फेनमैन आरेख

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यूक्लिडियन अदिश प्रसारक का एक विचारोत्तेजक प्रतिनिधित्व है:${\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau$

इस पहचान का अर्थ (जो एक प्राथमिक एकीकरण है) फूरियर को वास्तविक स्थान में बदलने से स्पष्ट हो जाता है।$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}$

Feynmann Diagram Gluon Radiation

के किसी एक मूल्य पर योगदान τ प्रसारक के लिए चौड़ाई का गाऊसी है √τ. 0 से . तक कुल प्रसार कार्य x सभी उचित समयों पर भारित योग है τ एक सामान्यीकृत गाऊसी के, पर समाप्त होने की प्रायिकता x समय के एक यादृच्छिक चलने के बाद τ.

प्रचारक के लिए पथ-अभिन्न प्रतिनिधित्व तब है:$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}$

जो श्विंगर प्रतिनिधित्व का पथ-अभिन्न पुनर्लेखन है।

श्विंगर का प्रतिनिधित्व प्रोपेगेटर के कण पहलू को प्रकट करने के लिए और लूप आरेखों के सममित हर के लिए उपयोगी है।

हर को मिलाना

श्विंगर प्रतिनिधित्व में लूप आरेखों के लिए तत्काल व्यावहारिक अनुप्रयोग है। उदाहरण के लिए, में आरेख के लिए φ⁴ दो को मिलाने से बना सिद्धांत xदो अर्ध-पंक्तियों में एक साथ, और शेष रेखाओं को बाहरी बनाते हुए, लूप में आंतरिक प्रसारकों पर अभिन्न है:

$\int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.$

यहाँ एक पंक्ति गति करती है k और दूसरा k + p. श्विंगर प्रतिनिधित्व में सब कुछ डालकर विषमता को ठीक किया जा सकता है।$\int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.$

अब घातांक अधिकतर निर्भर करता है t + t′,$\int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,$

असममित थोड़ा सा छोड़कर। चर को परिभाषित करना u = टी + टी′ और v = t′/u, चर u 0 से तक जाता है ∞, जबकि v 0 से 1 तक जाता है। चर u लूप के लिए कुल उचित समय है, जबकि v लूप के शीर्ष बनाम नीचे के उचित समय के अंश को पैरामीट्रिज़ करता है।

  जैकोबियन चर के इस परिवर्तन के लिए पहचान से काम करना आसान है:$d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,$

और वेडिंग देता है$u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,$.

यह अनुमति देता है u स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करने के लिए अभिन्न:$\int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv$

केवल छोड़ रहा है v-अभिन्न। श्विंगर द्वारा आविष्कार की गई इस विधि को आमतौर पर फेनमैन के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, इसे संयोजन हर कहा जाता है। संक्षेप में, यह प्राथमिक पहचान है:${\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv$

लेकिन यह रूप परिचय के लिए शारीरिक प्रेरणा प्रदान नहीं करता है v; v लूप के किसी एक पैर पर उचित समय का अनुपात है।

एक बार जब हरों को जोड़ दिया जाता है, तो इसमें बदलाव होता है k को k′ = k + vp सब कुछ सममित करता है:$\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv$

यह रूप दर्शाता है कि जिस क्षण p² लूप में कण के द्रव्यमान के चार गुना से अधिक नकारात्मक है, जो लोरेंत्ज़ स्पेस के भौतिक क्षेत्र में होता है, इंटीग्रल में एक कट होता है। यह ठीक उसी समय होता है जब बाहरी संवेग भौतिक कण बना सकता है।

जब लूप में अधिक कोने होते हैं, तो गठबंधन करने के लिए अधिक भाजक होते हैं:$\int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}$

सामान्य नियम के लिए Schwinger नुस्खे से अनुसरण किया जाता है n + 1 हर:${\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.$

