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संस्थितिविज्ञान में, एक सांस्थितिक स्थान को पूर्णतः संबंधित (या 1-संबंधित, या 1- पूर्णतः संबंधित) कहा जाता है।^[1]) यदि यह पथ से जुड़ा हुआ है और प्रश्न में दो समापन बिंदुओं को संरक्षित करते हुए दो बिंदुओं के बीच हर पथ को लगातार (अंतर्निहित रूप से स्थापित रिक्त स्थान के लिए, अंतरिक्ष के भीतर रहने के लिए) किसी अन्य ऐसे पथ में परिवर्तित किया जा सकता है। एक सांस्थितिक स्थान का मौलिक समूह अंतरिक्ष के लिए आसानी से संबंधित होने की विफलता का संकेतक है: पथ से जुड़े सांस्थितिक स्थान को केवल तभी जोड़ा जाता है जब उसका मौलिक समूह क्षुद्र हो।

परिभाषा और समकक्ष योग

यह आकृति एक ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करती है जो आसानी से जुड़ा नहीं है, क्योंकि कोई भी परिपथ जो एक या अधिक छिद्रों को घेरता है, उसे क्षेत्र से बाहर निकले बिना एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।

एक सांस्थितिक स्थान $X$ को पूर्णतः संबंधित कहा जाता है अगर यह पंथ-संबंधित है और X में किसी भी परिपथ को $f:S^{1}\to X$ द्वारा परिभाषित एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है: एक सतत मानचित्र $F:D^{2}\to X$ मौजूद है जैसे कि $F$ को $S^{1}$ तक सीमित f से किया गया है।। यहां, $S^{1}$ तथा $D^{2}$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में क्रमशः श्रेणी वृत्त और बंद श्रेणी मण्डल को दर्शाता है।

एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है: $X$ बस जुड़ा हुआ है और केवल यह पथ से जुड़ा हुआ है, और जब भी $p:[0,1]\to X$ तथा $q:[0,1]\to X$ एक ही प्रारंभ और समापन बिंदु के साथ दो पथ (अर्थात निरंतर मानचित्र) हैं ( $p(0)=q(0)$ तथा $p(1)=q(1)$ ), फिर दोनों समापन बिंदुओं को स्थिर रखते हुए $p$ को लगातार $q$ में विकृत किया जा सकता है। स्पष्ट रूप से, एक समरूपता $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ मौजूद है जैसे कि $F(x,0)=p(x)$ तथा $F(x,1)=q(x).$

एक सांस्थितिक स्थान $X$ बस जुड़ा हुआ है अगर, और केवल $X$ पथ से जुड़ा हुआ है और प्रत्येक बिंदु पर $X$ का मौलिक समूह छोटा है, अर्थात इसमें केवल पहचान तत्व शामिल है। इसी प्रकार, $X$ बस जुड़ा हुआ है और केवल अगर सभी बिंदुओं के लिए $x,y\in X,$ आकारिकी के सेट $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ में $X$ के मौलिक समूह में केवल एक तत्व है।^[2]

जटिल विश्लेषण में: एक खुला उपसमुच्चय $X\subseteq \mathbb {C}$ बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर दोनों $X$ और रीमैन क्षेत्र में इसके पूरक जुड़े हुए हैं। काल्पनिक भाग के साथ जटिल संख्याओं का सेट शून्य से अधिक और एक से कम एक असीमित, जुड़े हुए, विमान के खुले उपसमुच्चय का एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसका पूरक जुड़ा नहीं है। फिर भी यह बस जुड़ा हुआ है। यह भी इंगित करने योग्य हो सकता है कि आवश्यकता में छूट $X$ संबंधित विस्तारित पूरक के साथ विमान के खुले उपसमुच्चय के एक दिलचस्प अन्वेषण की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, एक (जरूरी नहीं जुड़ा हुआ) खुला समुच्चय में एक जुड़ा हुआ विस्तारित पूरक होता है, जब इसके प्रत्येक जुड़े हुए घटक बस जुड़े होते हैं।

