विश्लेषणात्मक निरंतरता: Difference between revisions

Revision as of 17:13, 11 December 2022

जटिल विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, विश्लेषणात्मक निरंतरता किसी दिए गए विश्लेषणात्मक प्रकार्य के कार्यक्षेत्र को विस्तारित करने की तकनीक है। विश्लेषणात्मक निरंतरता प्रायः एक प्रकार्य के आगे के मूल्यों को परिभाषित करने में सफल होती है, उदाहरण के लिए एक नए क्षेत्र में जहां एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व जिसके संदर्भ में इसे प्रारंभिक रूप से परिभाषित किया गया है, वह अपसारी श्रृंखला बन जाती है।

हालाँकि, चरण-वार निरंतरता तकनीक कठिनाइयों के विरुद्ध आ सकती है। इनमें अनिवार्य रूप से सामयिक प्रकृति हो सकती है, जिससे विसंगतियां (एक से अधिक मूल्यों को परिभाषित करना) हो सकती हैं। उन्हें वैकल्पिक रूप से गणितीय विलक्षणताओं की उपस्थिति के साथ करना पड़ सकता है। कई जटिल चरों के कार्य का मामला अलग-अलग है, क्योंकि अद्वितीय को अलग-अलग बिंदुओं की आवश्यकता नहीं है, और इसकी जांच शेफ कोहोलॉजी के विकास का एक प्रमुख कारण था।

प्रारंभिक चर्चा

प्राकृतिक लघुगणक (काल्पनिक भाग) की विश्लेषणात्मक निरंतरता

मान लीजिए f एक विश्लेषणात्मक कार्य है जो जटिल समतल $\mathbb {C}$ के गैर-खाली खुले समुच्चय U पर परिभाषित है। यदि V का एक बड़ा खुला उपसमुच्चय $\mathbb {C}$ U युक्त है, और F एक विश्लेषणात्मक कार्य है जिसे V पर परिभाषित किया गया है

F(z)=f(z)\qquad \forall z\in U,

तब F को f की विश्लेषणात्मक निरंतरता कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, F से U तक का प्रतिबंध (गणित) वह फलन है जिससे हमने शुरुआत की थी।

विश्लेषणात्मक निरंतरता निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय हैं: यदि V दो विश्लेषणात्मक कार्यों F1 और F2 का जुड़ा हुआ डोमेन है जैसे कि U V में निहित है और U में सभी z के लिए

F_{1}(z)=F_{2}(z)=f(z),

फिर

F_{1}=F_{2}

सभी V पर ऐसा इसलिए है क्योंकि F₁- F₂ एक विश्लेषणात्मक कार्य है जो f के खुले, संबद्ध कार्यक्षेत्र U पर गायब हो जाता है और इसलिए इसके पूरे कार्यक्षेत्र पर गायब हो जाना चाहिए। यह पूर्णसममितिक प्रकार्य के लिए पहचान प्रमेय से सीधे अनुसरण करता है।

अनुप्रयोग

जटिल विश्लेषण आय में कार्यों को परिभाषित करने का एक सामान्य तरीका पहले केवल एक छोटे से कार्यक्षेत्र पर प्रकार्य को निर्दिष्ट करके, और फिर इसे विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा विस्तारित करना है।

व्यवहार में, यह निरंतरता प्रायः पहले छोटे कार्यक्षेत्र पर कुछ कार्यात्मक समीकरण स्थापित करके और कार्यक्षेत्र का विस्तार करने के लिए इस समीकरण का उपयोग करके की जाती है। रीमैन द्वारमंडपोपरि कक्ष प्रकार्य और गामा फलन इसके उदाहरण हैं।

एक विश्लेषणात्मक कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए एक प्राकृतिक कार्यक्षेत्र को परिभाषित करने के लिए एक सार्वभौमिक आवरण की अवधारणा को पहली बार विकसित किया गया था। बदले में किसी प्रकार्य की अधिकतम विश्लेषणात्मक निरंतरता को खोजने के विचार ने रीमैन सतहों के विचार के विकास को जन्म दिया।

विश्लेषणात्मक निरंतरता का उपयोग रीमैनियन विविध, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान | आइंस्टीन के समीकरणों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, श्वार्ज़स्चिल्ड की विश्लेषणात्मक निरंतरता क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक में समन्वय करती है।^[1]

काम किया उदाहरण

एक विशेष विश्लेषणात्मक कार्य $f$ के साथ प्रारंभ करें, इस मामले में यह $z=1$ में केंद्रित एक घात श्रृंखला द्वारा दिया जाता है :

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(z-1)^{k}.

कॉची-हैडमार्ड प्रमेय के अनुसार, इसकी अभिसरण की त्रिज्या 1 है। अर्थात, $f$ खुले सम्मुच्चयों $U=\{|z-1|<1\}$ पर परिभाषित और विश्लेषणात्मक है जिसकी सीमा $\partial U=\{|z-1|=1\}$ है। वास्तव में, श्रृंखला $z=0\in \partial U$ विचलन करती है।

मान लीजिये हम यह नहीं जानते कि $f(z)=1/z$ और एक अलग बिंदु $a\in U$ पर घात श्रृंखला को पुन: प्रस्तुत करने पर ध्यान केंद्रित करें:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}.

हम $a_{k}$ की गणना करेंगे और निर्धारित करेंगे कि क्या यह नई घात श्रृंखला एक खुले सम्मुच्चय में अभिसरण करती है $V$ जो $U$ में निहित नहीं है। यदि ऐसा है, तो हम विश्लेषणात्मक रूप से $f$ को $U\cup V$ क्षेत्र के लिए जारी रखेंगे जो की तुलना में $U$ से से काफी बड़ा है।

$a$ से $\partial U$ की दूरी $\rho =1-|a-1|>0$ है। $0<r<\rho$ को लीजिये ; $D$ को $a$ के आस-पास त्रिज्या $r$ की चक्रिका होने दें; और $\partial D$ को इसकी सीमा होने दें। फिर $D\cup \partial D\subset U$ . नए गुणांकों की गणना करने के लिए कॉची के अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,

\begin{aligned} a_{k} & = \frac{f^{(k)} (a)}{k!} \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{f (ζ) d ζ}{{(ζ - a)}^{k + 1}} \\ = \frac{1}{2 π i} \int_{\partial D} \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} {(ζ - 1)}^{n} d ζ}{{(ζ - a)}^{k + 1}} \\ = \frac{1}{2 π i} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \int_{\partial D} \frac{{(ζ - 1)}^{n} d ζ}{{(ζ - a)}^{k + 1}} \\ = \frac{1}{2 π i} \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \int_{0}^{2 π} \frac{{(a + r e^{i θ} - 1)}^{n} r i e^{i θ} d θ}{{(r e^{i θ})}^{k + 1}} \\ = \frac{1}{2 π} \sum_{n = 0}^{\infty} \end{aligned}

वह है,

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-a)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a^{-k-1}(z-a)^{k}={\frac {1}{a}}\sum _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a}}\right)^{k},

जिसमें अभिसरण की त्रिज्या $|a|$ तथा $V=\{|z-a|<|a|\}$ है अगर हम $a\in U$ के साथ $|a|>1$ को चुनते हैं, फिर $V$ $U$ का उपसमुच्चय नहीं है और वास्तव में क्षेत्रफल की तुलना में $U$ बड़ा है। क्षेत्रक के लिए परिणाम $a={\tfrac {1}{2}}(3+i)$ दिखाता है। हम प्रक्रिया जारी रख सकते हैं: $b\in U\cup V$ को चुनें, घात श्रृंखला को $b$ में पुनश्च करें, और निर्धारित करें कि नई घात श्रृंखला कहाँ अभिसरित होती है। यदि क्षेत्र में ऐसे बिंदु हैं जो $U\cup V$ में नहीं हैं, तो हम आगे भी विश्लेषणात्मक रूप से $f$ को जारी रखेंगे। यह विशेष रूप से $f$ पर वेधित जटिल समतल $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है।

एक जनन की औपचारिक परिभाषा

नीचे परिभाषित घात श्रृंखला एक जनन (गणित) के विचार से सामान्यीकृत है। विश्लेषणात्मक निरंतरता के सामान्य सिद्धांत और इसके सामान्यीकरण को पुलिंदा सिद्धांत (गणित) के रूप में जाना जाता है। अनुमति दें कि

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}

चक्र (गणित) D_r(z₀), R> 0 में परिवर्तित होने वाली एक घात श्रृंखला हो, निम्न द्वारा परिभाषित:

D_{r}(z_{0})=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<r\}

.

