शून्य की घात शून्य: Difference between revisions

From Vigyanwiki
No edit summary
No edit summary
Line 13: Line 13:


== [[बहुपद]] और शक्ति श्रृंखला ==
== [[बहुपद]] और शक्ति श्रृंखला ==
बहुपदों का मूल्यांकन करते समय, इसे परिभाषित करना सुविधाजनक होता है {{math|0<sup>0</sup>}} जैसा {{math|1}}. ए (वास्तविक) बहुपद रूप की अभिव्यक्ति है {{math|''a''<sub>0</sub>''x''<sup>0</sup> + ⋅⋅⋅ + ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}}, कहाँ पे {{math|''x''}} एक अनिश्चित है, और गुणांक {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं। बहुपदों को शब्दवार जोड़ा जाता है, और [[वितरण कानून]] और घातांक के सामान्य नियमों को लागू करके गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के साथ, बहुपद एक बहुपद वलय बनाते हैं {{math|'''R'''[''x'']}}. की [[गुणक पहचान]] {{math|'''R'''[''x'']}} बहुपद है {{math|''x''<sup>0</sup>}}; वह है, {{math|''x''<sup>0</sup>}} किसी भी बहुपद का गुना {{math|''p''(''x'')}} सिर्फ {{math|''p''(''x'')}}.<ref name="Bourbaki_1970_1" />  साथ ही, विशेषज्ञता द्वारा बहुपदों का मूल्यांकन किया जा सकता है {{math|''x''}} एक वास्तविक संख्या के लिए। अधिक सटीक, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए {{math|''r''}}, एक अद्वितीय एकात्मक बीजगणित समरूपता है{{math|'''R'''}}-बीजगणित समरूपता {{math|ev<sub>''r''</sub> : '''R'''[''x''] → '''R'''}} ऐसा है कि {{math|1=ev<sub>''r''</sub>(''x'') = ''r''}}. इसलिये {{math|ev<sub>''r''</sub>}} एकात्मक है, {{math|1=ev<sub>''r''</sub>(''x''<sup>0</sup>) = 1}}. वह है, {{math|1=''r''<sup>0</sup> = 1}} प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए {{math|''r''}}, 0 सहित। वही तर्क लागू होता है {{math|'''R'''}} किसी भी [[अंगूठी (गणित)]] द्वारा प्रतिस्थापित।<ref name="Bourbaki_1970_2" />
बहुपदों का मूल्यांकन करते समय, {{math|0<sup>0</sup>}} को {{math|1}} के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक होता है। A (वास्तविक) बहुपद {{math|''a''<sub>0</sub>''x''<sup>0</sup> + ⋅⋅⋅ + ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}} के रूप का एक व्यंजक है, जहाँ  {{math|''x''}} एक अनिश्चित है, और गुणांक {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं। बहुपदों को शब्दवार जोड़ा जाता है, और [[वितरण कानून]] और घातांक के सामान्य नियमों को लागू करके गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के साथ, बहुपद एक बहुपद वलय {{math|'''R'''[''x'']}} बनाते हैं. {{math|'''R'''[''x'']}} की [[गुणक पहचान|गुणनात्मक पहचान]] {{math|''x''<sup>0</sup>}} बहुपद है; अर्थात्, किसी भी बहुपद {{math|''p''(''x'')}} का {{math|''x''<sup>0</sup>}} गुना केवल {{math|''p''(''x'')}} होता है.<ref name="Bourbaki_1970_1" />  साथ ही, बहुपदों का मूल्यांकन x को वास्तविक संख्या में विशिष्ट करके किया जा सकता है। अधिक यथार्थता से, किसी दी गई वास्तविक संख्या r के लिए, एक अद्वितीय इकाई {{math|'''R'''}}-बीजगणित समरूपता {{math|ev<sub>''r''</sub> : '''R'''[''x''] → '''R'''}} ऐसा है कि {{math|1=ev<sub>''r''</sub>(''x'') = ''r''}} है. इसलिये {{math|ev<sub>''r''</sub>}} एकात्मक है, {{math|1=ev<sub>''r''</sub>(''x''<sup>0</sup>) = 1}}. वह है, {{math|1=''r''<sup>0</sup> = 1}} प्रत्येक वास्तविक संख्या {{math|''r''}},के लिए  ''r''<sup>0</sup> = 1 जिसमे 0 भी शामिल है। यही तर्क {{math|'''R'''}} किसी भी [[अंगूठी (गणित)|रिंग (गणित)]] द्वारा लागू होता है।<ref name="Bourbaki_1970_2" />


