स्वतुल्य संबंध

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Partial order ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Total order ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Well-ordering ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ Lattice ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ Join-semilattice ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Strict total order ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
Y indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक सेट (गणित) x पर एक द्विआधारी संबंध r 'रिफ्लेक्टिव' है यदि यह x के प्रत्येक तत्व से संबंधित है। एक रिफ्लेक्टिव रिलेशन का एक उदाहरण वास्तविक संख्याओं के सेट पर संबंध समानता (गणित) है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर है।एक रिफ्लेक्टिव रिलेशन को रिफ्लेक्टिव प्रॉपर्टी के बारे में कहा जाता है या कहा जाता है कि वह रिफ्लेक्सिटी के पास है।सममित संबंध और सकर्मक संबंध के साथ, रिफ्लेक्सिटी तीन गुणों में से एक है जो तुल्यता संबंधों को परिभाषित करता है।

परिभाषाएँ

होने देना $R$ एक सेट पर एक द्विआधारी संबंध हो $X,$ जो परिभाषा के अनुसार सिर्फ एक सबसेट है $X\times X.$ किसी के लिए $x,y\in X,$ अंकन $xRy$ मतलब कि $(x,y)\in R$ जबकि नहीं $xRy$मतलब कि $(x,y)\not \in R.$ सम्बन्ध $R$ कहा जाता है reflexive अगर $xRx$ हरएक के लिए $x\in X$ या समतुल्य रूप से, अगर $\operatorname {I} _{X}\subseteq R$ कहाँ पे $\operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}$ पर पहचान के संबंध को दर्शाता है $X.$

reflexive closure }} का $R$ संघ है $R\cup \operatorname {I} _{X},$ जिसे समतुल्य रूप से सबसे छोटे के रूप में परिभाषित किया जा सकता है) $\subseteq$) पर रिफ्लेक्टिव रिलेशनशिप $X$ यह एक बगुला है $R.$ एक संबंध $R$ यदि और केवल अगर यह अपने रिफ्लेक्टिव क्लोजर के बराबर है तो रिफ्लेक्टिव है। reflexive reduction }} या irreflexive kernel का $R$ सबसे छोटा है (संबंध के साथ $\subseteq$) पर संबंध $X$ के रूप में एक ही रिफ्लेक्टिव क्लोजर है $R.$ यह बराबर है $R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.$ की अकाट्य कर्नेल $R$ एक अर्थ में, एक निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो कि रिफ्लेक्टिव क्लोजर के विपरीत है $R.$ उदाहरण के लिए, कैनोनिकल सख्त असमानता का रिफ्लेक्टिव क्लोजर $<$ वास्तविक संख्या पर $\mathbb {R}$ सामान्य गैर-सख्ती असमानता है $\leq$ जबकि रिफ्लेक्टिव कमी $\leq$ है $<.$ 

संबंधित परिभाषाएँ

रिफ्लेक्टिव प्रॉपर्टी से संबंधित कई परिभाषाएँ हैं। सम्बन्ध $R$ कहा जाता है:

Irreflexive,Anti-reflexiveयाAliorelative

यदि यह किसी भी तत्व से संबंधित नहीं है;वह है, अगर नहीं $xRx$ हरएक के लिए $x\in X.$ एक संबंध अकाट्य है यदि और केवल अगर इसका पूरक संबंध है $X\times X$ रिफ्लेक्टिव है।एक असममित संबंध आवश्यक रूप से अकाट्य है।एक सकर्मक और अकाट्य संबंध आवश्यक रूप से असममित है।

Left quasi-reflexive

जब भी $x,y\in X$ ऐसे हैं कि $xRy,$ फिर जरूरी $xRx.$

Right quasi-reflexive

जब भी $x,y\in X$ ऐसे हैं कि $xRy,$ फिर जरूरी $yRy.$

Quasi-reflexive

यदि हर तत्व जो कुछ संबंध का हिस्सा है, तो वह स्वयं से संबंधित है।स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि जब भी $x,y\in X$ ऐसे हैं कि $xRy,$ फिर जरूरी $xRx$ and $yRy.$ समान रूप से, एक द्विआधारी संबंध अर्ध-रिफ्लेक्सिव है यदि और केवल अगर यह दोनों बाएं अर्ध-रिफ्लेक्सिव और राइट क्वैसी-रिफ्लेक्सिव है।एक संबंध $R$ अगर और केवल अगर इसका सममित बंद होना $R\cup R^{\operatorname {T} }$ बाएं (या दाएं) अर्ध-रिफ्लेक्सिव है।