ध्यान दें कि व्यापकता के नुकसान के बिना, यहाँ और नीचे, हम हमेशा मानेंगे कि इस तरह के अधिकतम r को चुना गया था, भले ही वह r ∞ हो। यह भी ध्यान दें कि यह कुछ छोटे खुले सम्मुच्चय पर परिभाषित विश्लेषणात्मक प्रकार्य से शुरू होने के बराबर होगा। हम कहते हैं कि सदिश

g=(z_{0},\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots )

f का जनन (गणित) है। g का आधार g₀ z₀ है, g कि प्रातिपदिका (α₀, a₁, a₂, ...) है और g का शीर्ष g₁ α₀ है g का शीर्ष z पर f₀ का मान है।

कोई सदिश g = (z₀, a₀, a₁, ...) एक जनन है यदि यह r> 0 अभिसरण के कुछ त्रिज्या के साथ z₀ के आसपास एक विश्लेषणात्मक कार्य की शक्ति श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, हम जननओं ${\mathcal {G}}$ के सम्मुच्चय के बारे में सुरक्षित रूप से बात कर सकते हैं।

जनन के सम्मुच्चय की सांस्थिति

मान लीजिए g और h जनन (गणित) हैं। यदि $|h_{0}-g_{0}|<r$ जहाँ r g की अभिसरण की त्रिज्या है और यदि g और h द्वारा परिभाषित घात श्रृंखला दो कार्यक्षेत्र के प्रतिच्छेदन पर समान कार्य निर्दिष्ट करती है, तो हम कहते हैं कि h g द्वारा (या संगत) उत्पन्न होता है, और हम g ≥ h लिखते हैं। यह अनुकूलता स्थिति न तो सकर्मक, सममित और न ही विषम है। यदि हम सकर्मकता द्वारा संबंध का विस्तार करते हैं, तो हम एक सममित संबंध प्राप्त करते हैं, जो कि जनन पर एक तुल्यता संबंध भी है (लेकिन एक आदेश नहीं)। परिवर्तनशीलता द्वारा यह विस्तार विश्लेषणात्मक निरंतरता की एक परिभाषा है। तुल्यता संबंध को $\cong$ में निरूपित किया जाएगा।

हम एक सांस्थिति को ${\mathcal {G}}$ में परिभाषित कर सकते हैं। मान लीजिए r > 0, और मान लीजिए

U_{r}(g)=\{h\in {\mathcal {G}}:g\geq h,|g_{0}-h_{0}|<r\}.

सम्मुच्चय U_r(g), सभी r > 0 और $g\in {\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ पर सांस्थिति के लिए खुले समुच्चय के आधार को परिभाषित करें।

${\mathcal {G}}$ का संबद्ध घटक (अर्थात, एक तुल्यता वर्ग) को पुलिंदा (गणित) कहा जाता है। हम यह भी ध्यान दें कि मानचित्र द्वारा $\phi _{g}(h)=h_{0}:U_{r}(g)\to \mathbb {C}$ परिभाषित किया गया है। जहाँ r, g की अभिसरण की त्रिज्या है, वह शीर्षधर (सांस्थिति) मानचित्र है। इस तरह के मानचित्र का सम्मुच्चय ${\mathcal {G}}$ के लिए एक शीर्षधर (सांस्थिति) बनाता है , इसलिये ${\mathcal {G}}$ एक रीमैन सतह है। ${\mathcal {G}}$ को कभी-कभी सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक कार्य कहा जाता है।

विश्लेषणात्मक निरंतरता के उदाहरण

L(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}(z-1)^{k}

z = 1 के पास प्राकृतिक लघुगणक के अनुरूप एक घात श्रृंखला है। इस घात श्रृंखला को जनन (गणित) में बदला जा सकता है

g=\left(1,0,1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},\ldots \right)

इस जनन की अभिसरण की त्रिज्या 1 है, और इसलिए इसके अनुरूप एक पुलिंदा (गणित) S है। यह लघुगणक फलन का पुलिंदा है।

विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए विशिष्टता प्रमेय भी विश्लेषणात्मक कार्यों के पुलिंदों तक फैली हुई है: यदि किसी विश्लेषणात्मक कार्य के पुलिंदों में शून्य जनन होता है (यानी, कुछ प्रतिवैस में पुलिंदा समान रूप से शून्य होता है) तो संपूर्ण पुलिंदा शून्य होता है। इस परिणाम के साथ सशस्त्र, हम देख सकते हैं कि यदि हम लघुगणक समारोह के पुलिंदा S के का कोई जनन g लेते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, और इसे एक घात श्रृंखला f (z) में बदल दें तो इस फलन में exp(f) (z)) = z विशेषता होगी। यदि हमने विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्य प्रमेय के एक संस्करण का उपयोग करने का निर्णय लिया था, तो हम घातीय मानचित्र के लिए विभिन्न प्रकार के व्युत्क्रमों का निर्माण कर सकते थे, लेकिन हमें पता चलेगा कि वे सभी S में किसी जनन द्वारा दर्शाए गए हैं। उस अर्थ में, S घातीय मानचित्र का एक वास्तविक प्रतिलोम है।

पुराने साहित्य में, विश्लेषणात्मक कार्यों के पूलों को बहु-मूल्यवान कार्य कहा जाता था। सामान्य अवधारणा के लिए पुलिंदा (गणित) देखें।

प्राकृतिक सीमा

मान लीजिए कि एक घात श्रृंखला में अभिसरण की त्रिज्या r है और उस चक्रिका के अंदर एक विश्लेषणात्मक कार्य f को परिभाषित करता है। अभिसरण के वृत्त पर बिंदुओं पर विचार करें। बिंदु जिसके लिए एक प्रतिवैस है जिस पर f का विश्लेषणात्मक विस्तार नियमित है, अन्यथा अद्वितीय। वृत्त एक 'प्राकृतिक सीमा' है यदि इसके सभी बिंदु अद्वितीय हैं।

अधिक सामान्यतः, हम परिभाषा को किसी भी खुले आनुषंगिक कार्यक्षेत्र पर लागू कर सकते हैं, जिस पर f विश्लेषणात्मक है, और कार्यक्षेत्र की सीमा के बिंदुओं को नियमित या अद्वितीय के रूप में वर्गीकृत करते हैं: कार्यक्षेत्र सीमा तब एक प्राकृतिक सीमा होती है यदि सभी बिंदु अद्वितीय होते हैं, इस मामले में कार्यक्षेत्र पूर्णसममितिक का कार्यक्षेत्र है।

उदाहरण I: शून्य पर एक प्राकृतिक सीमा के साथ एक प्रकार्य (मुख्य जीटा प्रकार्य)

$\Re (s)>1$ के लिये हम तथाकथित प्रधान जीटा प्रकार्य को परिभाषित करते हैं, $P(s)$ , निम्न के लिए

P(s):=\sum _{p\ {\text{ prime}}}p^{-s}.

यह प्रकार्य रीमैन ज़ेटा प्रकार्य के सारांश रूप के अनुरूप है जब $\Re (s)>1$ इस हद तक कि यह एक ही सारांश कार्य $\zeta (s)$ है, सभी सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं पर योग लेने के बजाय केवल अभाज्य संख्याओं तक सीमित सूचकांकों को छोड़कर। मुख्य जेटा प्रकार्य में सभी संकुल s के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है जैसे कि $0<\Re (s)<1$ , एक तथ्य जो की $P(s)$ रीमैन ज़ेटा प्रकार्यके लघुगणक के रूप में अभिव्यक्ति से होता है:

P(s)=\sum _{n\geq 1}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}.

तब से $\zeta (s)$ पर एक सरल, गैर-हटाने योग्य पोल $s:=1$ है, तो यह देखा जा सकता है $P(s)$ पर एक साधारण पोल $s:={\tfrac {1}{k}},\forall k\in \mathbb {Z} ^{+}$ है। अंक के सम्मुच्चय के बाद से

\operatorname {Sing} _{P}:=\left\{k^{-1}:k\in \mathbb {Z} ^{+}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}

का संचय बिंदु 0 है (अनुक्रम की सीमा के रूप में $k\mapsto \infty$ ), हम देख सकते हैं कि शून्य एक प्राकृतिक सीमा $P(s)$ बनाता है। यह बताता है कि $P(s)$ शून्य के बाईं ओर (या पर) कोई विश्लेषणात्मक निरंतर नहीं है, यानी, जब $0\geq \Re (s)$ है तब $P(s)$ के लिए कोई निरंतरता संभव नहीं है। एक टिप्पणी के रूप में, यह तथ्य समस्याग्रस्त हो सकता है यदि हम एक अंतराल पर एक जटिल समोच्च अभिन्न प्रदर्शन कर रहे हैं जिसका वास्तविक भाग शून्य के बारे में सममित है। कहते हैं कुछ $C>0$ के लिए $I_{F}\subseteq \mathbb {C} \ {\text{ ऐसे कि }}\ \Re (s)\in (-C,C),\forall s\in I_{F}$ , जहां समाकल्य विभाजक के साथ एक प्रकार्य है जो $P(s)$ पर एक आवश्यक तरीके से निर्भर करता है।

उदाहरण II: एक विशिष्ट अंतरयुक्त श्रृंखला (इकाई घेरा के उपसम्मुच्चय के रूप में प्राकृतिक सीमा)

$c\geq 2$ पूर्णांकों के लिए, हम घात श्रृंखला विस्तार द्वारा क्रम c की संक्षिप्त श्रृंखला को परिभाषित करते हैं

{\mathcal {L}}_{c}(z):=\sum _{n\geq 1}z^{c^{n}},|z|<1.