परिभाषित {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} कई बहुपद सर्वसमिकाओं के लिए आवश्यक है। उदाहरण के लिए, [[द्विपद प्रमेय]] {{math|1=(1 + ''x'')<sup>''n''</sup> = Σ{{su|b=''k''=0|p=''n''|lh=1em}} {{big|(}}{{su|p=''n''|b=''k''}}{{big|)}} ''x''<sup>''k''</sup>}} के लिए रखता है {{math|1=''x'' = 0}} केवल {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.<ref name="T4n3B" />
कई बहुपद सर्वसमिकाओं के लिए {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} को परिभाषित करना आवश्यक है।। उदाहरण के लिए, [[द्विपद प्रमेय]] {{math|1=(1 + ''x'')<sup>''n''</sup> = Σ{{su|b=''k''=0|p=''n''|lh=1em}} {{big|(}}{{su|p=''n''|b=''k''}}{{big|)}} ''x''<sup>''k''</sup>}} के लिए रखता है {{math|1=''x'' = 0}} के लिए मान्य है यदि {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.<ref name="T4n3B" />


इसी प्रकार, शक्ति श्रृंखला के छल्ले की आवश्यकता होती है {{math|1=''x''<sup>0</sup>}} की सभी विशेषज्ञताओं के लिए 1 के रूप में परिभाषित किया जाना है {{math|''x''}}. उदाहरण के लिए, पहचान जैसे {{math|1={{sfrac|1|1−''x''}} = Σ{{su|b=''n''=0|p=∞|lh=1em}} ''x''<sup>''n''</sup>}} तथा {{math|1=''e''<sup>''x''</sup> = Σ{{su|b=''n''=0|p=∞|lh=1em}} {{sfrac|''x''<sup>''n''</sup>|''n''!}}}} के लिए पकड़े {{math|1=''x'' = 0}} केवल {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.<ref name="8sCon" />
इसी प्रकार, घात श्रृंखला के रिंग को x की सभी विशेषज्ञताओं के लिए 1 के रूप में परिभाषित करने के लिए {{math|1=''x''<sup>0</sup>}} की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, पहचान जैसे {{math|1={{sfrac|1|1−''x''}} = Σ{{su|b=''n''=0|p=∞|lh=1em}} ''x''<sup>''n''</sup>}} तथा {{math|1=''e''<sup>''x''</sup> = Σ{{su|b=''n''=0|p=∞|lh=1em}} {{sfrac|''x''<sup>''n''</sup>|''n''!}}}} के लिए पकड़े {{math|1=''x'' = 0}} केवल {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.<ref name="8sCon" />


बहुपद के क्रम में {{math|''x''<sup>0</sup>}} एक सतत समारोह को परिभाषित करने के लिए {{math|'''R''' → '''R'''}}, परिभाषित करना चाहिए {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.
एक सतत फलन {{math|'''R''' → '''R'''}} को परिभाषित करने के लिए बहुपद {{math|''x''<sup>0</sup>}} के लिए, किसी को {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} को परिभाषित करना होगा।                                    बहुपद के क्रम में  एक सतत समारोह को परिभाषित करने के लिए , परिभाषित करना चाहिए .


अवकलन कलन में, [[शक्ति नियम]] {{math|1={{sfrac|''d''|''dx''}}''x''<sup>''n''</sup> = ''nx''<sup>''n''−1</sup>}} के लिए मान्य है {{math|1=''n'' = 1}} पर {{math|1=''x'' = 0}} केवल {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.
अवकलन कलन में, [[शक्ति नियम]] {{math|1={{sfrac|''d''|''dx''}}''x''<sup>''n''</sup> = ''nx''<sup>''n''−1</sup>}} के लिए मान्य है {{math|1=''n'' = 1}} पर {{math|1=''x'' = 0}} केवल {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}}.

