अतिपरवलयकार समूह: Difference between revisions

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समूह सिद्धांत में, अधिक सटीक रूप से ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, एक अतिपरवलयिक समूह है जिसे शब्द अतिपरवलयिक समूह या ग्रोमोव अतिपरवलयिक समूह के रूप में भी जाना जाता है, एक निश्चित रूप से उत्पन्न समूह (गणित) है जो एक शब्द मीट्रिक से सुसज्जित है जो निश्चित रूप से संतुष्ट करता है। शास्त्रीय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति से अमूर्त गुण। एक अतिशयोक्तिपूर्ण समूह की धारणा किसके द्वारा प्रस्तुति और विकसित की गई थी मिखाइल ग्रोमोव (1987). विभिन्न मौजूदा गणितीय सिद्धांतों से प्रेरणा मिली: हाइपरबोलिक ज्यामिति लेकिन निम्न-आयामी टोपोलॉजी (विशेष रूप से हाइपरबोलिक रीमैन सतह के मौलिक समूह के विषय में मैक्स डेहन के परिणाम, और 3-कई गुना में अधिक जटिल घटनाएं। त्रि-आयामी टोपोलॉजी), और संयोजन समूह सिद्धांत। एक बहुत ही प्रभावशाली (1000 से अधिक उद्धरणों में ^[1]) 1987 से अध्याय, ग्रोमोव ने एक व्यापक अनुसंधान कार्यक्रम प्रस्तावित किया। अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत में विचार और मूलभूत सामग्री भी जॉर्ज मोस्टो, विलियम थर्स्टन, जेम्स डब्ल्यू कैनन, एलियाहू चीरता है और कई अन्य लोगों के काम से उत्पन्न होती है।

परिभाषा

मान लो $G$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह बनें, और $X$ कुछ परिमित सेट के संबंध में इसका केली ग्राफ बनें और $S$ जनरेटर । सेट $X$ इसकी दूरी (ग्राफ सिद्धांत) के साथ संपन्न है (जिसमें किनारों की लंबाई एक है और दो कोने के बीच की दूरी उन्हें जोड़ने वाले पथ में किनारों की न्यूनतम संख्या है) जो इसे लंबाई की जगह में बदल देती है। समूह $G$ तब अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है यदि $X$ ग्रोमोव के अर्थ में एक δ-अतिपरवलयिक स्थान है। शीघ्र ही, इसका मतलब है कि मौजूद है $\delta >0$ ऐसा है कि किसी भी भूगणित त्रिभुज में $X$ है $\delta$ -पतली, जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है (स्थान तब कहा जाता है $\delta$ -अतिपरवलिक)।

x

y

z

B_{\delta }([x,y])

B_{\delta }([z,x])

B_{\delta }([y,z])

The δ-thin triangle condition

एक प्राथमिकता यह परिभाषा परिमित जनरेटिंग सेट की पसंद पर निर्भर करती है $S$ . यह मामला निम्नलिखित दो तथ्यों से अनुसरण नहीं करता है:

दो परिमित जनरेटिंग सेट के अनुरूप केली ग्राफ हमेशा अर्ध आइसोमेट्री| क्वासी-आइसोमेट्रिक एक से दूसरे;
कोई भी जियोडेसिक स्पेस जो एक जियोडेसिक ग्रोमोव-हाइपरबोलिक स्पेस के लिए अर्ध-सममितीय है, वह स्वयं ग्रोमोव-हाइपरबोलिक है।

इस प्रकार हम वैध रूप से एक निश्चित रूप से उत्पन्न समूह की बात कर सकते हैं $G$ जनरेटिंग सेट का जिक्र किए बिना हाइपरबोलिक होना। दूसरी ओर, एक स्थान जो a के लिए अर्ध-सममितीय है $\delta$ -हाइपरबोलिक स्पेस ही है $\delta '$ -कुछ के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण $\delta '>0$ लेकिन बाद वाला दोनों मूल पर निर्भर करता है $\delta$ और क्वासी-आइसोमेट्री पर, इस प्रकार $G$ प्राणी $\delta$ -अतिपरवलिक के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है ।

टिप्पणी

श्वार्ज-मिल्नोर लेम्मा^[2] कहा गया है कि अगर एक समूह $G$ समूह क्रिया (गणित) # क्रियाओं के प्रकार और एक उचित लंबाई के स्थान पर कॉम्पैक्ट भागफल (ऐसी क्रिया को अक्सर ज्यामितीय कहा जाता है) के साथ कार्य करता है $Y$ , तो यह सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है, और केली ग्राफ के लिए $G$ अर्ध-सममितीय है $Y$ . इस प्रकार एक समूह (अंतिम रूप से उत्पन्न और) अतिशयोक्तिपूर्ण है अगर और केवल अगर यह एक उचित अतिपरवलयिक स्थान पर एक ज्यामितीय क्रिया है।