श्विंगर मापदंडों पर अभिन्न u_i कुल उचित समय में पहले की तरह एक अभिन्न में विभाजित किया जा सकता है u = u₀ + u₁ ... + u_n और एक इंटीग्रल ओवर लूप के पहले खंड को छोड़कर सभी में उचित समय का अंश v_i = u_i/u के लिए i ∈ {1,2,...,n}. v_i सकारात्मक हैं और 1 से कम जोड़ दें, ताकि v अभिन्न एक खत्म हो गया है n-आयामी सिंप्लेक्स।

समन्वय परिवर्तन के लिए जैकोबियन पहले की तरह काम किया जा सकता है:$du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,$ $d(uv_{i})=du_{i}\,.$

इन सभी समीकरणों को जोड़नाईथर, एक प्राप्त करता है$u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.$

यह अभिन्न देता है:$\int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,$

जहां सिंप्लेक्स शर्तों द्वारा परिभाषित क्षेत्र है$v_{i}>0\quad {\mbox{and}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1$ साथ ही$v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.$ प्रदर्शन करना u अभिन्न हरों के संयोजन के लिए सामान्य नुस्खा देता है:${\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}$

चूंकि इंटीग्रैंड का अंश शामिल नहीं है, वही नुस्खा किसी भी लूप के लिए काम करता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैरों द्वारा स्पिन क्या किया जाता है। मापदंडों की व्याख्या v_i यह है कि वे प्रत्येक पैर पर बिताए गए कुल उचित समय का अंश हैं।

बिखरना

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के सहसंबंध कार्य कणों के प्रकीर्णन का वर्णन करते हैं। सापेक्षतावादी क्षेत्र सिद्धांत में कण की परिभाषा स्वयं स्पष्ट नहीं है, क्योंकि यदि आप स्थिति को निर्धारित करने का प्रयास करते हैं ताकि अनिश्चितता कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य से कम हो, तो ऊर्जा में अनिश्चितता अधिक कणों और एंटीपार्टिकल्स का उत्पादन करने के लिए पर्याप्त है। वैक्यूम से एक ही प्रकार। इसका मतलब यह है कि एकल-कण अवस्था की धारणा कुछ हद तक अंतरिक्ष में स्थानीयकृत वस्तु की धारणा के साथ असंगत है।

1930 के दशक में, विग्नर ने एकल-कण राज्यों के लिए एक गणितीय परिभाषा दी: वे राज्यों का एक संग्रह है जो पोंकारे समूह का एक अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व करते हैं। एकल कण राज्य एक वस्तु का वर्णन एक सीमित द्रव्यमान, एक अच्छी तरह से परिभाषित गति और एक स्पिन के साथ करते हैं। यह परिभाषा प्रोटॉन और न्यूट्रॉन, इलेक्ट्रॉनों और फोटॉनों के लिए ठीक है, लेकिन इसमें क्वार्क शामिल नहीं हैं, जो स्थायी रूप से सीमित हैं, इसलिए आधुनिक दृष्टिकोण अधिक अनुकूल है: एक कण कुछ भी है जिसकी बातचीत को फेनमैन आरेखों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, जो कि कण प्रक्षेपवक्र पर योग के रूप में एक व्याख्या।

एक फ़ील्ड ऑपरेटर निर्वात से एक-कण अवस्था उत्पन्न करने के लिए कार्य कर सकता है, जिसका अर्थ है कि फ़ील्ड ऑपरेटर φ(x) विग्नर कण राज्यों का एक सुपरपोजिशन पैदा करता है। मुक्त क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र केवल एक कण अवस्था उत्पन्न करता है। लेकिन जब परस्पर क्रिया होती है, तो फील्ड ऑपरेटर 3-कण, 5-कण (यदि कोई +/− समरूपता नहीं है तो 2, 4, 6 कण) भी उत्पन्न कर सकता है। एकल कण राज्यों के लिए प्रकीर्णन आयाम की गणना करने के लिए केवल एक सावधानीपूर्वक सीमा की आवश्यकता होती है, क्षेत्रों को अनंत तक भेजना और उच्च-क्रम सुधारों से छुटकारा पाने के लिए अंतरिक्ष को एकीकृत करना।

