पूर्ण सम्बद्ध समष्टि

संस्थितिविज्ञान में, एक सांस्थितिक स्थान को पूर्णतः संबंधित(या 1-संबंधित, या 1- पूर्णतः संबंधित) ​​कहा जाता है।) यदि यह कार्यप्रणाली से जुड़ा हुआ है और प्रश्न में दो समापन बिंदुओं को संरक्षित करते हुए दो बिंदुओं के बीच हर कार्यप्रणाली को लगातार(अंतर्निहित रूप से अंतर्निहित रिक्त स्थान के लिए, अन्तराल के भीतर रहने के लिए) किसी अन्य ऐसे कार्यप्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है। एक सांस्थितिक स्थान का मौलिक समूह अन्तराल के लिए आसानी से संबंधित होने की विफलता का संकेतक है: कार्यप्रणाली से जुड़े सांस्थितिक स्थान को केवल तभी जोड़ा जाता है जब उसका मौलिक समूह क्षुद्र हो।

परिभाषा और समकक्ष योग

यह आकृति एक ऐसे समुच्चयका प्रतिनिधित्व करती है जो आसानी से जुड़ा नहीं है, क्योंकि कोई भी परिकार्यप्रणाली जो एक या अधिक छिद्रों को घेरता है, उसे क्षेत्र से बाहर निकले बिना एक बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है।

एक सांस्थितिक स्थान $X$ को पूर्णतः संबंधित कहा जाता है अगर यह कार्यप्रणाली-संबंधित है और X में किसी भी परिकार्यप्रणाली को $f:S^{1}\to X$ द्वारा परिभाषित एक बिंदु पर अनुबंधित किया जा सकता है: एक सतत मानचित्र $F:D^{2}\to X$ मौजूद है जैसे कि $F$ को $S^{1}$तक सीमित f से किया गया है। यहां, $S^{1}$ तथा $D^{2}$ यूक्लिडियन अन्तराल में क्रमशः श्रेणी वृत्त और बंद श्रेणी मण्डल को दर्शाता है।

एक समतुल्य सूत्रीकरण यह है: $X$ बस जुड़ा हुआ है यदि और सिर्फ यह कार्यप्रणाली से जुड़ा हुआ है, और जब भी $p:[0,1]\to X$ तथा $q:[0,1]\to X$ एक ही प्रारंभ और समापन बिंदु के साथ दो कार्यप्रणाली(अर्थात निरंतर मानचित्र) हैं ($p(0)=q(0)$ तथा $p(1)=q(1)$), फिर दोनों समापन बिंदुओं को स्थिर रखते हुए $p$ को लगातार $q$ में विकृत किया जा सकता है। स्पष्ट रूप से, एक समरूपता $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ मौजूद है जैसे कि $F(x,0)=p(x)$ तथा $F(x,1)=q(x).$

एक सांस्थितिक स्थान $X$ बस जुड़ा हुआ है यदि और सिर्फ यदि $X$ कार्यप्रणाली से जुड़ा हुआ है और प्रत्येक बिंदु पर $X$ का मौलिक समूह छोटा है, अर्थात इसमें केवल पहचान तत्व सम्मिलित है। इसी प्रकार, $X$ बस जुड़ा हुआ है यदि और सिर्फ यदि सभी बिंदुओं के लिए $x,y\in X,$ आकारिता के समुच्चय $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ में $X$ के मौलिक समूह में केवल एक तत्व है।

जटिल विश्लेषण में एक खुला उपसमुच्चय $X\subseteq \mathbb {C}$ बस जुड़ा हुआ है यदि और सिर्फ यदि दोनों $X$ और रीमैन क्षेत्र में इसके पूरक जुड़े हुए हैं। काल्पनिक भाग के साथ जटिल संख्याओं का समुच्चय शून्य से अधिक और एक से कम एक असीमित, जुड़े हुए, स्तर के खुले उपसमुच्चय का एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करता है जिसका पूरक जुड़ा नहीं है। फिर भी यह बस जुड़ा हुआ है। यह भी इंगित करने योग्य हो सकता है कि आवश्यकता में छूट $X$ संबंधित विस्तारित पूरक के साथ स्तर के खुले उपसमुच्चय के एक दिलचस्प अन्वेषण की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, एक(जरूरी नहीं जुड़ा हुआ) खुला समुच्चय में एक जुड़ा हुआ विस्तारित पूरक होता है, जब इसके प्रत्येक जुड़े हुए घटक बस जुड़े होते हैं।

अनौपचारिक चर्चा

अनौपचारिक रूप से, हमारे अन्तराल में एक वस्तु जुड़ा हुआ है अगर इसमें एक टुकड़ा होता है और इसमें कोई छिद्र नहीं होता है जो इसके माध्यम से गुजरता है। उदाहरण के लिए, न तो एक डोनट और न ही एक कॉफी कप(एक उपाधि के साथ) जुड़ा हुआ है, लेकिन एक खोखली रबर की गेंद जुड़ी हुई है। दो आयामों में, एक वृत्त केवल जुड़ा नहीं है, बल्कि एक चक्र और एक रेखा है। वे स्थान जो जुड़ा हुआ स्थान हैं, लेकिन केवल संबंधित नहीं हैं, नॉन-पूर्णतः संबंधित या संवर्धन संबंधित कहलाते हैं।

एक गोला जुड़ा हुआ है क्योंकि प्रत्येक परिकार्यप्रणाली को एक बिंदु पर(सतह पर) अनुबंधित किया जा सकता है।