अगर $G'\subset G$ परिमित सूचकांक वाला एक उपसमूह है (अर्थात, समूह $G/G'$ परिमित है), तो समावेशन किसी भी स्थानीय रूप से परिमित केली ग्राफ के शीर्ष पर एक अर्ध-आइसोमेट्री को प्रेरित करता है $G'$ के किसी भी स्थानीय परिमित केली ग्राफ में $G$ . इस प्रकार $G'$ अतिशयोक्तिपूर्ण है अगर और केवल अगर $G$ खुद है। अधिक प्रायः, यदि दो समूह अनुरूपता (समूह सिद्धांत) हैं, तो एक अतिशयोक्तिपूर्ण है यदि और केवल यदि दूसरा है।

उदाहरण

प्राथमिक अतिशयोक्तिपूर्ण समूह

अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सबसे सरल उदाहरण परिमित समूह हैं (जिनके केली ग्राफ परिमित व्यास के हैं, इसलिए $\delta$ -हाइपरबोलिक के साथ $\delta$ इस व्यास के बराबर)।

एक और सरल उदाहरण अनंत चक्रीय समूह द्वारा दिया गया है $\mathbb {Z}$ : का केली ग्राफ $\mathbb {Z}$ जनरेटिंग सेट के संबंध में $\{\pm 1\}$ एक रेखा है, इसलिए सभी त्रिभुज रेखाखंड हैं और ग्राफ है $0$ -अतिपरवलिक। यह इस प्रकार है कि कोई भी समूह जो वस्तुतः चक्रीय समूह है (इसमें एक प्रति है $\mathbb {Z}$ परिमित सूचकांक का) भी अतिशयोक्तिपूर्ण है, उदाहरण के लिए अनंत डायहेड्रल समूह।

समूहों के इस वर्ग के सदस्यों को अक्सर प्राथमिक अतिपरवलयिक समूह कहा जाता है (शब्दावली को अतिशयोक्तिपूर्ण तल पर क्रियाओं से अनुकूलित किया जाता है)।

पेड़ों पर अभिनय करने वाले मुक्त समूह और समूह

मान लेते हैं, $S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ एक परिमित समूह हो और $F$ जनरेटिंग सेट के साथ मुक्त समूह बनें $S$ . फिर केली ग्राफ $F$ इसके संबंध में $S$ स्थानीय रूप से परिमित वृक्ष (ग्राफ सिद्धांत) है और इसलिए 0-हाइपरबोलिक स्पेस है। इस प्रकार $F$ अतिशयोक्तिपूर्ण समूह है।

अधिक प्रायः हम देखते हैं कि कोई भी समूह $G$ जो स्थानीय रूप से परिमित पेड़ पर ठीक से काम करता है (इस संदर्भ में इसका मतलब यह है कि स्टेबलाइजर्स में $G$ शीर्ष का परिमित हैं) अतिशयोक्तिपूर्ण है। वास्तव में, यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $G$ एक अपरिवर्तनीय सबट्री है जिस पर यह कॉम्पैक्ट भागफल और स्वार्क-मिल्नोर लेम्मा साथ कार्य करता है। ऐसे समूह वास्तव में वस्तुतः मुक्त होते हैं (अर्थात परिमित सूचकांक का एक निश्चित रूप से उत्पन्न मुक्त उपसमूह होता है), जो उनकी अतिशयोक्ति का एक और प्रमाण देता है।

एक चित्ताकर्षक उदाहरण मॉड्यूलर समूह है $G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ : यह संबंधित मॉड्यूलर समूह के 1-कंकाल द्वारा दिए गए पेड़ पर कार्य करता है # हाइपरबोलिक विमान का टेसेलेशन और इसमें इंडेक्स 6 का एक परिमित सूचकांक मुक्त उपसमूह (दो जनरेटर पर) होता है (उदाहरण के लिए मेट्रिसेस का सेट) $G$ जो पहचान मोडुलो 2 को कम करता है वह एक ऐसा समूह है)। इस उदाहरण की एक चित्ताकर्षक विशेषता पर ध्यान दें: यह हाइपरबोलिक स्पेस (अतिशयोक्तिपूर्ण विमान) पर ठीक से काम करता है, लेकिन एक्शन सह-कॉम्पैक्ट नहीं है (और वास्तव में $G$ अतिशयोक्तिपूर्ण तल के लिए अर्ध-सममितीय नहीं है)।

फुचियन समूह

मॉड्यूलर समूह के उदाहरण को सामान्यीकृत करना एक फ्यूचियन समूह एक ऐसा समूह है जो अतिशयोक्तिपूर्ण विमान (समतुल्य रूप से, एक असतत उपसमूह) पर उचित रूप से बंद कार्रवाई को स्वीकार करता है। $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ ). अतिशयोक्तिपूर्ण तल एक $\delta$ -हाइपरबोलिक स्पेस है और इसलिए स्वरस-मिलनोर लेम्मा हमें बताता है कि कोकॉम्पैक्ट फुचियन समूह हाइपरबोलिक हैं।