स्पष्ट रूप से, के बाद से $c^{n+1}=c\cdot c^{n}$ के लिए एक कार्यात्मक समीकरण है ${\mathcal {L}}_{c}(z)$ किसी भी z संतोषजनक के लिए $|z|<1$ के द्वारा दिया गया ${\mathcal {L}}_{c}(z)=z^{c}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c})$ . किसी पूर्णांक के लिए इसे देखना भी कठिन नहीं है $m\geq 1$ , हमारे पास के लिए एक और कार्यात्मक समीकरण है ${\mathcal {L}}_{c}(z)$ के द्वारा दिया गया

{\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{m-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{m}}),\forall |z|<1.

किसी भी धनात्मक प्राकृतिक संख्या c के लिए, लैकूनरी सीरीज़ प्रकार्यका विचलन होता है $z=1$ . हम विश्लेषणात्मक निरंतरता के प्रश्न पर विचार करते हैं ${\mathcal {L}}_{c}(z)$ अन्य जटिल z के लिए ऐसा है $|z|>1.$ जैसा कि हम देखेंगे, किसी के लिए $n\geq 1$ , कार्यक्रम ${\mathcal {L}}_{c}(z)$ पर विचलन करता है

 $c^{n}$ -एकता की जड़ें। इसलिए, चूंकि ऐसी सभी जड़ों द्वारा गठित सम्मुच्चय यूनिट सर्कल की सीमा पर सघन है, इसलिए कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है  ${\mathcal {L}}_{c}(z)$  जटिल z के लिए जिसका मापांक एक से अधिक है।

इस तथ्य का प्रमाण उस मामले के लिए एक मानक तर्क से सामान्यीकृत किया गया है जहाँ $c:=2.$ ^[2] अर्थात्, पूर्णांकों के लिए $n\geq 1$ , होने देना

{\mathcal {R}}_{c,n}:=\left\{z\in \mathbb {D} \cup \partial {\mathbb {D} }:z^{c^{n}}=1\right\},

कहाँ पे $\mathbb {D}$ संकुल प्लेन में ओपन यूनिट चक्रिका को दर्शाता है और $|{\mathcal {R}}_{c,n}|=c^{n}$ , यानी हैं $c^{n}$ विशिष्ट जटिल संख्याएँ z जो इकाई वृत्त पर या उसके अंदर स्थित हैं जैसे कि $z^{c^{n}}=1$ . अब सबूत का मुख्य भाग के लिए कार्यात्मक समीकरण का उपयोग करना है ${\mathcal {L}}_{c}(z)$ जब $|z|<1$ उसे दिखाने के लिए

\forall z\in {\mathcal {R}}_{c,n},\qquad {\mathcal {L}}_{c}(z)=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(z^{c^{n}})=\sum _{i=0}^{c^{n}-1}z^{c^{i}}+{\mathcal {L}}_{c}(1)=+\infty .

इस प्रकार इकाई वृत्त की सीमा पर किसी भी चाप के लिए, इस चाप के भीतर अनंत बिंदु z हैं जैसे कि ${\mathcal {L}}_{c}(z)=\infty$ . यह स्थिति कहने के बराबर है कि वृत्त $C_{1}:=\{z:|z|=1\}$ समारोह के लिए एक प्राकृतिक सीमा बनाता है ${\mathcal {L}}_{c}(z)$ के किसी भी निश्चित विकल्प के लिए $c\in \mathbb {Z} \quad c>1.$ इसलिए, यूनिट सर्कल के आंतरिक भाग से परे इन कार्यों के लिए कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है।

मोनोड्रोम प्रमेय

मोनोड्रोमी प्रमेय एक प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति देता है (यानी, एक बड़े सम्मुच्चय पर एक विश्लेषणात्मक कार्य के लिए एक विश्लेषणात्मक कार्य का विस्तार)।

मान लीजिए $D\subset \mathbb {C}$ डी पर एक खुला सम्मुच्चय और एफ एक विश्लेषणात्मक कार्य है। यदि जी डी युक्त एक सरल रूप से जुड़ा हुआ कार्यक्षेत्र (गणितीय विश्लेषण) है, जैसे कि एफ में जी में हर पथ के साथ एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है, डी में कुछ निश्चित बिंदु से शुरू होता है, तो एफ जी के लिए प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

उपरोक्त भाषा में इसका अर्थ यह है कि यदि G एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ कार्यक्षेत्र है, और S एक पुलिंदा है जिसके आधार बिंदुओं के सम्मुच्चय में G है, तो G पर एक विश्लेषणात्मक कार्य f मौजूद है जिसके जनन S के हैं।

हैडमार्ड का गैप प्रमेय

एक घात श्रृंखला के लिए

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{n_{k}}

साथ

\liminf _{k\to \infty }{\frac {n_{k+1}}{n_{k}}}>1

अभिसरण का चक्र एक प्राकृतिक सीमा है। ऐसी घात श्रृंखला को अशक्त समारोह कहा जाता है। इस प्रमेय को यूजेन फेब्री (फैब्री की गैप प्रमेय देखें) और जॉर्ज पोल्या द्वारा काफी हद तक सामान्यीकृत किया गया है।

पोल्या की प्रमेय

प्राणी

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}

एक घात श्रृंखला हो, तो वहां ε मौजूद है_k ∈ {−1, 1} ऐसा कि

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\varepsilon _{k}\alpha _{k}(z-z_{0})^{k}

z के चारों ओर f की अभिसरण चक्रिका है₀ एक प्राकृतिक सीमा के रूप में।

इस प्रमेय का प्रमाण हैडमार्ड के अंतराल प्रमेय का उपयोग करता है।

== एक उपयोगी प्रमेय: गैर-सकारात्मक पूर्णांक == के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए एक पर्याप्त शर्त

ज्यादातर मामलों में, यदि किसी जटिल कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता मौजूद है, तो यह एक अभिन्न सूत्र द्वारा दिया जाता है। अगला प्रमेय, बशर्ते इसकी परिकल्पना पूरी हो, एक पर्याप्त स्थिति प्रदान करता है जिसके तहत हम एक विश्लेषणात्मक कार्य को इसके अभिसरण बिंदुओं से सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ मनमाने ढंग से जारी रख सकते हैं $s\in \mathbb {C}$ (परिमित-कई ध्रुवों के अपवाद के साथ)। इसके अलावा, सूत्र गैर-सकारात्मक पूर्णांकों की निरंतरता के मूल्यों के लिए एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व देता है जो शून्य पर मूल्यांकन किए गए मूल प्रकार्यके उच्च डेरिवेटिव | उच्च क्रम (पूर्णांक) डेरिवेटिव द्वारा व्यक्त किया गया है।^[3]

प्रमेय की परिकल्पना

हमें आवश्यकता है कि एक समारोह $F:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {C}$ नीचे बताए गए इस प्रकार्यकी निरंतरता पर प्रमेय को लागू करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

(टी-1)। प्रकार्यमें सभी ऑर्डर के निरंतर डेरिवेटिव होने चाहिए, अर्थात, $F\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ^{+})$ . दूसरे शब्दों में, किसी भी पूर्णांक के लिए $j\geq 1$ , अभिन्न-क्रम $j^{th}$ यौगिक $F^{(j)}(x)={\frac {d^{(j)}}{dx^{(j)}}}[F(x)]$ मौजूद होना चाहिए, निरंतर होना चाहिए $\mathbb {R} ^{+}$ , और स्वयं अवकलनीय फलन हो, ताकि F के सभी उच्च कोटि के अवकलज धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर x के चिकने फलन फलन हों;
'(त-2).' हमें आवश्यकता है कि सभी के लिए प्रकार्यF तेजी से घट रहा है $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ हम सीमित व्यवहार प्राप्त करते हैं $t^{n}F(t)\to 0$ जैसा कि टी असीम हो जाता है, अनंत की ओर प्रवृत्त होता है;
'(त-3).' (पारस्परिक गामा-स्केल्ड) एफ का मेलिन परिवर्तन सभी जटिल एस के लिए मौजूद है जैसे कि $\Re (s)>0$ के अपवाद के साथ $s\in \{\zeta _{1}(F),\zeta _{2}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}$ (या संभवतः असाधारण ध्रुवों की एक सीमित संख्या को छोड़कर सभी सकारात्मक वास्तविक भागों के साथ):

{\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s):={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s}F(t){\frac {dt}{t}},\qquad \left|{\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)\right|\in (-\infty ,+\infty ),\forall s\in \{z\in \mathbb {C} :\Re (z)>0\}\setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}.

प्रमेय का निष्कर्ष

F को सकारात्मक वास्तविकताओं पर परिभाषित कोई भी कार्य होने दें जो ऊपर की सभी शर्तों (T1)-(T3) को संतुष्ट करता है। फिर स्केल किए गए मेलिन ट्रांसफ़ॉर्म का अभिन्न प्रतिनिधित्व एफ पर एस, द्वारा निरूपित किया गया ${\widetilde {\mathcal {M}}}[F](s)$ , जटिल विमान के लिए एक मेरोमोर्फिक निरंतरता है $\mathbb {C} \setminus \{\zeta _{1}(F),\ldots ,\zeta _{k}(F)\}$ . इसके अलावा, हमारे पास किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए है $n\in \mathbb {Z}$ , बिंदु पर F की निरंतरता $s:=-n$ सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है

{\widetilde {\mathcal {M}}}[F](-n)=(-1)^{n}\times F^{(n)}(0)\equiv (-1)^{n}\times {\frac {\partial ^{n}}{{\partial x}^{n}}}\left[F(x)\right]|_{x=0}.

