यांत्रिक लाभ

यांत्रिक लाभ एक यंत्र, यांत्रिक उपकरण या मशीन प्रणाली के उपयोग द्वारा प्राप्त बल प्रवर्धन की एक माप है। आउटपुट बल में वांछित प्रवर्धन प्राप्त करने के लिए उपकरण संचलन के विरुद्ध इनपुट बलों का विनिमय करता है। उत्तोलक का नियम, इसका एक प्रतिरूप है। बलों और संचलन को इस प्रकार प्रबंधित करने के लिए संरचित किए गए मशीन घटकों को तंत्र कहा जाता है। एक आदर्श तंत्र, इसमें बिना जोड़े या घटाए शक्ति को प्रसारित करता है। इसका अर्थ है कि आदर्श मशीन में शक्ति स्रोत सम्मिलित नहीं है, यह घर्षण रहित है, और ऐसे दृढ़ पिंडों से निर्मित है जिनमें विक्षेपण या घिसाव नहीं होता हैं। इस आदर्श के सापेक्ष एक वास्तविक प्रणाली का प्रदर्शन उन दक्षता कारकों के रूप में व्यक्त किया जाता है जो आदर्श से विचलन को ध्यान में रखते हैं।

उत्तोलक

Main article: उत्तोलक

उत्तोलक एक चल पट्टी है जो एक निश्चित बिंदु पर या उसके आस-पास लगे हुए या स्थित आलम्ब (आधार) पर घूर्णन करती है। उत्तोलक, आलम्ब या धुरी से अलग-अलग दूरियों पर बल आरोपित से संचालित होता है। आलम्ब का स्थान उत्तोलक की श्रेणी निर्धारित करता है। जहाँ एक उत्तोलक लगातार घूर्णन रहता है, यह घूर्णी द्वितीय-श्रेणी के उत्तोलक के रूप में कार्य करता है। उत्तोलक के अंत-बिंदु की गति एक निश्चित कक्षा का वर्णन करती है, जहाँ यांत्रिक ऊर्जा का विनिमय किया जा सकता है। (उदाहरण के रूप में हैंड-क्रैंक देखें।)

आधुनिक समय में, इस प्रकार के घूर्णी उत्तोलन का उपयोग व्यापक रूप से किया जाता है; एक (घूर्णी) द्वितीय-श्रेणी का उत्तोलक देखें; यांत्रिक शक्ति संचरण योजना में प्रयुक्त गियर, घिरनी (धुरी) या घर्षण ड्राइव देखें। एक से अधिक गियर (एक गियरसेट) के उपयोग के माध्यम से यांत्रिक लाभ के लिए 'निपात (विध्वंस)' रूप में हेरफेर करना सामान्य है। इस प्रकार के गियरसेट में, छोटी त्रिज्याओं और कम अंतर्निहित यांत्रिक लाभ वाले गियर का उपयोग किया जाता है। गैर-विध्वंस यांत्रिक लाभ का उपयोग करने के लिए, 'सही लंबाई' घूर्णी उत्तोलक का उपयोग करना आवश्यक होता है। कुछ प्रकार की विद्युत-मोटरों की संरचना में यांत्रिक लाभ का समावेश भी देखें; इसमें से एक संरचना 'तीव्रचालक' है।

जब उत्तोलक आलम्ब पर घूर्णन करता है, तो इस धुरी से दूर के बिंदु धुरी के निकट बिंदुओं की तुलना में तीव्रता से आगे बढ़ते हैं। उत्तोलक में और इसके बाहर की शक्ति समान होती है, इसलिए गणना करने पर शक्ति समान आनी चाहिए। शक्ति, बल और वेग का गुणनफल होता है, इसलिए धुरी से दूर के बिंदुओं पर आरोपित बल, पास के बिंदुओं पर आरोपित बल से कम होता है।