इसके उदाहरण सतह (टोपोलॉजी) के मूलभूत समूह हैं #नकारात्मक यूलर विशेषता की बंद सतहें। वास्तव में, इन सतहों को अतिपरवलयिक समतल के भागफल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि पॉइंकेयर-कोएबे यूनिफ़ॉर्मिसेशन प्रमेय#ज्यामितीय वर्गीकरण सतहों द्वारा निहित है।

कोकॉम्पैक्ट फुकियान समूहों के उदाहरणों का एक अन्य परिवार त्रिभुज समूह द्वारा दिया गया है # अतिशयोक्तिपूर्ण घटना सभी लेकिन अंतिम रूप से बहुत से अतिशयोक्तिपूर्ण हैं।

ऋणात्मक वक्रता

बंद सतहों के उदाहरण को सामान्य करते हुए, कड़ाई से नकारात्मक अनुभागीय वक्रता के साथ कॉम्पैक्ट रीमैनियन कई गुना के मौलिक समूह अतिशयोक्तिपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, हस्ताक्षर के एक रूप के ओर्थोगोनल या एकात्मक समूह में कोकॉम्पैक्ट जाली (असतत उपसमूह) $(n,1)$ अतिशयोक्तिपूर्ण हैं।

कैट (के) स्थान पर एक ज्यामितीय क्रिया को स्वीकार करने वाले समूहों द्वारा एक और सामान्यीकरण दिया जाता है।^[3] ऐसे उदाहरण मौजूद हैं जो पिछले निर्माणों में से किसी के अनुरूप नहीं हैं (उदाहरण के लिए हाइपरबोलिक बिल्डिंग (गणित) पर ज्यामितीय रूप से कार्य करने वाले समूह)।

छोटे रद्दीकरण समूह

छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत की शर्तों को पूरा करने वाली प्रस्तुतियों वाले समूह अतिशयोक्तिपूर्ण हैं। यह उन उदाहरणों का एक स्रोत देता है जिनका ज्यामितीय मूल नहीं है जैसा कि ऊपर दिया गया है। वास्तव में अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के प्रारंभिक विकास के लिए एक प्रेरणा छोटे रद्दीकरण की अधिक ज्यामितीय व्याख्या देना था।

यादृच्छिक समूह

कुछ अर्थों में, बड़े परिभाषित संबंधों वाले सबसे सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह अतिशयोक्तिपूर्ण हैं। इसका क्या अर्थ है, इसके मात्रात्मक विवरण के लिए रैंडम समूह देखें।

गैर-उदाहरण

एक समूह का सबसे सरल उदाहरण जो अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है, मुक्त एबेलियन समूह है $\mathbb {Z} ^{2}$ । दरअसल, यह यूक्लिडियन विमान के लिए अर्ध-सममितीय है जिसे आसानी से अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं देखा जाता है (उदाहरण के लिए होमोथेटिक परिवर्तन के अस्तित्व के कारण)।
अधिक सामान्यतः, कोई भी समूह जिसमें सम्मिलित है $\mathbb {Z} ^{2}$ एक उपसमूह के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है।^[4]^[5] विशेष रूप से, जाली (असतत उपसमूह) उच्च रैंक अर्द्धसरल झूठ समूहों और मौलिक समूहों में $\pi _{1}(S^{3}\setminus K)$ गैर तुच्छ गाँठ (गणित) के पूरक इस श्रेणी में आते हैं और इसलिए अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं हैं। यह बंद अतिशयोक्तिपूर्ण सतहों के वर्ग समूहों के मानचित्रण की भी घटना है।
बॉम्सलैग-सोलिटर समूह बी (एम, एन) और कोई भी समूह जिसमें कुछ बी (एम, एन) के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है, अतिपरवलयिक होने में विफल रहता है (बी (1,1) = के बाद से $\mathbb {Z} ^{2}$ , यह पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण करता है)।
रैंक 1 साधारण लाई समूह में एक गैर-समान जाली अतिशयोक्तिपूर्ण है अगर और केवल अगर समूह आइसोजेनी है $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ (समान रूप से संबद्ध सममित स्थान अतिपरवलयिक तल है)। इसका एक उदाहरण अतिशयोक्तिपूर्ण लिंक गाँठ समूह द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, दूसरा बियांची समूह है $\mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})$ .