Revision as of 21:32, 15 December 2022

शून्य से शून्य की घात, 00 द्वारा निरूपित, एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसे या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है या संदर्भ के आधार पर अपरिभाषित (गणित) छोड़ दिया गया है।

बीजगणित और साहचर्य में, सामान्यतः 00 = 1को परिभाषित करता है। जबकि गणितीय विश्लेषण में, अभिव्यक्ति को कभी-कभी अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। संगणक कार्यरचना भाषा और प्रक्रिया सामग्री में भी इस अभिव्यक्ति को संभालने की अलग-अलग विधि हैं।

असतत घातांक

प्राकृतिक संख्या घातांक वाले कई व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले फ़ार्मुलों को 00 को 1 के रूप में परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, b0 की निम्नलिखित तीन व्याख्याएँ b = 0 के लिए उतनी ही समझ में आती हैं जितनी कि वे सकारात्मक पूर्णांक b के लिए करती हैं।:

  • खाली उत्पाद के रूप में b0 की व्याख्या इसे मान 1 निर्दिष्ट करती है।
  • b0 की संयोजक व्याख्या एक b-तत्व सेट से तत्वों के 0-टुपल्स की संख्या है; ठीक एक 0-टपल है।
  • b0 खाली सेट सैद्धांतिक व्याख्या रिक्त समुच्चय से b-तत्व समुच्चय में कार्यों की संख्या है; ऐसा ही एक कार्य है, अर्थात् खाली कार्य।[1] ये तीनों 00 = 1देने मे विशेषज्ञ हैं.

बहुपद और शक्ति श्रृंखला

बहुपदों का मूल्यांकन करते समय, 00 को 1 के रूप में परिभाषित करना सुविधाजनक होता है। A (वास्तविक) बहुपद a0x0 + ⋅⋅⋅ + anxn के रूप का एक व्यंजक है, जहाँ x एक अनिश्चित है, और गुणांक ai वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपदों को शब्दवार जोड़ा जाता है, और वितरण कानून और घातांक के सामान्य नियमों को लागू करके गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के साथ, बहुपद एक बहुपद वलय R[x] बनाते हैं. R[x] की गुणनात्मक पहचान x0 बहुपद है; अर्थात्, किसी भी बहुपद p(x) का x0 गुना केवल p(x) होता है.[2] साथ ही, बहुपदों का मूल्यांकन x को वास्तविक संख्या में विशिष्ट करके किया जा सकता है। अधिक यथार्थता से, किसी दी गई वास्तविक संख्या r के लिए, एक अद्वितीय इकाई R-बीजगणित समरूपता evr : R[x] → R ऐसा है कि evr(x) = r है. इसलिये evr एकात्मक है, evr(x0) = 1. वह है, r0 = 1 प्रत्येक वास्तविक संख्या r,के लिए r0 = 1 जिसमे 0 भी शामिल है। यही तर्क R किसी भी रिंग (गणित) द्वारा लागू होता है।[3]

कई बहुपद सर्वसमिकाओं के लिए 00 = 1 को परिभाषित करना आवश्यक है।। उदाहरण के लिए, द्विपद प्रमेय (1 + x)n = Σn
k=0 (n
k) xk के लिए रखता है x = 0 के लिए मान्य है यदि 00 = 1.[4]

इसी प्रकार, घात श्रृंखला के रिंग को x की सभी विशेषज्ञताओं के लिए 1 के रूप में परिभाषित करने के लिए x0 की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, पहचान जैसे 1/1−x = Σ∞
n=0 xn तथा ex = Σ∞
n=0 xn/n! के लिए पकड़े x = 0 केवल 00 = 1.[5]

एक सतत फलन R → R को परिभाषित करने के लिए बहुपद x0 के लिए, किसी को 00 = 1 को परिभाषित करना होगा। बहुपद के क्रम में एक सतत समारोह को परिभाषित करने के लिए , परिभाषित करना चाहिए .

अवकलन कलन में, शक्ति नियम d/dxxn = nxn−1 के लिए मान्य है n = 1 पर x = 0 केवल 00 = 1.

निरंतर घातांक

छवि: एक्स ^y.png|right|thumb|300px|टुकड़ा z = xy. लाल घटता (के साथ z स्थिर) अलग-अलग सीमाएँ उत्पन्न करते हैं (x, y) दृष्टिकोण (0, 0). हरे वक्र (परिमित स्थिर ढलान के, y = ax) सभी की एक सीमा होती है 1.