यदि आलम्ब से बिंदुओं A और B की दूरियाँ क्रमशः a और b हैं और A पर आरोपित बल, F_A इनपुट बल एवं B पर आरोपित बल, F_B आउटपुट बल है, बिंदुओं A और B के वेगों का अनुपात a/b है, तब आउटपुट बल और इनपुट बल का अनुपात, या यांत्रिक लाभ इस प्रकार हैː

$${\mathit {MA}}={\frac {F_{b}}{F_{a}}}={\frac {a}{b}}.$$

यह उत्तोलक का नियम है, जिसे आर्किमिडीज ने ज्यामितीय तर्क का उपयोग करके सिद्ध किया था। ये नियम यह दर्शाता है कि यदि आलम्ब से बिंदु A (जहाँ इनपुट बल आरोपित किया जाता है) तक की दूरी, आलम्ब से बिंदु B (जहाँ आउटपुट बल आरोपित किया जाता है) से अधिक है, तो उत्तोलक इनपुट बल को प्रवर्धित करता है। यदि आलम्ब से इनपुट बल की दूरी, आलम्ब से आउटपुट बल की दूरी से कम है, तो उत्तोलक इनपुट बल को कम कर देता है। उत्तोलक के नियम के गहन निहितार्थ और व्यावहारिकताओं को स्वीकार करते हुए, आर्किमिडीज़ को "मुझे खड़े होने के लिए एक स्थान दें और एक उत्तोलक के साथ मैं सम्पूर्ण विश्व को स्थानांतरित कर दूँगा" उद्धरण के लिए प्रसिद्ध रूप से उत्तरदायी माना गया है।

उत्तोलक के स्थैतिक विश्लेषण में वेग का उपयोग आभासी कार्य के सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है।

गति अनुपात

Main article: गति अनुपात

शक्ति आउटपुट के बराबर एक आदर्श तंत्र के लिए शक्ति इनपुट की आवश्यकता, प्रणाली के इनपुट-आउटपुट गति अनुपात से यांत्रिक लाभ की गणना करने की एक आसान विधि प्रदान करती है।

कोणीय वेग ω_A से घूर्णन करने वाली ड्राइव धुरी पर लगाई गई एक गियर ट्रेन (अवलि) का शक्ति इनपुट, P=TAωA होता है, जिसका बल-आघूर्ण T_A होता है।

क्योंकि शक्ति-प्रवाह स्थिर है, अतः आउटपुट गियर के बल-आघूर्ण T_B और कोणीय वेग ω_B को निम्न संबंध को संतुष्ट करना चाहिएː

$P=T_{A}\omega _{A}=T_{B}\omega _{B},\!$

परिणामस्वरुप,

${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}.$

इससे पता चलता है कि एक आदर्श तंत्र के लिए इनपुट-आउटपुट गति अनुपात निकाय के यांत्रिक लाभ के बराबर होता है। यह रोबोट से लेकर संयोजन (लिंकेज) तक सभी यांत्रिक प्रणालियों पर प्रयुक्त होता है।

गियर ट्रेनें

Main article: गियर ट्रेन

गियर के दाँते इस प्रकार संरचित किए गए हैं कि एक गियर पर दाँतों की संख्या, इसके पिच वृत्त की त्रिज्या के समानुपाती होती है, जिससे जालक गियर के पिच वृत्त बिना फिसले एक-दूसरे पर लुढ़क सकें। जालक गियर के एक युग्म के लिए गति अनुपात की गणना, पिच वृत्तों की त्रिज्या के अनुपात और प्रत्येक गियर पर दाँतों की संख्या के अनुपात, अर्थात् गियर अनुपात से की जा सकती है।

दो जालक गियर घूर्णी गति संचारित करते हैं।

पिच वृत्तों पर संपर्क-बिंदु का वेग v दोनों गियरों पर समान होता है, जो कि इस प्रकार है

$v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!$

जहाँ इनपुट गियर A की त्रिज्या, r_A है, जो त्रिज्या r_B के आउटपुट गियर B के साथ फँसता है, अतः

${\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

जहां N_A,इनपुट गियर पर दाँतों की संख्या और N_B,आउटपुट गियर पर दाँतों की संख्या है।

जालक गियर के एक युग्म का यांत्रिक लाभ इस प्रकार है, जिसके लिए इनपुट गियर में दाँतों की संख्या N_A और आउटपुट गियर में दाँतों की संख्या N_B है

