तरल यांत्रिकी: Difference between revisions

Revision as of 13:28, 3 June 2022

द्रव यांत्रिकी भौतिकी की वह शाखा है जो तरल पदार्थ ( तरल पदार्थ, गैस और प्लाज़्मा ) के यांत्रिकी और उन पर लगने वाले बलों से संबंधित है। ^[1] इसमें मैकेनिकल, सिविल, केमिकल और बायोमेडिकल इंजीनियरिंग, भूभौतिकी, समुद्र विज्ञान, मौसम विज्ञान, खगोल भौतिकी और जीव विज्ञान सहित विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला में अनुप्रयोग हैं।

इसे द्रव स्थैतिक में विभाजित किया जा सकता है, आराम से तरल पदार्थ का अध्ययन; और द्रव गतिकी, द्रव गति पर बलों के प्रभाव का अध्ययन। ^[1] यह सातत्य यांत्रिकी की एक शाखा है, एक ऐसा विषय जो इस जानकारी का उपयोग किए बिना कि यह परमाणुओं से बना है, मॉडल मायने रखता है; अर्थात्, यह सूक्ष्म के बजाय एक स्थूल दृष्टिकोण से मॉडल करता है। द्रव यांत्रिकी, विशेष रूप से द्रव गतिकी, अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है, आमतौर पर गणितीय रूप से जटिल। कई समस्याएं आंशिक रूप से या पूरी तरह से अनसुलझी हैं और संख्यात्मक तरीकों से सबसे अच्छी तरह से संबोधित की जाती हैं, आमतौर पर कंप्यूटर का उपयोग करते हुए। एक आधुनिक अनुशासन, जिसे कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी (सीएफडी) कहा जाता है, इस दृष्टिकोण के लिए समर्पित है। ^[2] कण छवि वेलोसिमेट्री, द्रव प्रवाह की कल्पना और विश्लेषण के लिए एक प्रयोगात्मक विधि, द्रव प्रवाह की अत्यधिक दृश्य प्रकृति का भी लाभ उठाती है।

संक्षिप्त इतिहास

द्रव यांत्रिकी का अध्ययन कम से कम प्राचीन ग्रीस के दिनों में वापस जाता है, जब आर्किमिडीज ने द्रव स्थैतिक और उछाल की जांच की और अपने प्रसिद्ध कानून को तैयार किया जिसे अब आर्किमिडीज के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जिसे उनके काम ऑन फ्लोटिंग बॉडीज में प्रकाशित किया गया था - जिसे आमतौर पर माना जाता है द्रव यांत्रिकी पर पहला प्रमुख कार्य। द्रव यांत्रिकी में तेजी से प्रगति लियोनार्डो दा विंची (अवलोकन और प्रयोग), इवेंजेलिस्टा टोरिसेली ( बैरोमीटर का आविष्कार), आइजैक न्यूटन (जांच की गई चिपचिपाहट ) और ब्लेज़ पास्कल (शोधित हाइड्रोस्टैटिक्स, पास्कल के नियम तैयार) के साथ शुरू हुई, और डैनियल बर्नौली द्वारा जारी रखा गया था हाइड्रोडायनामिका (1739) में गणितीय द्रव गतिकी का परिचय।

विभिन्न गणितज्ञों ( जीन ले रोंड डी'एलेम्बर्ट, जोसेफ लुइस लैग्रेंज, पियरे-साइमन लाप्लास, शिमोन डेनिस पॉइसन) द्वारा इनविस्किड प्रवाह का और अधिक विश्लेषण किया गया था और जीन लियोनार्ड मैरी पॉइज़ुइल और गॉथिलफ हेगन सहित कई इंजीनियरों द्वारा चिपचिपा प्रवाह का पता लगाया गया था। इसके अलावा गणितीय औचित्य क्लाउड-लुई नेवियर और जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स द्वारा नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में प्रदान किया गया था, और सीमा परतों की जांच की गई थी ( लुडविग प्रांड्ल, थियोडोर वॉन कार्मन ), जबकि विभिन्न वैज्ञानिक जैसे ओसबोर्न रेनॉल्ड्स, एंड्री कोलमोगोरोव, और जेफ्री इनग्राम टेलर द्रव चिपचिपाहट और अशांति की समझ को उन्नत किया।

मुख्य शाखाएं

द्रव स्टैटिक्स

द्रव स्थैतिक या हाइड्रोस्टैटिक्स द्रव यांत्रिकी की शाखा है जो तरल पदार्थ को आराम से अध्ययन करती है। यह उन स्थितियों के अध्ययन को शामिल करता है जिनके तहत स्थिर संतुलन में तरल पदार्थ आराम से होते हैं; और द्रव गतिकी के विपरीत है, गति में तरल पदार्थों का अध्ययन। हाइड्रोस्टैटिक्स रोजमर्रा की जिंदगी की कई घटनाओं के लिए भौतिक स्पष्टीकरण प्रदान करता है, जैसे कि वायुमंडलीय दबाव ऊंचाई के साथ क्यों बदलता है, लकड़ी और तेल पानी पर क्यों तैरते हैं, और पानी की सतह हमेशा समतल क्यों होती है, चाहे उसके कंटेनर का आकार कुछ भी हो। हाइड्रोस्टैटिक्स हाइड्रोलिक्स के लिए मौलिक है, तरल पदार्थ के भंडारण, परिवहन और उपयोग के लिए उपकरणों की इंजीनियरिंग । यह भूभौतिकी और खगोल भौतिकी के कुछ पहलुओं (उदाहरण के लिए, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में प्लेट विवर्तनिकी और विसंगतियों को समझने में), मौसम विज्ञान, चिकित्सा ( रक्तचाप के संदर्भ में), और कई अन्य क्षेत्रों के लिए भी प्रासंगिक है।

द्रव गतिकी

द्रव गतिकी द्रव यांत्रिकी का एक उप-अनुशासन है जो द्रव प्रवाह से संबंधित है - गति में तरल पदार्थ और गैसों का विज्ञान। ^[3] द्रव गतिकी एक व्यवस्थित संरचना प्रदान करती है - जो इन व्यावहारिक विषयों को रेखांकित करती है - जो प्रवाह माप से प्राप्त अनुभवजन्य और अर्ध-अनुभवजन्य कानूनों को अपनाती है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाती है। द्रव गतिकी समस्या के समाधान में आमतौर पर स्थान और समय के कार्यों के रूप में द्रव के विभिन्न गुणों, जैसे वेग, दबाव, घनत्व और तापमान की गणना करना शामिल है। वायुगतिकी ^[4] ^[5] ^[6] ^[7] (गति में वायु और अन्य गैसों का अध्ययन) और हाइड्रोडायनामिक्स ^[8] ^[9] (गति में तरल पदार्थों का अध्ययन) सहित इसके कई उप-विषय हैं। द्रव गतिकी में अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला होती है, जिसमें विमानों पर बलों और आंदोलनों की गणना करना, पाइपलाइनों के माध्यम से पेट्रोलियम के द्रव्यमान प्रवाह दर का निर्धारण करना, विकसित मौसम के पैटर्न की भविष्यवाणी करना, अंतरतारकीय अंतरिक्ष में नीहारिकाओं को समझना और विस्फोटों को मॉडलिंग करना शामिल है। ट्रैफिक इंजीनियरिंग और भीड़ की गतिशीलता में कुछ द्रव-गतिशील सिद्धांतों का उपयोग किया जाता है।