बीजगणितीय संक्रियाओं से जुड़ी सीमाओं का अक्सर उप-अभिव्यक्तियों को उनकी सीमाओं द्वारा प्रतिस्थापित करके मूल्यांकन किया जा सकता है; यदि परिणामी अभिव्यक्ति मूल सीमा निर्धारित नहीं करती है, तो अभिव्यक्ति को अनिश्चित रूप के रूप में जाना जाता है।[6]भावाभिव्यक्ति 00 एक अनिश्चित रूप है: वास्तविक मूल्यवान कार्यों को देखते हुए f(t) तथा g(t) आ 0 (जैसा t एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है या ±∞) साथ f(t) > 0, की सीमा f(t)g(t) कोई भी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है या +∞, या यह (गणित) को सीमित कर सकता है, पर निर्भर करता है f तथा g. उदाहरण के लिए, नीचे दी गई प्रत्येक सीमा में एक फ़ंक्शन शामिल है f(t)g(t) साथ f(t), g(t) → 0 जैसा t → 0+ (एकतरफा सीमा), लेकिन उनके मान भिन्न हैं:

इस प्रकार, दो चर समारोह xy, हालांकि सेट पर लगातार {(x, y) : x > 0}, डिसकंटीन्युटीज का वर्गीकरण # एसेंशियल डिसकंटिन्यूटी टू अ कॉन्टिन्यूअस फंक्शन ऑन {(x, y) : x > 0} ∪ {(0, 0)}, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई कैसे परिभाषित करना चुनता है 00.[7]

वहीं दूसरी ओर अगर f तथा g किसी संख्या के खुले पड़ोस पर विश्लेषणात्मक कार्य हैं c, फिर f(t)g(t) → 1 जैसा t दृष्टिकोण c जिस पर किसी भी तरफ से f सकारात्मक है।[8]यह और अधिक सामान्य परिणाम फ़ंक्शन के सीमित व्यवहार का अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं ln(f(t)g(t)) = g(t) ln f(t).[9][10]


जटिल घातांक

जटिल डोमेन में, function zw को अशून्य के लिए परिभाषित किया जा सकता है z एक जटिल लघुगणक # के जटिल लघुगणक की शाखाओं को चुनकर log z और परिभाषित करना zw जैसा ew log z. यह परिभाषित नहीं करता है 0w चूंकि इसकी कोई शाखा नहीं है log z पर परिभाषित किया गया z = 0, के पड़ोस में अकेले रहने दें 0.[11][12][13]


इतिहास

मूल्य के रूप में

1752 में, लियोनहार्ड यूलर ने लिखा था कि इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण के परिचय में a0 = 1[14]और इसका स्पष्ट उल्लेख किया 00 = 1.[15]एनोटेशन एट्रिब्यूट किया गया[16]यूलर की पुस्तक अंतर कलन के संस्थान के 1787 संस्करण में लोरेंजो माशेरोनी को[17]औचित्य प्रस्तुत किया

साथ ही एक और अधिक शामिल औचित्य। 1830 के दशक में, सोमाजा से गुग्लिल्मो लिब्री कारुची[18][16]दावे को सही ठहराने का प्रयास करते हुए कई और तर्क प्रकाशित किए 00 = 1, हालांकि ये विश्वास करने से बहुत दूर थे, यहां तक ​​कि उस समय कठोरता के मानकों से भी।[19]


=== एक सीमित रूप === के रूप में यूलर, सेटिंग करते समय 00 = 1, उल्लेख किया है कि फलस्वरूप फ़ंक्शन के मान 0x से एक बड़ी छलांग लगाओ ∞ के लिये x < 0, प्रति 1 पर x = 0, प्रति 0 के लिये x > 0.[14]1814 में, जोहान फ्रेडरिक फाफ ने यह साबित करने के लिए एक निचोड़ प्रमेय तर्क का इस्तेमाल किया xx → 1 जैसा x → 0+.[8]

