संयुग्मी तत्व (क्षेत्र सिद्धांत): Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{About|the conjugation between the roots of a polynomial|other uses|Conjugation (disambiguation){{!}}Conjugation}} | {{About|the conjugation between the roots of a polynomial|other uses|Conjugation (disambiguation){{!}}Conjugation}} | ||
{{refimprove|date=December 2010}} | {{refimprove|date=December 2010}} | ||
गणित में, विशेष [[क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] में, संयुग्म अवयव या बीजगणितीय अवयव {{math|''α''}} के बीजगणितीय संयुग्म, [[फील्ड एक्सटेंशन|क्षेत्र विस्तार]] {{math|''L''/''K''}} पर , [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] {{math|''p''<sub>''K'', ''α''</sub>(''x'')}} {{math|''α''}} के ऊपर {{math|''K''}} की घातें हैं। संयुग्म अवयवों को सामान्यतः संदर्भों में संयुग्म कहा जाता है जहां यह अस्पष्ट नहीं है। सामान्य रूप से {{math|''α''}} | गणित में, विशेष [[क्षेत्र सिद्धांत (गणित)]] में, संयुग्म अवयव या बीजगणितीय अवयव {{math|''α''}} के बीजगणितीय संयुग्म, [[फील्ड एक्सटेंशन|क्षेत्र विस्तार]] {{math|''L''/''K''}} पर , [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] {{math|''p''<sub>''K'', ''α''</sub>(''x'')}} {{math|''α''}} के ऊपर {{math|''K''}} की घातें हैं। संयुग्म अवयवों को सामान्यतः संदर्भों में संयुग्म कहा जाता है जहां यह अस्पष्ट नहीं है। सामान्य रूप से {{math|''α''}} ही {{math|''α''}} के संयुग्मों के समुच्चय में सम्मिलित होता है। | ||
समतुल्य रूप से, {{math|''α''}} के संयुग्म {{mvar|L}} के क्षेत्र स्वसमाकृतिकता के निम्न {{math|''α''}} के प्रतिरूप हैं जो कि {{mvar|K}} के अवयवों को छोड़ देते हैं।. दो परिभाषाओं की समानता गैलोज सिद्धांत के प्रारम्भिक बिंदुओं में से एक है। | |||
अवधारणा [[जटिल संयुग्मन]] को | अवधारणा [[जटिल संयुग्मन]] को सामान्यीकृत करती है, क्योंकि एक जटिल संख्या के <math>\R</math> पर बीजगणितीय संयुग्म स्वयं संख्या और इसके जटिल संयुग्म हैं। | ||
संख्या एक (संख्या) के घनमूल हैं: | संख्या एक (संख्या) के घनमूल हैं: | ||
: <math>\sqrt[3]{1} = \begin{cases}1 \\[3pt] -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\[5pt] -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases} </math> | : <math>\sqrt[3]{1} = \begin{cases}1 \\[3pt] -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \\[5pt] -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{cases} </math> | ||
बाद की दो घातें | बाद की दो घातें न्यूनतम बहुपद | ||
: <math> \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=x^2+x+1 | : <math> \left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=x^2+x+1</math> | ||
के साथ अवयव {{math|'''Q'''[''i''{{sqrt|3}}]}} में संयुग्मी अवयव हैं। | |||
== गुण == | == गुण == | ||
यदि K | यदि K बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र ''C'' के अंदर दिया गया है, तो संयुग्मों को ''C'' के अंदर ले जाया जा सकता है। यदि ऐसा कोई C निर्दिष्ट नहीं है, तो कोई अपेक्षाकृत छोटे क्षेत्र ''L'' में संयुग्मों को ले सकता है। ''L'' के लिए सबसे छोटा संभव विकल्प ''p<sub>K</sub>''<sub>,''α''</sub>,के K पर एक विभाजन क्षेत्र युक्त है, जिसमें {{math|''α''}} सम्मिलित है। यदि L, K युक्त α का कोई [[सामान्य विस्तार]] है जिसमें α है, तो परिभाषा के अनुसार इसमें पहले से ही ऐसा विभाजन क्षेत्र सम्मिलित है। | ||
स्वसमाकृतिकता गलोइस समूह Aut''(L/K) = G'' के साथ ''K'' का एक सामान्य विस्तार ''L'' दिया गया है, और इसमें α युक्त, ''G'' में ''g'' के लिए कोई भी अवयव g(α) α का एक संयुग्म होगा, क्योंकि [[automorphism|स्वसमाकृतिकता]] ''p'' की जड़ों के लिए ,''g p'' की घातें भेजता है। इसके विपरीत α का कोई संयुग्मी β इस रूप का है: दूसरे शब्दों में, G संयुग्मों पर सामूहिक क्रिया(गणित) प्रकार की क्रियाएं करता है। यह इस प्रकार है कि ''K(α)'' न्यूनतम बहुपद की अपरिवर्तनीयता द्वारा K(β) के लिए K-आइसोमॉर्फिक है, और क्षेत्र F और F का कोई भी आइसोमोर्फिज्म है।{{'}}जो बहुपद p को p से मैप करता है{{'}}F और p पर p के विभाजन वाले क्षेत्रों के एक समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है{{'}}एफ पर{{'}}, क्रमश। | |||
