अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान: Difference between revisions

Revision as of 18:19, 14 December 2022

ई में घन छत्ते के घन।^3</उप>

गणित में, n आयाम का अतिपरवलयिक स्थान. -1 के बराबर निरंतर अनुभागीय वक्रता का अद्वितीय, सरल रूप से जुड़ा हुआ, n-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड है। यह सजातीय स्थान है, और एक सममित स्थान होने की पूर्ण सम्भावना को संतुष्ट करता है। इसे $\mathbb {R} ^{n}$ के खुले उपसमुच्चय के रूप में, एक स्पष्ट रूप से लिखित रीमैनियन मीट्रिक के साथ, बनाने के अनेक तरीके हैं ; ऐसे निर्माणों को मॉडल कहा जाता है। हाइपरबोलिक 2-स्पेस, H², जो पहली बार अध्ययन किया गया था, उसे अतिपरवलयिक तल भी कहा जाता है।

इसे कभी-कभी लोबचेवस्की क्षेत्र या बोल्याई-लोबचेव्स्की क्षेत्र,लेखक के नाम के बाद जिन्होंने हाइपरबोलिक ज्यामिति के विषय पर पहली बार प्रकाशन करवाया था, के रूप में भी जाना जाता है। कभी-कभी गुणात्मक वास्तविक को जटिल अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान, चतुष्कोणीय अतिपरवलयिक स्थान और ऑक्टोनिक अतिपरवलयिक तल से अलग करने के लिए जोड़ा जाता है जो नकारात्मक वक्रता के अन्य सममित स्थान हैं।

अतिशयोक्तिपूर्ण विमान ग्रोमोव हाइपरबोलिक स्पेस के प्रोटोटाइप के रूप में कार्य करता है जो नकारात्मक वक्रता के सिंथेटिक दृष्टिकोण के माध्यम से अंतर-ज्यामितीय के साथ-साथ अधिक संयोजी रिक्त स्थान सहित एक दूरगामी धारणा है। एक अन्य सामान्यीकरण CAT स्पेस | CAT(-1कैट स्पेस की धारणा है।

औपचारिक परिभाषा और मॉडल

=== परिभाषा === $n$ वें>-विमीय अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष या अतिशयोक्तिपूर्ण $n$ -अंतरिक्ष, आमतौर पर निरूपित $\mathbb {H} ^{n}$ , अद्वितीय बस जुड़ा हुआ है, $n$ -आयामी Riemannian_manifold#Geodesic_completeness Riemannian अनेक गुना निरंतर नकारात्मक अनुभागीय वक्रता -1 के बराबर। एकता का अर्थ है कि इन गुणों को संतुष्ट करने वाले किसी भी दो रीमैनियन मैनिफोल्ड एक दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक हैं। यह किलिंग-हॉफ प्रमेय का परिणाम है।

हाइपरबोलिक स्पेस के मॉडल

ऊपर वर्णित इस तरह के स्थान के अस्तित्व को साबित करने के लिए स्पष्ट रूप से इसका निर्माण किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एक खुले उपसमुच्चय के रूप में $\mathbb {R} ^{n}$ एक साधारण सूत्र द्वारा दी गई रिमेंनियन मीट्रिक के साथ। हाइपरबॉलिक स्पेस के ऐसे अनेक निर्माण या मॉडल हैं, जिनमें से प्रत्येक इसके अध्ययन के विभिन्न पहलुओं के अनुकूल है। वे पिछले पैराग्राफ के अनुसार एक दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक हैं, और प्रत्येक मामले में एक स्पष्ट आइसोमेट्री स्पष्ट रूप से दी जा सकती है। यहां बेहतर ज्ञात मॉडलों की एक सूची दी गई है, जिनका वर्णन उनके नाम वाले लेखों में अधिक विस्तार से किया गया है:

पोंकारे आधा-अंतरिक्ष मॉडल|पोंकारे आधा-विमान मॉडल: यह ऊपरी-आधा स्थान है $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}$ मीट्रिक के साथ ${\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}$
पॉइनकेयर डिस्क मॉडल: यह की यूनिट बॉल है $\mathbb {R} ^{n}$ मीट्रिक के साथ $4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}$ . अर्ध-अंतरिक्ष मॉडल के लिए आइसोमेट्री को एक होमोग्राफी द्वारा इकाई क्षेत्र के एक बिंदु को अनंत तक भेजकर महसूस किया जा सकता है।
हाइपरबोलाइड मॉडल: पिछले दो मॉडलों के विपरीत यह हाइपरबॉलिक का एहसास करता है $n$ -अंतरिक्ष के अंदर सममित रूप से सन्निहित है $(n+1)$ -डायमेंशनल मिन्कोवस्की अंतरिक्ष (जो रिमैनियन नहीं है, बल्कि लोरेंट्ज़ियन अनेक गुना है)। अधिक सटीक रूप से, द्विघात रूप को देखते हुए $q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}$ पर $\mathbb {R} ^{n+1}$ , इसके द्वारा दिए गए hyperboloid की ऊपरी शीट के स्पर्शरेखा स्थानों पर इसका प्रतिबंध $q(x)=-1$ निश्चित रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए वे इसे एक रिमेंनियन मीट्रिक के साथ संपन्न करते हैं जो निरंतर वक्रता -1 के रूप में निकलता है। पिछले मॉडल की आइसोमेट्री को हाइपरबोलॉइड से प्लेन तक त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा महसूस किया जा सकता है $\{x_{n+1}=0\}$ , उस शीर्ष को लेना जिससे प्रोजेक्ट होना है $(0,\ldots ,0,1)$ गेंद के लिए और शंकु में अनंत पर एक बिंदु $q(x)=0$ आधी जगह के लिए प्रक्षेपी अंतरिक्ष के अंदर।
छोटा मॉडल: यह एक और मॉडल है जिसे यूनिट बॉल पर महसूस किया गया है $\mathbb {R} ^{n}$ ; एक स्पष्ट मीट्रिक के रूप में दिए जाने के बजाय इसे आमतौर पर मिंकोस्की अंतरिक्ष में हाइपरबोलॉइड मॉडल से क्षैतिज स्पर्शरेखा विमान (यानी, $x_{n+1}=1$ ) उत्पत्ति से $(0,\ldots ,0)$ .
सममित स्थान: अतिशयोक्तिपूर्ण $n$ -स्पेस को साधारण लाई समूह के सममित स्थान के रूप में महसूस किया जा सकता है $\mathrm {SO} (n,1)$ (द्विघात रूप के आइसोमेट्री का समूह $q$ सकारात्मक निर्धारक के साथ); एक सेट के रूप में बाद वाला कोसेट स्पेस है $\mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)$ . हाइपरबोलॉइड मॉडल की आइसोमेट्री के जुड़े घटक की कार्रवाई के माध्यम से तत्काल है $\mathrm {SO} (n,1)$ हाइपरबोलाइड पर।

ज्यामितीय गुण

समानांतर रेखाएँ

हाइपरबॉलिक स्पेस, निकोलाई लोबचेव्स्की, जानोस बोल्याई और कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अनुरूप एक ज्यामितीय स्थान है, लेकिन ऐसा है कि समानांतर पोस्टुलेट | यूक्लिड के समानांतर पोस्टुलेट को अब धारण नहीं किया जाता है। इसके बजाय, समानांतर सिद्धांत को निम्नलिखित विकल्प (दो आयामों में) से बदल दिया गया है:

दी गई कोई रेखा L और बिंदु P, जो L पर नहीं है, P से होकर जाने वाली कम से कम दो अलग-अलग रेखाएँ हैं जो L को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

यह तब एक प्रमेय है कि पी के माध्यम से असीम रूप से अनेक ऐसी रेखाएँ हैं। यह अभिगृहीत अभी भी आइसोमेट्री तक अतिशयोक्तिपूर्ण तल की विशिष्ट विशेषता नहीं है; एक अतिरिक्त स्थिरांक है, वक्रता K < 0, जिसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। हालाँकि, यह विशिष्ट रूप से होमोथेटिक परिवर्तन तक इसे चित्रित करता है, जिसका अर्थ है कि आपत्तियाँ जो केवल एक समग्र स्थिरांक द्वारा दूरी की धारणा को बदलती हैं। एक उचित लंबाई के पैमाने का चयन करके, इस प्रकार, सामान्यता के नुकसान के बिना, यह मान सकते हैं K = −1.