उदाहरण

उदाहरण I: रीमैन ज़ेटा प्रकार्यका बर्नौली नंबरों से कनेक्शन

हम प्रमेय को फलन पर लागू कर सकते हैं

F_{\zeta }(x):={\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n\geq 0}B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}},

जो बरनौली संख्याओं के चरघातांकी जनन फलन के संगत है, $B_{n}$ . के लिये $\Re (s)>1$ , व्यक्त कर सकते हैं $\zeta (s)={\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](s)$ , क्योंकि हम गणना कर सकते हैं कि पूर्णांकों की पारस्परिक घातयों के लिए अगला अभिन्न सूत्र $n\geq 1$ इस श्रेणी में s के लिए होल्ड करता है:

{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }t^{s-1}e^{-nt}dt,\Re (s)>1.

अब चूँकि अंतिम समीकरण का समाकलन प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए t का एक समान रूप से निरंतर कार्य है, हमारे पास इसके लिए एक अभिन्न प्रतिनिधित्व है $\zeta (s)$ जब भी $\Re (s)>1$ के द्वारा दिया गया

\zeta (s)=\sum _{n\geq 1}n^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }\left(\sum _{n\geq 1}e^{-nt}\right)t^{s-1}dt={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\frac {F_{\zeta }(t)}{t}}dt.

जब हम इसके लिए मेलिन ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल के लिए भागों द्वारा एकीकरण करते हैं $F_{\zeta }(x)$ , हम यह भी संबंध प्राप्त करते हैं

\zeta (s)={\frac {1}{(s-1)}}{\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](s-1).

इसके अलावा, चूंकि $e^{t}\gg t^{n}$ टी की किसी निश्चित पूर्णांक बहुपद घात के लिए, हम उस प्रमेय की परिकल्पना को पूरा करते हैं जिसके लिए इसकी आवश्यकता होती है $\lim _{t\to +\infty }t^{n}\cdot F_{\zeta }(t),\forall n\in \mathbb {Z} ^{+}$ . Bernoulli संख्या के जनक समारोह के लिए टेलर के प्रमेय के मानक अनुप्रयोग से पता चलता है $F_{\zeta }^{(n)}(0)={\frac {B_{n}}{n!}}\times n!=B_{n}$ . विशेष रूप से, शिफ्ट करने के लिए ऊपर किए गए अवलोकन द्वारा $s\mapsto s-1$ , और इन टिप्पणियों से, हम रीमैन ज़ेटा प्रकार्य(के लिए) की तथाकथित रीमैन परिकल्पना के मूल्यों की गणना कर सकते हैं $\zeta (-2n)$ ) और परिमेय-मूल्यवान ऋणात्मक विषम पूर्णांक क्रम स्थिरांक, $\zeta (-(2n+1)),n\geq 0$ , सूत्र के अनुसार

\zeta (-n)=-{\frac {1}{n+1}}{\widetilde {\mathcal {M}}}[F_{\zeta }](-n-1)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}F_{\zeta }^{(n+1)}(0)={\begin{cases}-{\frac {1}{2}},&n=0;\\\infty ,&n=1;\\-{\frac {B_{n+1}}{n+1}},&n\geq 2.\end{cases}}

उदाहरण II: कुछ अंकगणितीय अनुक्रम के लिए योगात्मक फलन के रूप में F की व्याख्या

मान लीजिए कि F सकारात्मक वास्तविकताओं पर एक सुचारू, पर्याप्त रूप से घटता हुआ कार्य है जो अतिरिक्त स्थिति को संतुष्ट करता है

\Delta [F](x-1)=F(x)-F(x-1)=:f(x),\forall x\in \mathbb {Z} ^{+}.

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत संदर्भों के लिए आवेदन में, हम ऐसे F को अंकगणितीय प्रकार्यf का सारांश कार्य मानते हैं,

F(x):={\sum _{n\geq x}}^{\prime }f(n)

हम कहाँ लेते हैं $F(x)=0,\forall 0<x<1$ और पिछली राशि पर मुख्य-नोटेशन पेरॉन फॉर्मूला | पेरोन के प्रमेय के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक सम्मेलनों से मेल खाता है:

F_{f}(x):={\sum _{n\leq x}}^{\prime }f(n)={\begin{cases}\sum _{n\leq [x]}f(n),&x\in \mathbb {R} ^{+}\setminus \mathbb {Z} ;\\\sum _{n\leq x}f(n)-{\frac {f(x)}{2}},&x\in \mathbb {R} ^{+}\cap \mathbb {Z} .\end{cases}}

हम एफ के डिरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन की विश्लेषणात्मक निरंतरता में रुचि रखते हैं, या एफ पर डीरिचलेट श्रृंखला के समतुल्य हैं,

D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}.

आमतौर पर, हमारे पास अभिसरण के भुज का एक विशेष मूल्य होता है, $\sigma _{0,f}>0$ , इस प्रकार परिभाषित किया गया है $D_{f}(s)$ सभी परिसरों के संतोषजनक के लिए बिल्कुल अभिसरण है $\Re (s)>\sigma _{0,f}$ , और कहाँ $D_{f}(s)$ माना जाता है कि एक पोल है $s:=\pm \sigma _{0,f}$ और इसलिए प्रारंभिक डिरिचलेट श्रृंखला के लिए $D_{f}(s)$ सभी एस के लिए विचलन करता है कि $\Re (s)\leq \sigma _{0,f}$ . यह ज्ञात है कि किसी भी एफ के सारांश कार्य के मेलिन परिवर्तन के बीच इसके डीजीएफ की निरंतरता के बीच संबंध है $s\mapsto -s$ फार्म का:

D_{f}(s)={\mathcal {M}}[F](-s)=\int _{1}^{\infty }{\frac {F_{f}(s)}{x^{s+1}}}dx

अर्थात् प्रदान की जाती है $D_{f}(s)$ मूल के बाएं जटिल विमान के लिए एक निरंतरता है, हम किसी भी एफ के योगात्मक कार्य को व्यक्त कर सकते हैं, एफ के डीजीएफ के व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा शून्य से कम वास्तविक भागों के साथ जारी रखा गया है:^[4]

F_{f}(x)={\mathcal {M}}^{-1}\left[{\mathcal {M}}[F_{f}](-s)\right](x)={\mathcal {M}}^{-1}[D_{f}(-s)](x).

हम किसी भी निर्धारित f के DGF, या Dirichlet श्रृंखला का निर्माण कर सकते हैं, जो कि हमारे सुचारु लक्ष्य फलन F को भागों द्वारा योग करके दिया गया है

\begin{aligned} D_{f} (s) & = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{+ \infty} (\sum_{n \geq 1} (F (n) - F (n - 1)) e^{- n t}) t^{s} d t \\ = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} lim_{N \to \infty} [F (N) e^{- N t} + \sum_{k = 0}^{N - 1} F (k) e^{- k t} (1 - e^{- t})] d t \\ = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} (1 - e^{- t}) \int_{0}^{\infty} F (r / t) e^{- r} d r d t \\ = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} t^{s - 1} (1 - e^{- t}) \tilde{F} (\frac{1}{t}) d t \\ = \frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} ( \end{aligned}

कहाँ पे

{\hat {F}}(x)\equiv {\mathcal {L}}[F](x)

लाप्लास रूपांतरण है | एफ का लाप्लास-बोरेल ट्रांसफॉर्म, जो अगर

F(z):=\sum _{n\geq 0}{\frac {f_{n}}{n!}}z^{n}

द्वारा प्रगणित कुछ अनुक्रम के घातीय जनरेटिंग प्रकार्यसे मेल खाती है $f_{n}/n!=F^{(n)}(0)/n!$ (जैसा कि शून्य के बारे में एफ के टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा निर्धारित किया गया है), फिर

{\widetilde {F}}(z)=\sum _{n\geq 0}f_{n}z^{n}

अनुक्रम पर इसका सामान्य जनन फलन रूप है जिसके गुणांकों की गणना की जाती है $[z^{n}]{\widetilde {F}}(z)\equiv f_{n}=F^{(n)}(0)$ .

तो यह इस प्रकार है कि अगर हम लिखते हैं

G_{F}(x):={\frac {x}{1-x}}F\left({\frac {x}{1-x}}\right)=\sum _{n\geq 0}\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}[z^{k}]F(z)\right)x^{n+1},

वैकल्पिक रूप से एफ के द्विपद परिवर्तन के एक हस्ताक्षरित संस्करण के रूप में व्याख्या की जाती है, फिर हम डीजीएफ को निम्नलिखित मेलिन परिवर्तन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं $-s$ :

{\begin{aligned}D_{f}(s)&={\mathcal {M}}[G_{F}](-s){\mathcal {M}}\left[1-e^{-1/x}\right](-s)\\&={\frac {{\mathcal {M}}[G_{F}](-s)}{s-1}}\left(1-\Gamma (s)\right)\end{aligned}}

अंत में, चूंकि गामा प्रकार्यमें मेरोमोर्फिक निरंतरता है $\mathbb {C} \setminus \mathbb {N}$ , सभी के लिए $s\in \mathbb {C} \setminus \{0,1,2,\ldots \},$ हमारे पास प्रपत्र के f at -s के लिए DGF की विश्लेषणात्मक निरंतरता है

D_{f}(-s)=-{\frac {1-\Gamma (-s)}{s+1}}{\mathcal {M}}[G_{F}](s),

जहां के लिए एक सूत्र $D_{f}(-n)$ प्रमेय में सूत्र के अनुसार गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए दिया गया है

D_{f}(-n)=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{{dx}^{n}}}\left[\left(1-e^{-1/x}\right){\frac {x}{1-x}}F\left({\frac {x}{1-x}}\right)\right]{\Biggr |}_{x=0}.