${\mathit {MA}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

इससे दर्शाता है कि यदि आउटपुट गियर G_B में दाँतों की संख्या, इनपुट गियर G_A की तुलना में अधिक है, तो गियर ट्रेन इनपुट बल-आघूर्ण को प्रवर्धित करती है। और, यदि आउटपुट गियर में दाँतों की संख्या, इनपुट गियर की तुलना में कम है, तो गियर ट्रेन इनपुट बल-आघूर्ण को कम कर देती है।

यदि गियर ट्रेन का आउटपुट गियर, इनपुट गियर की तुलना में अधिक धीरे घूर्णन करता है, तो गियर ट्रेन को गति अवमंदक (बल प्रवर्धक) कहा जाता है। इस स्थिति में, गति अवमंदक इनपुट बल-आघूर्ण को प्रवर्धित करता है, क्योंकि आउटपुट गियर में दाँतों की संख्या इनपुट गियर की तुलना में अधिक होनी चाहिए।

श्रृंखला और बेल्ट ड्राइव

एक श्रृंखला से जुड़े दो दंतचक्र, या एक बेल्ट से जुड़े दो धुरी वाले तंत्र को शक्ति संचरण प्रणालियों में एक विशिष्ट यांत्रिक लाभ प्रदान करने के लिए संरचित किया गया है।

दो दंतचक्रों या धुरी के संपर्क में होने पर, श्रृंखला या बेल्ट का वेग, v समान होता है:

$v=r_{A}\omega _{A}=r_{B}\omega _{B},\!$

जहाँ इनपुट दंतचक्र या धुरी A श्रृंखला या बेल्ट के साथ, पिच त्रिज्या r_A के अनुदिश और आउटपुट दंतचक्र या धुरी B, पिच त्रिज्या r_B के अनुदिश फँसता है,

इसलिए

${\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

जहाँ N_A, इनपुट दंतचक्र पर दाँतों की संख्या और N_B, आउटपुट दंतचक्र पर दाँतों की संख्या है। दाँतेदार बेल्ट ड्राइव के लिए, दंतचक्र पर दाँतों की संख्या का उपयोग किया जा सकता है। घर्षण बेल्ट ड्राइव के लिए इनपुट और आउटपुट धुरी की पिच त्रिज्या का उपयोग किया जाना चाहिए।

N_A दाँतों वाले इनपुट दंतचक्र और N_B दाँतों वाले आउटपुट दंतचक्र वाली श्रृंखला ड्राइव या दाँतेदार बेल्ट ड्राइव के एक युग्म का यांत्रिक लाभ इस प्रकार हैː

${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}.$

घर्षण बेल्ट ड्राइव के लिए यांत्रिक लाभ इस प्रकार है

${\mathit {MA}}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}.$

श्रृंखला और बेल्ट घर्षण, खिंचाव और घिसाव के माध्यम से शक्ति का प्रसार करते हैं, जिसका अर्थ है कि शक्ति आउटपुट वास्तव में शक्ति इनपुट से कम होता है, अर्थात् वास्तविक प्रणाली का यांत्रिक लाभ एक आदर्श तंत्र के लिए गणना से कम होता है। एक श्रृंखला या बेल्ट ड्राइव में प्रणाली की घर्षण ऊष्मा, विरूपण और घिसाव के माध्यम से 5% शक्ति की हानि हो सकती है, इस स्थिति में ड्राइव की दक्षता 95% होती है।

उदाहरण: साइकिल चेन ड्राइव

साइकिल के विभिन्न गियरों में यांत्रिक लाभ। साइकिल के पैडल और भूमि पर आरोपित विशिष्ट बल इस प्रकार दिखाए गए हैं, जैसे कि ये पैडल द्वारा तय की गई और पहिया द्वारा घूमी गयी दूरी हैं। ध्यान दें कि कम गियर में भी साइकिल का यांत्रिक लाभ 1 से कम होता है।