प्रकीर्णन और सहसंबंध फलनों के बीच संबंध LSZ-प्रमेय है: के लिए प्रकीर्णन आयाम n जाने के लिए कण m एक प्रकीर्णन घटना में कणों को फेनमैन आरेखों के योग द्वारा दिया जाता है जो के लिए सहसंबंध समारोह में जाते हैं n + m क्षेत्र सम्मिलन, बाहरी पैरों के लिए प्रसारकों को छोड़कर।

उदाहरण के लिए, के लिए λφ⁴ पिछले खंड की बातचीत, आदेश λ (लोरेंत्ज़) सहसंबंध समारोह में योगदान है:$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,$

बाहरी प्रचारकों को अलग करना, अर्थात्, के कारकों को हटाना i/k², अपरिवर्तनीय प्रकीर्णन आयाम देता है M:$M=i\lambda \,$

जो आवक और जावक गति से एक स्थिर, स्वतंत्र है। प्रकीर्णन आयाम की व्याख्या यह है कि का योग |M|² सभी संभावित अंतिम अवस्थाओं में बिखरने की घटना की संभावना है। एकल-कण अवस्थाओं के सामान्यीकरण को सावधानीपूर्वक चुना जाना चाहिए, हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि M एक सापेक्षतावादी अपरिवर्तनीय है।

गैर-सापेक्ष एकल कण अवस्थाओं को संवेग द्वारा लेबल किया जाता है k, और उन्हें . के प्रत्येक मान पर समान मानदंड रखने के लिए चुना जाता है k. ऐसा इसलिए है क्योंकि सिंगल पार्टिकल स्टेट्स पर नॉन-रिलेटिविस्टिक यूनिट ऑपरेटर है:$\int dk\,|k\rangle \langle k|\,.$

सापेक्षता में, पर अभिन्न kद्रव्यमान m के एक कण के लिए -स्टेट्स एक हाइपरबोला पर एकीकृत होता है E,k ऊर्जा-गति संबंध द्वारा परिभाषित स्थान:$E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.$

अगर इंटीग्रल का वजन प्रत्येक k बिंदु समान रूप से, माप लोरेंत्ज़-अपरिवर्तनीय नहीं है। अपरिवर्तनीय माप . के सभी मूल्यों पर एकीकृत होता है k और E, लोरेंत्ज़-इनवेरिएंट डेल्टा फ़ंक्शन के साथ हाइपरबोला तक सीमित:

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "क" found.in 1:108"): {\displaystyle \int \delta(E^2-k^2 - m^2) | E,k\rangle\langle E,k | \, dE\, dk = \int {dk \over 2 E} | कश्मीर\रंगले\लैंग के | \,.}

तो सामान्यीकृत k-राज्य सापेक्षिक रूप से सामान्यीकृत से भिन्न हैं k-राज्यों के एक कारक द्वारा${\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.$

अपरिवर्तनीय आयाम M तब सापेक्षिक रूप से सामान्यीकृत आने वाले राज्यों के लिए सापेक्ष रूप से सामान्यीकृत आउटगोइंग राज्य बनने की संभावना आयाम है।

के गैर-सापेक्ष मूल्यों के लिए k, सापेक्षतावादी सामान्यीकरण गैर-सापेक्ष सामान्यीकरण के समान है (एक स्थिर कारक तक √m). इस सीमा में, φ⁴ अपरिवर्तनीय प्रकीर्णन आयाम अभी भी स्थिर है। क्षेत्र द्वारा बनाए गए कण φ समान आयाम के साथ सभी दिशाओं में बिखराव।

