प्रत्यक्ष गुणनफल

गणित में, अधिकांश पहले से ही ज्ञात वस्तुओं के प्रत्यक्ष गुणनफल को परिभाषित कर, एक नया गुणनफल दे सकते हैं। यह गुणनफल समुच्चय पर उपयुक्त रूप से परिभाषित संरचना के साथ अंतर्निहित समुच्चय (गणित) के कार्तीय गुणनफल को सामान्यीकृत करता है। अधिक संक्षेप में, कोई गुणनफल (श्रेणी सिद्धांत) के बारे में बात करता है, जो इन धारणाओं को औपचारिक रूप देता है।

उदाहरण समुच्चय, समूह (गणित) (नीचे वर्णित), गुणनफल रिंग और अन्य बीजगणितीय संरचनाओं का गुणनफल हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस का गुणनफल टोपोलॉजी एक और उदाहरण है।

प्रत्यक्ष योग भी है - कुछ क्षेत्रों में इसका उपयोग परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है, जबकि अन्य में यह एक अलग अवधारणा है।

उदाहरण

• यदि हम $\mathbb {R}$ को वास्तविक संख्या के समुच्चय के रूप में विचार करें, तो प्रत्यक्ष गुणनफल $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ सिर्फ $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.$कार्तीय गुणनफल है.
• यदि हम $\mathbb {R}$ को जोड़ के अंतर्गत वास्तविक संख्याओं के समूह के रूप में विचार करें, तो प्रत्यक्ष गुणनफल $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ में अभी भी $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ इसके अंतर्निहित समुच्चय के रूप में है। इसमें और पिछले उदाहरण में यही अंतर है कि $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ अब एक समूह है, और इसलिए हमें यह भी कहना होगा कि उनके तत्वों को कैसे जोड़ा जाए। यह $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).$ परिभाषित करके किया जाता है
• यदि हम $\mathbb {R}$ को वास्तविक संख्याओं का वलय मानते हैं, तो प्रत्यक्ष गुणनफल $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ में फिर से $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ इसके अंतर्निहित समुच्चय के रूप में है। रिंग संरचना में$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ और गुणन द्वारा परिभाषित $(a,b)(c,d)=(ac,bd).$होता है.
• चूँकि वलय $\mathbb {R}$ एक क्षेत्र है (गणित), $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ एक नहीं है, क्योंकि तत्व $(1,0)$ गुणनात्मक व्युत्क्रम नहीं है।

इसी तरह, हम बहुत सी बीजगणितीय संरचनाओं के प्रत्यक्ष गुणनफल के बारे में बात कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .$ यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि प्रत्यक्ष गुणनफल समरूपता तक साहचर्य है। वह है, $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ किसी भी बीजगणितीय संरचना $A,$ $B,$ तथा $C$ के लिए समरूपता तक प्रत्यक्ष गुणनफल भी है, क्रमविनिमेय है, अर्थात, $A\times B\cong B\times A$ किसी भी बीजगणितीय संरचना के लिए $A$ तथा $B$ उसी समान है। हम अपरिमित रूप से अनेक बीजगणितीय संरचनाओं के प्रत्यक्ष गुणनफल के बारे में भी बात कर सकते हैं; उदाहरण के लिए $\mathbb {R} ,$ की गिनती की कई प्रतियों का प्रत्यक्ष गुणनफल ले सकते हैं, जिसे हम $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .$ के रूप में लिखते है।

समूह प्रत्यक्ष गुणनफल

Main articles: समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद and प्रत्यक्ष योग

समूह सिद्धांत में दो समूहों $(G,\circ )$ तथा $(H,\cdot ),$ द्वारा चिह्नित $G\times H.$के प्रत्यक्ष गुणनफल को परिभाषित किया जा सकता है विनिमेय समूहों के लिए जो योगात्मक रूप से लिखे गए हैं, इसे समूहों का प्रत्यक्ष योग भी कहा जा सकता है, जिसे $G\oplus H.$द्वारा निरूपित किया जाता है

इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

• नए समूह के तत्वों का समुच्चय (गणित) $G{\text{ औ र }}H,$तत्वों के समुच्चय का, जो कि $\{(g,h):g\in G,h\in H\};$कार्तीय गुणनफल है
• इन तत्वों पर एक ऑपरेशन डालें, परिभाषित के अनुसार तत्व:
  $$(g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)$$

ध्यान दें कि $(G,\circ )$ $(H,\cdot ).$ के समान हो सकता है

यह निर्माण एक नया समूह देता है। इसमें $G$ (फॉर्म के तत्वों द्वारा दिया गया $(g,1)$) एक सामान्य उपसमूह समरूप है, और $H$ (तत्व सम्मिलित हैं $(1,h)$) के लिये समरूप है।

व्युत्क्रम भी रहता है। निम्नलिखित मान्यता प्रमेय है: यदि एक समूह $K$ दो सामान्य उपसमूह $G{\text{ औ र }}H,$ सम्मिलित हैं, जैसे कि $K=GH$ और $G{\text{ औ र }}H$ के प्रतिच्छेदन में केवल पहचान होती है, तब $K$ के लिए $G\times H.$ समरूप है। इन स्थितियों में छूट, सामान्य होने के लिए केवल एक उपसमूह की आवश्यकता होती है,जो अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल देता है।

उदाहरण के रूप में $G{\text{ औ र }}H$ क्रम 2 के अद्वितीय (समरूपता तक) समूह की दो प्रतियाँ $\{1,a\}{\text{ औ र }}\{1,b\}.$ लें, जिसे $C^{2}$कहते है। फिर $C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},$ ऑपरेशन तत्व के साथ तत्व द्वारा । उदाहरण के लिए, $(1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),$ तथा$(1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).$ एक प्रत्यक्ष गुणनफल के साथ, हमें कुछ प्राकृतिक समूह समरूपता मुफ्त में मिलती है: द्वारा परिभाषित प्रक्षेपण मानचित्र

$${\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}$$

समन्वय फलन कहलाते हैं।

इसके अतिरिक्त, हर समरूपता $f$ प्रत्यक्ष गुणनफल के लिए पूरी तरह से इसके $f_{i}=\pi _{i}\circ f.$घटक फलनों द्वारा निर्धारित किया जाता है

किसी भी समूह के लिए $(G,\circ )$ और कोई पूर्णांक $n\geq 0,$ प्रत्यक्ष गुणनफल का बार-बार उपयोग $n$-टुपल्स $G^{n}$ सभी के समूह को देता है ( $n=0,$ के लिये यह तुच्छ समूह है), उदाहरण के लिए $\mathbb {Z} ^{n}$ तथा $\mathbb {R} ^{n}.$

अनुखंड का प्रत्यक्ष गुणनफल

अनुखंड (गणित) के लिए प्रत्यक्ष गुणनफल (टेंसर गुणनफल के साथ भ्रमित नहीं होना) ऊपर दिए गए समूहों के लिए परिभाषित एक के समान है, कार्तीय गुणनफल का उपयोग घटक के रूप में जोड़ने के संचालन के साथ होता है, और स्केलर गुणा सिर्फ सभी घटकों पर वितरित होता है। $\mathbb {R}$ से प्रारंभ होकर हमें यूक्लिडियन अंतरिक्ष मिलता है $\mathbb {R} ^{n}$ प्रोटोटाइपिकल एक वास्तविक $n$-आयामी सदिश अंतरिक्ष का उदाहरण है। $\mathbb {R} ^{m}$ तथा $\mathbb {R} ^{n}$ का $\mathbb {R} ^{m+n}$ प्रत्यक्ष गुणनफल है

