सामान्यीकरण (सांख्यिकी)

For other uses, see सामान्यीकरण स्थिरांक.

आँकड़ों और आँकड़ों के अनुप्रयोगों में, सामान्यीकरण के कई अर्थ हो सकते हैं।सरलतम मामलों में, रेटिंग के सामान्यीकरण का अर्थ है विभिन्न पैमानों पर मापे गए मानों को सामान्य रूप से सामान्य पैमाने पर समायोजित करना, अक्सर औसत से पहले। अधिक जटिल मामलों में, सामान्यीकरण अधिक परिष्कृत समायोजन को संदर्भित कर सकता है जहां समायोजित मूल्यों के संपूर्ण संभावना वितरण को संरेखण में लाने का इरादा है। शैक्षिक मूल्यांकन में अंकों के सामान्यीकरण के मामले में, वितरण को सामान्य वितरण के साथ संरेखित करने का इरादा हो सकता है। संभाव्यता वितरण के सामान्यीकरण के लिए एक अलग दृष्टिकोण [[ मात्रा त्मक सामान्यीकरण ]] है, जहां विभिन्न उपायों की मात्राओं को संरेखण में लाया जाता है।

आँकड़ों में एक अन्य उपयोग में, सामान्यीकरण आँकड़ों के स्थानांतरित और स्केल किए गए संस्करणों के निर्माण को संदर्भित करता है, जहाँ आशय यह है कि ये सामान्यीकृत मान विभिन्न डेटासेट के लिए सामान्यीकृत मूल्यों की तुलना की अनुमति देते हैं, जो कुछ सकल प्रभावों के प्रभाव को समाप्त करता है, जैसा कि एक विसंगति समय श्रृंखला में। कुछ आकार चर के सापेक्ष मूल्यों पर पहुंचने के लिए कुछ प्रकार के सामान्यीकरण में केवल एक पुनर्संरचना शामिल होती है। माप के स्तर ों के संदर्भ में, ऐसे अनुपात केवल अनुपात मापन के लिए मायने रखते हैं (जहां माप के अनुपात अर्थपूर्ण हैं), न कि अंतराल माप (जहां केवल दूरियां अर्थपूर्ण हैं, लेकिन अनुपात नहीं)।

सैद्धांतिक आँकड़ों में, पैरामीट्रिक सामान्यीकरण अक्सर निर्णायक मात्रा में ले जा सकता है - ऐसे कार्य जिनके नमूना वितरण मापदंडों पर निर्भर नहीं होते हैं - और सहायक आँकड़ों के लिए - महत्वपूर्ण मात्राएँ जो बिना मापदंडों को जाने, टिप्पणियों से गणना की जा सकती हैं।

उदाहरण

आँकड़ों में विभिन्न प्रकार के सामान्यीकरण हैं - त्रुटियों, अवशिष्टों, साधनों और मानक विचलन के गैर-आयामी अनुपात, जो कि स्केल अपरिवर्तनीय हैं - जिनमें से कुछ को निम्नानुसार संक्षेपित किया जा सकता है। ध्यान दें कि माप के स्तरों के संदर्भ में, ये अनुपात केवल अनुपात माप के लिए मायने रखते हैं (जहां माप के अनुपात अर्थपूर्ण हैं), अंतराल माप नहीं (जहां केवल दूरी सार्थक हैं, लेकिन अनुपात नहीं)। यह भी देखें :श्रेणी:सांख्यिकीय अनुपात।

Name	Formula	Use
Standard score	${\frac {X-\mu }{\sigma }}$	Normalizing errors when population parameters are known. Works well for populations that are normally distributed
Student's t-statistic	${\frac {{\widehat {\beta }}-\beta _{0}}{\operatorname {s.e.} ({\widehat {\beta }})}}$	the departure of the estimated value of a parameter from its hypothesized value, normalized by its standard error.
Studentized residual	${\frac {{\hat {\varepsilon }}_{i}}{{\hat {\sigma }}_{i}}}={\frac {X_{i}-{\hat {\mu }}_{i}}{{\hat {\sigma }}_{i}}}$	Normalizing residuals when parameters are estimated, particularly across different data points in regression analysis.
Standardized moment	${\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}$	Normalizing moments, using the standard deviation $\sigma$ as a measure of scale.
Coefficient of variation	${\frac {\sigma }{\mu }}$	Normalizing dispersion, using the mean $\mu$ as a measure of scale, particularly for positive distribution such as the exponential distribution and Poisson distribution.
Min-max feature scaling	$X'={\frac {X-X_{\min }}{X_{\max }-X_{\min }}}$	Feature scaling is used to bring all values into the range [0,1]. This is also called unity-based normalization. This can be generalized to restrict the range of values in the dataset between any arbitrary points $a$ and $b$, using for example $X'=a+{\frac {\left(X-X_{\min }\right)\left(b-a\right)}{X_{\max }-X_{\min }}}$.

ध्यान दें कि कुछ अन्य अनुपात, जैसे भिन्नता-से-माध्य अनुपात ${\textstyle \left({\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}\right)}$, सामान्यीकरण के लिए भी किया जाता है, लेकिन गैर-आयामी नहीं हैं: इकाइयां रद्द नहीं होती हैं, और इस प्रकार अनुपात में इकाइयां होती हैं, और यह स्केल-इनवेरिएंट नहीं है।

अन्य प्रकार

अन्य गैर-आयामी सामान्यीकरण जिनका उपयोग वितरण पर बिना किसी धारणा के किया जा सकता है:

• प्रतिशतक ों का असाइनमेंट। यह मानकीकृत परीक्षणों पर आम है। मात्रात्मक सामान्यीकरण भी देखें।
• स्थिरांकों को जोड़कर और/या गुणा करके सामान्यीकरण इसलिए मान 0 और 1 के बीच आते हैं। इसका उपयोग संभाव्यता घनत्व समारोह के लिए किया जाता है, जैसे कि भौतिक रसायन विज्ञान जैसे क्षेत्रों में संभावनाओं को निर्दिष्ट करने के लिए। |ψ|².

यह भी देखें

• सामान्य अंक
• अनुपात वितरण
• मानक प्राप्तांक
• फ़ीचर स्केलिंग