सातत्य यांत्रिकी से संबंध

द्रव यांत्रिकी सातत्य यांत्रिकी का एक उप-अनुशासन है, जैसा कि निम्नलिखित तालिका में दिखाया गया है।

धारणाएं

नियंत्रण सतह से घिरे नियंत्रण मात्रा में कुछ एकीकृत द्रव मात्रा के लिए संतुलन।

भौतिक प्रणाली के द्रव यांत्रिक उपचार में निहित मान्यताओं को गणितीय समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। मूल रूप से, प्रत्येक द्रव यांत्रिक प्रणाली का पालन करने के लिए माना जाता है:

- संरक्षण का मास
- ऊर्जा संरक्षण
- गति का संरक्षण
- सातत्य धारणा

उदाहरण के लिए, यह धारणा कि द्रव्यमान संरक्षित है, का अर्थ है कि किसी भी निश्चित नियंत्रण मात्रा (उदाहरण के लिए, एक गोलाकार आयतन) के लिए - एक नियंत्रण सतह द्वारा संलग्न - उस मात्रा में निहित द्रव्यमान के परिवर्तन की दर उस दर के बराबर होती है जिस पर द्रव्यमान होता है सतह से बाहर से अंदर की ओर गुजर रहा है, उस दर को घटाकर जिस पर द्रव्यमान अंदर से बाहर की ओर जा रहा है। इसे नियंत्रण आयतन पर अभिन्न रूप में एक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ^[10]^: 74

सातत्य यांत्रिकी का एक आदर्शीकरण है जिसके तहत तरल पदार्थ को निरंतर माना जा सकता है, भले ही सूक्ष्म पैमाने पर, वे अणुओं से बने होते हैं। सातत्य धारणा के तहत, घनत्व, दबाव, तापमान और थोक वेग जैसे मैक्रोस्कोपिक (अवलोकित / मापने योग्य) गुणों को "इनफिनिटिमल" वॉल्यूम तत्वों पर अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है - सिस्टम की विशेषता लंबाई के पैमाने की तुलना में छोटा, लेकिन आणविक लंबाई पैमाने की तुलना में बड़ा। द्रव गुण एक आयतन तत्व से दूसरे में लगातार भिन्न हो सकते हैं और आणविक गुणों के औसत मूल्य हैं। सातत्य परिकल्पना सुपरसोनिक गति प्रवाह, या नैनो पैमाने पर आणविक प्रवाह जैसे अनुप्रयोगों में गलत परिणाम दे सकती है। ^[11] जिन समस्याओं के लिए सातत्य परिकल्पना विफल हो जाती है, उन्हें सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यह निर्धारित करने के लिए कि सातत्य परिकल्पना लागू होती है या नहीं, नुडसेन संख्या, जिसे आणविक माध्य मुक्त पथ के विशेषता लंबाई पैमाने के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, का मूल्यांकन किया जाता है। 0.1 से नीचे Knudsen संख्या के साथ समस्याओं का मूल्यांकन सातत्य परिकल्पना का उपयोग करके किया जा सकता है, लेकिन आणविक दृष्टिकोण (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को बड़े Knudsen संख्याओं के लिए द्रव गति को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है।

नेवियर-स्टोक्स समीकरण

नेवियर-स्टोक्स समीकरण ( क्लाउड-लुई नेवियर और जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स के नाम पर) अंतर समीकरण हैं जो एक तरल पदार्थ के भीतर दिए गए बिंदु पर बल संतुलन का वर्णन करते हैं। वेक्टर वेग क्षेत्र के साथ एक असंपीड्य द्रव के लिए $\mathbf {u}$ , नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं ^[12] ^[13] ^[14] ^[15]

{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u}

.

ये विभेदक समीकरण न्यूटन के कणों के गति के समीकरणों के लिए विकृत सामग्री के अनुरूप हैं - नेवियर-स्टोक्स समीकरण दबाव के जवाब में गति ( बल ) में परिवर्तन का वर्णन करते हैं। $P$ और चिपचिपापन, किनेमेटिक चिपचिपाहट द्वारा पैरामीटर किया गया $\nu$ यहां। कभी-कभी, शरीर बल, जैसे गुरुत्वाकर्षण बल या लोरेंत्ज़ बल को समीकरणों में जोड़ा जाता है।

किसी भौतिक समस्या के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के हल कैलकुलस की सहायता से प्राप्त किए जाने चाहिए। व्यावहारिक रूप से, केवल सबसे सरल मामलों को इस तरह से हल किया जा सकता है। इन मामलों में आम तौर पर गैर-अशांत, स्थिर प्रवाह शामिल होता है जिसमें रेनॉल्ड्स संख्या छोटी होती है। अधिक जटिल मामलों के लिए, विशेष रूप से वे जिनमें अशांति शामिल है, जैसे कि वैश्विक मौसम प्रणाली, वायुगतिकी, हाइड्रोडायनामिक्स और कई अन्य, नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान वर्तमान में केवल कंप्यूटर की मदद से ही खोजे जा सकते हैं। विज्ञान की इस शाखा को कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी कहा जाता है। ^[16] ^[17] ^[18] ^[19] ^[20]

अदृश्य और चिपचिपा तरल पदार्थ

एक अदृश्य तरल पदार्थ में कोई चिपचिपाहट नहीं होती है, $\nu =0$ . व्यवहार में, एक अदृश्य प्रवाह एक आदर्शीकरण है, जो गणितीय उपचार की सुविधा प्रदान करता है। वास्तव में, विशुद्ध रूप से अदृश्य प्रवाह केवल अतिप्रवाह के मामले में ही महसूस किए जाने के लिए जाना जाता है। अन्यथा, तरल पदार्थ आमतौर पर चिपचिपा होते हैं, एक संपत्ति जो अक्सर एक ठोस सतह के पास एक सीमा परत के भीतर सबसे महत्वपूर्ण होती है, ^[21] जहां प्रवाह ठोस पर नो-स्लिप स्थिति से मेल खाना चाहिए। कुछ मामलों में, एक द्रव यांत्रिक प्रणाली के गणित का इलाज यह मानकर किया जा सकता है कि सीमा परतों के बाहर का द्रव अदृश्य है, और फिर एक पतली लामिना सीमा परत के लिए उस पर इसके समाधान का मिलान कर रहा है।