7 इंच (त्रिज्या) क्रैंक और 26 इंच (व्यास) पहियों वाली 18-गति साइकिल पर विचार करें। यदि क्रैंक और पिछले ड्राइव पहिये पर दंतचक्र समान आकार के हैं, तो टायर पर लगने वाले आउटपुट बल और पैडल पर लगने वाले इनपुट बल के अनुपात की गणना उत्तोलक के नियम से की जा सकती हैː

${\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {7}{13}}=0.54.$

अब, माना कि आगे के दंतचक्रों में 28 और 52 दाँतों का और पिछले दंतचक्रों में 16 और 32 दाँतों का विकल्प है। विभिन्न संयोजनों का उपयोग करते हुए, हम आगे और पीछे के दंतचक्रों के बीच निम्नलिखित गति अनुपातों की गणना कर सकते हैंː

गति अनुपात और कुल यांत्रिक लाभ (एमए)

	इनपुट(छोटा)	इनपुट(बड़ा)	आउटपुट (छोटा)	आउटपुट (बड़ा)	गति अनुपात	क्रैंक-व्हील अनुपात	कुल एमए
निम्न गति	28	-	-	32	1.14	0.54	0.62
मिड 1	-	52	-	32	0.62	0.54	0.33
मिड 2	28	-	16	-	0.57	0.54	0.31
उच्च गति	-	52	16	-	0.30	0.54	0.16

साइकिल संचालन बल और पेडल पर लगने वाले बल का अनुपात, अर्थात् यांत्रिक लाभ, गति अनुपात (या आउटपुट दंतचक्र/इनपुट दंतचक्र के दाँतों का अनुपात) और क्रैंक-पहिया उत्तोलक अनुपात के गुणनफल के बराबर होता है।

ध्यान दें कि प्रत्येक स्थिति में पैडल पर लगने वाला बल, साइकिल को आगे बढ़ाने वाले बल से अधिक होता है (ऊपर के उदाहरण में, भूमि पर संगत पश्चगामी-निर्देशित प्रतिक्रिया बल का संकेत दिया गया है)।

ब्लॉक और टैकल

ब्लॉक और टैकल, एक डोरी और धुरी का ऐसा संयोजन है जिसका उपयोग भार उठाने के लिए किया जाता है। ब्लॉक के निर्माण के लिए कई पुलियों को एक साथ एकत्रित किया जाता है, जिनमें से एक धुरी स्थिर रहती है और दूसरी भार के साथ गति करती है। यांत्रिक लाभ प्रदान करने के लिए डोरी को धुरी के माध्यम से पिरोया जाता है जो डोरी पर आरोपित बल को प्रवर्धित करती है।

ब्लॉक और टैकल प्रणाली के यांत्रिक लाभ को परिभाषित करने के लिए एक बंदूक टैकल की सामान्य स्थिति पर विचार करें, जिसमें एक आरोही या स्थिर धुरी और एक चलायमान धुरी होती है। डोरी को स्थिर ब्लॉक के चारों ओर पिरोया जाता है और इसे चलायमान ब्लॉक में नीचे की ओर छोड़ दिया जाता है, जहाँ इसे धुरी के चारों ओर पिरोया जाता है और गाँठ लगाने के लिए वापस स्थिर ब्लॉक पर लाया जाता है।

एक ब्लॉक और टैकल का यांत्रिक लाभ, गतिमान ब्लॉक का समर्थन करने वाले डोरी के खण्डों की संख्या के बराबर होता है; यहाँ दिखाया गया है कि यह क्रमशः 2, 3, 4, 5 और 6 है।

माना S, स्थिर ब्लॉक की धुरी से डोरी के अंत (अर्थात् A) तक की दूरी है, जहाँ इनपुट बल आरोपित किया जाता है। माना R, स्थिर ब्लॉक की धुरी से चलायमान ब्लॉक की धुरी (अर्थात् B) तक की दूरी है, जहाँ भार आरोपित किया जाता है।

डोरी की कुल लंबाई L को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$L=2R+S+K,\!$

जहाँ K डोरी की नियत लंबाई है जो धुरी के ऊपर से गुजरती है और ब्लॉक और टैकल के गति करने पर परिवर्तित नहीं होती है।

बिंदुओं A और B के वेग, V_A और V_B डोरी की नियत लंबाई से संबंधित होते हैं, अर्थात्