परिभाषा केवल अपघटन-आकार के छिद्रों को संभालती है। एक गोला(या, समतुल्य, एक खोखले केंद्र के साथ एक रबर की गेंद) जुड़ा हुआ है, क्योंकि एक गोले की सतह पर कोई भी प्रस्पंद एक बिंदु तक सिकुड़ सकता है, भले ही उसके खोखले केंद्र में एक छिद्र हो। रिक्त स्थान जो जुड़े हुए हैं लेकिन केवल जुड़े नहीं हैं उन्हें गैर-सिम्पली आनुषंगिक या द्विगुणित आनुषंगिक कहा जाता है।

उदाहरण

एक टोरस केवल जुड़ी हुई सतह नहीं है। यहां दिखाए गए दो रंगीन परिकार्यप्रणालीों में से किसी को भी सतह को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंधित नहीं किया जा सकता है। एक ठोस टोरस भी केवल जुड़ा नहीं है क्योंकि बैंगनी परिकार्यप्रणाली ठोस को छोड़े बिना एक बिंदु तक अनुबंध नहीं कर सकता है।

• यूक्लिडियन अन्तराल $\mathbb {R} ^{2}$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन $\mathbb {R} ^{2}$ न्यूनतम उत्पत्ति $(0,0)$ नहीं है। यदि $n>2,$ फिर दोनों $\mathbb {R} ^{n}$ तथा $\mathbb {R} ^{n}$ न्यूनतम उत्पत्ति बस जुड़े हुए हैं।

• अनुरूप रूप से: n-आयामी क्षेत्र $S^{n}$ बस अगर और केवल अगर $n\geq 2$ जुड़ा हुआ है।
• $\mathbb {R} ^{n}$ का प्रत्येक उत्तल उपसमुच्चय सरलता से जुड़ा हुआ है।
• एक स्थूलक(टोरस्र्स),(अण्डाकार) सिलेंडर(ज्यामिति), मोबियस स्ट्रिप, प्रक्षेपी स्तर और क्लेन की बोतल केवल जुड़े नहीं हैं।
• हर सांस्थितिक संवाहक स्थान बस जुड़ा हुआ है; इसमें बनच स्थान और हिल्बर्ट अन्तराल सम्मिलित हैं।
• $n\geq 2$ के लिए, विशेष ऑर्थोगोनल समूह $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ केवल जुड़ा नहीं है और विशेष एकात्मक समूह $\operatorname {SU} (n)$ जुड़ा हुआ है।
• $\mathbb {R}$ का एक-बिंदु संघनन केवल जुड़ा नहीं है(भले ही $\mathbb {R}$ बस जुड़ा हुआ है)।
• लंबी लाइन(संस्थितिविज्ञान) $L$ बस जुड़ा हुआ है, लेकिन इसकी कॉम्पैक्टीफिकेशन, विस्तारित लंबी लाइन $L^{*}$ नहीं है(क्योंकि यह कार्यप्रणाली जुड़ा भी नहीं है)।

गुण

एक सतह(द्वि-आयामी सांस्थितिक विविध) बस जुड़ा हुआ है यदि और सिर्फ यदि यह जुड़ा हुआ है और इसकी वर्ग(गणित)(सतह के उपाधि की संख्या) 0 है।

किसी भी(उपयुक्त) स्थान $X$ का एक सार्वभौमिक आवरण एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ स्थान है एक आवरण मानचित्र के माध्यम से $X$ पर मानचित्र करता है।

यदि $X$ तथा $Y$ होमोटॉपी समकक्ष हैं और $X$ बस जुड़ा हुआ है, तो $Y$ भी जुड़ा हुआ है।

एक निरंतर कार्य के तहत एक साधारण रूप से जुड़े समुच्चय की छवि को केवल आनुषंगिक करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए घातीय मानचित्र के तहत जटिल स्तर लें: छवि $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ है, जो आसानी से आनुषंगिक नहीं है।

निम्नलिखित तथ्यों के कारण जटिल विश्लेषण में सरल जुड़ाव की धारणा महत्वपूर्ण है:

• कॉची की अभिन्न प्रमेय में कहा गया है कि यदि $U$ जटिल स्तर $\mathbb {C}$ का एक सरल रूप से जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय है, तथा $f:U\to \mathbb {C}$ एक होलोमॉर्फिक प्रकार्य है, तो f का U पर एक प्रतिअवकलज F है, और प्रत्येक पंक्ति का मान अभिन्न है $U$ एकीकृत के साथ $f$ केवल अंत बिंदुओं पर निर्भर करता है कार्यप्रणाली के $u$ तथा $v$ और इसकी गणना $F(v)-F(u)$ के रूप में की जा सकती है। समाकल इस प्रकार u और v को जोड़ने वाले विशेष कार्यप्रणाली पर निर्भर नहीं करता है।
• रीमैन मानचित्रण प्रमेय कहता है कि कोई भी गैर-खाली खुला केवल $\mathbb {C}$ से जुड़ा उपसमुच्चय(स्वयं $\mathbb {C}$ को छोड़कर) श्रेणी मण्डल के अनुरूप है।

पोंकारे अनुमान में सरल जुड़ाव की धारणा भी एक महत्वपूर्ण शर्त है।

यह भी देखें

• मौलिक समूह
• विरूपण वापस लेना
• एन-आनुषंगिक समष्टि
• कार्यप्रणाली से जुड़ा हुआ
• एकरूप समष्टि

संदर्भ

• Spanier, Edwin (December 1994). Algebraic Topology. Springer. ISBN 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Functions of One Complex Variable I. Springer. ISBN 0-387-90328-3.
• Bourbaki, Nicolas (2005). Lie Groups and Lie Algebras. Springer. ISBN 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (January 2001). Complex Analysis. Springer. ISBN 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (August 1983). Introduction to General Topology. New Age Publishers. ISBN 0-85226-444-5.