स्पर्शोन्मुख विस्तार

गणित में, स्पर्शोन्मुख विस्तार, स्पर्शोन्मुख श्रृंखला या पॉइंकेयर विस्तार (हेनरी पॉइनकेयर के बाद) कार्यों की एक औपचारिक श्रृंखला है, जिसमें वह गुण है जो शब्दों की सीमित संख्या के बाद श्रृंखला को छोटा करता है, किसी दिए गए फलन के लिए एक सन्निकटन प्रदान करता है क्योंकि फलन का तर्क एक विशेष अनंत बिंदु की ओर जाता है। डिंगल (1973) द्वारा की गयी जांच से पता चलता है कि स्पर्शोन्मुख विस्तार का अपसारी भाग अर्थपूर्ण है, अर्थात इसमें विस्तारित फलन के सटीक मूल्य के बारे में सूचनाएं समिलित है।

स्पर्शोन्मुख विस्तार का सबसे साधारण प्रकार सकारात्मक या नकारात्मक घातांकों में एक घातांक श्रृंखला है। इस तरह के विस्तार को उत्पन्न करने के तरीकों में यूलर-मैकलॉरिन योग सूत्र, लाप्लास रूपांतरण और मेलिन रूपांतरण समिलित हैं। भागों द्वारा बार-बार एकिकरण करने पर प्रायः एक स्पर्शोन्मुख विस्तार का जन्म होता है।

चूंकि एक अभिसारी टेलर श्रृंखला स्पर्शोन्मुख विस्तार की परिभाषा के लिए ठीक बैठती है, इसलिए स्पर्शोन्मुख श्रृंखला का वाक्यांश समान्यतः एक गैर-अभिसरण श्रृंखला का अर्थ है। गैर-अभिसरण के अतिरिक्त, स्पर्शोन्मुख विस्तार तब उपयोगी होता है जब शब्दों को एक सीमित संख्या में काट दिया जाता है। सन्निकटन विस्तारित किए जा रहे फलन की तुलना में अधिक गणितीय रूप से सीमित होने या विस्तारित फलन की गणना की गति में वृद्धि द्वारा लाभ प्रदान कर सकता है। समान्यतः, सबसे अच्छा सन्निकटन तब दिया जाता है जब श्रृंखला को सबसे तुच्छ पद पर छोटा किया जाता है। एक स्पर्शोन्मुख विस्तार को इष्टतम रूप से तुच्छ करने के इस शैली को 'सुपरएसिम्प्टोटिक्स' के रूप में जाना जाता है। तब त्रुटि समान्यतः ~ exp(−c/ε) के रूप में होती है जहाँ ε विस्तार पैरामीटर है। त्रुटि इस प्रकार विस्तार पैरामीटर के सभी आदेशों से परे है। सुपरएसिम्प्टोटिक त्रुटि में सुधार संभव है, जैसे अपसारी टेल के लिए बोरेल पुनर्जीवन जैसे रिज्यूमेशन तरीकों को नियोजित करके इस तरह के तरीकों को प्रायः हाइपरएसिम्प्टोटिक सन्निकटन के रूप में जाना जाता है।

इस आलेख में प्रयुक्त अंकन के लिए स्पर्शोन्मुख विश्लेषण और बिग ओ नोटेशन देखें।

औपचारिक परिभाषा

पहले हम एक स्पर्शोन्मुख पैमाने को परिभाषित करते हैं, और फिर एक स्पर्शोन्मुख विस्तार की औपचारिक परिभाषा देते हैं।

यदि $\ \varphi _{n}\$किसी कार्यक्षेत्र पर निरंतर कार्यों का अनुक्रम है, और यदि$\ L\$ कार्यक्षेत्र का एक सीमा बिंदु है, तो अनुक्रम एक स्पर्शोन्मुख पैमाने का गठन करता है। यदि प्रत्येक n के लिए,

$\varphi _{n+1}(x)=o(\varphi _{n}(x))\ (x\to L)\$

($\ L\$ को अनंत के रूप में लिया जा सकता है।) दूसरे शब्दों में, कार्यों का एक क्रम स्पर्शोन्मुख पैमाना है यदि अनुक्रम में प्रत्येक कार्य पूर्ववर्ती कार्य की तुलना में सख्ती से धीमा हो जाता है, तो $\ x\to L\$ में बढ़ता है।

यदि$\ f\$स्पर्शोन्मुख पैमाने के कार्यक्षेत्र पर एक निरंतर कार्य है, तब f के पास एक औपचारिक श्रृंखला के रूप में, क्रम का स्पर्शोन्मुख विस्तार $\ N\$ है।

$\sum _{n=0}^{N}a_{n}\varphi _{n}(x)$ यदि

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=O(\varphi _{N}(x))\ (x\to L)$

या

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)=o(\varphi _{N-1}(x))\ (x\to L)\ .$

यदि $\ N\$ सभी कार्यक्षेत्र के लिए लागू होता है, तो हम लिखते हैं

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\varphi _{n}(x)\ (x\to L)\ .$

$\ f\$ के एक अभिसरण श्रृंखला के विपरीत, जिसमें श्रृंखला $N\to \infty$ की सीमा में किसी निश्चित $\ x\$ के लिए अभिसरित होती है, तो स्पर्शोन्मुख श्रृंखला को$\ N\$ के अभिसरण के रूप में सोच सकते है। सीमा: $\ x\to L\$ ($\ L\$ संभवतः अनंत)