गैर-सापेक्ष क्षमता, जो सभी दिशाओं में एक समान आयाम ( में जन्मे सन्निकटन में) के साथ बिखरती है, वह है जिसका फूरियर रूपांतरण स्थिर है - एक डेल्टा-फ़ंक्शन क्षमता। सिद्धांत के निम्नतम क्रम के बिखरने से इस सिद्धांत की गैर-सापेक्ष व्याख्या का पता चलता है - यह एक डेल्टा-फ़ंक्शन प्रतिकर्षण के साथ कणों के संग्रह का वर्णन करता है। ऐसे दो कणों को एक ही समय में एक ही बिंदु पर कब्जा करने का विरोध होता है।

गैर-परेशान प्रभाव

फेनमैन आरेखों को एक गड़बड़ी के रूप में सोचकर श्रृंखला , टनलिंग जैसे गैर-प्रभावकारी प्रभाव दिखाई नहीं देते हैं, क्योंकि कोई भी प्रभाव जो किसी भी बहुपद की तुलना में तेजी से शून्य हो जाता है, टेलर श्रृंखला को प्रभावित नहीं करता है। यहां तक ​​​​कि बाध्य राज्य भी अनुपस्थित हैं, क्योंकि किसी भी सीमित क्रम में कणों का केवल एक सीमित संख्या में आदान-प्रदान होता है, और एक बाध्य राज्य बनाने के लिए, बाध्यकारी बल हमेशा के लिए रहना चाहिए।

लेकिन यह दृष्टिकोण भ्रामक है, क्योंकि आरेख न केवल बिखरने का वर्णन करते हैं, बल्कि वे कम दूरी के क्षेत्र सिद्धांत सहसंबंधों का भी प्रतिनिधित्व करते हैं। वे न केवल कण बिखरने जैसी स्पर्शोन्मुख प्रक्रियाओं को सांकेतिक शब्दों में बदलना करते हैं, वे क्षेत्रों के लिए गुणन नियमों का भी वर्णन करते हैं, ऑपरेटर उत्पाद विस्तार । नॉनपरटर्बेटिव टनलिंग प्रक्रियाओं में फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन शामिल होते हैं जो औसतन बड़े हो जाते हैं जब युग्मन स्थिरांक छोटा हो जाता है, लेकिन प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन सुसंगत कणों का सुपरपोजिशन होता है जिनकी स्थानीय बातचीत फेनमैन आरेखों द्वारा वर्णित की जाती है। जब युग्मन छोटा होता है, तो ये सामूहिक प्रक्रियाएं बन जाती हैं जिनमें बड़ी संख्या में कण शामिल होते हैं, लेकिन जहां प्रत्येक कण के बीच की बातचीत सरल होती है। (किसी भी अंतःक्रियात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की गड़बड़ी श्रृंखला में अभिसरण ]] का शून्य [[ त्रिज्या है, जो इस तरह के क्षेत्र विन्यास का वर्णन करने के लिए आवश्यक आरेखों की अनंत श्रृंखला (लुप्तप्राय युग्मन की सीमा में) की सीमा को जटिल बनाता है।)

इसका मतलब यह है कि आरेखों के अनंत वर्गों के पुनर्मूल्यांकन में गैर-विघटनकारी प्रभाव स्पर्शोन्मुख रूप से दिखाई देते हैं, और ये आरेख स्थानीय रूप से सरल हो सकते हैं। रेखांकन गति के स्थानीय समीकरणों को निर्धारित करते हैं, जबकि अनुमत बड़े पैमाने पर विन्यास गैर-परेशान भौतिकी का वर्णन करते हैं। लेकिन क्योंकि फेनमैन प्रचारक समय में गैर-स्थानीय हैं, एक क्षेत्र प्रक्रिया को एक सुसंगत कण भाषा में अनुवाद करना पूरी तरह से सहज नहीं है, और केवल कुछ विशेष मामलों में ही स्पष्ट रूप से काम किया गया है। गैर-सापेक्षवादी बाध्य अवस्था एस के मामले में, बेथे-साल्पीटर समीकरण एक सापेक्षतावादी परमाणु का वर्णन करने के लिए आरेखों के वर्ग का वर्णन करता है। क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के लिए, शिफमैन-वेनशेटिन-ज़खारोव योग नियम कण भाषा में गैर-परेशान रूप से उत्तेजित लंबी-तरंग दैर्ध्य क्षेत्र मोड का वर्णन करते हैं, लेकिन केवल एक घटनात्मक तरीके से।