इसके अलावा, बशर्ते कि अंकगणितीय फलन f संतुष्ट करता हो $f(1)\neq 1$ ताकि इसका डिरिचलेट प्रतिलोम फलन मौजूद हो, का DGF $f^{-1}$ किसी के लिए जारी है $s\in \mathbb {C} \cap \{z:\Re (z)\in (-\infty ,-\sigma _{0,f})\cup (\sigma _{0,f},+\infty )\}$ , वह कोई भी जटिल s है जिसमें f- परिभाषित, या अनुप्रयोग पर निर्भर f- विशिष्ट, ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच तथाकथित महत्वपूर्ण पट्टी में s को छोड़कर $z=\pm \sigma _{0,f}$ , और इस व्युत्क्रम प्रकार्यDGF का मान जब $\Re (s)<-\sigma _{0,f}$ द्वारा दिया गया है ^[5]

D_{f^{-1}}(-s)={\begin{cases}0,&n\in \mathbb {N} ;\\-{\frac {s+1}{1-\Gamma (-s)}}{\mathcal {M}}[G_{F}^{-1}](s),&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

इस एफ-परिभाषित महत्वपूर्ण पट्टी के अंदर डीरिचलेट व्युत्क्रम समारोह के डीजीएफ को जारी रखने के लिए, हमें डीजीएफ के लिए एक कार्यात्मक समीकरण के कुछ ज्ञान की आवश्यकता होगी, $D_{f}(s)$ , जो हमें s को इस तरह से संबंधित करने की अनुमति देता है कि इस प्रकार्यको शुरू में परिभाषित करने वाली डिरिचलेट श्रृंखला इस पट्टी के अंदर s के मानों के लिए बिल्कुल अभिसारी है - संक्षेप में, एक सूत्र जो प्रदान करता है $D_{f}(s)=\xi _{f}(s)\times D_{f}(\sigma _{0,f}-s)$ इस स्ट्रिप में डीजीएफ को परिभाषित करना जरूरी है।^[6]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Kruskal, M. D. (1960-09-01). "श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक का अधिकतम विस्तार". Physical Review. 119 (5): 1743–1745. Bibcode:1960PhRv..119.1743K. doi:10.1103/PhysRev.119.1743.
↑ See the example given on the MathWorld page for natural boundary.
↑ See the article Fontaine's rings and p-adic L-functions by Pierre Colmez found at this link (Course notes PDF dated 2004).
↑ Much more, in fact, can be said about the properties of such relations between the continuations of a DGF and the summatory function of any arithmetic f -- and, for a short list and compendia of identities, see the working sandbox page at Dirichlet series inversion. Some interesting pairs of the summatory-function-to-DGF inversion relations that arise in non-standard applications include: $(F_{f}(x),D_{f}(s))\in \left\{(M(x),1/\zeta (s)),(\pi (x),P(s)),(\Pi _{0}(x),\log \zeta (s))\right\}$ , where $M(x)$ is the Mertens function, or summatory function of the Moebius function, $P(s)$ is the prime zeta function, and $\Pi _{0}(x)$ is the Riemann prime-counting function.
↑ One observation on how to reconcile how the values of this analytically continued DGF coincide with what we know of the Mellin integral of the summatory function of f, we observe that we should have that
$D_{f}(-s)=-s\int _{1}^{\infty }x^{s-1}F_{f}(x)dx.$
↑ This construction is noted to be similar to the known functional equation for the Riemann zeta function which relates $\zeta (s)$ for $1<\Re (s)<2$ to the values of $\zeta (1-s)$ for $0<1-s<1$ in the classical critical strip where we can find all of the non-trivial zeros of this zeta function.

Lars Ahlfors (1979). Complex Analysis (3 ed.). McGraw-Hill. pp. 172, 284.
Ludwig Bieberbach (1955). Analytische Fortsetzung. Springer-Verlag.
P. Dienes (1957). The Taylor series: an introduction to the theory of functions of a complex variable. New York: Dover Publications, Inc.

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अंक शास्त्र
किसी प्रकार्यका कार्यक्षेत्र
विश्लेषणात्मक कार्य
भिन्न श्रृंखला
गणितीय विलक्षणताएँ
कई जटिल चर का कार्य
खुला सम्मुच्चय
संयुक्तता
श्वार्ज़स्चिल्ड समन्वय करता है
बिजली की श्रृंखला
सकर्मक बंद
बहु-मूल्यवान समारोह
व्युत्क्रम समारोह प्रमेय
अभाज्य सँख्या
लक्सरी श्रृंखला
बस जुड़ा हुआ है
विभेदक कार्य
चिकना कार्य
मध्य परिवर्तन
जनरेटिंग फ़ंक्शन
बर्नौली नंबर
सारांश समारोह
अंकगणितीय समारोह
डिरिचलेट श्रृंखला
अभिसरण का भुज
उलटा मेलिन रूपांतरण
मेरोमॉर्फिक निरंतरता
पूर्णसममितिकफंक्शनल कैलकुलस

बाहरी संबंध

"Analytic continuation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Analytic Continuation at MathPages
Weisstein, Eric W. "Analytic Continuation". MathWorld.

[1] Kruskal, M. D. (1960-09-01). "श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक का अधिकतम विस्तार". Physical Review. 119 (5): 1743–1745. Bibcode:1960PhRv..119.1743K. doi:10.1103/PhysRev.119.1743.

[2] See the example given on the MathWorld page for natural boundary.

[3] See the article Fontaine's rings and p-adic L-functions by Pierre Colmez found at this link (Course notes PDF dated 2004).

[4] Much more, in fact, can be said about the properties of such relations between the continuations of a DGF and the summatory function of any arithmetic f -- and, for a short list and compendia of identities, see the working sandbox page at Dirichlet series inversion. Some interesting pairs of the summatory-function-to-DGF inversion relations that arise in non-standard applications include: $(F_{f}(x),D_{f}(s))\in \left\{(M(x),1/\zeta (s)),(\pi (x),P(s)),(\Pi _{0}(x),\log \zeta (s))\right\}$ , where $M(x)$ is the Mertens function, or summatory function of the Moebius function, $P(s)$ is the prime zeta function, and $\Pi _{0}(x)$ is the Riemann prime-counting function.

[5] One observation on how to reconcile how the values of this analytically continued DGF coincide with what we know of the Mellin integral of the summatory function of f, we observe that we should have that
$D_{f}(-s)=-s\int _{1}^{\infty }x^{s-1}F_{f}(x)dx.$

[6] This construction is noted to be similar to the known functional equation for the Riemann zeta function which relates $\zeta (s)$ for $1<\Re (s)<2$ to the values of $\zeta (1-s)$ for $0<1-s<1$ in the classical critical strip where we can find all of the non-trivial zeros of this zeta function.

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[2]

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[5]