एक झरझरा सीमा पर द्रव प्रवाह के लिए, द्रव का वेग मुक्त द्रव और झरझरा मीडिया में द्रव के बीच असंतत हो सकता है (यह बीवर और जोसेफ की स्थिति से संबंधित है)। इसके अलावा, कम सबसोनिक गति पर यह मान लेना उपयोगी है कि गैस असंपीड्य है - अर्थात, गति और स्थिर दबाव में परिवर्तन होने पर भी गैस का घनत्व नहीं बदलता है।

न्यूटोनियन बनाम गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ

एक न्यूटनियन तरल पदार्थ ( आइजैक न्यूटन के नाम पर) को एक तरल पदार्थ के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका कतरनी तनाव कतरनी के विमान के लंबवत दिशा में वेग ढाल के रैखिक रूप से आनुपातिक होता है। इस परिभाषा का अर्थ है कि द्रव पर कार्य करने वाले बलों की परवाह किए बिना, यह प्रवाहित रहता है । उदाहरण के लिए, पानी एक न्यूटोनियन तरल है, क्योंकि यह द्रव गुणों को प्रदर्शित करना जारी रखता है चाहे इसे कितना भी हिलाया या मिलाया जाए। थोड़ी कम कठोर परिभाषा यह है कि द्रव के माध्यम से धीरे-धीरे स्थानांतरित होने वाली छोटी वस्तु का ड्रैग वस्तु पर लागू बल के समानुपाती होता है। ( घर्षण की तुलना करें)। महत्वपूर्ण तरल पदार्थ, जैसे पानी के साथ-साथ अधिकांश गैसें, पृथ्वी पर सामान्य परिस्थितियों में एक न्यूटनियन तरल पदार्थ के रूप में-अच्छे सन्निकटन के रूप में व्यवहार करती हैं। ^[10]

इसके विपरीत, एक गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ को हिलाने से एक "छेद" पीछे रह सकता है। यह धीरे-धीरे समय के साथ भर जाएगा—यह व्यवहार हलवा, ओबलेक या रेत जैसी सामग्रियों में देखा जाता है (हालांकि रेत सख्ती से तरल नहीं है)। वैकल्पिक रूप से, एक गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ को हिलाने से चिपचिपाहट कम हो सकती है, इसलिए द्रव "पतला" दिखाई देता है (यह गैर-ड्रिप पेंट में देखा जाता है)। कई प्रकार के गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ होते हैं, क्योंकि उन्हें कुछ ऐसा परिभाषित किया जाता है जो किसी विशेष संपत्ति का पालन करने में विफल रहता है-उदाहरण के लिए, लंबी आणविक श्रृंखला वाले अधिकांश तरल पदार्थ गैर-न्यूटोनियन तरीके से प्रतिक्रिया कर सकते हैं। ^[10]

न्यूटनियन द्रव के लिए समीकरण

चिपचिपा तनाव टेंसर और वेग ढाल के बीच आनुपातिकता की निरंतरता को चिपचिपाहट के रूप में जाना जाता है। असम्पीडित न्यूटोनियन द्रव व्यवहार का वर्णन करने के लिए एक सरल समीकरण है $\tau =-\mu {\frac {dv}{dn}}$

कहाँ पे $\tau$ द्रव द्वारा लगाया गया अपरूपण प्रतिबल है ( ड्रैग ) $\mu$ द्रव चिपचिपापन है - आनुपातिकता का एक स्थिरांक ${\frac {dv}{dn}}$ अपरूपण की दिशा के लंबवत वेग प्रवणता है।

न्यूटोनियन द्रव के लिए, चिपचिपाहट, परिभाषा के अनुसार, केवल तापमान पर निर्भर करती है, न कि उस पर कार्य करने वाले बलों पर। यदि द्रव असंपीड्य है तो श्यान तनाव को नियंत्रित करने वाला समीकरण ( कार्टेशियन निर्देशांक में) है $\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)=\mu \partial _{(i}v_{j)}$

कहाँ पे $\tau _{ij}$ is the shear stress on the $i^{th}$ face of a fluid element in the $j^{th}$ दिशा $v_{i}$ is the velocity in the $i^{th}$ दिशा $x_{j}$ is the $j^{th}$ दिशा समन्वय।

यदि द्रव असंपीड्य नहीं है तो न्यूटनियन द्रव में श्यान दबाव का सामान्य रूप है $\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)+\kappa \delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v}$ कहाँ पे $\kappa$ दूसरा चिपचिपापन गुणांक (या थोक चिपचिपाहट) है। यदि कोई द्रव इस संबंध का पालन नहीं करता है, तो उसे गैर-न्यूटोनियन द्रव कहा जाता है, जिसके कई प्रकार होते हैं। गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ या तो प्लास्टिक, बिंघम प्लास्टिक, स्यूडोप्लास्टिक, डिलेटेंट, थिक्सोट्रोपिक, रियोपेक्टिक, विस्कोलेस्टिक हो सकते हैं।

कुछ अनुप्रयोगों में, तरल पदार्थों के बीच एक और मोटा व्यापक विभाजन किया जाता है: आदर्श और गैर-आदर्श तरल पदार्थ। एक आदर्श द्रव गैर-चिपचिपा होता है और कतरनी बल के लिए कोई प्रतिरोध नहीं करता है। एक आदर्श द्रव वास्तव में मौजूद नहीं है, लेकिन कुछ गणनाओं में, धारणा उचित है। इसका एक उदाहरण ठोस सतहों से दूर प्रवाह है। कई मामलों में, चिपचिपा प्रभाव ठोस सीमाओं (जैसे सीमा परतों में) के पास केंद्रित होता है, जबकि प्रवाह क्षेत्र के क्षेत्रों में सीमाओं से दूर चिपचिपा प्रभाव उपेक्षित किया जा सकता है और वहां के तरल पदार्थ को अदृश्य (आदर्श) के रूप में माना जाता है। बहे)। जब चिपचिपाहट की उपेक्षा की जाती है, तो शब्द चिपचिपा तनाव टेंसर युक्त होता है $\mathbf {\tau }$ नेवियर-स्टोक्स समीकरण गायब हो जाता है। इस रूप में घटाए गए समीकरण को यूलर समीकरण कहा जाता है।