दूसरी ओर, 1821 में कॉची[20]समझाया क्यों की सीमा xy सकारात्मक संख्या के रूप में x तथा y दृष्टिकोण 0 जबकि कुछ निश्चित संबंध से विवश होने के बीच किसी भी मूल्य को ग्रहण करने के लिए बनाया जा सकता है 0 तथा ∞ उचित रूप से संबंध चुनकर। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि पूर्ण दो-चर फलन की सीमा xy निर्दिष्ट बाधा के बिना अनिश्चित है। इस औचित्य के साथ, उन्होंने सूचीबद्ध किया 00 जैसे भावों के साथ 0/0 एक अनिश्चित रूप में # अनिश्चित रूपों की सूची।

कॉची के काम से जाहिर तौर पर अनभिज्ञ, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस|मोबियस[8]1834 में, Pfaff के तर्क के आधार पर, गलत दावा किया f(x)g(x) → 1 जब भी f(x),g(x) → 0 जैसा x एक संख्या तक पहुँचता है c (शायद f से सकारात्मक माना जाता है c). मोबियस मामले में कम हो गया c = 0, लेकिन फिर यह मानने की गलती की कि इनमें से प्रत्येक f तथा g रूप में व्यक्त किया जा सकता है Pxn कुछ निरंतर कार्य के लिए P पर गायब नहीं 0 और कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक n, जो विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सही है, लेकिन सामान्य तौर पर नहीं। एक अनाम टिप्पणीकार ने अनुचित कदम की ओर इशारा किया;[21]फिर एक अन्य टिप्पणीकार जिसने अपने नाम पर केवल S के रूप में हस्ताक्षर किए, ने स्पष्ट प्रतिपक्ष प्रदान किया (e−1/x)x → e−1 तथा (e−1/x)2x → e−2 जैसा x → 0+ और उस स्थिति को लिखकर व्यक्त किया00 के कई अलग-अलग मान हो सकते हैं।[21]


वर्तमान स्थिति

  • कुछ लेखक परिभाषित करते हैं 00 जैसा 1 क्योंकि यह कई प्रमेय कथनों को सरल करता है। बेन्सन (1999) के अनुसार, परिभाषित करने का विकल्प 00 सुविधा पर आधारित है, शुद्धता पर नहीं। अगर हम परिभाषित करने से बचते हैं 00, तब कुछ दावे अनावश्यक रूप से अटपटे हो जाते हैं। ... परिभाषा का उपयोग करने के लिए आम सहमति है 00 = 1, हालांकि ऐसी पाठ्यपुस्तकें हैं जो परिभाषित करने से बचती हैं 00.[22] डोनाल्ड नुथ (1992) इसका अधिक मजबूती से विरोध करता है 00 होना ही पड़ेगा 1; वह मूल्य के बीच अंतर करता है 00, जो बराबर होना चाहिए 1, और सीमित रूप 00 (की सीमा के लिए एक संक्षिप्त नाम f(t)g(t) कहाँ पे f(t), g(t) → 0), जो एक अनिश्चित रूप है: कॉची और लिब्री दोनों सही थे, लेकिन लिब्री और उनके रक्षक यह नहीं समझ पाए कि सच्चाई उनके पक्ष में क्यों थी।[19]* अन्य लेखक चले जाते हैं 00 अपरिभाषित क्योंकि 00 एक अनिश्चित रूप है: f(t), g(t) → 0 मतलब नहीं है f(t)g(t) → 1.[23][24]

ऐसा लगता है कि कोई लेखक असाइन नहीं कर रहा है 00 1 के अलावा एक विशिष्ट मूल्य।[22]


कंप्यूटर पर इलाज

आईईईई फ़्लोटिंग-पॉइंट मानक

IEEE 754-2008 फ़्लोटिंग-पॉइंट मानक का उपयोग अधिकांश फ़्लोटिंग-पॉइंट लाइब्रेरीज़ के डिज़ाइन में किया जाता है। यह शक्ति की गणना के लिए कई परिचालनों की सिफारिश करता है:[25]

  • pown (जिसका प्रतिपादक एक पूर्णांक है) व्यवहार करता है 00 जैसा 1; देखना § Discrete exponents.
  • pow (जिसका इरादा गैर-नाएन परिणाम वापस करना है जब एक्सपोनेंट एक पूर्णांक है, जैसे pown) व्यवहार करता है 00 जैसा 1.
  • powr व्यवहार करता है 00 अनिश्चित रूप के कारण NaN (नॉट-ए-नंबर) के रूप में; देखना § Continuous exponents. pow e> वैरिएंट से प्रेरित है pow मुख्य रूप से अनुकूलता के लिए C99 से कार्य करता है।[26]यह ज्यादातर एकल पावर फ़ंक्शन वाली भाषाओं के लिए उपयोगी है। pown ई> और powr पावर फ़ंक्शंस के परस्पर विरोधी उपयोग और विभिन्न दृष्टिकोणों (जैसा कि ऊपर कहा गया है) के कारण वेरिएंट पेश किए गए हैं।[27]