${\dot {L}}=2{\dot {R}}+{\dot {S}}=0,$

या

${\dot {S}}=-2{\dot {R}}.$

ऋणात्मक चिन्ह यह दर्शाता है कि भार का वेग, आरोपित बल के वेग के विपरीत है, अर्थात् जैसे ही हम डोरी को नीचे की ओर खींचते हैं, भार ऊपर की ओर बढ़ता है।

माना V_A नीचे की ओर धनात्मक और V_B ऊपर की ओर धनात्मक हैं, इसलिए इस संबंध को गति अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है

${\frac {V_{A}}{V_{B}}}={\frac {\dot {S}}{-{\dot {R}}}}=2,$

जहाँ 2, डोरी के उन खण्डों की संख्या है, जो चलायमान ब्लॉक का समर्थन करते हैं।

माना F_A,डोरी के अंत A पर आरोपित इनपुट बल है, और F_B, चलायमान ब्लॉक पर B पर लगने वाला बल है। वेगों के समान, F_A को नीचे की ओर और F_B को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।

एक आदर्श ब्लॉक और टैकल प्रणाली के लिए धुरियों में कोई घर्षण नहीं होता है और डोरी में भी कोई विक्षेपण या घिसाव नहीं होता है, अर्थात् आरोपित बल द्वारा पावर इनपुट, F_AV_A, भार पर कार्य करने वाली शक्ति F_BV_B के बराबर होना चाहिए, अर्थात्

$F_{A}V_{A}=F_{B}V_{B}.\!$

आउटपुट बल और इनपुट बल का अनुपात, एक आदर्श बंदूक टैकल प्रणाली का यांत्रिक लाभ है,

${\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=2.\!$

यह विश्लेषण, n डोरी-खण्डों द्वारा समर्थित एक चलायमान ब्लॉक वाले एक आदर्श ब्लॉक और टैकल को सामान्यीकृत करता है,

${\mathit {MA}}={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {V_{A}}{V_{B}}}=n.\!$

यह दर्शाता है कि एक आदर्श ब्लॉक और टैकल द्वारा आरोपित बल, इनपुट बल का n गुना होता है, जहाँ n डोरी के उन खंडों की संख्या है जो गतिमान ब्लॉक का समर्थन करते हैं।

दक्षता

यांत्रिक लाभ प्राप्त किया जा सकने वह अधिकतम प्रदर्शन है, जिसकी गणना इस धारणा का उपयोग करके की जाती है कि किसी मशीन के विक्षेपण, घर्षण और घिसाव से कोई शक्ति-हानि नहीं होती है। इस कारण से, इसे प्रायः आदर्श यांत्रिक लाभ (आईएमए) कहा जाता है। संचालन में, विक्षेपण, घर्षण और घिसाव से यांत्रिक लाभ कम हो जाता है। आदर्श से वास्तविक यांत्रिक लाभ (एएमए) तक इस कमी की मात्रा को दक्षता नामक कारक द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो एक ऐसी राशि है, जिसे प्रयोग द्वारा निर्धारित किया जाता है।

एक उदाहरण के रूप में, छह डोरी खण्डों और 600 पौंड भार वाले एक ब्लॉक और टैकल का उपयोग करते हुए, एक आदर्श प्रणाली के संचालक को डोरी को छह फीट खींचने और भार को एक फुट ऊपर उठाने के लिए 100 एलबीएफ बल की आवश्यकता होती है। F_आउट / F_इन और V_इन / V_आउट दोनों अनुपात दर्शाते हैं कि आईएमए, छह है। पहले अनुपात के लिए, 100 एलबीएफ बल के इनपुट के परिणामस्वरूप 600 एलबीएफ बल का आउटपुट प्राप्त होता है। एक वास्तविक प्रणाली में, धुरियों में घर्षण के कारण बल 600 पौंड से कम होता है। दूसरा अनुपात भी आदर्श स्थिति में एमए, 6 प्रदान करता है जो कि व्यावहारिक परिदृश्य में एक छोटा मान है; यह डोरी के खिंचाव जैसी ऊर्जा हानि का हिसाब ठीक से नहीं रखता है। आईएमए से उन हानियों को घटाना या पहले अनुपात का उपयोग करने से एएमए प्राप्त होता है।