अनौपचारिक चर्चा

अनौपचारिक रूप से, हमारे अंतरिक्ष में एक वस्तु बस जुड़ा हुआ है अगर इसमें एक टुकड़ा होता है और इसमें कोई छिद्र नहीं होता है जो इसके माध्यम से गुजरता है। उदाहरण के लिए, न तो एक डोनट और न ही एक कॉफी कप (एक उपाधि के साथ) बस जुड़ा हुआ है, लेकिन एक खोखली रबर की गेंद बस जुड़ी हुई है। दो आयामों में, एक वृत्त केवल जुड़ा नहीं है, बल्कि एक चर्किका और एक रेखा है। वे स्थान जो जुड़ा हुआ स्थान हैं, लेकिन केवल संबंधित नहीं हैं, नॉन-पूर्णतः संबंधित या संवर्धन संबंधित कहलाते हैं।

एक गोला बस जुड़ा हुआ है क्योंकि प्रत्येक परिपथ को एक बिंदु पर (सतह पर) अनुबंधित किया जा सकता है।

परिभाषा केवल अपघटन-आकार के छिद्रों को संभालती है। एक गोला (या, समतुल्य, एक खोखले केंद्र के साथ एक रबर की गेंद) बस जुड़ा हुआ है, क्योंकि गोले की सतह पर कोई भी परिपथ एक बिंदु तक संकुचित सकता है, भले ही उसके खोखले केंद्र में एक छिद्र हो। मजबूत स्थिति, कि वस्तु में किसी भी आयाम का कोई छिद्र नहीं है, संकुचनशीलता कहलाती है।

उदाहरण

एक टोरस केवल जुड़ी हुई सतह नहीं है। यहां दिखाए गए दो रंगीन परिपथों में से किसी को भी सतह को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंधित नहीं किया जा सकता है। एक ठोस टोरस भी केवल जुड़ा नहीं है क्योंकि बैंगनी परिपथ ठोस को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंध नहीं कर सकता है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष $\mathbb {R} ^{2}$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन $\mathbb {R} ^{2}$ न्यूनतम उत्पत्ति $(0,0)$ नहीं है। यदि $n>2,$ फिर दोनों $\mathbb {R} ^{n}$ तथा $\mathbb {R} ^{n}$ न्यूनतम उत्पत्ति बस जुड़े हुए हैं।

अनुरूप: n-sphere|n-आयामी क्षेत्र $S^{n}$ बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है $n\geq 2.$
का हर उत्तल उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ बस जुड़ा हुआ है।
एक टोरस्र्स, (अण्डाकार) सिलेंडर (ज्यामिति), मोबियस स्ट्रिप, प्रक्षेपी विमान और क्लेन की बोतल केवल जुड़े नहीं हैं।
हरसांस्थितिक वेक्टर स्थान बस जुड़ा हुआ है; इसमें बनच स्थान और हिल्बर्ट अंतरिक्ष शामिल हैं।
के लिये $n\geq 2,$ विशेष ऑर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ केवल जुड़ा नहीं है और विशेष एकात्मक समूह है $\operatorname {SU} (n)$ बस जुड़ा हुआ है।
का एक बिंदु संघनन $\mathbb {R}$ बस जुड़ा नहीं है (भले ही $\mathbb {R}$ बस जुड़ा हुआ है)।
लंबी लाइन ( संस्थितिविज्ञान) $L$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन इसकी कॉम्पैक्टीफिकेशन, विस्तारित लंबी लाइन $L^{*}$ नहीं है (चूंकि यह जुड़ा हुआ रास्ता भी नहीं है)।

गुण

एक सतह (द्वि-आयामीसांस्थितिक विविध) बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह जुड़ा हुआ है और इसकी जीनस (गणित) (की संख्या) handles सतह का) 0 है।

किसी भी (उपयुक्त) स्थान का एक सार्वभौमिक आवरण $X$ एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ स्थान है जो मैप करता है $X$ कवरिंग नक्शा के माध्यम से।