References

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External links

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 == धारणाएं ==
-[[File:Reynolds.svg|thumb|right| [[ नियंत्रण सतह (द्रव गतिकी) |  नियंत्रण सतह ]] से घिरे  [[ नियंत्रण मात्रा ]] में कुछ एकीकृत द्रव मात्रा के लिए संतुलन। ]]
+[[File:Reynolds.svg|thumb|right| नियंत्रण सतह  से घिरे   नियंत्रण मात्रा  में कुछ एकीकृत द्रव मात्रा के लिए संतुलन। ]]
 भौतिक प्रणाली के द्रव यांत्रिक उपचार में निहित मान्यताओं को गणितीय समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। मूल रूप से, प्रत्येक द्रव यांत्रिक प्रणाली का पालन करने के लिए माना जाता है:
 ** [[:hi:द्रव्य की अविनाशिता का नियम|संरक्षण का मास]]
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 ** [[:hi:संवेग (भौतिकी)|गति का संरक्षण]]
 ** सातत्य धारणा
-उदाहरण के लिए, यह धारणा कि द्रव्यमान संरक्षित है, का अर्थ है कि किसी भी निश्चित  [[ नियंत्रण मात्रा ]] (उदाहरण के लिए, एक गोलाकार आयतन) के लिए -  [[ नियंत्रण सतह (द्रव गतिकी) |  नियंत्रण सतह ]] द्वारा संलग्न -  [[ व्युत्पन्न |  परिवर्तन की दर ]] उस आयतन में निहित द्रव्यमान उस दर के बराबर है जिस पर द्रव्यमान सतह से ''बाहर'' से ''अंदर'' तक जा रहा है, घटा वह दर जिस पर द्रव्यमान ''अंदर'' से '' तक जा रहा है। बाहर''। इसे  [[ निरंतरता समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है # इंटीग्रल फॉर्म |  समीकरण इंटीग्रल फॉर्म ]] कंट्रोल वॉल्यूम पर{{r|Batchelor1967|p=74}}
+उदाहरण के लिए, यह धारणा कि द्रव्यमान संरक्षित है, का अर्थ है कि किसी भी निश्चित [[:hi:नियंत्रण मात्रा|नियंत्रण मात्रा]] (उदाहरण के लिए, एक गोलाकार आयतन) के लिए - एक [[:hi:नियंत्रण सतह (द्रव गतिकी)|नियंत्रण सतह]] द्वारा संलग्न - उस मात्रा में निहित द्रव्यमान [[:hi:अवकलज|के परिवर्तन]] की दर उस दर के बराबर होती है जिस पर द्रव्यमान होता है सतह से ''बाहर'' से ''अंदर'' की ओर गुजर रहा है, उस दर को घटाकर जिस पर द्रव्यमान ''अंदर'' से ''बाहर'' की ओर जा रहा है। इसे नियंत्रण आयतन पर [[:hi:सातत्य समीकरण|अभिन्न रूप में एक समीकरण के]] रूप में व्यक्त किया जा सकता है। {{R|Batchelor1967|p=74}}
-द ''{{vanchor|continuum assumption|Continuum assumption}}'''  [[ सातत्य यांत्रिकी ]] का एक आदर्शीकरण है जिसके तहत द्रवों को  [[ सतत फलन |  सतत ]] माना जा सकता है, भले ही सूक्ष्म पैमाने पर वे  [[ अणुओं ]] से बने हों। सातत्य धारणा के तहत, घनत्व, दबाव, तापमान और थोक वेग जैसे मैक्रोस्कोपिक (अवलोकित / मापने योग्य) गुणों को इनफिनिटिमल वॉल्यूम तत्वों पर अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है - सिस्टम की विशेषता लंबाई के पैमाने की तुलना में छोटा, लेकिन बड़े में आणविक लंबाई पैमाने की तुलना द्रव गुण एक आयतन तत्व से दूसरे में लगातार भिन्न हो सकते हैं और आणविक गुणों के औसत मूल्य हैं। सातत्य परिकल्पना सुपरसोनिक गति प्रवाह, या नैनो पैमाने पर आणविक प्रवाह जैसे अनुप्रयोगों में गलत परिणाम दे सकती है<ref name="Greenkorn2018">{{cite book |first=Robert |last=Greenkorn |title=Momentum, Heat, and Mass Transfer Fundamentals |url=https://books.google.com/books?id=pjFRDwAAQBAJ&q=%22Breakdown+of+continuum+assumption%22&pg=PA18 |date=3 October 2018 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4822-9297-8 |page=18}}</ref> जिन समस्याओं के लिए सातत्य परिकल्पना विफल हो जाती है, उन्हें  [[ सांख्यिकीय यांत्रिकी ]] का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यह निर्धारित करने के लिए कि सातत्य परिकल्पना लागू होती है या नहीं,  [[ नुडसेन संख्या ]], जिसे आणविक  [[ माध्य मुक्त पथ ]] और विशेषता लंबाई  [[ स्केल (अनुपात) |  स्केल ]] के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, का मूल्यांकन किया जाता है। 0.1 से नीचे Knudsen संख्या के साथ समस्याओं का मूल्यांकन सातत्य परिकल्पना का उपयोग करके किया जा सकता है, लेकिन आणविक दृष्टिकोण (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को बड़े Knudsen संख्याओं के लिए द्रव गति को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है।
+[[:hi:सातत्यक यांत्रिकी|सातत्य यांत्रिकी]] का एक आदर्शीकरण है जिसके तहत तरल पदार्थ को [[:hi:सतत फलन|निरंतर]] माना जा सकता है, भले ही सूक्ष्म पैमाने पर, वे [[:hi:अणु|अणुओं]] से बने होते हैं। सातत्य धारणा के तहत, घनत्व, दबाव, तापमान और थोक वेग जैसे मैक्रोस्कोपिक (अवलोकित / मापने योग्य) गुणों को "इनफिनिटिमल" वॉल्यूम तत्वों पर अच्छी तरह से परिभाषित किया जाता है - सिस्टम की विशेषता लंबाई के पैमाने की तुलना में छोटा, लेकिन आणविक लंबाई पैमाने की तुलना में बड़ा। द्रव गुण एक आयतन तत्व से दूसरे में लगातार भिन्न हो सकते हैं और आणविक गुणों के औसत मूल्य हैं। सातत्य परिकल्पना सुपरसोनिक गति प्रवाह, या नैनो पैमाने पर आणविक प्रवाह जैसे अनुप्रयोगों में गलत परिणाम दे सकती है। <ref name="Greenkorn20182">{{Cite book|first=Robert|last=Greenkorn|title=Momentum, Heat, and Mass Transfer Fundamentals|url=https://books.google.com/books?id=pjFRDwAAQBAJ&q=%22Breakdown+of+continuum+assumption%22&pg=PA18|date=3 October 2018|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4822-9297-8|page=18}}</ref> जिन समस्याओं के लिए सातत्य परिकल्पना विफल हो जाती है, उन्हें [[:hi:सांख्यिकीय यांत्रिकी|सांख्यिकीय यांत्रिकी]] का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यह निर्धारित करने के लिए कि सातत्य परिकल्पना लागू होती है या नहीं, [[:hi:नुडसन संख्या|नुडसेन संख्या]], जिसे आणविक [[:hi:माध्य मुक्‍त पथ|माध्य मुक्त पथ]] के विशेषता लंबाई [[:hi:स्केल (अनुपात)|पैमाने]] के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, का मूल्यांकन किया जाता है। 0.1 से नीचे Knudsen संख्या के साथ समस्याओं का मूल्यांकन सातत्य परिकल्पना का उपयोग करके किया जा सकता है, लेकिन आणविक दृष्टिकोण (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को बड़े Knudsen संख्याओं के लिए द्रव गति को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है।