प्रोग्रामिंग लैंग्वेज

C और C++ मानक के परिणाम निर्दिष्ट नहीं करते हैं 00 (एक डोमेन त्रुटि हो सकती है)। लेकिन C के लिए, C99 के रूप में, यदि मानक अनुलग्नक F समर्थित है, तो वास्तविक फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रकारों के लिए परिणाम होना आवश्यक है 1 क्योंकि ऐसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं जिनके लिए यह मान NaN से अधिक उपयोगी है[28](उदाहरण के लिए, #Discrete_exponents के साथ); जटिल प्रकारों पर परिणाम निर्दिष्ट नहीं है, भले ही जानकारीपूर्ण अनुलग्नक जी समर्थित हो। जावा (प्रोग्रामिंग भाषा) मानक,[29].NET फ्रेमवर्क विधि (कंप्यूटर विज्ञान) System.Math.Pow,[30]जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा), और पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)[31][32]इलाज भी करें 00 जैसा 1. कुछ भाषाएँ दस्तावेज करती हैं कि उनकी घातांक संक्रिया इसके अनुरूप है pow सी गणितीय कार्यों से कार्य; यह लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा) के मामले में है[33]और पर्ल ** ऑपरेटर[34](जहां यह स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि का परिणाम 0**0 प्लेटफ़ॉर्म-निर्भर है)।

गणितीय और वैज्ञानिक सॉफ्टवेयर

एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा),[citation needed] आर (प्रोग्रामिंग भाषा),[35]था, सेजमैथ,[36]मतलब, मैग्मा (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली), GAP (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली), एकवचन (सॉफ्टवेयर), PARI/GP,[37]और जीएनयू ऑक्टेव मूल्यांकन x0 प्रति 1. मेथेमेटिका[38]और मैकसिमा सरल करें x0 प्रति 1 भले ही कोई प्रतिबंध न लगाया गया हो x; हालांकि, यदि 00 सीधे दर्ज किया जाता है, तो इसे त्रुटि या अनिश्चित के रूप में माना जाता है। सेजमैथ सरल नहीं करता है 0x. मेपल (सॉफ्टवेयर), गणित[38]और पारी/जीपी[37][39]आगे पूर्णांक और फ़्लोटिंग-पॉइंट मानों के बीच अंतर करें: यदि प्रतिपादक पूर्णांक प्रकार का शून्य है, तो वे वापस लौटते हैं 1 आधार के प्रकार; मूल्य शून्य के फ्लोटिंग-पॉइंट एक्सपोनेंट के साथ एक्सपोनेंटिएशन को अपरिभाषित, अनिश्चित या त्रुटि के रूप में माना जाता है।