गड़बड़ी सिद्धांत के उच्च क्रम पर फेनमैन आरेखों की संख्या बहुत बड़ी है, क्योंकि कई आरेख हैं क्योंकि दिए गए नोड्स के साथ ग्राफ़ हैं। गैर-परेशान प्रभाव उस रास्ते पर एक हस्ताक्षर छोड़ते हैं जिसमें उच्च क्रम पर आरेखों और पुनर्मूल्यांकन की संख्या अलग हो जाती है। यह केवल इसलिए है क्योंकि आरेखों में छिपे हुए रूप में गैर-परेशान प्रभाव दिखाई देते हैं कि स्ट्रिंग सिद्धांत में गैर-परेशान प्रभावों का विश्लेषण करना संभव था, जहां कई मामलों में फेनमैन विवरण केवल एक ही उपलब्ध है।

लोकप्रिय संस्कृति में

• क्वार्क - एंटीक्वार्क जोड़ी का निर्माण करने वाले आभासी कण के उपरोक्त आरेख का उपयोग टेलीविजन सिट-कॉम ' द बिग बैंग थ्योरी ’ में, द बैट जार अनुमान में दिखाया गया था।
• पीएचडी कॉमिक्स 11 जनवरी 2012, फेनमैन आरेख दिखाता है कि क्वांटम अकादमिक इंटरैक्शन की कल्पना और वर्णन करें, यानी पीएच.डी. छात्र अपने सलाहकारों के साथ बातचीत करते समय
• वैक्यूम डायग्राम द्वारा एक विज्ञान कथा कहानी स्टीफन बैक्सटर में टाइटैनिक वैक्यूम आरेख, एक विशिष्ट प्रकार का फेनमैन आरेख है।

See also

• One-loop Feynman diagram
• Julian Schwinger#Schwinger and Feynman
• Stueckelberg–Feynman interpretation
• Penguin diagram
• Path integral formulation
• Propagator
• List of Feynman diagrams
• Angular momentum diagrams (quantum mechanics)

स्रोत

• 't Hooft, Gerardus; Veltman, Martinus (1973). "Diagrammar". CERN Yellow Report. doi:10.5170/CERN-1973-009. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Kaiser, David (2005). Drawing Theories Apart: The Dispersion of Feynman Diagrams in Postwar Physics. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN 0-226-42266-6.
• Veltman, Martinus (1994-06-16). Diagrammatica: The Path to Feynman Diagrams. Cambridge Lecture Notes in Physics. ISBN 0-521-45692-4. ('टी हूफ्ट एंड वेल्टमैन' का विस्तारित, अद्यतन संस्करण, 1973, ऊपर उद्धृत)
• Srednicki, Mark (2006). mark/qft.html Quantum Field Theory. Script.
• Schweber, S. S. (1994). QED and the men who made it: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga. Princeton University Press. ISBN 978-0691033273.

External links

• AMS article: "What's New in Mathematics: Finite-dimensional Feynman Diagrams"
• Draw Feynman diagrams explained by Flip Tanedo at Quantumdiaries.com
• Drawing Feynman diagrams with FeynDiagram C++ library that produces PostScript output.
• Online Diagram Tool A graphical application for creating publication ready diagrams.
• JaxoDraw A Java program for drawing Feynman diagrams.
• Bowley, Roger; Copeland, Ed (2010). "Feynman Diagrams". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.