यूक्लिडियन एम्बेडिंग

हिल्बर्ट के प्रमेय (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) | हिल्बर्ट के प्रमेय द्वारा हाइपरबोलिक प्लेन को आइसोमेट्रिक रूप से यूक्लिडियन 3-स्पेस में एम्बेड नहीं किया जा सकता है। दूसरी ओर नैश एम्बेडिंग प्रमेय का तात्पर्य है कि हाइपरबोलिक एन-स्पेस को आइसोमेट्रिक रूप से बड़े आयाम के कुछ यूक्लिडियन स्पेस (हाइपरबोलिक प्लेन के लिए 4) में एम्बेड किया जा सकता है।

जब एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आइसोमेट्रिक रूप से एम्बेडेड होता है, तो अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान का प्रत्येक बिंदु एक काठी बिंदु होता है।

आयतन वृद्धि और समपरिमितीय असमानता

हाइपरबॉलिक स्पेस में गेंदों की मात्रा यूक्लिडियन स्पेस की तरह बहुपद के बजाय गेंद की त्रिज्या के संबंध में घातीय वृद्धि को बढ़ाती है। अर्थात्, अगर $B(r)$ त्रिज्या की कोई भी गेंद है $r$ में $\mathbb {H} ^{n}$ फिर:

\mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt

कहाँ पे

S^{n-1}

यूक्लिडियन n-क्षेत्र का कुल आयतन है

(n-1)

-त्रिज्या 1 का क्षेत्र।

अतिपरवलयिक स्थान एक रेखीय समपरिमितीय असमानता को भी संतुष्ट करता है, अर्थात वहां एक स्थिरांक मौजूद होता है $i$ जैसे कोई एम्बेडेड डिस्क जिसकी सीमा लंबाई है $r$ सबसे अधिक क्षेत्रफल है $i\cdot r$ . यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत होना है जहाँ समपरिमितीय असमानता द्विघात है।

अन्य मीट्रिक गुण

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के अनेक और मीट्रिक गुण हैं जो इसे यूक्लिडियन स्थान से अलग करते हैं। कुछ को ग्रोमोव-हाइपरबॉलिक रिक्त स्थान की सेटिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो केवल बड़े पैमाने पर गुणों का उपयोग करके सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए नकारात्मक वक्रता की धारणा का सामान्यीकरण है। एक महीन धारणा CAT(-1)-स्पेस की है।

हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स

प्रत्येक पूर्ण, जुड़े हुए, सरलता से जुड़े स्थिर ऋणात्मक वक्रता -1 के मेनिफोल्ड, वास्तविक अतिपरवलयिक स्थान Hⁿ के लिए सममितीय है। परिणाम स्वरुप, स्थिर ऋणात्मक वक्रता -1 के किसी भी बंद मेनिफोल्ड M का सार्वभौमिक आवरण, जो कहना है, एक अतिपरवलयिक मेनिफोल्ड Hⁿ है, इस प्रकार, ऐसे प्रत्येक M को Hⁿ/Γ लिखा जा सकता है।जहाँ Γ एक मरोड़ रहित असतत समूह है| 'H' पर आइसोमेट्री का मरोड़-मुक्त असतत समूह^एन. अर्थात्, Γ अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह में एक जाली (असतत उपसमूह) है। SO⁺(एन,1).

रीमैन सतहें

द्वि-आयामी अतिपरवलयिक सतहों को रीमैन सतहों की भाषा के अनुसार भी समझा जा सकता है। एकरूपता प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक रीमैन सतह या तो अण्डाकार, परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण है। अधिकांश अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों में एक गैर-तुच्छ मौलिक समूह π₁=Γ होता है; इस तरह से उत्पन्न होने वाले समूहों को फ्यूचियन समूह के रूप में जाना जाता है। भागफल स्थान H²/Γ ऊपरी अर्ध-तल आदर्श (रिंग थ्योरी) मौलिक समूह को हाइपरबोलिक सतह के फुकियान मॉडल के रूप में जाना जाता है। पोंकारे आधा तल भी अतिशयोक्तिपूर्ण है, लेकिन बस जुड़ा हुआ है और गैर-कॉम्पैक्ट है। यह अन्य अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों का सार्वभौमिक आवरण है।

त्रि-आयामी अतिपरवलयिक सतहों के लिए समान निर्माण क्लेनियन मॉडल है।

यह भी देखें

दीनी की सतह
अतिशयोक्तिपूर्ण 3-अनेक गुना
आदर्श बहुफलक
मोस्टो कठोरता प्रमेय
मुराकामी-यानो सूत्र
स्यूडोस्फीयर

संदर्भ

Ratcliffe, John G., Foundations of hyperbolic manifolds, New York, Berlin. Springer-Verlag, 1994.
Reynolds, William F. (1993) "Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid", American Mathematical Monthly 100:442–455.
Wolf, Joseph A. Spaces of constant curvature, 1967. See page 67.

