्श है।
-* माना R एक पूर्णांकीय प्रांत है। फिर R पर बहुपद के छल्ले (किसी भी संख्या में अनिश्चित) अभिन्न प्रांत हैं। यह विशेष रूप से मामला है यदि आर एक क्षेत्र (गणित) है।
+* माना R एक पूर्णांकीय प्रांत है। फिर R पर बहुपद के छल्ले (किसी भी संख्या में अनिश्चित) अभिन्न प्रांत हैं। यह विशेष रूप से स्थिति है यदि R एक क्षेत्र (गणित) है।
-* रद्दीकरण संपत्ति किसी भी अभिन्न प्रांत में होती है: किसी भी ए, बी, और सी के लिए एक अभिन्न प्रांत में, यदि ए ≠ 0 और एबी = एसी तो बी = सी। इसे बताने का दूसरा तरीका यह है कि फ़ंक्शन x {{mapsto}} ax प्रांत में किसी भी अशून्य a के लिए अंतःक्षेपी है।
+* रद्दीकरण संपत्ति किसी भी अभिन्न प्रांत में होती है: किसी भी a, b, और cके लिए एक अभिन्न प्रांत में, यदि a ≠ 0 और ab = ac तो b = c इसे बताने का दूसरा तरीका यह है कि फ़ंक्शन x {{mapsto}} ax प्रांत में किसी भी अशून्य a के लिए अंतःक्षेपी है।
 * रद्दीकरण संपत्ति किसी भी अभिन्न प्रांत में आदर्शों के लिए है: यदि xI = xJ, तो या तो x शून्य है या I = J है।
 * एक अभिन्न प्रांत अधिकतम आदर्शों पर एक अंगूठी के स्थानीयकरण के चौराहे के बराबर है।
 * अभिन्न प्रांत की [[आगमनात्मक सीमा]] एक अभिन्न प्रांत है।
-*यदि <math>A, B</math> बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर अभिन्न प्रांत हैं, फिर <math>A \otimes_k B</math> एक अभिन्न प्रांत है। यह हिल्बर्ट के नलस्टेलनसैट्ज का परिणाम है,<ref group="note">Proof: First assume ''A'' is finitely generated as a ''k''-algebra and pick a <math>k</math>-basis <math>g_i</math> of <math>B</math>. Suppose <math display="inline">\sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0</math> (only finitely many <math>f_i, h_j</math> are nonzero). For each maximal ideal <math>\mathfrak{m}</math> of <math>A</math>, consider the ring homomorphism <math>A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B</math>. Then the image is <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0</math> and thus either <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i = 0</math> or <math display="inline">\sum \overline{h_i} g_i = 0</math> and, by linear independence, <math>\overline{f_i} = 0</math> for all <math>i</math> or <math>\overline{h_i} = 0</math> for all <math>i</math>. Since <math>\mathfrak{m}</math> is arbitrary, we have <math display="inline">(\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = </math> the intersection of all maximal ideals <math>= (0)</math> where the last equality is by the Nullstellensatz. Since <math>(0)</math> is a prime ideal, this implies either <math display="inline">\sum f_iA</math> or <math display="inline">\sum h_iA</math> is the zero ideal; i.e., either <math>f_i</math> are all zero or <math>h_i</math> are all zero. Finally, <math>A</math> is an inductive limit of finitely generated ''k''-algebras that are integral domains and thus, using the previous property, <math>A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B</math> is an integral domain. <math>\square</math></ref> और, बीजगणितीय ज्यामिति में, इसका तात्पर्य इस कथन से है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर दो affine बीजगणितीय किस्मों के उत्पाद का समन्वय वलय फिर से एक अभिन्न प्रांत है।
+*यदि <math>A, B</math> बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड k पर अभिन्न प्रांत हैं, फिर <math>A \otimes_k B</math> एक अभिन्न प्रांत है। यह हिल्बर्ट के नलस्टेलनसैट्ज का परिणाम है,<ref group="note">Proof: First assume ''A'' is finitely generated as a ''k''-algebra and pick a <math>k</math>-basis <math>g_i</math> of <math>B</math>. Suppose <math display="inline">\sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0</math> (only finitely many <math>f_i, h_j</math> are nonzero). For each maximal ideal <math>\mathfrak{m}</math> of <math>A</math>, consider the ring homomorphism <math>A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B</math>. Then the image is <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0</math> and thus either <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i = 0</math> or <math display="inline">\sum \overline{h_i} g_i = 0</math> and, by linear