इकाई भिन्न

इकाई भिन्न एक परिमेय संख्या होती है जिसे अंश (गणित) के रूप में लिखा जाता है जहाँ अंश 1 (संख्या) है और हर एक धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए एक इकाई भिन्न एक धनात्मक पूर्णांक, 1/n का गुणनात्मक व्युत्क्रम है। उदाहरण 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, आदि हैं।

अंकगणित

प्राथमिक अंकगणित

किसी भी दो इकाई अंशों का गुणन एक उत्पाद में होता है जो एक और इकाई अंश है:

$${\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.$$

हालाँकि, जोड़, घटाव,या विभाजन (गणित) दो इकाई अंश एक परिणाम उत्पन्न करते हैं जो आम तौर पर एक इकाई अंश नहीं होता है:

$${\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}$$

$${\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.$$

मॉड्यूलर अंकगणित

मॉड्यूलर अंकगणित में, इकाई अंशों को अक्सर सबसे बड़े सामान्य भाजक के आधार पर गणना का उपयोग करके समतुल्य पूर्णांक में परिवर्तित किया जा सकता है। बदले में, इस रूपांतरण का उपयोग मॉड्यूलर अंकगणित में डिवीजन संचालन को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, उन्हें समतुल्य गुणन कार्यों में परिवर्तित करके। विशेष रूप से, मान से विभाजित करने की समस्या पर विचार करें $x$ मापांक $y$. इस विभाजन को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, $x$ और $y$ अपेक्षाकृत प्रमुख होना चाहिए। जब वे होते हैं, तो सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग पूर्णांकों को खोजने के लिए किया जा सकता है $a$ और $b$ ऐसा है कि बेजाउट की पहचान संतुष्ट है:

$$\displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.$$

सूचित करना-$y$ अंकगणित, शब्द $by$ समाप्त किया जा सकता है क्योंकि यह शून्य सापेक्ष है $y$. यह छोड़ देता है

$$\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.$$

वह है, $a$ का प्रतिलोम है $x$, वह संख्या जिससे गुणा करने पर $x$ एक पैदा करता है। समान रूप से,

$$a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.$$

इस प्रकार विभाजन द्वारा $x$ (मापांक $y$) इसके बजाय पूर्णांक से गुणा करके किया जा सकता है $a$.

संयोजन

परिमित राशि

Main article: List of sums of reciprocals § Finitely many terms

किसी भी धनात्मक परिमेय संख्या को कई तरीकों से इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,

${\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.$

प्राचीन मिस्र की सभ्यताओं ने अधिक सामान्य परिमेय संख्याओं के लिए अपने अंकन में विशिष्ट इकाई भिन्नों के योग का उपयोग किया था, और इसलिए ऐसे योगों को अक्सर मिस्री भिन्न कहा जाता है। एक भिन्नात्मक संख्या के लिए संभावित अभ्यावेदन के बीच चयन करने के लिए और इस तरह के निरूपण के साथ गणना करने के लिए पूर्वजों द्वारा उपयोग की जाने वाली विधियों का विश्लेषण करने में आज भी रुचि है। मिस्र के अंशों के विषय में भी आधुनिक संख्या सिद्धांत में रुचि देखी गई है; उदाहरण के लिए, एर्दोस-ग्राहम अनुमान और एर्दोस-स्ट्रॉस अनुमान इकाई अंशों के योग से संबंधित हैं, जैसा कि अयस्क की हार्मोनिक संख्याओं की परिभाषा में है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, त्रिभुज समूहों को यूक्लिडियन, गोलाकार, और अतिशयोक्तिपूर्ण मामलों में वर्गीकृत किया जाता है कि क्या इकाई अंशों का एक संबद्ध योग एक के बराबर है, एक से अधिक है, या एक से कम है।

अनंत श्रृंखला

Main article: List of sums of reciprocals § Infinitely many terms

कई प्रसिद्ध श्रृंखला (गणित) में ऐसी शर्तें हैं जो इकाई अंश हैं। इसमे शामिल है:

• हार्मोनिक श्रृंखला (गणित), सभी सकारात्मक इकाई अंशों का योग। यह राशि विचलन करती है, और इसकी आंशिक रकम
  $${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$$
  के प्राकृतिक लघुगणक का बारीकी से अनुमान लगाएं $n$ साथ ही यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक। एक घटाव में हर दूसरे जोड़ को बदलने से वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला उत्पन्न होती है, जो 2 के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होती है:
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.$$
• π के लिए लीबनिज सूत्र है
  $$1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.$$
• बेसल समस्या वर्ग इकाई अंशों के योग से संबंधित है:
  $$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$
  इसी तरह, एपेरी का स्थिरांक एक अपरिमेय संख्या है, घन इकाई अंशों का योग।
• बाइनरी ज्यामितीय श्रृंखला है
  $$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.$$

मैट्रिक्स

हिल्बर्ट मैट्रिक्स तत्वों के साथ मैट्रिक्स है

$B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.$

इसकी असामान्य संपत्ति है कि इसके मैट्रिक्स व्युत्क्रम में सभी तत्व पूर्णांक हैं। इसी प्रकार, Richardson (2001) तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स परिभाषित किया

$C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},$

जहां एफ_i iवें फाइबोनैचि संख्या को दर्शाता है। वह इस मैट्रिक्स को फिल्बर्ट मैट्रिक्स कहते हैं और इसमें पूर्णांक व्युत्क्रम होने का समान गुण होता है।

निकटता और फोर्ड सर्कल

स्पर्शरेखा Ford हलकों के अंश एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं

दो अंश $a/b$ और $c/d$ (न्यूनतम शब्दों में) को आसन्न कहा जाता है यदि $ad-bc=\pm 1$, जिसका अर्थ है कि उनका अंतर $|ad-bc|/bd$ इकाई अंश है। उदाहरण के लिए, ${\tfrac {1}{2}}$ और ${\tfrac {3}{5}}$ आसन्न हैं: $1\cdot 5-2\cdot 3=-1$ और ${\tfrac {3}{5}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{10}}$. हालाँकि, भिन्नों के कुछ जोड़े जिनका अंतर एक इकाई भिन्न है, इस अर्थ में आसन्न नहीं हैं: उदाहरण के लिए, ${\tfrac {1}{3}}$ और ${\tfrac {2}{3}}$ एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं, लेकिन आसन्न नहीं होते हैं, क्योंकि उनके लिए $ad-bc=3$. शब्दावली फोर्ड सर्किलों के अध्ययन से आती है, सर्कल जो किसी दिए गए अंश पर संख्या रेखा के स्पर्शरेखा हैं और उनके व्यास के रूप में अंश का वर्गित भाजक है: अंश $a/b$ और $c/d$ आसन्न हैं अगर और केवल अगर उनके फोर्ड मंडल स्पर्शरेखा मंडल हैं।

अनुप्रयोग

संभाव्यता और आंकड़ों में

समान वितरण (विच्छेद) में, सभी प्रायिकताएँ समान इकाई भिन्न होती हैं। उदासीनता के सिद्धांत के कारण, सांख्यिकीय गणनाओं में इस रूप की संभावनाएं अक्सर उत्पन्न होती हैं। इसके अतिरिक्त, जिपफ के नियम में कहा गया है कि, एक आदेशित अनुक्रम से वस्तुओं के चयन से जुड़ी कई देखी गई घटनाओं के लिए, संभावना है कि nth आइटम का चयन इकाई अंश 1/n के समानुपाती होता है।

भौतिकी में

हाइड्रोजन परमाणु द्वारा अवशोषित या उत्सर्जित किए जा सकने वाले फोटोन के ऊर्जा स्तर, रिडबर्ग सूत्र के अनुसार, दो इकाई अंशों के अंतर के समानुपाती होते हैं। इस घटना के लिए एक स्पष्टीकरण बोहर मॉडल द्वारा प्रदान किया गया है, जिसके अनुसार हाइड्रोजन परमाणु में परमाणु कक्षीय ऊर्जा स्तर वर्ग इकाई अंशों के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, और एक फोटॉन की ऊर्जा दो स्तरों के बीच अंतर के लिए परिमाणीकरण (भौतिकी) होती है। . आर्थर एडिंगटन ने तर्क दिया कि ठीक-संरचना स्थिरांक एक इकाई अंश था, पहले 1/136 फिर 1/137। यह तर्क गलत साबित हुआ है, यह देखते हुए कि ठीक संरचना स्थिरांक का वर्तमान अनुमान (6 महत्वपूर्ण अंकों तक) 1/137.036 है।

यह भी देखें

• सबमल्टीपल

बाहरी कड़ियाँ

• Weisstein, Eric W., "Unit Fraction", MathWorld