यदि $X$ तथा $Y$ होमोटॉपी समकक्ष हैं और $X$ बस जुड़ा हुआ है, तो ऐसा ही है $Y.$ एक निरंतर कार्य के तहत एक साधारण रूप से जुड़े सेट की छवि को केवल कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए एक्सपोनेंशियल मैप के तहत जटिल विमान लें: छवि है $\mathbb {C} \setminus \{0\},$ जो कि जुड़ा ही नहीं है।

निम्नलिखित तथ्यों के कारण जटिल विश्लेषण में सरल जुड़ाव की धारणा महत्वपूर्ण है:

कॉची का अभिन्न प्रमेय कहता है कि अगर $U$ सम्मिश्र संख्या का सरलता से जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय है $\mathbb {C} ,$ तथा $f:U\to \mathbb {C}$ एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, फिर $f$ एक एंटीडेरिवेटिव (जटिल विश्लेषण) है $F$ पर $U,$ और प्रत्येक पंक्ति का मान अभिन्न है $U$ एकीकृत के साथ $f$ केवल अंत बिंदुओं पर निर्भर करता है $u$ तथा $v$ पथ के, और के रूप में गणना की जा सकती है $F(v)-F(u).$ इस प्रकार अभिन्न जोड़ने वाले विशेष पथ पर निर्भर नहीं करता है $u$ तथा $v,$ * रीमैन मानचित्रण प्रमेय कहता है कि कोई भी गैर-खाली खुला केवल जुड़ा हुआ उपसमुच्चय है $\mathbb {C}$ (के अलावा $\mathbb {C}$ ही) श्रेणी डिस्क के अनुरूप नक्शा है।

पोंकारे अनुमान में सरल जुड़ाव की धारणा भी एक महत्वपूर्ण शर्त है।

यह भी देखें

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

होमोटॉपी
वृत्त
अपघटन को संभालें
सिकुड़ा हुआ स्थान
जटिल संख्या
रेखा अभिन्न
रीमैन मैपिंग प्रमेय

संदर्भ

↑ "एन-कनेक्टेड स्पेस nLab में". ncatlab.org. Retrieved 2017-09-17.
↑ Ronald, Brown (June 2006). टोपोलॉजी और ग्रुपोइड्स।. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429.

Spanier, Edwin (December 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 3-540-43405-4.
Gamelin, Theodore (January 2001). Complex Analysis. Springer. ISBN 0-387-95069-9.
Joshi, Kapli (August 1983). Introduction to General Topology. New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.

[1] "एन-कनेक्टेड स्पेस nLab में". ncatlab.org. Retrieved 2017-09-17.

[2] Ronald, Brown (June 2006). टोपोलॉजी और ग्रुपोइड्स।. Academic Search Complete. North Charleston: CreateSpace. ISBN 1419627228. OCLC 712629429.