-{{anchor|mathematical_fluid_mechanics}}
 == नेवियर-स्टोक्स समीकरण ==
-{{main|Navier–Stokes equations}}
+'''नेवियर-स्टोक्स समीकरण''' ( [[:hi:क्लाउड-लुई नेवियर|क्लाउड-लुई नेवियर]] और [[:hi:जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स|जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स]] के नाम पर) [[:hi:अवकल समीकरण|अंतर समीकरण]] हैं जो एक तरल पदार्थ के भीतर दिए गए बिंदु पर बल संतुलन का वर्णन करते हैं। वेक्टर वेग क्षेत्र के साथ एक [[:hi:असंपीड्य द्रव|असंपीड्य द्रव]] के लिए <math>\mathbf{u}</math>, नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं <ref>Constantin, P., & Foias, C. (1988).</ref> <ref>Temam, R. (2001).</ref> <ref>Foias, C., Manley, O., Rosa, R., & Temam, R. (2001).</ref> <ref>Girault, V., & Raviart, P. A. (2012).</ref>
-''' नेवियर-स्टोक्स समीकरण ''' ( [[ क्लाउड-लुई नेवियर ]] और  [[ जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स ]] के नाम पर)  [[ अंतर समीकरण ]] हैं जो एक तरल पदार्थ के भीतर दिए गए बिंदु पर बल संतुलन का वर्णन करते हैं। वेक्टर वेग क्षेत्र के साथ एक  [[ असंपीड्य द्रव ]] के लिए <math>\mathbf{u}</math>, नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं<ref>कॉन्स्टेंटिन, पी।, और फोआस, सी। (1988)। नेवियर-स्टोक्स समीकरण। शिकागो विश्वविद्यालय प्रेस</ref><ref>टेमम, आर। (2001)। नेवियर-स्टोक्स समीकरण: सिद्धांत और संख्यात्मक विश्लेषण (वॉल्यूम 343)।  [[ अमेरिकी गणितीय सोसायटी ]]</ref><ref>फोआस, सी।, मैनले, ओ।, रोजा, आर।, और टेमम, आर। (2001)। नेवियर-स्टोक्स समीकरण और अशांति (वॉल्यूम 83)। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस</ref><ref>Girault, V., और Raviart, P. A. (2012)। नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए परिमित तत्व विधियाँ: सिद्धांत और एल्गोरिदम (वॉल्यूम 5)। स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया</ref>
 : <math>\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}  = - \frac{1}{\rho}\nabla P +   \nu \nabla^2 \mathbf{u}</math>.
-ये अंतर समीकरण न्यूटन के कणों के गति के समीकरणों के लिए विकृत सामग्री के अनुरूप हैं - नेवियर-स्टोक्स समीकरण  [[ दबाव ]] के जवाब में  [[ गति ]] ( [[ बल ]]) में परिवर्तन का वर्णन करते हैं। <math>P </math> and viscosity, parameterized by the [[kinematic viscosity]] <math>\nu </math> यहाँ। कभी-कभी,  [[ शरीर बल ]] s, जैसे गुरुत्वाकर्षण बल या लोरेंत्ज़ बल को समीकरणों में जोड़ा जाता है।
+ये विभेदक समीकरण न्यूटन के कणों के गति के समीकरणों के लिए विकृत सामग्री के अनुरूप हैं - नेवियर-स्टोक्स समीकरण [[:hi:दाब|दबाव]] के जवाब में [[:hi:संवेग (भौतिकी)|गति]] ( [[:hi:बल (भौतिकी)|बल]] ) में परिवर्तन का वर्णन करते हैं। <math>P </math> और चिपचिपापन, [[:hi:श्यानता|किनेमेटिक चिपचिपाहट]] द्वारा पैरामीटर किया गया <math>\nu </math> यहां। कभी-कभी, [[:hi:शारीरिक बल|शरीर बल]], जैसे गुरुत्वाकर्षण बल या लोरेंत्ज़ बल को समीकरणों में जोड़ा जाता है।
-किसी दी गई भौतिक समस्या के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान  [[ कैलकुलस ]] की सहायता से प्राप्त किए जाने चाहिए। व्यावहारिक रूप से, केवल सबसे सरल मामलों को इस तरह से हल किया जा सकता है। इन मामलों में आम तौर पर गैर-अशांत, स्थिर प्रवाह शामिल होता है जिसमें  [[ रेनॉल्ड्स संख्या ]] छोटा होता है। अधिक जटिल मामलों के लिए, विशेष रूप से वे जिनमें  [[ अशांति ]] शामिल हैं, जैसे कि वैश्विक मौसम प्रणाली, वायुगतिकी, हाइड्रोडायनामिक्स और कई अन्य, नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान वर्तमान में केवल कंप्यूटर की मदद से पाए जा सकते हैं। विज्ञान की इस शाखा को  [[ कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी ]] . कहा जाता है<ref>एंडरसन, जे.डी., और वेंड्ट, जे. (1995)। कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी (वॉल्यूम 206)। न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल</ref><ref>चुंग, टीजे (2010)। अभिकलनात्मक जटिलता द्रव गतिकी। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस</ref><ref>ब्लेज़ेक, जे। (2015)। कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी: सिद्धांत और अनुप्रयोग। बटरवर्थ-हेनमैन</ref><ref>वेसेलिंग, पी. (2009)। कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी के सिद्धांत (वॉल्यूम 29)। स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया</ref><ref>एंडरसन, डी., तन्नेहिल, जे.सी., और प्लाचर, आर.एच. (2016)। कम्प्यूटेशनल द्रव यांत्रिकी और गर्मी हस्तांतरण। टेलर और फ्रांसिस</ref>
+किसी भौतिक समस्या के लिए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के हल [[:hi:कलन|कैलकुलस]] की सहायता से प्राप्त किए जाने चाहिए। व्यावहारिक रूप से, केवल सबसे सरल मामलों को इस तरह से हल किया जा सकता है। इन मामलों में आम तौर पर गैर-अशांत, स्थिर प्रवाह शामिल होता है जिसमें [[:hi:रेनाल्ड संख्या|रेनॉल्ड्स संख्या]] छोटी होती है। अधिक जटिल मामलों के लिए, विशेष रूप से वे जिनमें [[:hi:प्रक्षुब्ध प्रवाह|अशांति]] शामिल है, जैसे कि वैश्विक मौसम प्रणाली, वायुगतिकी, हाइड्रोडायनामिक्स और कई अन्य, नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान वर्तमान में केवल कंप्यूटर की मदद से ही खोजे जा सकते हैं। विज्ञान की इस शाखा को [[:hi:अभिकलनात्मक तरल यांत्रिकी|कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी]] कहा जाता है। <ref>Anderson, J. D., & Wendt, J. (1995).</ref> <ref>Chung, T. J. (2010).</ref> <ref>Blazek, J. (2015).</ref> <ref>Wesseling, P. (2009).</ref> <ref>Anderson, D., Tannehill, J. C., & Pletcher, R. H. (2016).</ref>
 ==अदृश्य और चिपचिपा तरल पदार्थ==