असंबद्ध संबंध संबंध: जब भी $x,y\in X$ ऐसे हैं कि $xRy{\text{ and }}yRx,$ फिर जरूरी $x=y.$ ;Coreflexive: जब भी $x,y\in X$ ऐसे हैं कि $xRy,$ फिर जरूरी $x=y.$ एक संबंध $R$ कोरफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर इसका सममित बंद एंटीसिमेट्रिक संबंध है। एंटी-सममितीय।

एक गैर -रिक्त सेट पर एक रिफ्लेक्टिव संबंध $X$ न तो अकाट्य हो सकता है, न ही असममित संबंध ($R$ कहा जाता है asymmetric अगर $xRy$ तात्पर्य नहीं है $yRx$), और न ही प्रतिवाद ($R$ है antitransitive अगर $xRy{\text{ and }}yRz$ तात्पर्य नहीं है $xRz$)।

उदाहरण

रिफ्लेक्टिव संबंधों के उदाहरण & nbsp; शामिल हैं:

• के बराबर है (समानता (गणित))
• (सेट समावेशन) का एक सबसेट है
• विभाजन (विभाजक)
• से अधिक या बराबर है
• से कम या उसके बराबर है

अकाट्य संबंधों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• के बराबर नहीं है
• 1 से बड़े पूर्णांक पर कॉपीरीट है
• का एक उचित सबसेट है
• से बड़ा है
• मै रुक जाना

एक अकाट्य संबंध का एक उदाहरण, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी तत्व से संबंधित नहीं है, संबंध से अधिक है ($x>y$) वास्तविक संख्या पर।हर संबंध जो रिफ्लेक्टिव नहीं है वह अकाट्य नहीं है;उन संबंधों को परिभाषित करना संभव है जहां कुछ तत्व स्वयं से संबंधित हैं, लेकिन अन्य नहीं हैं (यानी, न तो सभी और न ही कोई नहीं हैं)।उदाहरण के लिए, द्विआधारी संबंध के उत्पाद $x$ और $y$ यहां तक कि सम संख्याओं के सेट पर भी रिफ्लेक्टिव है, विषम संख्याओं के सेट पर अकाट्य, और न तो रिफ्लेक्टिव और न ही प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर अकाट्य है।

एक अर्ध-विद्रोही संबंध का एक उदाहरण $R$ वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट पर एक ही सीमा है: प्रत्येक अनुक्रम में एक सीमा नहीं है, और इस प्रकार संबंध प्रतिवर्त नहीं है, लेकिन यदि किसी अनुक्रम में कुछ अनुक्रम के समान सीमा है, तो इसकी सीमा ही है।। एक बाएं अर्ध-पुनर्विचार संबंध का एक उदाहरण एक बाएं यूक्लिडियन संबंध है, जो हमेशा क्वासी-रिफ्लेक्सिव को छोड़ दिया जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि सही अर्ध-पुनर्विचार, और इस प्रकार जरूरी नहीं कि अर्ध-रिफ्लेक्सिव हो।

एक कोरफ्लेक्स संबंध का एक उदाहरण पूर्णांक पर संबंध है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित है और कोई अन्य संबंध नहीं हैं।समानता संबंध एक रिफ्लेक्टिव और कोरफ्लेक्सिव संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी कोरफ्लेक्सिव रिलेशन आइडेंटिटी रिलेशन का एक सबसेट है।एक कोरफ्लेक्स संबंध का मिलन और एक ही सेट पर एक सकर्मक संबंध हमेशा सकर्मक होता है।

रिफ्लेक्टिव संबंधों की संख्या

एक $n$-तत्व समुच्चय पर स्वतुल्य संबंधों $2^{n^{2}-n}.$ की संख्या है

Number of n-element binary relations of different types

Elem­ents	Any	Transitive	Reflexive	Symmetric	Preorder	Partial order	Total preorder	Total order	Equivalence relation
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n	2n(n+1)/2			${\textstyle \sum _{k=0}^{n}k!S(n,k)}$	n!	${\textstyle \sum _{k=0}^{n}S(n,k)}$
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

Note that S(n, k) refers to Stirling numbers of the second kind.

दार्शनिक तर्क

प्रायः दार्शनिक तर्कशास्त्र के लेखक विभिन्न शब्दावली का प्रयोग करते हैं। गणितीय अर्थ में बाध्य संबंधों को दार्शनिक तर्क में पूरी तरह से रिफ्लेक्सिव कहा जाता है, और अर्ध-बाध्य संबंधों को रिफ्लेक्सिव कहा जाता है।

संदर्भ

• Levy, A. (1979) Basic Set Theory, Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
• Lidl, R. and Pilz, G. (1998). Applied abstract algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
• Quine, W. V. (1951). Mathematical Logic, Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5
• Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7.

बाहरी कड़ियाँ

• "Reflexivity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]