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 {{Short description|Non-Euclidean geometry}}
-[[File:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png|thumb|हाइपरबोलिक 3-मैनिफ़ोल्ड|H में एक हाइपरबोलिक छोटे डोडेकाहेड्रल मधुकोश का एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण<sup>3</sup>।<BR>चार द्वादशफलक प्रत्येक किनारे पर मिलते हैं, और आठ प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं, जैसे ''यूक्लिडियन स्पेस|ई'' में घन छत्ते के घन।<sup>3</उप>]]गणित में, आयाम n का अतिपरवलयिक स्थान -1 के बराबर निरंतर [[अनुभागीय वक्रता]] का अद्वितीय, सरल रूप से जुड़ा हुआ, n-आयामी रीमानियन कई गुना है। यह [[सजातीय स्थान]] है, और एक [[सममित स्थान]] होने की मजबूत संपत्ति को संतुष्ट करता है। इसके खुले उपसमुच्चय के रूप में इसे बनाने के कई तरीके हैं <math>\mathbb R^n</math> एक स्पष्ट रूप से लिखित रीमैनियन मीट्रिक के साथ; ऐसे निर्माणों को मॉडल कहा जाता है। हाइपरबोलिक 2-स्पेस, एच<sup>2</sup>, जो पहली बार अध्ययन किया गया था, उसे अतिपरवलयिक तल भी कहा जाता है।
+[[File:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png|thumb|हाइपरबोलिक 3-मैनिफ़ोल्ड|H में एक हाइपरबोलिक छोटे डोडेकाहेड्रल मधुकोश का एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण<sup>3</sup>।<BR>चार द्वादशफलक प्रत्येक किनारे पर मिलते हैं, और आठ प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं, जैसे ''यूक्लिडियन स्पेस|ई'' में घन छत्ते के घन।<sup>3</उप>]]गणित में, n आयाम का अतिपरवलयिक स्थान. -1 के बराबर निरंतर [[अनुभागीय वक्रता]] का अद्वितीय, सरल रूप से जुड़ा हुआ, n-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड है। यह [[सजातीय स्थान]] है, और एक [[सममित स्थान]] होने की पूर्ण सम्भावना को संतुष्ट करता है। इसे <math>\mathbb R^n</math>के खुले उपसमुच्चय के रूप में, एक स्पष्ट रूप से लिखित रीमैनियन मीट्रिक के साथ, बनाने के अनेक तरीके हैं ; ऐसे निर्माणों को मॉडल कहा जाता है। हाइपरबोलिक 2-स्पेस,  '''H'''<sup>2</sup>, जो पहली बार अध्ययन किया गया था, उसे अतिपरवलयिक तल भी कहा जाता है।
-इसे कभी-कभी लेखक के नाम के बाद लोबचेवस्की स्पेस या बोल्याई-लोबचेव्स्की स्पेस के रूप में भी जाना जाता है, जो हाइपरबोलिक ज्यामिति के विषय पर पहली बार प्रकाशित हुआ था। कभी-कभी गुणात्मक वास्तविक को जटिल अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान, चतुष्कोणीय अतिपरवलयिक स्थान और ऑक्टोनिक अतिपरवलयिक तल से अलग करने के लिए जोड़ा जाता है जो नकारात्मक वक्रता के अन्य सममित स्थान हैं।
+इसे कभी-कभी लोबचेवस्की क्षेत्र या बोल्याई-लोबचेव्स्की क्षेत्र,लेखक के नाम के बाद जिन्होंने हाइपरबोलिक ज्यामिति के विषय पर पहली बार प्रकाशन करवाया था, के रूप में भी जाना जाता है। कभी-कभी गुणात्मक वास्तविक को जटिल अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान, चतुष्कोणीय अतिपरवलयिक स्थान और ऑक्टोनिक अतिपरवलयिक तल से अलग करने के लिए जोड़ा जाता है जो नकारात्मक वक्रता के अन्य सममित स्थान हैं।
 [[अतिशयोक्तिपूर्ण विमान]] [[ग्रोमोव हाइपरबोलिक स्पेस]] के प्रोटोटाइप के रूप में कार्य करता है जो नकारात्मक वक्रता के सिंथेटिक दृष्टिकोण के माध्यम से अंतर-ज्यामितीय के साथ-साथ अधिक संयोजी रिक्त स्थान सहित एक दूरगामी धारणा है। एक अन्य सामान्यीकरण CAT स्पेस | CAT(-1[[कैट स्पेस]] की धारणा है।
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 == औपचारिक परिभाषा और मॉडल ==