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 == परिभाषा और समकक्ष योग ==
-[[Image:Runge theorem.svg|thumb|यह आकृति एक ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करती है जो आसानी से जुड़ा नहीं है, क्योंकि कोई भी  परिपथ जो एक या अधिक छिद्रों को घेरता है, उसे क्षेत्र से बाहर निकले बिना एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।]]एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक स्थान]] <math>X</math> को पूर्णतः संबंधित कहा जाता है अगर यह पंथ-संबंधित है और X में किसी भी परिपथ को <math>f : S^1 \to X</math> द्वारा परिभाषित एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है: एक सतत मानचित्र <math>F : D^2 \to X</math> मौजूद है जैसे कि <math>F</math> को <math>S^1</math>तक सीमित f से किया गया है।। यहां, <math>S^1</math> तथा <math>D^2</math> [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में क्रमशः [[यूनिट सर्कल|श्रेणी वृत्त]] और बंद [[यूनिट डिस्क|श्रेणी मण्डल]] को दर्शाता है।
+[[Image:Runge theorem.svg|thumb|यह आकृति एक ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व करती है जो आसानी से जुड़ा नहीं है, क्योंकि कोई भी परिपथ जो एक या अधिक छिद्रों को घेरता है, उसे क्षेत्र से बाहर निकले बिना एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।]]एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक स्थान]] <math>X</math> को पूर्णतः संबंधित कहा जाता है अगर यह पंथ-संबंधित है और X में किसी भी परिपथ को <math>f : S^1 \to X</math> द्वारा परिभाषित एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है: एक सतत मानचित्र <math>F : D^2 \to X</math> मौजूद है जैसे कि <math>F</math> को <math>S^1</math>तक सीमित f से किया गया है।। यहां, <math>S^1</math> तथा <math>D^2</math> [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में क्रमशः [[यूनिट सर्कल|श्रेणी वृत्त]] और बंद [[यूनिट डिस्क|श्रेणी मण्डल]] को दर्शाता है।
-एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है: <math>X</math> बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह पथ से जुड़ा हुआ है, और जब भी <math>p : [0, 1] \to X</math> तथा <math>q : [0, 1] \to X</math> एक ही प्रारंभ और समापन बिंदु के साथ दो पथ (अर्थात निरंतर मानचित्र) हैं (<math>p(0) = q(0)</math> तथा <math>p(1) = q(1)</math>), फिर <math>p</math> में लगातार विकृत किया जा सकता है <math>q</math> दोनों समापन बिंदुओं को स्थिर रखते हुए। स्पष्ट रूप से, एक समरूपता मौजूद है <math>F : [0,1] \times [0,1] \to X</math> ऐसा है कि <math>F(x,0) = p(x)</math> तथा <math>F(x,1) = q(x).</math>
+एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है: <math>X</math> बस जुड़ा हुआ है और केवल यह पथ से जुड़ा हुआ है, और जब भी <math>p : [0, 1] \to X</math> तथा <math>q : [0, 1] \to X</math> एक ही प्रारंभ और समापन बिंदु के साथ दो पथ (अर्थात निरंतर मानचित्र) हैं  (<math>p(0) = q(0)</math> तथा <math>p(1) = q(1)</math>), फिर दोनों समापन बिंदुओं को स्थिर रखते हुए  <math>p</math> को लगातार <math>q</math> में विकृत किया जा सकता है। स्पष्ट रूप से, एक समरूपता <math>F : [0,1] \times [0,1] \to X</math> मौजूद है जैसे कि <math>F(x,0) = p(x)</math> तथा <math>F(x,1) = q(x).</math>
-एकसांस्थितिक स्थान <math>X</math> बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है <math>X</math> पथ से जुड़ा हुआ है और का मौलिक समूह है <math>X</math> प्रत्येक बिंदु क्षुद्र है, अर्थात इसमें केवल [[पहचान तत्व]] शामिल है। इसी प्रकार, <math>X</math> सभी बिंदुओं के लिए बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है <math>x, y \in X,</math> [[morphism]]s का सेट <math>\operatorname{Hom}_{\Pi(X)}(x,y)</math> के [[मौलिक समूह]] में <math>X</math> केवल एक तत्व है।<ref>{{Cite book|title=टोपोलॉजी और ग्रुपोइड्स।| last=Ronald|first=Brown| date=June 2006|publisher=CreateSpace| others=Academic Search Complete.| isbn=1419627228|location=North Charleston | oclc=712629429}}</ref>