independence, <math>\overline{f_i} = 0</math> for all <math>i</math> or <math>\overline{h_i} = 0</math> for all <math>i</math>. Since <math>\mathfrak{m}</math> is arbitrary, we have <math display="inline">(\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = </math> the intersection of all maximal ideals <math>= (0)</math> where the last equality is by the Nullstellensatz. Since <math>(0)</math> is a prime ideal, this implies either <math display="inline">\sum f_iA</math> or <math display="inline">\sum h_iA</math> is the zero ideal; i.e., either <math>f_i</math> are all zero or <math>h_i</math> are all zero. Finally, <math>A</math> is an inductive limit of finitely generated ''k''-algebras that are integral domains and thus, using the previous property, <math>A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B</math> is an integral domain. <math>\square</math></ref> और, बीजगणितीय ज्यामिति में, इसका तात्पर्य इस कथन से है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर दो अफाइन बीजगणितीय किस्मों के उत्पाद का समन्वय वलय फिर से एक अभिन्न प्रांत है।
 == अंशों का क्षेत्र ==
-{{Main|Field of fractions}}
+{{Main|अंशों का क्षेत्र}}
 अभिन्न प्रांत R के भिन्न K का क्षेत्र, R में a और b के साथ भिन्न a/b का सेट है और b ≠ 0 मॉड्यूल एक उपयुक्त तुल्यता संबंध है, जो सामान्य योग और गुणन संक्रियाओं से सुसज्जित है। यह इस अर्थ में R  वाला सबसे छोटा क्षेत्र है कि एक अंतःक्षेपी वलय समरूपता है {{nowrap|''R'' → ''K''}} ऐसा है कि कोई भी इंजेक्टिव रिंग होमोमोर्फिज्म R से K के माध्यम से एक फील्ड फैक्टर के लिए। पूर्णांकों के रिंग के अंशों का क्षेत्र <math>\Z</math> [[परिमेय संख्या]]ओं का क्षेत्र है <math>\Q.</math> किसी क्षेत्र के अंशों का क्षेत्र स्वयं क्षेत्र के लिए समरूपता है।
 == बीजगणितीय ज्यामिति ==
-इंटीग्रल प्रांत की विशेषता इस स्थिति से होती है कि वे कम रिंग वाले होते हैं (अर्थात x<sup>2</sup> = 0 का अर्थ है x = 0) और अलघुकरणीय वलय (अर्थात् केवल एक न्यूनतम अभाज्य गुणजावली है)। पूर्व की स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि रिंग के एक रिंग का शून्य रेडिकल शून्य है, ताकि सभी रिंग के न्यूनतम प्राइम्स का प्रतिच्छेदन शून्य हो। बाद की स्थिति यह है कि रिंग में केवल एक न्यूनतम प्राइम होता है। यह इस प्रकार है कि एक कम और [[अलघुकरणीय अंगूठी]] का अद्वितीय न्यूनतम प्रधान आदर्श शून्य आदर्श है, इसलिए ऐसे छल्ले अभिन्न प्रांत हैं। इसका विलोम स्पष्ट है: एक अभिन्न प्रांत में कोई गैर शून्य निलपोटेंट तत्व नहीं है, और शून्य आदर्श अद्वितीय न्यूनतम प्रधान आदर्श है।
+अभिन्न प्रांत की विशेषता इस स्थिति से होती है कि वे कम रिंग वाले होते हैं (अर्थात x<sup>2</sup> = 0 का अर्थ है x = 0) और अलघुकरणीय वलय (अर्थात् केवल एक न्यूनतम अभाज्य गुणजावली है)। पूर्व की स्थिति यह सुनिश्चित करती है कि रिंग के एक रिंग का शून्य अतिवादी शून्य है, ताकि सभी रिंग के न्यूनतम प्राइम्स का प्रतिच्छेदन शून्य हो। बाद की स्थिति यह है कि रिंग में केवल एक न्यूनतम प्राइम होता है। यह इस प्रकार है कि एक कम और [[अलघुकरणीय अंगूठी]] का अद्वितीय न्यूनतम प्रधान आदर्श शून्य आदर्श है, इसलिए ऐसे छल्ले अभिन्न प्रांत हैं। इसका विलोम स्पष्ट है: एक अभिन्न प्रांत में कोई गैर शून्य निलपोटेंट तत्व नहीं है, और शून्य आदर्श अद्वितीय न्यूनतम प्रधान आदर्श है।
 यह [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, इस तथ्य में अनुवाद करता है कि एक एफ़िन बीजगणितीय सेट की समन्वय अंगूठी एक अभिन्न प्रांत है अगर और केवल अगर बीजगणितीय सेट एक बीजगणितीय विविधता है।
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 एक अभिन्न प्रांत की [[विशेषता (बीजगणित)]] या तो 0 या एक अभाज्य संख्या है।
-यदि आर प्रमुख विशेषता पी का एक अभिन्न प्रांत है, तो [[फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म]] एफ (एक्स) = एक्स<sup>p</sup> इंजेक्शन है।
+यदि R प्रमुख विशेषता पी का एक अभिन्न प्रांत है, तो [[फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म]] एफ (एक्स) = एक्स<sup>p</sup> इंजेक्शन है।
 == यह भी देखें ==

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परिभाषा

उदाहरण

गैर-उदाहरण

विभाज्यता, प्रधान तत्व, और अलघुकरणीय तत्व

गुण

अंशों का क्षेत्र

बीजगणितीय ज्यामिति

विशेषता और समरूपता

यह भी देखें

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