-=== परिभाषा === <math>n</math>वें>-विमीय अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष या अतिशयोक्तिपूर्ण <math>n</math>-अंतरिक्ष, आमतौर पर निरूपित <math>\mathbb H^n</math>, अद्वितीय बस जुड़ा हुआ है, <math>n</math>-आयामी Riemannian_manifold#Geodesic_completeness Riemannian कई गुना निरंतर नकारात्मक अनुभागीय वक्रता -1 के बराबर। एकता का अर्थ है कि इन गुणों को संतुष्ट करने वाले किसी भी दो रीमैनियन मैनिफोल्ड एक दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक हैं। यह किलिंग-हॉफ प्रमेय का परिणाम है।
+=== परिभाषा === <math>n</math>वें>-विमीय अतिशयोक्तिपूर्ण अंतरिक्ष या अतिशयोक्तिपूर्ण <math>n</math>-अंतरिक्ष, आमतौर पर निरूपित <math>\mathbb H^n</math>, अद्वितीय बस जुड़ा हुआ है, <math>n</math>-आयामी Riemannian_manifold#Geodesic_completeness Riemannian अनेक गुना निरंतर नकारात्मक अनुभागीय वक्रता -1 के बराबर। एकता का अर्थ है कि इन गुणों को संतुष्ट करने वाले किसी भी दो रीमैनियन मैनिफोल्ड एक दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक हैं। यह किलिंग-हॉफ प्रमेय का परिणाम है।
 === हाइपरबोलिक स्पेस के मॉडल ===
-ऊपर वर्णित इस तरह के स्थान के अस्तित्व को साबित करने के लिए स्पष्ट रूप से इसका निर्माण किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एक खुले उपसमुच्चय के रूप में <math>\mathbb R^n</math> एक साधारण सूत्र द्वारा दी गई रिमेंनियन मीट्रिक के साथ। हाइपरबॉलिक स्पेस के ऐसे कई निर्माण या मॉडल हैं, जिनमें से प्रत्येक इसके अध्ययन के विभिन्न पहलुओं के अनुकूल है। वे पिछले पैराग्राफ के अनुसार एक दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक हैं, और प्रत्येक मामले में एक स्पष्ट आइसोमेट्री स्पष्ट रूप से दी जा सकती है। यहां बेहतर ज्ञात मॉडलों की एक सूची दी गई है, जिनका वर्णन उनके नाम वाले लेखों में अधिक विस्तार से किया गया है:
+ऊपर वर्णित इस तरह के स्थान के अस्तित्व को साबित करने के लिए स्पष्ट रूप से इसका निर्माण किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एक खुले उपसमुच्चय के रूप में <math>\mathbb R^n</math> एक साधारण सूत्र द्वारा दी गई रिमेंनियन मीट्रिक के साथ। हाइपरबॉलिक स्पेस के ऐसे अनेक निर्माण या मॉडल हैं, जिनमें से प्रत्येक इसके अध्ययन के विभिन्न पहलुओं के अनुकूल है। वे पिछले पैराग्राफ के अनुसार एक दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक हैं, और प्रत्येक मामले में एक स्पष्ट आइसोमेट्री स्पष्ट रूप से दी जा सकती है। यहां बेहतर ज्ञात मॉडलों की एक सूची दी गई है, जिनका वर्णन उनके नाम वाले लेखों में अधिक विस्तार से किया गया है:
 * पोंकारे आधा-अंतरिक्ष मॉडल|पोंकारे आधा-विमान मॉडल: यह ऊपरी-आधा स्थान है <math>\{(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb R^n : x_n > 0\}</math> मीट्रिक के साथ <math>\tfrac{dx_1^2+\cdots + dx_n^2}{x_n^2}</math>
 * पॉइनकेयर डिस्क मॉडल: यह की यूनिट बॉल है <math>\mathbb R^n</math> मीट्रिक के साथ <math>4\tfrac{dx_1^2+\cdots + dx_n^2}{(1 - (x_1^2 + \cdots + x_n^2))^2}</math>. अर्ध-अंतरिक्ष मॉडल के लिए आइसोमेट्री को एक [[होमोग्राफी]] द्वारा इकाई क्षेत्र के एक बिंदु को अनंत तक भेजकर महसूस किया जा सकता है।