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@@ Line 2: / Line 2: @@
 [[जटिल विश्लेषण]] में, गणित की एक शाखा, विश्लेषणात्मक निरंतरता किसी दिए गए विश्लेषणात्मक प्रकार्य  के कार्यक्षेत्र को विस्तारित करने की तकनीक है। विश्लेषणात्मक निरंतरता प्रायः एक प्रकार्य के आगे के मूल्यों को परिभाषित करने में सफल होती है, उदाहरण के लिए एक नए क्षेत्र में जहां एक [[अनंत श्रृंखला]] का प्रतिनिधित्व जिसके संदर्भ में इसे प्रारंभिक रूप से परिभाषित किया गया है, वह अपसारी श्रृंखला बन जाती है।
-हालाँकि, चरण-वार निरंतरता तकनीक कठिनाइयों के विरुद्ध आ सकती है। इनमें अनिवार्य रूप से सामयिक प्रकृति हो सकती है, जिससे विसंगतियां (एक से अधिक मूल्यों को परिभाषित करना) हो सकती हैं। उन्हें वैकल्पिक रूप से गणितीय विलक्षणताओं की उपस्थिति के साथ करना पड़ सकता है। कई जटिल चरों के कार्य का मामला अलग-अलग है, क्योंकि एकवचन को अलग-अलग बिंदुओं की आवश्यकता नहीं है, और इसकी जांच [[शेफ कोहोलॉजी]] के विकास का एक प्रमुख कारण था।
+हालाँकि, चरण-वार निरंतरता तकनीक कठिनाइयों के विरुद्ध आ सकती है। इनमें अनिवार्य रूप से सामयिक प्रकृति हो सकती है, जिससे विसंगतियां (एक से अधिक मूल्यों को परिभाषित करना) हो सकती हैं। उन्हें वैकल्पिक रूप से गणितीय विलक्षणताओं की उपस्थिति के साथ करना पड़ सकता है। कई जटिल चरों के कार्य का मामला अलग-अलग है, क्योंकि अद्वितीय को अलग-अलग बिंदुओं की आवश्यकता नहीं है, और इसकी जांच [[शेफ कोहोलॉजी]] के विकास का एक प्रमुख कारण था।
 == प्रारंभिक चर्चा ==
@@ Line 38: / Line 38: @@
 हम <math>a_k</math> की गणना करेंगे और निर्धारित करेंगे कि क्या यह नई घात श्रृंखला एक खुले सम्मुच्चय में अभिसरण करती है <math>V</math> जो <math>U</math> में निहित नहीं है। यदि ऐसा है, तो हम विश्लेषणात्मक रूप से <math>f</math> को <math>U \cup V</math> क्षेत्र के लिए जारी रखेंगे जो की तुलना में <math>U</math>से से काफी बड़ा है।
-<math>a</math> से <math>\partial U</math> की दूरी <math>\rho = 1 - |a-1| > 0</math> है। <math>0 < r < \rho</math> को लीजिये ; <math>D</math> को <math>a</math> के आस-पास त्रिज्या <math>r</math> की डिस्क होने दें; और <math>\partial D</math> को इसकी सीमा होने दें। फिर <math>D \cup \partial D \subset U</math>. नए गुणांकों की गणना करने के लिए कॉची के अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,
+<math>a</math> से <math>\partial U</math> की दूरी <math>\rho = 1 - |a-1| > 0</math> है। <math>0 < r < \rho</math> को लीजिये ; <math>D</math> को <math>a</math> के आस-पास त्रिज्या <math>r</math> की चक्रिका होने दें; और <math>\partial D</math> को इसकी सीमा होने दें। फिर <math>D \cup \partial D \subset U</math>. नए गुणांकों की गणना करने के लिए कॉची के अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,
 :<math>\begin{align}
@@ Line 58: / Line 58: @@
-== एक रोगाणु की औपचारिक परिभाषा ==
+== एक जनन की औपचारिक परिभाषा ==
-नीचे परिभाषित घात श्रृंखला एक [[रोगाणु (गणित)]] के विचार से सामान्यीकृत है। विश्लेषणात्मक निरंतरता के सामान्य सिद्धांत और इसके सामान्यीकरण को  [[शीफ (गणित)|पुलिंदा सिद्धांत (गणित)]] के रूप में जाना जाता है। अनुमति दें कि
+नीचे परिभाषित घात श्रृंखला एक [[रोगाणु (गणित)|जनन (गणित)]] के विचार से सामान्यीकृत है। विश्लेषणात्मक निरंतरता के सामान्य सिद्धांत और इसके सामान्यीकरण को  [[शीफ (गणित)|पुलिंदा सिद्धांत (गणित)]] के रूप में जाना जाता है। अनुमति दें कि
 : <math>f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k</math>
@@ Line 71: / Line 71: @@
 f का जनन (गणित) है। g का आधार g<sub>0</sub>  z<sub>0</sub> है, g कि प्रातिपदिका (α<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...) है और  g का शीर्ष g<sub>1</sub> α<sub>0</sub> है g का शीर्ष z पर f<sub>0</sub>  का मान है।
-कोई सदिश g = (z<sub>0</sub>, a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, ...) एक रोगाणु है यदि यह r> 0 अभिसरण  के कुछ त्रिज्या के साथ z<sub>0</sub> के आसपास एक विश्लेषणात्मक कार्य की शक्ति श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, हम रोगाणुओं <math>\mathcal G</math> के सम्मुच्चय के बारे में सुरक्षित रूप से बात कर सकते हैं।
+कोई सदिश g = (z<sub>0</sub>, a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, ...) एक जनन है यदि यह r> 0 अभिसरण  के कुछ त्रिज्या के साथ z<sub>0</sub> के आसपास एक विश्लेषणात्मक कार्य की शक्ति श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, हम जननओं <math>\mathcal G</math> के सम्मुच्चय के बारे में सुरक्षित रूप से बात कर सकते हैं।
-== रोगाणुओं के सम्मुच्चय की टोपोलॉजी ==
+== जनन के सम्मुच्चय की सांस्थिति ==
-'''मान लीजिए''' g और h जर्म (गणित) हैं। यदि <math>|h_0-g_0|<r</math> जहाँ r, g की अभिसरण की त्रिज्या है और यदि g और h द्वारा परिभाषित घात श्रृंखला दो कार्यक्षेत्र के प्रतिच्छेदन पर समान कार्य निर्दिष्ट करती है, तो हम कहते हैं कि h g द्वारा (या संगत) उत्पन्न होता है, और हम g ≥ लिखते हैं एच। यह अनुकूलता स्थिति न तो सकर्मक, सममित और न ही विषम है। यदि हम [[सकर्मक संबंध]] को सकर्मक संबंध से बंद करते हैं, तो हम एक सममित संबंध प्राप्त करते हैं, जो कि कीटाणुओं पर एक [[तुल्यता संबंध]] भी है (लेकिन एक आदेश नहीं)। परिवर्तनशीलता द्वारा यह विस्तार विश्लेषणात्मक निरंतरता की एक परिभाषा है। तुल्यता संबंध निरूपित किया जाएगा <math>\cong</math>.
+मान लीजिए g और h जनन (गणित) हैं। यदि <math>|h_0-g_0|<r</math> जहाँ r g की अभिसरण की त्रिज्या है और यदि g और h द्वारा परिभाषित घात श्रृंखला दो कार्यक्षेत्र के प्रतिच्छेदन पर समान कार्य निर्दिष्ट करती है, तो हम कहते हैं कि h g द्वारा (या संगत) उत्पन्न होता है, और हम g ≥ h लिखते हैं। यह अनुकूलता स्थिति न तो सकर्मक, सममित और न ही विषम है। यदि हम सकर्मकता द्वारा संबंध का विस्तार करते हैं, तो हम एक सममित संबंध प्राप्त करते हैं, जो कि जनन पर एक [[तुल्यता संबंध]] भी है (लेकिन एक आदेश नहीं)। परिवर्तनशीलता द्वारा यह विस्तार विश्लेषणात्मक निरंतरता की एक परिभाषा है। तुल्यता संबंध को <math>\cong</math> में निरूपित किया जाएगा।
-हम एक [[टोपोलॉजी]] को परिभाषित कर सकते हैं <math>\mathcal G</math>. मान लीजिए r > 0, और मान लीजिए
+हम एक [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] को <math>\mathcal G</math> में परिभाषित कर सकते हैं। मान लीजिए r > 0, और मान लीजिए
 :<math>U_r(g) = \{h \in \mathcal G : g \ge h, |g_0 - h_0| < r\}.</math>
-सम्मुच्चय यू<sub>r</sub>(जी), सभी आर > 0 और के लिए <math>g\in\mathcal G</math> टोपोलॉजी के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] परिभाषित करें <math>\mathcal G</math>.
+सम्मुच्चय U<sub>r</sub>(g), सभी r > 0 और <math>g\in\mathcal G</math> <math>\mathcal G</math> पर सांस्थिति के लिए खुले समुच्चय के आधार को परिभाषित करें।
-का [[जुड़ा हुआ स्थान]] <math>\mathcal G</math> (अर्थात, एक तुल्यता वर्ग) को शीफ (गणित) कहा जाता है। हम यह भी ध्यान दें कि मानचित्र द्वारा परिभाषित किया गया है <math>\phi_g(h) = h_0 : U_r(g) \to \Complex,</math> जहाँ r, g की अभिसरण की त्रिज्या है, एक [[एटलस (टोपोलॉजी)]]#चार्ट है। इस तरह के चार्ट का सम्मुच्चय एक एटलस (टोपोलॉजी) बनाता है <math>\mathcal G</math>, इसलिये <math>\mathcal G</math> एक रीमैन सतह है। <math>\mathcal G</math> इसे कभी-कभी सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक कार्य कहा जाता है।