-[[जटिल विश्लेषण]] में: एक खुला उपसमुच्चय <math>X \subseteq \Complex</math> बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर दोनों <math>X</math> और [[रीमैन क्षेत्र]] में इसके पूरक जुड़े हुए हैं। काल्पनिक भाग के साथ जटिल संख्याओं का सेट शून्य से अधिक और एक से कम एक असीमित, जुड़े हुए, विमान के खुले उपसमुच्चय का एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसका पूरक जुड़ा नहीं है। फिर भी यह बस जुड़ा हुआ है। यह भी इंगित करने योग्य हो सकता है कि आवश्यकता में छूट <math>X</math> संबंधित विस्तारित पूरक के साथ विमान के खुले उपसमुच्चय के एक दिलचस्प अन्वेषण की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, एक (जरूरी नहीं जुड़ा हुआ) ओपन सेट में एक जुड़ा हुआ विस्तारित पूरक होता है, जब इसके प्रत्येक जुड़े हुए घटक बस जुड़े होते हैं।
+एक सांस्थितिक स्थान <math>X</math> बस जुड़ा हुआ है अगर, और केवल <math>X</math> पथ से जुड़ा हुआ है और प्रत्येक बिंदु पर <math>X</math> का मौलिक समूह छोटा है, अर्थात इसमें केवल [[पहचान तत्व]] शामिल है। इसी प्रकार, <math>X</math> बस जुड़ा हुआ है और केवल अगर सभी बिंदुओं के लिए <math>x, y \in X,</math> आकारिकी के सेट  <math>\operatorname{Hom}_{\Pi(X)}(x,y)</math> में <math>X</math> के [[मौलिक समूह]] में केवल एक तत्व है।<ref>{{Cite book|title=टोपोलॉजी और ग्रुपोइड्स।| last=Ronald|first=Brown| date=June 2006|publisher=CreateSpace| others=Academic Search Complete.| isbn=1419627228|location=North Charleston | oclc=712629429}}</ref>
+[[जटिल विश्लेषण]] में: एक खुला उपसमुच्चय <math>X \subseteq \Complex</math> बस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर दोनों <math>X</math> और [[रीमैन क्षेत्र]] में इसके पूरक जुड़े हुए हैं। काल्पनिक भाग के साथ जटिल संख्याओं का सेट शून्य से अधिक और एक से कम एक असीमित, जुड़े हुए, विमान के खुले उपसमुच्चय का एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसका पूरक जुड़ा नहीं है। फिर भी यह बस जुड़ा हुआ है। यह भी इंगित करने योग्य हो सकता है कि आवश्यकता में छूट <math>X</math> संबंधित विस्तारित पूरक के साथ विमान के खुले उपसमुच्चय के एक दिलचस्प अन्वेषण की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, एक (जरूरी नहीं जुड़ा हुआ) खुला समुच्चय में एक जुड़ा हुआ विस्तारित पूरक होता है, जब इसके प्रत्येक जुड़े हुए घटक बस जुड़े होते हैं।
 == अनौपचारिक चर्चा ==
-अनौपचारिक रूप से, हमारे अंतरिक्ष में एक वस्तु बस जुड़ा हुआ है अगर इसमें एक टुकड़ा होता है और इसमें कोई छेद नहीं होता है जो इसके माध्यम से गुजरता है। उदाहरण के लिए, न तो एक डोनट और न ही एक कॉफी कप (एक हैंडल के साथ) बस जुड़ा हुआ है, लेकिन एक खोखली रबर की गेंद बस जुड़ी हुई है। दो आयामों में, एक वृत्त केवल जुड़ा नहीं है, बल्कि एक डिस्क और एक रेखा है। वे स्थान जो [[जुड़ा हुआ स्थान]] हैं, लेकिन केवल संबंधित नहीं हैं, नॉन-पूर्णतः संबंधित या मल्टीप्ल संबंधित कहलाते हैं।
+अनौपचारिक रूप से, हमारे अंतरिक्ष में एक वस्तु बस जुड़ा हुआ है अगर इसमें एक टुकड़ा होता है और इसमें कोई छिद्र नहीं होता है जो इसके माध्यम से गुजरता है। उदाहरण के लिए, न तो एक डोनट और न ही एक कॉफी कप (एक उपाधि के साथ) बस जुड़ा हुआ है, लेकिन एक खोखली रबर की गेंद बस जुड़ी हुई है। दो आयामों में, एक वृत्त केवल जुड़ा नहीं है, बल्कि एक  चर्किका और एक रेखा है। वे स्थान जो [[जुड़ा हुआ स्थान]] हैं, लेकिन केवल संबंधित नहीं हैं, नॉन-पूर्णतः संबंधित या संवर्धन संबंधित कहलाते हैं।
-[[Image:P1S2all.jpg|thumb|center|400px|एक गोला बस जुड़ा हुआ है क्योंकि प्रत्येक  परिपथ को एक बिंदु पर (सतह पर) अनुबंधित किया जा सकता है।]]