संदर्भ

  1. ↑ Bourbaki, Nicolas (2004). "III.§3.5". Elements of Mathematics, Theory of Sets. Springer-Verlag.
  2. ↑ Bourbaki, Nicolas (1970). "§III.2 No. 9". Algèbre. Springer. L'unique monôme de degré 0 est l'élément unité de A[(Xi)i∈I]; on l'identifie souvent à l'élément unité 1 de A
  3. ↑ Bourbaki, Nicolas (1970). "§IV.1 No. 3". Algèbre. Springer.
  4. ↑ Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1989-01-05). "Binomial coefficients". Concrete Mathematics (1st ed.). Addison-Wesley Longman Publishing Co. p. 162. ISBN 0-201-14236-8. Some textbooks leave the quantity 00 undefined, because the functions x0 and 0x have different limiting values when x decreases to 0. But this is a mistake. We must define x0 = 1, for all x, if the binomial theorem is to be valid when x = 0, y = 0, and/or x = −y. The binomial theorem is too important to be arbitrarily restricted! By contrast, the function 0x is quite unimportant.
  5. ↑ Vaughn, Herbert E. (1970). "The expression 00". The Mathematics Teacher. 63: 111–112.
  6. ↑ Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Mathematical Analysis. New York, USA: Wiley. p. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. In general the limit of φ(x)/ψ(x) when x = a in case the limits of both the functions exist is equal to the limit of the numerator divided by the denominator. But what happens when both limits are zero? The division (0/0) then becomes meaningless. A case like this is known as an indeterminate form. Other such forms are ∞/∞, 0 × ∞, ∞ − ∞, 00, 1∞ and ∞0.
  7. ↑ Paige, L. J. (March 1954). "A note on indeterminate forms". American Mathematical Monthly. 61 (3): 189–190. doi:10.2307/2307224. JSTOR 2307224.
  8. ↑ 8.0 8.1 8.2 Möbius, A. F. (1834). "Beweis der Gleichung 00 = 1[[Category: Templates Vigyan Ready]], nach J. F. Pfaff" [Proof of the equation 00 = 1, according to J. F. Pfaff]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch). 1834 (12): 134–136. doi:10.1515/crll.1834.12.134. S2CID 199547186. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)
  9. ↑ Baxley, John V.; Hayashi, Elmer K. (June 1978). "Indeterminate Forms of Exponential Type". The American Mathematical Monthly. 85 (6): 484–486. doi:10.2307/2320074. JSTOR 2320074. Retrieved 2021-11-23.
  10. ↑ Xiao, Jinsen; He, Jianxun (December 2017). "On Indeterminate Forms of Exponential Type". Mathematics Magazine. 90 (5): 371–374. doi:10.4169/math.mag.90.5.371. JSTOR 10.4169/math.mag.90.5.371. S2CID 125602000. Retrieved 2021-11-23.
  11. ↑ Carrier, George F.; Krook, Max; Pearson, Carl E. (2005). Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. p. 15. ISBN 0-89871-595-4. Since log(0) does not exist, 0z is undefined. For Re(z) > 0, we define it arbitrarily as 0.
  12. ↑ Gonzalez, Mario (1991). Classical Complex Analysis. Chapman & Hall. p. 56. ISBN 0-8247-8415-4. For z = 0, w ≠ 0, we define 0w = 0, while 00 is not defined.
  13. ↑ Meyerson, Mark D. (June 1996). "The xx Spindle". Mathematics Magazine. Vol. 69, no. 3. pp. 198–206. doi:10.1080/0025570X.1996.11996428. ... Let's start at x = 0. Here xx is undefined.
  14. ↑ 14.0 14.1 Euler, Leonhard (1988). "Chapter 6, §97". Introduction to analysis of the infinite, Book 1. Translated by Blanton, J. D. Springer. p. 75. ISBN 978-0-387-96824-7.
  15. ↑ Euler, Leonhard (1988). "Chapter 6, §99". Introduction to analysis of the infinite, Book 1. Translated by Blanton, J. D. Springer. p. 76. ISBN 978-0-387-96824-7.
  16. ↑ 16.0 16.1 Libri, Guillaume (1833). "Mémoire sur les fonctions discontinues". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in français). 1833 (10): 303–316. doi:10.1515/crll.1833.10.303. S2CID 121610886.
  17. ↑ Euler, Leonhard (1787). Institutiones calculi differentialis, Vol. 2. Ticini. ISBN 978-0-387-96824-7.
  18. ↑ Libri, Guillaume (1830). "Note sur les valeurs de la fonction 00x". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in français). 1830 (6): 67–72. doi:10.1515/crll.1830.6.67. S2CID 121706970.
  19. ↑ 19.0 19.1 Knuth, Donald E. (1992). "Two Notes on Notation". The American Mathematical Monthly. 99 (5): 403–422. arXiv:math/9205211. Bibcode:1992math......5211K. doi:10.1080/00029890.1992.11995869.