+<math>\mathcal G</math> का [[जुड़ा हुआ स्थान|संबद्ध घटक]] (अर्थात, एक तुल्यता वर्ग) को पुलिंदा (गणित) कहा जाता है। हम यह भी ध्यान दें कि मानचित्र द्वारा <math>\phi_g(h) = h_0 : U_r(g) \to \Complex</math> परिभाषित किया गया है। जहाँ r, g की अभिसरण की त्रिज्या है, वह [[एटलस (टोपोलॉजी)|शीर्षधर (सांस्थिति)]] मानचित्र है। इस तरह के मानचित्र का सम्मुच्चय <math>\mathcal G</math> के लिए एक शीर्षधर (सांस्थिति) बनाता है , इसलिये <math>\mathcal G</math> एक रीमैन सतह है। <math>\mathcal G</math> को कभी-कभी सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक कार्य कहा जाता है।
 == विश्लेषणात्मक निरंतरता के उदाहरण ==
 :<math>L(z) = \sum_{k=1}^\infin \frac{(-1)^{k+1}}{k}(z-1)^k</math>
-z = 1 के पास [[प्राकृतिक]] लघुगणक के अनुरूप एक घात श्रृंखला है। इस घात श्रृंखला को जर्म (गणित) में बदला जा सकता है
+z = 1 के पास [[प्राकृतिक]] लघुगणक के अनुरूप एक घात श्रृंखला है। इस घात श्रृंखला को जनन (गणित) में बदला जा सकता है
 :<math> g=\left(1,0,1,-\frac 1 2, \frac 1 3 , - \frac 1 4 , \frac 1 5 , - \frac 1 6 , \ldots\right) </math>
-इस रोगाणु का अभिसरण का त्रिज्या 1 है, और इसलिए इसके अनुरूप एक शीफ (गणित) S है। यह लघुगणक फलन का शीफ है।
+इस जनन की अभिसरण की त्रिज्या 1 है, और इसलिए इसके अनुरूप एक पुलिंदा (गणित) S है। यह लघुगणक फलन का पुलिंदा है।
-विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए विशिष्टता प्रमेय भी विश्लेषणात्मक कार्यों के शीशों तक फैली हुई है: यदि किसी विश्लेषणात्मक कार्य के शीफ में शून्य रोगाणु होता है (यानी, कुछ पड़ोस में शीफ समान रूप से शून्य होता है) तो संपूर्ण शीफ शून्य होता है। इस परिणाम के साथ सशस्त्र, हम देख सकते हैं कि यदि हम लघुगणक समारोह के शीफ एस के किसी रोगाणु जी लेते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, और इसे एक घात श्रृंखला एफ (जेड) में बदल दें तो इस समारोह में संपत्ति होगी जो एक्स (एफ) (जेड)) = जेड। यदि हमने विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्य प्रमेय के एक संस्करण का उपयोग करने का निर्णय लिया था, तो हम घातीय मानचित्र के लिए विभिन्न प्रकार के व्युत्क्रमों का निर्माण कर सकते थे, लेकिन हमें पता चलेगा कि वे सभी S में किसी रोगाणु द्वारा दर्शाए गए हैं। उस अर्थ में, S घातीय मानचित्र का एक वास्तविक प्रतिलोम है।
+विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए विशिष्टता प्रमेय भी विश्लेषणात्मक कार्यों के पुलिंदों तक फैली हुई है: यदि किसी विश्लेषणात्मक कार्य के पुलिंदों में शून्य जनन होता है (यानी, कुछ प्रतिवैस में पुलिंदा समान रूप से शून्य होता है) तो संपूर्ण पुलिंदा शून्य होता है। इस परिणाम के साथ सशस्त्र, हम देख सकते हैं कि यदि हम लघुगणक समारोह के पुलिंदा S के का कोई जनन g लेते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, और इसे एक घात श्रृंखला f (z) में बदल दें तो इस फलन में exp(f) (z)) = z विशेषता होगी। यदि हमने विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्य प्रमेय के एक संस्करण का उपयोग करने का निर्णय लिया था, तो हम घातीय मानचित्र के लिए विभिन्न प्रकार के व्युत्क्रमों का निर्माण कर सकते थे, लेकिन हमें पता चलेगा कि वे सभी S में किसी जनन द्वारा दर्शाए गए हैं। उस अर्थ में, S घातीय मानचित्र का एक वास्तविक प्रतिलोम है।
-पुराने साहित्य में, विश्लेषणात्मक कार्यों के पूलों को बहु-मूल्यवान कार्य कहा जाता था। सामान्य अवधारणा के लिए शीफ (गणित) देखें।
+पुराने साहित्य में, विश्लेषणात्मक कार्यों के पूलों को बहु-मूल्यवान कार्य कहा जाता था। सामान्य अवधारणा के लिए पुलिंदा (गणित) देखें।
 == प्राकृतिक सीमा ==
-मान लीजिए कि एक घात श्रृंखला में अभिसरण की त्रिज्या r है और उस डिस्क के अंदर एक विश्लेषणात्मक कार्य f को परिभाषित करता है। अभिसरण के वृत्त पर बिंदुओं पर विचार करें। एक बिंदु जिसके लिए एक पड़ोस है जिस पर f का विश्लेषणात्मक विस्तार नियमित है, अन्यथा एकवचन। वृत्त एक 'प्राकृतिक सीमा' है यदि इसके सभी बिंदु एकवचन हैं।
+मान लीजिए कि एक घात श्रृंखला में अभिसरण की त्रिज्या r है और उस चक्रिका के अंदर एक विश्लेषणात्मक कार्य f को परिभाषित करता है। अभिसरण के वृत्त पर बिंदुओं पर विचार करें। बिंदु जिसके लिए एक प्रतिवैस है जिस पर f का विश्लेषणात्मक विस्तार नियमित है, अन्यथा अद्वितीय। वृत्त एक 'प्राकृतिक सीमा' है यदि इसके सभी बिंदु अद्वितीय हैं।
-अधिक आम तौर पर, हम परिभाषा को किसी भी खुले कनेक्टेड कार्यक्षेत्र पर लागू कर सकते हैं, जिस पर f विश्लेषणात्मक है, और कार्यक्षेत्र की सीमा के बिंदुओं को नियमित या एकवचन के रूप में वर्गीकृत करता है: कार्यक्षेत्र सीमा तब एक प्राकृतिक सीमा होती है यदि सभी बिंदु एकवचन होते हैं, जिसमें केस [[होलोमोर्फी का डोमेन|होलोमोर्फी का कार्यक्षेत्र]] कार्यक्षेत्र है।
+अधिक सामान्यतः, हम परिभाषा को किसी भी खुले आनुषंगिक कार्यक्षेत्र पर लागू कर सकते हैं, जिस पर f विश्लेषणात्मक है, और कार्यक्षेत्र की सीमा के बिंदुओं को नियमित या अद्वितीय के रूप में वर्गीकृत करते हैं: कार्यक्षेत्र सीमा तब एक प्राकृतिक सीमा होती है यदि सभी बिंदु अद्वितीय होते हैं, इस मामले में कार्यक्षेत्र पूर्णसममितिक का कार्यक्षेत्र है।
-=== उदाहरण I: शून्य पर एक प्राकृतिक सीमा के साथ एक प्रकार्य(प्राइम ज़ेटा फ़ंक्शन) ===
+=== उदाहरण I: शून्य पर एक प्राकृतिक सीमा के साथ एक प्रकार्य (मुख्य जीटा प्रकार्य) ===
-के लिये <math>\Re(s) > 1</math> हम तथाकथित [[प्रधान जीटा समारोह]] को परिभाषित करते हैं, <math>P(s)</math>, होना
+<math>\Re(s) > 1</math> के लिये हम तथाकथित [[प्रधान जीटा समारोह|प्रधान जीटा प्रकार्य]] को परिभाषित करते हैं, <math>P(s)</math>, निम्न के लिए
 :<math>P(s) := \sum_{p\ \text{ prime}} p^{-s}.</math>
-यह प्रकार्यरीमैन ज़ेटा प्रकार्यके सारांश रूप के अनुरूप है जब <math>\Re(s) > 1</math> इस हद तक कि यह एक ही सारांश कार्य है <math>\zeta(s)</math>, सभी सकारात्मक [[प्राकृतिक संख्या]]ओं पर योग लेने के बजाय केवल अभाज्य संख्याओं तक सीमित सूचकांकों को छोड़कर। प्राइम जेटा प्रकार्यमें सभी कॉम्प्लेक्स एस के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है जैसे कि <math>0 < \Re(s) < 1</math>, एक तथ्य जो की अभिव्यक्ति से होता है <math>P(s)</math> रीमैन ज़ेटा प्रकार्यके लघुगणक के रूप में
+यह प्रकार्य रीमैन ज़ेटा प्रकार्य के सारांश रूप के अनुरूप है जब <math>\Re(s) > 1</math> इस हद तक कि यह एक ही सारांश कार्य <math>\zeta(s)</math> है, सभी सकारात्मक [[प्राकृतिक संख्या]]ओं पर योग लेने के बजाय केवल अभाज्य संख्याओं तक सीमित सूचकांकों को छोड़कर। मुख्य जेटा प्रकार्य में सभी संकुल s के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है जैसे कि <math>0 < \Re(s) < 1</math>, एक तथ्य जो की <math>P(s)</math> रीमैन ज़ेटा प्रकार्यके लघुगणक के रूप में अभिव्यक्ति से होता है:
 :<math>P(s) = \sum_{n \geq 1} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)}{n}.</math>
-तब से <math>\zeta(s)</math> पर एक सरल, गैर-हटाने योग्य पोल है <math>s := 1</math>, तो यह देखा जा सकता है <math>P(s)</math> पर एक साधारण पोल है <math>s := \tfrac{1}{k}, \forall k \in \Z^{+}</math>. अंक के सम्मुच्चय के बाद से