-एक '''अदृश्य द्रव''' में  [[ श्यानता ]] नहीं होती है, <math>\nu=0 </math>. व्यवहार में, एक अदृश्य प्रवाह एक  [[ आदर्श द्रव |  आदर्शीकरण ]] है, जो गणितीय उपचार की सुविधा प्रदान करता है। वास्तव में, विशुद्ध रूप से अस्पष्ट प्रवाह केवल  [[ सुपरफ्लुइडिटी ]] के मामले में ही महसूस किए जाने के लिए जाना जाता है। अन्यथा, तरल पदार्थ आम तौर पर ''' चिपचिपा ''' होते हैं, एक संपत्ति जो एक ठोस सतह के पास  [[ सीमा परत ]] के भीतर अक्सर सबसे महत्वपूर्ण होती है<ref>{{cite book |last1=Kundu |first1=Pijush K. |last2=Cohen |first2=Ira M. |last3=Dowling |first3=David R. |title=Fluid Mechanics |publisher=Academic Press |isbn=978-0124059351 |edition=6th |chapter=10|date=27 March 2015 }}</ref> जहां प्रवाह ठोस पर  [[ नो-स्लिप स्थिति ]] से मेल खाना चाहिए। कुछ मामलों में, एक द्रव यांत्रिक प्रणाली के गणित का इलाज यह मानकर किया जा सकता है कि सीमा परतों के बाहर तरल पदार्थ अस्पष्ट है, और फिर  [[ मिलान किए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार की विधि |  मिलान ]] इसका समाधान उस पर एक पतली  [[ लामिना प्रवाह के लिए |  लामिना ]] सीमा परत।
+एक '''अदृश्य तरल पदार्थ''' में कोई [[:hi:श्यानता|चिपचिपाहट]] नहीं होती है, <math>\nu=0 </math> . व्यवहार में, एक अदृश्य प्रवाह एक [[:hi:आदर्श तरल|आदर्शीकरण]] है, जो गणितीय उपचार की सुविधा प्रदान करता है। वास्तव में, विशुद्ध रूप से अदृश्य प्रवाह केवल [[:hi:अति तरलता|अतिप्रवाह]] के मामले में ही महसूस किए जाने के लिए जाना जाता है। अन्यथा, तरल पदार्थ आमतौर पर '''चिपचिपा''' होते हैं, एक संपत्ति जो अक्सर एक ठोस सतह के पास एक [[:hi:परिसीमा स्तर|सीमा परत]] के भीतर सबसे महत्वपूर्ण होती है, <ref>{{Cite book|last=Kundu|first=Pijush K.|last2=Cohen|first2=Ira M.|last3=Dowling|first3=David R.|title=Fluid Mechanics|publisher=Academic Press|isbn=978-0124059351|edition=6th|chapter=10|date=27 March 2015}}</ref> जहां प्रवाह ठोस पर [[:hi:नो-स्लिप कंडीशन|नो-स्लिप स्थिति]] से मेल खाना चाहिए। कुछ मामलों में, एक द्रव यांत्रिक प्रणाली के गणित का इलाज यह मानकर किया जा सकता है कि सीमा परतों के बाहर का द्रव अदृश्य है, और फिर एक पतली [[:hi:पटलीय प्रवाह|लामिना]] सीमा परत के लिए उस पर इसके समाधान का [[:hi:मिलान किए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार की विधि|मिलान]] कर रहा है।
-एक झरझरा सीमा पर द्रव प्रवाह के लिए, द्रव वेग मुक्त द्रव और छिद्रपूर्ण मीडिया में तरल पदार्थ के बीच असंतत हो सकता है (यह बीवर और जोसेफ की स्थिति से संबंधित है)। इसके अलावा, यह कम  [[ ध्वनि की गति |  सबसोनिक ]] गति पर उपयोगी है, यह मानने के लिए कि गैस  [[ असंपीड्य द्रव |  असंपीड्य ]] है-अर्थात, गति और  [[ स्थिर दबाव ]] परिवर्तन के बावजूद गैस का घनत्व नहीं बदलता है।
+एक झरझरा सीमा पर द्रव प्रवाह के लिए, द्रव का वेग मुक्त द्रव और झरझरा मीडिया में द्रव के बीच असंतत हो सकता है (यह बीवर और जोसेफ की स्थिति से संबंधित है)। इसके अलावा, कम [[:hi:ध्वनि का वेग|सबसोनिक]] गति पर यह मान लेना उपयोगी है कि गैस [[:hi:असंपीड्य द्रव|असंपीड्य]] है - अर्थात, गति और [[:hi:स्थिर दबाव|स्थिर दबाव]] में परिवर्तन होने पर भी गैस का घनत्व नहीं बदलता है।
 == न्यूटोनियन बनाम गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ ==
-ए ''' न्यूटनियन द्रव ''' ( [[ आइजैक न्यूटन ]] के नाम पर) को  [[ द्रव ]] के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका  [[ कतरनी तनाव ]]  [[ वेग ]]  [[ ढाल ]] के लिए  [[ लंबवत ]] की दिशा में रैखिक रूप से आनुपातिक है। इस परिभाषा का अर्थ है कि द्रव पर कार्य करने वाले बलों की परवाह किए बिना, यह 'बहता रहता है'। उदाहरण के लिए, पानी एक न्यूटोनियन तरल है, क्योंकि यह द्रव गुणों को प्रदर्शित करना जारी रखता है चाहे इसे कितना भी हिलाया या मिलाया जाए। थोड़ी कम कठोर परिभाषा यह है कि एक छोटी वस्तु का  [[ ड्रैग (भौतिकी) |  ड्रैग ]] द्रव के माध्यम से धीरे-धीरे स्थानांतरित किया जा रहा है, वस्तु पर लागू बल के समानुपाती होता है। ( [[ घर्षण ]] की तुलना करें)। महत्वपूर्ण तरल पदार्थ, जैसे पानी के साथ-साथ अधिकांश गैसें, पृथ्वी पर सामान्य परिस्थितियों में एक न्यूटनियन तरल पदार्थ के रूप में - अच्छे सन्निकटन के लिए व्यवहार करती हैं।{{r|Batchelor1967|p=145}}
+एक '''न्यूटनियन तरल पदार्थ''' ( [[:hi:आइज़क न्यूटन|आइजैक न्यूटन]] के नाम पर) को एक [[:hi:तरल|तरल पदार्थ]] के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका [[:hi:अपरूपण तनाव|कतरनी तनाव कतरनी]] के विमान के [[:hi:लम्बवत|लंबवत]] दिशा में [[:hi:वेग|वेग]] [[:hi:ढाल|ढाल]] के रैखिक रूप से आनुपातिक होता है। इस परिभाषा का अर्थ है कि द्रव पर कार्य करने वाले बलों की परवाह किए बिना, यह ''प्रवाहित रहता है'' । उदाहरण के लिए, पानी एक न्यूटोनियन तरल है, क्योंकि यह द्रव गुणों को प्रदर्शित करना जारी रखता है चाहे इसे कितना भी हिलाया या मिलाया जाए। थोड़ी कम कठोर परिभाषा यह है कि द्रव के माध्यम से धीरे-धीरे स्थानांतरित होने वाली छोटी वस्तु का [[:hi:कर्षण (भौतिकी)|ड्रैग]] वस्तु पर लागू बल के समानुपाती होता है। ( [[:hi:घर्षण|घर्षण]] की तुलना करें)। महत्वपूर्ण तरल पदार्थ, जैसे पानी के साथ-साथ अधिकांश गैसें, पृथ्वी पर सामान्य परिस्थितियों में एक न्यूटनियन तरल पदार्थ के रूप में-अच्छे सन्निकटन के रूप में व्यवहार करती हैं। {{R|Batchelor1967}}
+इसके विपरीत, एक [[:hi:गैर-न्यूटोनियन द्रव|गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ]] को हिलाने से एक "छेद" पीछे रह सकता है। यह धीरे-धीरे समय के साथ भर जाएगा—यह व्यवहार हलवा, [[:hi:गैर-न्यूटोनियन द्रव|ओबलेक]] या [[:hi:बालू|रेत]] जैसी सामग्रियों में देखा जाता है (हालांकि रेत सख्ती से तरल नहीं है)। वैकल्पिक रूप से, एक गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ को हिलाने से चिपचिपाहट कम हो सकती है, इसलिए द्रव "पतला" दिखाई देता है (यह गैर-ड्रिप [[:hi:पेंट|पेंट]] में देखा जाता है)। कई प्रकार के गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ होते हैं, क्योंकि उन्हें कुछ ऐसा परिभाषित किया जाता है जो किसी विशेष संपत्ति का पालन करने में विफल रहता है-उदाहरण के लिए, लंबी आणविक श्रृंखला वाले अधिकांश तरल पदार्थ गैर-न्यूटोनियन तरीके से प्रतिक्रिया कर सकते हैं। {{R|Batchelor1967}}