-* [[हाइपरबोलाइड मॉडल]]: पिछले दो मॉडलों के विपरीत यह हाइपरबॉलिक का एहसास करता है <math>n</math>-अंतरिक्ष के अंदर सममित रूप से सन्निहित है <math>(n+1)</math>-डायमेंशनल [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष]] (जो रिमैनियन नहीं है, बल्कि [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना]] है)। अधिक सटीक रूप से, द्विघात रूप को देखते हुए <math>q(x) = x_1^2 + \cdots + x_n^2 - x_{n+1}^2</math> पर <math>\mathbb R^{n+1}</math>, इसके द्वारा दिए गए [[hyperboloid]] की ऊपरी शीट के स्पर्शरेखा स्थानों पर इसका प्रतिबंध <math>q(x) = -1</math> निश्चित रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए वे इसे एक रिमेंनियन मीट्रिक के साथ संपन्न करते हैं जो निरंतर वक्रता -1 के रूप में निकलता है। पिछले मॉडल की आइसोमेट्री को हाइपरबोलॉइड से प्लेन तक [[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा महसूस किया जा सकता है <math>\{x_{n+1} = 0\}</math>, उस शीर्ष को लेना जिससे प्रोजेक्ट होना है <math>(0, \ldots, 0, 1)</math> गेंद के लिए और शंकु में अनंत पर एक बिंदु <math>q(x)=0</math> आधी जगह के लिए प्रक्षेपी अंतरिक्ष के अंदर।
+* [[हाइपरबोलाइड मॉडल]]: पिछले दो मॉडलों के विपरीत यह हाइपरबॉलिक का एहसास करता है <math>n</math>-अंतरिक्ष के अंदर सममित रूप से सन्निहित है <math>(n+1)</math>-डायमेंशनल [[मिन्कोवस्की अंतरिक्ष]] (जो रिमैनियन नहीं है, बल्कि [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना|लोरेंट्ज़ियन अनेक गुना]] है)। अधिक सटीक रूप से, द्विघात रूप को देखते हुए <math>q(x) = x_1^2 + \cdots + x_n^2 - x_{n+1}^2</math> पर <math>\mathbb R^{n+1}</math>, इसके द्वारा दिए गए [[hyperboloid]] की ऊपरी शीट के स्पर्शरेखा स्थानों पर इसका प्रतिबंध <math>q(x) = -1</math> निश्चित रूप से सकारात्मक हैं, इसलिए वे इसे एक रिमेंनियन मीट्रिक के साथ संपन्न करते हैं जो निरंतर वक्रता -1 के रूप में निकलता है। पिछले मॉडल की आइसोमेट्री को हाइपरबोलॉइड से प्लेन तक [[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा महसूस किया जा सकता है <math>\{x_{n+1} = 0\}</math>, उस शीर्ष को लेना जिससे प्रोजेक्ट होना है <math>(0, \ldots, 0, 1)</math> गेंद के लिए और शंकु में अनंत पर एक बिंदु <math>q(x)=0</math> आधी जगह के लिए प्रक्षेपी अंतरिक्ष के अंदर।
 * [[छोटा मॉडल]]: यह एक और मॉडल है जिसे यूनिट बॉल पर महसूस किया गया है <math>\mathbb R^n</math>; एक स्पष्ट मीट्रिक के रूप में दिए जाने के बजाय इसे आमतौर पर मिंकोस्की अंतरिक्ष में हाइपरबोलॉइड मॉडल से क्षैतिज स्पर्शरेखा विमान (यानी, <math>x_{n+1}=1</math>) उत्पत्ति से <math>(0, \ldots, 0)</math>.
 * सममित स्थान: अतिशयोक्तिपूर्ण <math>n</math>-स्पेस को साधारण लाई समूह के सममित स्थान के रूप में महसूस किया जा सकता है <math>\mathrm{SO}(n, 1)</math> (द्विघात रूप के आइसोमेट्री का समूह <math>q</math> सकारात्मक निर्धारक के साथ); एक सेट के रूप में बाद वाला [[कोसेट स्पेस]] है <math>\mathrm{SO}(n, 1)/\mathrm{O}(n)</math>. हाइपरबोलॉइड मॉडल की आइसोमेट्री के जुड़े घटक की कार्रवाई के माध्यम से तत्काल है <math>\mathrm{SO}(n, 1)</math> हाइपरबोलाइड पर।
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 हाइपरबॉलिक स्पेस, [[निकोलाई लोबचेव्स्की]], जानोस बोल्याई और [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित, [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के अनुरूप एक ज्यामितीय स्थान है, लेकिन ऐसा है कि समानांतर पोस्टुलेट | यूक्लिड के समानांतर पोस्टुलेट को अब धारण नहीं किया जाता है। इसके बजाय, समानांतर सिद्धांत को निम्नलिखित विकल्प (दो आयामों में) से बदल दिया गया है:
 * दी गई कोई रेखा L और बिंदु P, जो L पर नहीं है, P से होकर जाने वाली कम से कम दो अलग-अलग रेखाएँ हैं जो L को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
-यह तब एक प्रमेय है कि पी के माध्यम से असीम रूप से कई ऐसी रेखाएँ हैं। यह अभिगृहीत अभी भी [[आइसोमेट्री]] तक अतिशयोक्तिपूर्ण तल की विशिष्ट विशेषता नहीं है; एक अतिरिक्त स्थिरांक है, वक्रता {{nowrap|''K'' < 0}}, जिसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। हालाँकि, यह विशिष्ट रूप से [[होमोथेटिक परिवर्तन]] तक इसे चित्रित करता है, जिसका अर्थ है कि आपत्तियाँ जो केवल एक समग्र स्थिरांक द्वारा दूरी की धारणा को बदलती हैं। एक उचित लंबाई के पैमाने का चयन करके, इस प्रकार, सामान्यता के नुकसान के बिना, यह मान सकते हैं {{nowrap|1=''K'' = −1}}.
+यह तब एक प्रमेय है कि पी के माध्यम से असीम रूप से अनेक ऐसी रेखाएँ हैं। यह अभिगृहीत अभी भी [[आइसोमेट्री]] तक अतिशयोक्तिपूर्ण तल की विशिष्ट विशेषता नहीं है; एक अतिरिक्त स्थिरांक है, वक्रता {{nowrap|''K'' < 0}}, जिसे निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। हालाँकि, यह विशिष्ट रूप से [[होमोथेटिक परिवर्तन]] तक इसे चित्रित करता है, जिसका अर्थ है कि आपत्तियाँ जो केवल एक समग्र स्थिरांक द्वारा दूरी की धारणा को बदलती हैं। एक उचित लंबाई के पैमाने का चयन करके, इस प्रकार, सामान्यता के नुकसान के बिना, यह मान सकते हैं {{nowrap|1=''K'' = −1}}.
 === यूक्लिडियन एम्बेडिंग ===
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 कहाँ पे <math>S^{n-1}</math> यूक्लिडियन n-क्षेत्र का कुल आयतन है<math>(n-1)</math>-त्रिज्या 1 का क्षेत्र।
-अतिपरवलयिक स्थान एक रेखीय समपरिमितीय असमानता को भी संतुष्ट करता है, अर्थात वहां एक स्थिरांक मौजूद होता है <math>i</math> जैसे कोई एम्बेडेड डिस्क जिसकी सीमा लंबाई है <math>r</math> सबसे अधिक क्षेत्रफल है <math>i \cdot r</math>. यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत होना है जहां समपरिमितीय असमानता द्विघात है।
+अतिपरवलयिक स्थान एक रेखीय समपरिमितीय असमानता को भी संतुष्ट करता है, अर्थात वहां एक स्थिरांक मौजूद होता है <math>i</math> जैसे कोई एम्बेडेड डिस्क जिसकी सीमा लंबाई है <math>r</math> सबसे अधिक क्षेत्रफल है <math>i \cdot r</math>. यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत होना है जहाँ समपरिमितीय असमानता द्विघात है।
 === अन्य मीट्रिक गुण ===
 {{main|Gromov hyperbolic space}}
 {{main|CAT space}}
-अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के कई और मीट्रिक गुण हैं जो इसे यूक्लिडियन स्थान से अलग करते हैं। कुछ को ग्रोमोव-हाइपरबॉलिक रिक्त स्थान की सेटिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो केवल बड़े पैमाने पर गुणों का उपयोग करके सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए नकारात्मक वक्रता की धारणा का सामान्यीकरण है। एक महीन धारणा CAT(-1)-स्पेस की है।
+अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के अनेक और मीट्रिक गुण हैं जो इसे यूक्लिडियन स्थान से अलग करते हैं। कुछ को ग्रोमोव-हाइपरबॉलिक रिक्त स्थान की सेटिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो केवल बड़े पैमाने पर गुणों का उपयोग करके सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए नकारात्मक वक्रता की धारणा का सामान्यीकरण है। एक महीन धारणा CAT(-1)-स्पेस की है।
 == हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स ==