ध्यान दें कि परिमित सूचकांक के लिए प्रत्यक्ष गुणनफल ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ अनुखंड के प्रत्यक्ष योग के लिए कैनोनिक रूप से ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}}$ समरूप है, प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल अनंत सूचकांकों के लिए समरूप नहीं हैं, जहां प्रत्यक्ष योग के तत्व सभी के लिए शून्य हैं, लेकिन प्रविष्टियों की एक सीमित संख्या के लिए। वे श्रेणी सिद्धांत के अर्थ में दोहरे हैं: प्रत्यक्ष योग प्रतिफल है, जबकि प्रत्यक्ष गुणनफल गुणनफल है।

उदाहरण के लिए ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ तथा ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ अनंत प्रत्यक्ष गुणनफल और वास्तविक संख्याओं का प्रत्यक्ष योग पर विचार करें। केवल गैर-शून्य तत्वों की परिमित संख्या वाले अनुक्रम $Y$ में हैं, उदाहरण के लिए, $(1,0,0,0,\ldots )$ $Y$ में है लेकिन $(1,1,1,1,\ldots )$ नहीं है। ये दोनों क्रम प्रत्यक्ष गुणनफल $X;$ में हैं वास्तविक में, $Y$ $X$ का उचित उपसमुच्चय है (वह है, $Y\subset X$).

टोपोलॉजिकल स्पेस प्रत्यक्ष गुणनफल

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के संग्रह के लिए प्रत्यक्ष गुणनफल $X_{i}$ के लिये $i$ में $I,$ कुछ सूचकांक समुच्चय, एक बार फिर कार्तीय गुणनफल का उपयोग करता है

$$\prod _{i\in I}X_{i}.$$

टोपोलॉजी को परिभाषित करना थोड़ा मुश्किल है। बहुत से कारकों के लिए, यह स्पष्ट और स्वाभाविक बात है: प्रत्येक कारक से खुले उपसमुच्चय के सभी कार्तीय गुणनफलों का संग्रह होने के लिए बस खुले समुच्चय के आधार (टोपोलॉजी) के रूप में लें:

$${\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.$$

इस टोपोलॉजी को गुणनफल टोपोलॉजी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ^{2}$ पर $\mathbb {R}$ के खुले समुच्चय द्वारा गुणनफल टोपोलॉजी को सीधे परिभाषित किया जाता है (खुले के यूनियनों को अलग करना) अंतराल), इस टोपोलॉजी के आधार में समतल (जैसा कि यह निकला, यह सामान्य मीट्रिक टोपोलॉजी के साथ मेल खाता है) में खुले आयतों के सभी असंबद्ध संघ सम्मिलित होंगे।

अनंत गुणनफलों के लिए गुणनफल टोपोलॉजी में एक मोड़ है, और यह सभी प्रक्षेपण मानचित्रों को निरंतर बनाने में सक्षम होने और गुणनफल में सभी कार्यों को निरंतर बनाने के लिए और केवल यदि इसके सभी घटक कार्य निरंतर हैं (अर्थात संतुष्ट करने के लिए) गुणनफल की श्रेणीबद्ध परिभाषा: यहाँ आकारिकी निरंतर कार्य हैं): हम खुले सेट के आधार के रूप में प्रत्येक कारक से खुले उपसमुच्चय के सभी कार्तीय गुणनफलों के संग्रह के रूप में लेते हैं, पहले की तरह, अनंतिम के साथ सभी लेकिन बहुत से खुले उपसमुच्चय संपूर्ण कारक हैं:

$${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.$$

अधिक प्राकृतिक लगने वाली टोपोलॉजी, इस स्थितियों में, पहले की तरह असीम रूप से कई खुले उपसमुच्चय के गुणनफलों को लेने के लिए होगी, और यह कुछ हद तक महत्व टोपोलॉजी, बॉक्स टोपोलॉजी का गुणनफलन करती है। चूँकि निरंतर घटक कार्यों के समूह का एक उदाहरण खोजना बहुत मुश्किल नहीं है जिसका गुणनफल कार्य निरंतर नहीं है (उदाहरण के लिए अलग प्रविष्टि बॉक्स टोपोलॉजी देखें और अधिक)। समस्या जो मोड़ को आवश्यक बनाती है, अंततः इस तथ्य में निहित है कि खुले समुच्चयों का प्रतिच्छेदन केवल टोपोलॉजी की परिभाषा में बहुत से समुच्चयों के लिए खुला होने की गारंटी है।