-इसके विपरीत,  [[ गैर-न्यूटोनियन द्रव ]] को हिलाने से एक छेद पीछे रह सकता है। यह धीरे-धीरे समय के साथ भर जाएगा—यह व्यवहार पुडिंग,  [[ गैर-न्यूटोनियन द्रव#ओब्लेक |  ओबलेक ]], या  [[ रेत ]] (हालांकि रेत सख्ती से तरल नहीं है) जैसी सामग्रियों में देखा जाता है। वैकल्पिक रूप से, एक गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ को हिलाने से चिपचिपाहट कम हो सकती है, इसलिए द्रव पतला दिखाई देता है (यह गैर-ड्रिप  [[ पेंट ]] एस में देखा जाता है)। कई प्रकार के गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ होते हैं, क्योंकि उन्हें कुछ ऐसा परिभाषित किया जाता है जो किसी विशेष संपत्ति का पालन करने में विफल रहता है-उदाहरण के लिए, लंबी आणविक श्रृंखला वाले अधिकांश तरल पदार्थ गैर-न्यूटोनियन तरीके से प्रतिक्रिया कर सकते हैं{{r|Batchelor1967|p=145}}
 === न्यूटनियन द्रव के लिए समीकरण ===
-{{main|Newtonian fluid}}
+चिपचिपा तनाव टेंसर और वेग ढाल के बीच आनुपातिकता की निरंतरता को [[:hi:श्यानता|चिपचिपाहट]] के रूप में जाना जाता है। असम्पीडित न्यूटोनियन द्रव व्यवहार का वर्णन करने के लिए एक सरल समीकरण है<math>\tau = -\mu\frac{dv}{dn}</math>
-चिपचिपा तनाव टेंसर और वेग ढाल के बीच आनुपातिकता की निरंतरता को  [[ चिपचिपापन ]] के रूप में जाना जाता है। असम्पीडित न्यूटोनियन द्रव व्यवहार का वर्णन करने के लिए एक सरल समीकरण है<math>\tau = -\mu\frac{dv}{dn}</math>
-कहाँ पे<math>\tau</math> द्रव द्वारा लगाया गया अपरूपण प्रतिबल है ( [[ ड्रैग (भौतिकी) |  ड्रैग ]])<math>\mu</math> द्रव चिपचिपापन है - आनुपातिकता का एक स्थिरांक<math>\frac{dv}{dn}</math> अपरूपण की दिशा के लंबवत वेग प्रवणता है।
+कहाँ पे<math>\tau</math> द्रव द्वारा लगाया गया अपरूपण प्रतिबल है (   ड्रैग )<math>\mu</math> द्रव चिपचिपापन है - आनुपातिकता का एक स्थिरांक<math>\frac{dv}{dn}</math> अपरूपण की दिशा के लंबवत वेग प्रवणता है।
-न्यूटोनियन द्रव के लिए, चिपचिपाहट, परिभाषा के अनुसार, केवल  [[ तापमान ]] पर निर्भर करती है, न कि उस पर कार्य करने वाले बलों पर। यदि द्रव  [[ असंपीड्य द्रव |  असंपीड्य ]] है तो श्यान तनाव को नियंत्रित करने वाला समीकरण ( [[ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली |  कार्टेशियन निर्देशांक ]] में) है<math>\tau_{ij} = \mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) = \mu\partial_{(i}v_{j)}</math>
+न्यूटोनियन द्रव के लिए, चिपचिपाहट, परिभाषा के अनुसार, केवल   तापमान  पर निर्भर करती है, न कि उस पर कार्य करने वाले बलों पर। यदि द्रव    असंपीड्य  है तो श्यान तनाव को नियंत्रित करने वाला समीकरण (   कार्टेशियन निर्देशांक  में) है<math>\tau_{ij} = \mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j}+\frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) = \mu\partial_{(i}v_{j)}</math>
 कहाँ पे<math>\tau_{ij}</math> is the shear stress on the <math>i^{th}</math> face of a fluid element in the <math>j^{th}</math> दिशा<math>v_i</math> is the velocity in the <math>i^{th}</math> दिशा<math>x_j</math> is the <math>j^{th}</math> दिशा समन्वय।
 यदि द्रव असंपीड्य नहीं है तो न्यूटनियन द्रव में श्यान दबाव का सामान्य रूप है<math>\tau_{ij} = \mu \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} - \frac{2}{3} \delta_{ij} \nabla \cdot \mathbf{v} \right) + \kappa \delta_{ij} \nabla \cdot \mathbf{v} </math>
-कहाँ पे <math> \kappa </math> दूसरा चिपचिपापन गुणांक (या थोक चिपचिपाहट) है। यदि कोई द्रव इस संबंध का पालन नहीं करता है, तो उसे  [[ गैर-न्यूटोनियन द्रव ]] कहा जाता है, जिसके कई प्रकार होते हैं। गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ या तो प्लास्टिक, बिंघम प्लास्टिक, स्यूडोप्लास्टिक, डिलेटेंट, थिक्सोट्रोपिक, रियोपेक्टिक, विस्कोलेस्टिक हो सकते हैं।
+कहाँ पे <math> \kappa </math> दूसरा चिपचिपापन गुणांक (या थोक चिपचिपाहट) है। यदि कोई द्रव इस संबंध का पालन नहीं करता है, तो उसे   गैर-न्यूटोनियन द्रव  कहा जाता है, जिसके कई प्रकार होते हैं। गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ या तो प्लास्टिक, बिंघम प्लास्टिक, स्यूडोप्लास्टिक, डिलेटेंट, थिक्सोट्रोपिक, रियोपेक्टिक, विस्कोलेस्टिक हो सकते हैं।
-कुछ अनुप्रयोगों में, तरल पदार्थों के बीच एक और मोटा व्यापक विभाजन किया जाता है: आदर्श और गैर-आदर्श तरल पदार्थ। एक आदर्श द्रव गैर-चिपचिपा होता है और एक कतरनी बल के लिए कोई प्रतिरोध नहीं करता है। एक आदर्श द्रव वास्तव में मौजूद नहीं है, लेकिन कुछ गणनाओं में, धारणा उचित है। इसका एक उदाहरण ठोस सतहों से दूर प्रवाह है। कई मामलों में, चिपचिपा प्रभाव ठोस सीमाओं (जैसे सीमा परतों में) के पास केंद्रित होता है, जबकि प्रवाह क्षेत्र के क्षेत्रों में सीमाओं से दूर चिपचिपा प्रभावों को उपेक्षित किया जा सकता है और वहां के तरल पदार्थ को अदृश्य (आदर्श) के रूप में माना जाता है। बहे)। जब चिपचिपाहट की उपेक्षा की जाती है, तो शब्द चिपचिपा तनाव टेंसर युक्त होता है <math> \mathbf{\tau} </math> नेवियर-स्टोक्स समीकरण गायब हो जाता है। इस रूप में घटाया गया समीकरण  [[ Euler_equations_(fluid_dynamics) |  Euler समीकरण ]] कहलाता है।
-==See also==
+कुछ अनुप्रयोगों में, तरल पदार्थों के बीच एक और मोटा व्यापक विभाजन किया जाता है: आदर्श और गैर-आदर्श तरल पदार्थ। एक आदर्श द्रव गैर-चिपचिपा होता है और कतरनी बल के लिए कोई प्रतिरोध नहीं करता है। एक आदर्श द्रव वास्तव में मौजूद नहीं है, लेकिन कुछ गणनाओं में, धारणा उचित है। इसका एक उदाहरण ठोस सतहों से दूर प्रवाह है। कई मामलों में, चिपचिपा प्रभाव ठोस सीमाओं (जैसे सीमा परतों में) के पास केंद्रित होता है, जबकि प्रवाह क्षेत्र के क्षेत्रों में सीमाओं से दूर चिपचिपा प्रभाव उपेक्षित किया जा सकता है और वहां के तरल पदार्थ को अदृश्य (आदर्श) के रूप में माना जाता है। बहे)। जब चिपचिपाहट की उपेक्षा की जाती है, तो शब्द चिपचिपा तनाव टेंसर युक्त होता है <math> \mathbf{\tau} </math> नेवियर-स्टोक्स समीकरण गायब हो जाता है। इस रूप में घटाए गए समीकरण को [[:hi:यूलर समीकरण (द्रव गतिकी)|यूलर समीकरण]] कहा जाता है।
-{{portal|Physics}}
-*[[Aerodynamics]]
-*[[Applied mechanics]]
-*[[Bernoulli's principle]]
-*[[Communicating vessels]]
-*[[Computational fluid dynamics]]
-*[[Compressor map]]
-*[[Secondary flow]]
-*[[Different types of boundary conditions in fluid dynamics]]
 == References ==