संक्षेप में, α के संयुग्मी अवयव K के किसी भी सामान्य विस्तार L में पाए जाते हैं जिसमें K(α) होता है, जो ऑट (L/K) में g के लिए अवयवों g(α) के सेट के रूप में होता है। प्रत्येक अवयव की उस सूची में दोहराने की संख्या वियोज्य डिग्री है [L:K(α)]<sub>sep</sub>. | संक्षेप में, α के संयुग्मी अवयव K के किसी भी सामान्य विस्तार L में पाए जाते हैं जिसमें K(α) होता है, जो ऑट (L/K) में g के लिए अवयवों g(α) के सेट के रूप में होता है। प्रत्येक अवयव की उस सूची में दोहराने की संख्या वियोज्य डिग्री है [L:K(α)]<sub>sep</sub>. | ||
Revision as of 17:08, 13 February 2023
 | This article needs additional citations for verification. (December 2010) (Learn how and when to remove this template message) |
गणित में, विशेष क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में, संयुग्म अवयव या बीजगणितीय अवयव α के बीजगणितीय संयुग्म, क्षेत्र विस्तार L/K पर , न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) pK, α(x) α के ऊपर K की घातें हैं। संयुग्म अवयवों को सामान्यतः संदर्भों में संयुग्म कहा जाता है जहां यह अस्पष्ट नहीं है। सामान्य रूप से α ही α के संयुग्मों के समुच्चय में सम्मिलित होता है।
समतुल्य रूप से, α के संयुग्म L के क्षेत्र स्वसमाकृतिकता के निम्न α के प्रतिरूप हैं जो कि K के अवयवों को छोड़ देते हैं।. दो परिभाषाओं की समानता गैलोज सिद्धांत के प्रारम्भिक बिंदुओं में से एक है।
अवधारणा जटिल संयुग्मन को सामान्यीकृत करती है, क्योंकि एक जटिल संख्या के पर बीजगणितीय संयुग्म स्वयं संख्या और इसके जटिल संयुग्म हैं।
संख्या एक (संख्या) के घनमूल हैं:
बाद की दो घातें न्यूनतम बहुपद
के साथ अवयव Q[i√3] में संयुग्मी अवयव हैं।
गुण
यदि K बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र C के अंदर दिया गया है, तो संयुग्मों को C के अंदर ले जाया जा सकता है। यदि ऐसा कोई C निर्दिष्ट नहीं है, तो कोई अपेक्षाकृत छोटे क्षेत्र L में संयुग्मों को ले सकता है। L के लिए सबसे छोटा संभव विकल्प pK,α,के K पर एक विभाजन क्षेत्र युक्त है, जिसमें α सम्मिलित है। यदि L, K युक्त α का कोई सामान्य विस्तार है जिसमें α है, तो परिभाषा के अनुसार इसमें पहले से ही ऐसा विभाजन क्षेत्र सम्मिलित है।
स्वसमाकृतिकता गलोइस समूह Aut(L/K) = G के साथ K का एक सामान्य विस्तार L दिया गया है, और इसमें α युक्त, G में g के लिए कोई भी अवयव g(α) α का एक संयुग्म होगा, क्योंकि स्वसमाकृतिकता p की जड़ों के लिए ,g p की घातें भेजता है। इसके विपरीत α का कोई संयुग्मी β इस रूप का है: दूसरे शब्दों में, G संयुग्मों पर सामूहिक क्रिया(गणित) प्रकार की क्रियाएं करता है। यह इस प्रकार है कि K(α) न्यूनतम बहुपद की अपरिवर्तनीयता द्वारा K(β) के लिए K-आइसोमॉर्फिक है, और क्षेत्र F और F का कोई भी आइसोमोर्फिज्म है।'जो बहुपद p को p से मैप करता है'F और p पर p के विभाजन वाले क्षेत्रों के एक समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है'एफ पर', क्रमश।
संक्षेप में, α के संयुग्मी अवयव K के किसी भी सामान्य विस्तार L में पाए जाते हैं जिसमें K(α) होता है, जो ऑट (L/K) में g के लिए अवयवों g(α) के सेट के रूप में होता है। प्रत्येक अवयव की उस सूची में दोहराने की संख्या वियोज्य डिग्री है [L:K(α)]sep.
लियोपोल्ड क्रोनकर के एक प्रमेय में कहा गया है कि यदि α एक गैर-शून्य बीजगणितीय पूर्णांक है जैसे कि जटिल संख्याओं में α और इसके सभी संयुग्मों का अधिकतम 1 पर पूर्ण मान है, तो α एकता की जड़ है। इसके मात्रात्मक रूप हैं, संयुग्म के सबसे बड़े निरपेक्ष मान पर अधिक सटीक सीमा (डिग्री के आधार पर) बताते हुए, जिसका अर्थ है कि एक बीजगणितीय पूर्णांक एकता का मूल है।
संदर्भ
- David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.