+तब से <math>\zeta(s)</math> पर एक सरल, गैर-हटाने योग्य पोल <math>s := 1</math> है, तो यह देखा जा सकता है <math>P(s)</math> पर एक साधारण पोल <math>s := \tfrac{1}{k}, \forall k \in \Z^{+}</math> है। अंक के सम्मुच्चय के बाद से
 :<math>\operatorname{Sing}_P := \left\{k^{-1} : k \in \Z^+\right\} = \left \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\ldots \right \}</math>
-संचय बिंदु 0 है (अनुक्रम की सीमा के रूप में <math>k\mapsto\infty</math>), हम देख सकते हैं कि शून्य एक प्राकृतिक सीमा बनाता है <math>P(s)</math>. यह बताता है कि <math>P(s)</math> शून्य के बाईं ओर (या पर) कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है, यानी, इसके लिए कोई निरंतरता संभव नहीं है <math>P(s)</math> जब <math>0 \geq \Re(s)</math>. एक टिप्पणी के रूप में, यह तथ्य समस्याग्रस्त हो सकता है यदि हम एक अंतराल पर एक जटिल समोच्च अभिन्न प्रदर्शन कर रहे हैं जिसका वास्तविक भाग शून्य के बारे में सममित है, कहते हैं <math>I_F \subseteq \Complex \ \text{such that}\ \Re(s) \in (-C, C), \forall s \in I_F</math> कुछ के लिए <math>C > 0</math>, जहां इंटीग्रैंड हर के साथ एक प्रकार्यहै जो पर निर्भर करता है <math>P(s)</math> एक आवश्यक तरीके से।
+का संचय बिंदु 0 है (अनुक्रम की सीमा के रूप में <math>k\mapsto\infty</math>), हम देख सकते हैं कि शून्य एक प्राकृतिक सीमा <math>P(s)</math> बनाता है। यह बताता है कि <math>P(s)</math> शून्य के बाईं ओर (या पर) कोई विश्लेषणात्मक निरंतर नहीं है, यानी, जब <math>0 \geq \Re(s)</math> है तब <math>P(s)</math> के लिए कोई निरंतरता संभव नहीं है। एक टिप्पणी के रूप में, यह तथ्य समस्याग्रस्त हो सकता है यदि हम एक अंतराल पर एक जटिल समोच्च अभिन्न प्रदर्शन कर रहे हैं जिसका वास्तविक भाग शून्य के बारे में सममित है। कहते हैं कुछ <math>C > 0</math> के लिए <math>I_F \subseteq \Complex \ \text{ ऐसे कि }\ \Re(s) \in (-C, C), \forall s \in I_F</math>, जहां समाकल्य विभाजक के साथ एक प्रकार्य है जो <math>P(s)</math> पर एक आवश्यक तरीके से निर्भर करता है।
-=== उदाहरण II: एक विशिष्ट लाख श्रृंखला (यूनिट सर्कल के सबसम्मुच्चय के रूप में प्राकृतिक सीमा) ===
+=== उदाहरण II: एक विशिष्ट अंतरयुक्त श्रृंखला (इकाई घेरा के उपसम्मुच्चय के रूप में प्राकृतिक सीमा) ===
-पूर्णांकों के लिए <math>c \geq 2</math>, हम घात श्रृंखला विस्तार द्वारा क्रम c की संक्षिप्त श्रृंखला को परिभाषित करते हैं
+<math>c \geq 2</math> पूर्णांकों के लिए, हम घात श्रृंखला विस्तार द्वारा क्रम c की संक्षिप्त श्रृंखला को परिभाषित करते हैं
 :<math>\mathcal{L}_c(z) := \sum_{n \geq 1} z^{c^n}, |z| < 1.</math>
-स्पष्ट रूप से, के बाद से <math>c^{n+1} = c \cdot c^{n}</math> के लिए एक कार्यात्मक समीकरण है <math>\mathcal{L}_c(z)</math> किसी भी z संतोषजनक के लिए <math>|z| < 1</math> के द्वारा दिया गया <math>\mathcal{L}_c(z) = z^{c} + \mathcal{L}_c(z^c)</math>. किसी पूर्णांक के लिए इसे देखना भी कठिन नहीं है <math>m \geq 1</math>, हमारे पास के लिए एक और कार्यात्मक समीकरण है <math>\mathcal{L}_c(z)</math> के द्वारा दिया गया
+'''स्पष्ट रूप से, के बाद से''' <math>c^{n+1} = c \cdot c^{n}</math> के लिए एक कार्यात्मक समीकरण है <math>\mathcal{L}_c(z)</math> किसी भी z संतोषजनक के लिए <math>|z| < 1</math> के द्वारा दिया गया <math>\mathcal{L}_c(z) = z^{c} + \mathcal{L}_c(z^c)</math>. किसी पूर्णांक के लिए इसे देखना भी कठिन नहीं है <math>m \geq 1</math>, हमारे पास के लिए एक और कार्यात्मक समीकरण है <math>\mathcal{L}_c(z)</math> के द्वारा दिया गया
 :<math>\mathcal{L}_c(z) = \sum_{i=0}^{m-1} z^{c^{i}} + \mathcal{L}_c(z^{c^m}), \forall |z| < 1.</math>
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 :<math>\mathcal{R}_{c,n} := \left \{z \in \mathbb{D} \cup \partial{\mathbb{D}}: z^{c^n} = 1 \right \},</math>
-कहाँ पे <math>\mathbb{D}</math> कॉम्प्लेक्स प्लेन में ओपन यूनिट डिस्क को दर्शाता है और <math>|\mathcal{R}_{c,n} | = c^n</math>, यानी हैं <math>c^n</math> विशिष्ट जटिल संख्याएँ z जो इकाई वृत्त पर या उसके अंदर स्थित हैं जैसे कि <math>z^{c^n} = 1</math>. अब सबूत का मुख्य भाग के लिए कार्यात्मक समीकरण का उपयोग करना है <math>\mathcal{L}_c(z)</math> जब <math>|z| < 1</math> उसे दिखाने के लिए
+कहाँ पे <math>\mathbb{D}</math> संकुल प्लेन में ओपन यूनिट चक्रिका को दर्शाता है और <math>|\mathcal{R}_{c,n} | = c^n</math>, यानी हैं <math>c^n</math> विशिष्ट जटिल संख्याएँ z जो इकाई वृत्त पर या उसके अंदर स्थित हैं जैसे कि <math>z^{c^n} = 1</math>. अब सबूत का मुख्य भाग के लिए कार्यात्मक समीकरण का उपयोग करना है <math>\mathcal{L}_c(z)</math> जब <math>|z| < 1</math> उसे दिखाने के लिए
 :<math>\forall z \in \mathcal{R}_{c,n}, \qquad \mathcal{L}_c(z) = \sum_{i=0}^{c^n-1} z^{c^i} + \mathcal{L}_c(z^{c^n}) = \sum_{i=0}^{c^n-1} z^{c^i} + \mathcal{L}_c(1) = +\infty.</math>
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 मान लीजिए <math>D\subset \Complex</math> डी पर एक खुला सम्मुच्चय और एफ एक विश्लेषणात्मक कार्य है। यदि जी डी युक्त एक सरल रूप से जुड़ा हुआ [[डोमेन (गणितीय विश्लेषण)|कार्यक्षेत्र (गणितीय विश्लेषण)]] है, जैसे कि एफ में जी में हर पथ के साथ एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है, डी में कुछ निश्चित बिंदु से शुरू होता है, तो एफ जी के लिए प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता है।
-उपरोक्त भाषा में इसका अर्थ यह है कि यदि G एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ कार्यक्षेत्र है, और S एक शीफ है जिसके आधार बिंदुओं के सम्मुच्चय में G है, तो G पर एक विश्लेषणात्मक कार्य f मौजूद है जिसके रोगाणु S के हैं।
+उपरोक्त भाषा में इसका अर्थ यह है कि यदि G एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ कार्यक्षेत्र है, और S एक पुलिंदा है जिसके आधार बिंदुओं के सम्मुच्चय में G है, तो G पर एक विश्लेषणात्मक कार्य f मौजूद है जिसके जनन S के हैं।
 == हैडमार्ड का गैप प्रमेय ==
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 : <math>f(z)=\sum_{k=0}^\infty \varepsilon_k\alpha_k (z-z_0)^k</math>
-z के चारों ओर f की अभिसरण डिस्क है<sub>0</sub> एक प्राकृतिक सीमा के रूप में।
+z के चारों ओर f की अभिसरण चक्रिका है<sub>0</sub> एक प्राकृतिक सीमा के रूप में।
 इस प्रमेय का प्रमाण हैडमार्ड के अंतराल प्रमेय का उपयोग करता है।
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 :<math>F(x) := {\sum_{n \geq x}}^{\prime} f(n)</math>
-हम कहाँ लेते हैं <math>F(x) = 0, \forall 0<x<1</math> और पिछली राशि पर प्राइम-नोटेशन पेरॉन फॉर्मूला | पेरोन के प्रमेय के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक सम्मेलनों से मेल खाता है:
+हम कहाँ लेते हैं <math>F(x) = 0, \forall 0<x<1</math> और पिछली राशि पर मुख्य-नोटेशन पेरॉन फॉर्मूला | पेरोन के प्रमेय के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक सम्मेलनों से मेल खाता है:
 :<math>F_f(x) := {\sum_{n \leq x}}^{\prime} f(n) = \begin{cases} \sum_{n \leq [x]} f(n), & x \in \R^+ \setminus \Z; \\ \sum_{n \leq x} f(n) - \frac{f(x)}{2}, & x \in \R^+ \cap \Z.\end{cases}</math>

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