v t e भौतिकी की शाखाएँ
प्रभागों	शुद्ध लागू इंजीनियरिंग
दृष्टिकोण	प्रायोगिक सैद्धांतिक कम्प्यूटेशनल
शास्त्रीय	शास्त्रीय यांत्रिकी न्यूटोनियन विश्लेषणात्मक खगोलीय कॉन्टिनम ध्वनिकी शास्त्रीय इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म शास्त्रीय प्रकाशिकी रे लहर थर्मोडायनामिक्स सांख्यिकीय गैर-संतुलन
आधुनिक	सापेक्ष यांत्रिकी विशेष सामान्य परमाणु भौतिकी क्वांटम यांत्रिकी कण भौतिकी परमाणु, आणविक, और ऑप्टिकल भौतिकी परमाणु आणविक आधुनिक ऑप्टिक्स संघनित पदार्थ भौतिकी
अंतःविषय	खगोल भौतिकी वायुमंडलीय भौतिकी बायोफिज़िक्स रासायनिक भौतिकी भूभौतिकी पदार्थ विज्ञान गणितीय भौतिकी चिकित्सा भौतिकी महासागर भौतिकी क्वांटम सूचना विज्ञान
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संक्षिप्त इतिहास

मुख्य शाखाएं

द्रव स्टैटिक्स

द्रव गतिकी

सातत्य यांत्रिकी से संबंध

धारणाएं

नेवियर-स्टोक्स समीकरण

अदृश्य और चिपचिपा तरल पदार्थ

न्यूटोनियन बनाम गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ

न्यूटनियन द्रव के लिए समीकरण

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तरल यांत्रिकी: Difference between revisions

Revision as of 13:28, 3 June 2022

संक्षिप्त इतिहास

मुख्य शाखाएं

द्रव स्टैटिक्स

द्रव गतिकी

सातत्य यांत्रिकी से संबंध

धारणाएं

नेवियर-स्टोक्स समीकरण

अदृश्य और चिपचिपा तरल पदार्थ

न्यूटोनियन बनाम गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ

न्यूटनियन द्रव के लिए समीकरण

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