+[[Image:P1S2all.jpg|thumb|center|400px|एक गोला बस जुड़ा हुआ है क्योंकि प्रत्येक परिपथ को एक बिंदु पर (सतह पर) अनुबंधित किया जा सकता है।]]
 <!--
 To illustrate the notion of simple connectedness, suppose we are considering an object in three dimensions; for example, an object in the shape of a box, a doughnut, or a corkscrew. Think of the object as a strangely shaped [[aquarium]] full of water, with rigid sides. Now think of a diver who takes a long piece of string and trails it through the water inside the aquarium, in whatever way he pleases, and then joins the two ends of the string to form a closed loop. Now the loop begins to contract on itself, getting smaller and smaller. (Assume that the loop magically knows the best way to contract, and won't get snagged on jagged edges if it can possibly avoid them.) If the loop can always shrink all the way to a point, then the aquarium's interior {{em|is}} simply connected. If sometimes the loop gets caught&mdash;for example, around the central hole in the doughnut&mdash;then the object is {{em|not}} simply connected.
 -->
-परिभाषा केवल अपघटन-आकार के छिद्रों को संभालती है। एक गोला (या, समतुल्य, एक खोखले केंद्र के साथ एक रबर की गेंद) बस जुड़ा हुआ है, क्योंकि गोले की सतह पर कोई भी  परिपथ एक बिंदु तक सिकुड़ सकता है, भले ही उसके खोखले केंद्र में एक छेद हो। मजबूत स्थिति, कि वस्तु का कोई छेद नहीं है {{em|any}} आयाम, अनुबंधित स्थान कहा जाता है।
+परिभाषा केवल अपघटन-आकार के छिद्रों को संभालती है। एक गोला (या, समतुल्य, एक खोखले केंद्र के साथ एक रबर की गेंद) बस जुड़ा हुआ है, क्योंकि गोले की सतह पर कोई भी परिपथ एक बिंदु तक संकुचित सकता है, भले ही उसके खोखले केंद्र में एक  छिद्र हो। मजबूत स्थिति, कि वस्तु में किसी भी आयाम का कोई छिद्र नहीं है, संकुचनशीलता कहलाती है।
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 Removed pending making-sense-ness. See Talk.
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 * In [[theoretical physics]], an additional connection is known as a ''[[wormhole]]''.
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+== उदाहरण ==
+[[Image:Torus cycles.png|thumb|right|150px|एक टोरस केवल जुड़ी हुई सतह नहीं है। यहां दिखाए गए दो रंगीन  परिपथों में से किसी को भी सतह को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंधित नहीं किया जा सकता है। एक [[ठोस टोरस]] भी केवल जुड़ा नहीं है क्योंकि बैंगनी  परिपथ ठोस को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंध नहीं कर सकता है।]]
+* यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>\R^2</math> बस जुड़ा हुआ है, लेकिन <math>\R^2</math> न्यूनतम उत्पत्ति <math>(0, 0)</math> नहीं है। यदि <math>n > 2,</math> फिर दोनों <math>\R^n</math> तथा <math>\R^n</math> न्यूनतम उत्पत्ति बस जुड़े हुए हैं।
-== उदाहरण ==
-[[Image:Torus cycles.png|thumb|right|150px|एक टोरस केवल जुड़ी हुई सतह नहीं है। यहां दिखाए गए दो रंगीन  परिपथों में से किसी को भी सतह को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंधित नहीं किया जा सकता है। एक [[ठोस टोरस]] भी केवल जुड़ा नहीं है क्योंकि बैंगनी  परिपथ ठोस को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंध नहीं कर सकता है।]]* यूक्लिडियन अंतरिक्ष <math>\R^2</math> बस जुड़ा हुआ है, लेकिन <math>\R^2</math> माइनस द ओरिजिन <math>(0, 0)</math> नहीं है। यदि <math>n > 2,</math> फिर दोनों <math>\R^n</math> तथा <math>\R^n</math> माइनस द ओरिजिन बस जुड़े हुए हैं।
 * अनुरूप: n-sphere|n-आयामी क्षेत्र <math>S^n</math> बस अगर और केवल अगर जुड़ा हुआ है <math>n \geq 2.</math>
 * का हर [[उत्तल उपसमुच्चय]] <math>\R^n</math> बस जुड़ा हुआ है।

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