आदर्श यांत्रिक लाभ

आदर्श यांत्रिक लाभ (आईएमए), या सैद्धांतिक यांत्रिक लाभ, इस धारणा के साथ एक उपकरण का यांत्रिक लाभ है, कि इसके घटक तन्य (लचीले) नहीं हैं, और इनमें कोई घर्षण एवं घिसाव नहीं है। इसकी गणना उपकरण की भौतिक विमाओं का उपयोग करके की जाती है और यह उपकरण द्वारा प्राप्त किए जा सकने वाले अधिकतम प्रदर्शन को परिभाषित करता है।

एक आदर्श मशीन की धारणा इस आवश्यकता के समतुल्य है कि मशीन ऊर्जा को संग्रहित या नष्ट नहीं करती है; इस प्रकार मशीन के अन्दर की शक्ति, बाहर की शक्ति के बराबर होती है। इसलिए, सम्पूर्ण मशीन में शक्ति P, नियत होती है और मशीन के अन्दर की शक्ति और बल का गुणनफल, निर्गत वेग और बल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात्,

$P=F_{\text{in}}v_{\text{in}}=F_{\text{out}}v_{\text{out}}.$

आदर्श यांत्रिक लाभ, मशीन से बाहर के बल (भार) और मशीन के अन्दर के बल (प्रयास) का अनुपात होता है, या

${\mathit {IMA}}={\frac {F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}}}.$

नियत शक्ति संबंध को गति अनुपात के पदों में प्रयुक्त करने से इस आदर्श यांत्रिक लाभ के लिए निम्न सूत्र प्राप्त होता है:

${\mathit {IMA}}={\frac {F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}}}={\frac {v_{\text{in}}}{v_{\text{out}}}}.$

किसी मशीन के गति अनुपात की गणना इसकी भौतिक विमाओं से की जा सकती है। इस प्रकार नियत शक्ति की धारणा यांत्रिक लाभ के लिए अधिकतम मान निर्धारित करने के लिए गति अनुपात का उपयोग करने की अनुमति प्रदान करती है।

वास्तविक यांत्रिक लाभ

वास्तविक यांत्रिक लाभ (एएमए), इनपुट और आउटपुट बलों के भौतिक माप द्वारा निर्धारित यांत्रिक लाभ है। वास्तविक यांत्रिक लाभ विक्षेपण, घर्षण और घिसाव के कारण होने वाली ऊर्जा हानि को ध्यान में रखता है।

एक मशीन के एएमए की गणना, मापे गए बल आउटपुट और मापे गए बल इनपुट के अनुपात के रूप में की जाती है,

${\mathit {AMA}}={\frac {F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}}},$

जहाँ इनपुट और आउटपुट बलों को प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है।

मशीन की यांत्रिक दक्षता η, प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित यांत्रिक लाभ और आदर्श यांत्रिक लाभ का अनुपात होती है,

$\eta ={\frac {\mathit {AMA}}{\mathit {IMA}}}.$

यह भी देखें

• मशीनों की रूपरेखा
• संयुक्त उत्तोलक
• सरल मशीन
• यांत्रिक लाभ उपकरण
• गियर अनुपात
• चेन ड्राइव
• बेल्ट (यांत्रिक)
• रोलर चेन
• साइकिल की चेन
• साइकिल गियरिंग
• संचरण (यांत्रिकी)
• समतलों के साम्यावस्था पर
• यांत्रिक दक्षता
• कील

संदर्भ

• Fisher, Len (2003), How to Dunk a Doughnut: The Science of Everyday Life, Arcade Publishing, ISBN 978-1-55970-680-3.
• United States Bureau of Naval Personnel (1971), Basic machines and how they work (Revised 1994 ed.), Courier Dover Publications, ISBN 978-0-486-21709-3.

बाहरी कड़ियाँ

• Gears and pulleys
• Nice demonstration of mechanical advantage
• Mechanical advantage — video