गुणनफल (गुणनफल टोपोलॉजी के साथ) अपने कारकों के गुणों को संरक्षित करने के संबंध में अच्छे हैं; उदाहरण के लिए, हॉसडॉर्फ स्पेस का गुणनफल हॉसडॉर्फ है; सम्बद्ध रिक्त स्थान का गुणनफल जुड़ा हुआ है, और सघन स्पेस का गुणनफल सघन है। वह अंतिम वाला, जिसे टाइकोनॉफ प्रमेय कहा जाता है, अभी तक पसंद के स्वयंसिद्ध के लिए एक और समानता है।

अधिक गुणों और समतुल्य योगों के लिए, अलग प्रविष्टि गुणनफल टोपोलॉजी देखें।

द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष गुणनफल

द्विआधारी संबंधों के साथ दो समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल पर $R{\text{ औ र }}S,$ $(a,b)T(c,d)$ परिभाषित करें जैसा $aRc{\text{ औ र }}bSd.$ यदि $R{\text{ औ र }}S$ प्रतिवर्त संबंध, अविचलित संबंध, सकर्मक संबंध, सममित संबंध या एंटीसिमेट्रिक संबंध दोनों हैं, तो $T$ भी होगा। इसी प्रकार, $T$ की कुल संबंध $R{\text{ औ र }}S.$से विरासत में मिला है गुणों का संयोजन यह इस प्रकार है कि यह एक पूर्व आदेश होने और समकक्ष संबंध होने के लिए भी लागू होता है। चूँकि, यदि $R{\text{ औ र }}S$ जुड़े हुए संबंध हैं, $T$ को जोड़ने की आवश्यकता नहीं है; उदाहरण के लिए; उदाहरण के लिए, $\,\leq \,$ पर $\mathbb {N}$ का प्रत्यक्ष गुणनफल $(1,2){\text{ औ र }}(2,1).$स्वयं से संबंधित नहीं है

सार्वभौमिक बीजगणित में प्रत्यक्ष गुणनफल

यदि $\Sigma$ एक निश्चित हस्ताक्षर (तर्क) है, $I$ एक एकतंत्र (संभवतः अनंत) सूचकांक समुच्चय है, और $\left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}$ का एक अनुक्रमित परिवार है $\Sigma$ बीजगणित, प्रत्यक्ष गुणनफल ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ एक है $\Sigma$ बीजगणित को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

• $A$ का ब्रह्मांड समुच्चय $\mathbf {A}$ ब्रह्मांड समुच्चय $A_{i}$ का $\mathbf {A} _{i}$का कार्तीय गुणनफल है औपचारिक रूप से: ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• प्रत्येक के लिए $n$ और प्रत्येक $n$-और ऑपरेशन प्रतीक $f\in \Sigma ,$ इसकी व्याख्या $f^{\mathbf {A} }$ में $\mathbf {A}$ घटकवार, औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है: सभी के लिए $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A$ और प्रत्येक $i\in I,$ $i$वें घटक $f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)$ की तरह परिभाषित किया गया है $f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).$ प्रत्येक के लिए $i\in I,$ $i$वें प्रक्षेपण $\pi _{i}:A\to A_{i}$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\pi _{i}(a)=a(i).$ यह के बीच एक विशेषण समरूपता है $\Sigma$ अल्जेब्रास $\mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.$