-हर [[पूरा स्थान]], [[जुड़ा हुआ स्थान]], बस लगातार नकारात्मक वक्रता के कई गुना जुड़ा हुआ है -1 isometry वास्तविक अतिपरवलयिक स्थान H के लिए है<sup>एन</sup>. नतीजतन, निरंतर नकारात्मक वक्रता -1 के किसी भी बंद कई गुना एम का सार्वभौमिक कवर, जो कहना है, एक अतिपरवलयिक कई गुना है, 'एच' है<sup>एन</sup>. इस प्रकार, ऐसे प्रत्येक M को 'H' लिखा जा सकता है।<sup>n</sup>/Γ जहां Γ एक [[मरोड़ (बीजगणित)]] है| 'H' पर आइसोमेट्री का मरोड़-मुक्त [[असतत समूह]]<sup>एन</sup>. अर्थात्, Γ अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह में एक [[जाली (असतत उपसमूह)]] है। SO<sup>+</sup>(एन,1).
+प्रत्येक [[पूरा स्थान|पूर्ण]], [[जुड़ा हुआ स्थान|जुड़े हुए]], सरलता से जुड़े स्थिर ऋणात्मक वक्रता -1 के मेनिफोल्ड, वास्तविक अतिपरवलयिक स्थान '''H'''<sup>''n''</sup> के लिए सममितीय है। परिणाम स्वरुप, स्थिर ऋणात्मक वक्रता -1 के किसी भी बंद मेनिफोल्ड ''M''  का सार्वभौमिक आवरण, जो कहना है, एक अतिपरवलयिक मेनिफोल्ड '''H'''<sup>''n''</sup> है, इस प्रकार, ऐसे प्रत्येक M को  '''H'''<sup>''n''</sup>/Γ लिखा जा सकता है।जहाँ Γ एक [[मरोड़ (बीजगणित)|मरोड़ रहित असतत समूह]] है| 'H' पर आइसोमेट्री का मरोड़-मुक्त [[असतत समूह]]<sup>एन</sup>. अर्थात्, Γ अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह में एक [[जाली (असतत उपसमूह)]] है। SO<sup>+</sup>(एन,1).
 === [[रीमैन सतह|रीमैन सतहें]] ===
-रीमैन सतहों की भाषा के अनुसार द्वि-आयामी अतिपरवलयिक सतहों को भी समझा जा सकता है। [[एकरूपता प्रमेय]] के अनुसार, प्रत्येक रीमैन सतह या तो अण्डाकार, परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण है। अधिकांश अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों में एक गैर-तुच्छ [[मौलिक समूह]] π होता है<sub>1</sub>=Γ; इस तरह से उत्पन्न होने वाले समूहों को फ्यूचियन समूह के रूप में जाना जाता है। [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)]] H²/Γ ऊपरी अर्ध-तल आदर्श (रिंग थ्योरी) मौलिक समूह को हाइपरबोलिक सतह के [[फुकियान मॉडल]] के रूप में जाना जाता है। पोंकारे आधा विमान भी अतिशयोक्तिपूर्ण है, लेकिन बस जुड़ा हुआ है और गैर-कॉम्पैक्ट है। यह अन्य अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों का सार्वभौमिक आवरण है।
+द्वि-आयामी अतिपरवलयिक सतहों को रीमैन सतहों की भाषा के अनुसार भी समझा जा सकता है। [[एकरूपता प्रमेय]] के अनुसार, प्रत्येक रीमैन सतह या तो अण्डाकार, परवलयिक या अतिशयोक्तिपूर्ण है। अधिकांश अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों में एक गैर-तुच्छ [[मौलिक समूह]] π<sub>1</sub>=Γ होता है; इस तरह से उत्पन्न होने वाले समूहों को फ्यूचियन समूह के रूप में जाना जाता है। [[भागफल स्थान (टोपोलॉजी)|भागफल स्थान]] H²/Γ ऊपरी अर्ध-तल आदर्श (रिंग थ्योरी) मौलिक समूह को हाइपरबोलिक सतह के [[फुकियान मॉडल]] के रूप में जाना जाता है। पोंकारे आधा तल भी अतिशयोक्तिपूर्ण है, लेकिन बस जुड़ा हुआ है और गैर-कॉम्पैक्ट है। यह अन्य अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों का सार्वभौमिक आवरण है।
 त्रि-आयामी अतिपरवलयिक सतहों के लिए समान निर्माण [[क्लेनियन मॉडल]] है।
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 == यह भी देखें ==
 * दीनी की सतह
-* [[अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना]]
+* [[अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना|अतिशयोक्तिपूर्ण 3-अनेक गुना]]
 * आदर्श बहुफलक
 * मोस्टो कठोरता प्रमेय

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