उदाहरण

गामा फलन (बाएं) के स्पर्शोन्मुख विस्तार में भिन्नात्मक त्रुटि के निरपेक्ष मान के प्लॉट। क्षैतिज अक्ष स्पर्शोन्मुख विस्तार में शब्दों की संख्या है। नीले बिंदु x = 2 के लिए हैं और लाल बिंदु x = 3 के लिए हैं। यह देखा जा सकता है कि जब x = 2, के लिए 14 शब्द हैं और x = 3, के लिए 20 शब्द हैं, तो कम से कम त्रुटि का सामना करना पड़ता है, जिसके बाद त्रुटि अलग हो जाती है।

* गामा फलन (स्टर्लिंग का सन्निकटन)

$${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$$

• घातीय अभिन्न
  $$xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )$$
• लॉगरिदमिक अभिन्न
  $$\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$$
• रीमैन जीप फलन
  $$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$$

जहाँ पर $B_{2m}$ बर्नौली नंबर हैं और $s^{\overline {2m-1}}$ एक उभरता हुआ भाज्य है। यह विस्तार सभी जटिल S के लिए मान्य है और प्रायः N के बड़े पर्याप्त मूल्य का उपयोग करके जीटा फलन की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए $N>|s|$.

• त्रुटि फलन
  $${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$$
  जहाँ पर (2n − 1)!! दोगुना भाज्य है।

उदाहरण

स्पर्शोन्मुख विस्तार प्रायः तब होता है जब एक औपचारिक अभिव्यक्ति में एक साधारण श्रृंखला का उपयोग किया जाता है जो अभिसरण के अपने कार्यक्षेत्र के बाहर मूल्यों को लेने के लिए मजबूर करता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक साधारण श्रृंखला से शुरू कर सकते है

${\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}.$

बाईं ओर की अभिव्यक्ति पूरे जटिल तल $w\neq 1$, पर मान्य है, जबकि दाहिनी ओर केवल $|w|<1$ के लिए अभिसरित होती है। दोनों पक्षों को $e^{-w/t}$ से गुणा करने और एकीकृत करने से प्राप्त होता है

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du,$

बायीं ओर समाकल (जिसे कौशी प्रमुख मूल्य के रूप में समझा जाता है) को चरघातांकी समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दाहिनी ओर के समाकल को गामा फलन के रूप में पहचाना जा सकता है। दोनों का मूल्यांकन करने पर, कोई भी व्यक्ति स्पर्शोन्मुख विस्तार प्राप्त कर सकता है।

$e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!t^{n+1}.$

यहाँ, t के किसी भी गैर-शून्य मान के लिए दाहिनी ओर स्पष्ट रूप से अभिसारी नहीं है। हालाँकि, शब्दों की एक सीमित संख्या के लिए दाईं ओर श्रृंखला को छोटा करके, $\operatorname {Ei} \left({\tfrac {1}{t}}\right)$ के मान के लिए एक बहुत अच्छा सन्निकटन प्राप्त किया जा सकता है। $x=-{\tfrac {1}{t}}$ को प्रतिस्थापित करना और ध्यान देना कि $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ इस लेख में पहले दिए गए स्पर्शोन्मुख विस्तार का परिणाम है।

गुण

किसी दिए गए स्पर्शोन्मुख पैमाने के लिए विशिष्टता

किसी दिए गए स्पर्शोन्मुख पैमाने के लिए $\{\varphi _{n}(x)\}$ फलन का स्पर्शोन्मुख विस्तार $f(x)$ अनोखा है। यानी गुणांक $\{a_{n}\}$ विशिष्ट रूप से निम्नलिखित तरीके से निर्धारित किए जाते हैं:

$${\begin{aligned}a_{0}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)}{\varphi _{0}(x)}}\\a_{1}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-a_{0}\varphi _{0}(x)}{\varphi _{1}(x)}}\\&\;\;\vdots \\a_{N}&=\lim _{x\to L}{\frac {f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}a_{n}\varphi _{n}(x)}{\varphi _{N}(x)}}\end{aligned}}$$

जहाँ पर $L$ इस स्पर्शोन्मुख विस्तार का सीमा बिंदु है या (हो सकता है $\pm \infty$).

किसी दिए गए फलन के लिए गैर-विशिष्टता

एक दिए हुए फलन $f(x)$ में कई स्पर्शोन्मुख विस्तार हो सकते हैं (प्रत्येक एक अलग स्पर्शोन्मुख पैमाने के साथ)।

अधीनता

एक स्पर्शोन्मुख विस्तार एक से अधिक कार्यों के लिए स्पर्शोन्मुख विस्तार हो सकता है।

यह भी देखें

संबंधित क्षेत्र

• स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
• विलक्षण गड़बड़ी

स्पर्शोन्मुख तरीके

• वाटसन की लेम्मा
• मेलिन ट्रांसफॉर्म
• लाप्लास की विधि
• स्थिर चरण सन्निकटन
• सबसे तेज अवरोहण की विधि

संदर्भ

• Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. Cambridge University Press.
• Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. Springer Science & Business Media.
• Bleistein, N., Handelsman, R. (1975), Asymptotic Expansions of Integrals, Dover Publications.
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• Copson, E. T. (1965), Asymptotic Expansions, Cambridge University Press.
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• Erdélyi, A. (1955), Asymptotic Expansions, Dover Publications.
• Fruchard, A., Schäfke, R. (2013), Composite Asymptotic Expansions, Springer.
• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford University Press.
• Olver, F. (1997). Asymptotics and Special functions. AK Peters/CRC Press.
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• Whittaker, E. T., Watson, G. N. (1963), A Course of Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press.

बाहरी संबंध

• "Asymptotic expansion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Asymptotic Series