एक विशेष स्थितियों के रूप में, यदि index $I=\{1,2\},$ दो का प्रत्यक्ष गुणनफल $\Sigma$ बीजगणित $\mathbf {A} _{1}{\text{ औ र }}\mathbf {A} _{2}$ प्राप्त होता है, $\mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}$ के रूप में लिखा जाता है यदि $\Sigma$ केवल एक बाइनरी ऑपरेशन होता है $f,$ समूह प्रत्यक्ष गुणनफल की परिभाषा, समूहों के प्रत्यक्ष गुणनफल की, संकेतन का उपयोग करके $A_{1}=G,A_{2}=H,$ $f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ औ र }}f^{A}=\times .$ प्राप्त की जाती है, इसी तरह, अनुखंड के प्रत्यक्ष गुणनफल की परिभाषा यहां सम्मिलित की गई है।

श्रेणीबद्ध गुणनफल

Main article: उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)

प्रत्यक्ष गुणनफल को एक एकतंत्र श्रेणी सिद्धांत के रूप में समझा जा सकता है। किसी श्रेणी में, $(A_{i})_{i\in I}$ द्वारा अनुक्रमित वस्तुओं का एक संग्रह दिया गया है, जिसका एक गुणनफल ये वस्तुओं सभी के लिए एक वस्तुओं $I$, इन वस्तुओं का एक गुणनफल एक वस्तु है $A$ एक साथ आकारिता के साथ $p_{i}\colon A\to A_{i}$ सभी के लिए $i\in I$, ऐसा है कि यदि $B$ आकारिता के साथ कोई $f_{i}\colon B\to A_{i}$अन्य वस्तु है सभी के लिए $i\in I$, एक अद्वितीय रूपवाद $B\to A$ उपस्थित है जिसकी रचना के साथ $p_{i}$ बराबरी $f_{i}$ हरएक के लिए $i$.

ऐसा $A$ तथा $(p_{i})_{i\in I}$ हमेशा उपस्थित नहीं है। यदि वे उपस्थित हैं, तो $(A,(p_{i})_{i\in I})$ समरूपता तक अद्वितीय है, और $A$ निरूपित किया जाता है $\prod _{i\in I}A_{i}$.

समूहों की श्रेणी के विशेष स्थितियों में, एक गुणनफल हमेशा उपस्थित होता है: का अंतर्निहित समुच्चय $\prod _{i\in I}A_{i}$ के अंतर्निहित समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल है $A_{i}$, समूह संचालन घटकवार गुणन है, और (होमो) रूपवाद $p_{i}\colon A\to A_{i}$ प्रक्षेपण प्रत्येक टपल को उसके $i$वें समन्वय के पास भेज रहा है।

आंतरिक और बाह्य प्रत्यक्ष गुणनफल

See also: आंतरिक प्रत्यक्ष योग

कुछ लेखक आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफल और बाह्य प्रत्यक्ष गुणनफल के बीच अंतर करते हैं। यदि $A,B\subseteq X$ तथा $A\times B\cong X,$ तब हम कहते हैं $X$ का आंतरिक प्रत्यक्ष गुणनफल $A{\text{ औ र }}B,$ है जबकि यदि $A{\text{ औ र }}B$ सबऑब्जेक्ट नहीं हैं तो हम कहते हैं कि यह एक बाहरी प्रत्यक्ष गुणनफल है।

यह भी देखें

• प्रत्यक्ष योग
• कार्तीय गुणन
• सहगुणन
• मुफ़्त गुणन
• अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन
• ज़प्पा-स्ज़ेप गुणन
• रेखांकन का टेन्सर गुणन
• पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के कार्टेशियन गुणन पर ऑर्डर

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• अनुखंड का प्रत्यक्ष योग
• सहगुणनफल
• मीट्रिक स्थान
• पसंद का स्वयंसिद्ध
• तुल्यता संबंध
• जुड़ा हुआ संबंध

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556