  20. ↑ Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, Oeuvres Complètes: 2 (in français), vol. 3, pp. 65–69
  21. ↑ 21.0 21.1 Anonymous (1834). "Bemerkungen zu dem Aufsatze überschrieben "Beweis der Gleichung 00 = 1[[Category: Templates Vigyan Ready]], nach J. F. Pfaff"" [Remarks on the essay "Proof of the equation 00 = 1, according to J. F. Pfaff"]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Deutsch). 1834 (12): 292–294. doi:10.1515/crll.1834.12.292. {{cite journal}}: URL–wikilink conflict (help)
  22. ↑ 22.0 22.1 Benson, Donald C. (1999). Written at New York, USA. The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford, UK: Oxford University Press. p. 29. ISBN 978-0-19-511721-9.
  23. ↑ Edwards; Penney (1994). Calculus (4th ed.). Prentice-Hall. p. 466.
  24. ↑ Keedy; Bittinger; Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley. p. 32.
  25. ↑ Muller, Jean-Michel; Brisebarre, Nicolas; de Dinechin, Florent; Jeannerod, Claude-Pierre; Lefèvre, Vincent; Melquiond, Guillaume; Revol, Nathalie; Stehlé, Damien; Torres, Serge (2010). Handbook of Floating-Point Arithmetic (1 ed.). Birkhäuser. p. 216. doi:10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN 978-0-8176-4704-9. LCCN 2009939668. ISBN 978-0-8176-4705-6 (online), ISBN 0-8176-4704-X (print)
  26. ↑ "More transcendental questions". grouper.ieee.org. Archived from the original on 2017-11-14. Retrieved 2019-05-27. (NB. Beginning of the discussion about the power functions for the revision of the IEEE 754 standard, May 2007.)
  27. ↑ "Re: A vague specification". grouper.ieee.org. Archived from the original on 2017-11-14. Retrieved 2019-05-27. (NB. Suggestion of variants in the discussion about the power functions for the revision of the IEEE 754 standard, May 2007.)
  28. ↑ Rationale for International Standard—Programming Languages—C (PDF) (Report). Revision 5.10. April 2003. p. 182.
  29. ↑ "Math (Java Platform SE 8) pow". Oracle.
  30. ↑ ".NET Framework Class Library Math.Pow Method". Microsoft.
  31. ↑ "Built-in Types — Python 3.8.1 documentation". Retrieved 2020-01-25. Python defines pow(0, 0) and 0 ** 0 to be 1, as is common for programming languages.
  32. ↑ "math — Mathematical functions — Python 3.8.1 documentation". Retrieved 2020-01-25. Exceptional cases follow Annex 'F' of the C99 standard as far as possible. In particular, pow(1.0, x) and pow(x, 0.0) always return 1.0, even when x is a zero or a NaN.
  33. ↑ "Lua 5.3 Reference Manual". Retrieved 2019-05-27.
  34. ↑ "perlop – Exponentiation". Retrieved 2019-05-27.
  35. ↑ The R Core Team (2019-07-05). "R: A Language and Environment for Statistical Computing – Reference Index" (PDF). Version 3.6.1. p. 23. Retrieved 2019-11-22. 1 ^ y and y ^ 0 are 1, always.
  36. ↑ The Sage Development Team (2020). "Sage 9.2 Reference Manual: Standard Commutative Rings. Elements of the ring Z of integers". Retrieved 2021-01-21. For consistency with Python and MPFR, 0^0 is defined to be 1 in Sage.
  37. ↑ 37.0 37.1 "pari.git / commitdiff – 10- x ^ t_FRAC: return an exact result if possible; e.g. 4^(1/2) is now 2". Retrieved 2018-09-10.
  38. ↑ 38.0 38.1 "Wolfram Language & System Documentation: Power". Wolfram. Retrieved 2018-08-02.
  39. ↑ The PARI Group (2018). "Users' Guide to PARI/GP (version 2.11.0)" (PDF). pp. 10, 122. Retrieved 2018-09-04. There is also the exponentiation operator ^, when the exponent is of type integer; otherwise, it is considered as a transcendental function. ... If the exponent n is an integer, then exact operations are performed using binary (left-shift) powering techniques. ... If the exponent n is not an integer, powering is treated as the transcendental function exp(n log x).


इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

  • समारोह (गणित)
  • खाली समारोह
  • बहुपद की अंगूठी
  • बिजली की श्रृंखला
  • निरंतर कार्य
  • अंतर कलन
  • सीमा (गणित)
  • एक तरफा सीमा
  • इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय
  • नेन
  • मानक का
  • सेज मठ
  • जीएपी (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली)

बाहरी संबंध

Retrieved from ‘https://www.vigyanwiki.in/index.php?title=शून्य_की_घात_शून्य&oldid=54607’