गुण

बीजगणितीय गुण

अतिपरवलयिक समूह स्तन विकल्प को संतुष्ट करते हैं: वे या तो वस्तुतः हल करने योग्य होते हैं (यह संभावना केवल प्रारंभिक अतिपरवलयिक समूहों द्वारा संतुष्ट होती है) या उनके पास एक गैर-अबेलियन मुक्त समूह के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है।
गैर-प्राथमिक अतिपरवलयिक समूह बहुत मजबूत अर्थों में सरल समूह नहीं हैं: यदि $G$ गैर-प्राथमिक अतिशयोक्तिपूर्ण है तो एक अनंत उपसमूह मौजूद है $H\triangleleft G$ ऐसा है कि $H$ और $G/H$ दोनों अनंत हैं।
यह ज्ञात नहीं है कि क्या कोई अतिपरवलयिक समूह मौजूद है जो अवशिष्ट परिमित समूह नहीं है।

ज्यामितीय गुण

गैर-प्राथमिक (अनंत और वस्तुतः चक्रीय नहीं) अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों में हमेशा घातीय वृद्धि दर (समूह सिद्धांत) होती है (यह स्तन विकल्प का एक परिणाम है)।
अतिशयोक्तिपूर्ण समूह एक रेखीय समपरिमितीय असमानता को संतुष्ट करते हैं।^[6]

सजातीय गुण

अतिशयोक्तिपूर्ण समूह हमेशा एक समूह की प्रस्तुति होते हैं। वास्तव में कोई स्पष्ट रूप से एक कॉम्प्लेक्स (रिप्स कॉम्प्लेक्स) का निर्माण कर सकता है जो अनुबंधित स्थान है और जिस पर समूह ज्यामितीय रूप से कार्य करता है^[7] तो यह समूहों के परिमित गुणों का है | टाइप एफ_∞. जब समूह मरोड़-मुक्त होता है तो क्रिया मुक्त होती है, यह दर्शाता है कि समूह में परिमित कोहोलॉजिकल आयाम हैं।
2002 में, आई. माइनयेव ने दिखाया कि अतिशयोक्तिपूर्ण समूह वास्तव में वे सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूह हैं, जिनके लिए बाउंड कोहोलॉजी और समूह कोहोलॉजी के बीच तुलना मानचित्र सभी डिग्री में, या समकक्ष रूप से, डिग्री 2 में विशेषण है।^[8]

एल्गोरिदमिक गुण

अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों में समूहों के लिए हल करने योग्य शब्द समस्या होती है। वे द्विस्वचालित समूह और स्वचालित समूह हैं।^[9] दरअसल, वे स्वचालित समूह हैं, अर्थात्, समूह पर एक स्वचालित संरचना होती है, जहाँ स्वीकर्ता शब्द द्वारा स्वीकृत भाषा सभी भूगणितीय शब्दों का समूह है।
यह 2010 में दिखाया गया था कि अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों में एक निश्चितता (तर्क) चिह्नित समरूपता समस्या है।^[10] यह उल्लेखनीय है कि इसका मतलब है कि समरूपता समस्या, कक्षीय समस्याएं (विशेष रूप से संयुग्मन समस्या) और व्हाइटहेड की समस्या सभी निर्णायक हैं।
कैनन और स्वेनसन ने दिखाया है कि अनंत पर 2-गोले वाले अतिपरवलयिक समूहों में एक प्राकृतिक परिमित उपखंड नियम होता है।^[11] यह तोप के अनुमान से संबंधित है।

सामान्यीकरण

अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण समूह

अपेक्षाकृत अतिपरवलयिक समूह अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों का सामान्यीकरण करने वाला एक वर्ग है। बहुत मोटे तौर पर^[12] $G$ एक संग्रह के सापेक्ष अतिशयोक्तिपूर्ण है ${\mathcal {G}}$ उपसमूहों की अगर यह एक उचित अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान पर उचित रूप से बंद कार्रवाई को स्वीकार करता है (जरूरी नहीं कि कोकॉम्पैक्ट) $X$ जो की सीमा पर अच्छा है $X$ और ऐसे में स्टेबलाइजर्स $G$ सीमा पर बिंदुओं के उपसमूह हैं ${\mathcal {G}}$ . यह चित्ताकर्षक है जब दोनों $X$ और की कार्रवाई $G$ पर $X$ प्राथमिक नहीं हैं (विशेष रूप से $X$ अनंत है: उदाहरण के लिए प्रत्येक समूह एक ही बिंदु पर अपनी कार्रवाई के माध्यम से अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण है!)

इस वर्ग के चित्ताकर्षक उदाहरणों में विशेष रूप से गैर-समान जाली में रैंक 1 सेमीसिम्पल लाइ समूह सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए परिमित मात्रा के गैर-कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड के मौलिक समूह। गैर-उदाहरण उच्च-श्रेणी के झूठ समूहों और मानचित्रण वर्ग समूहों में जाली हैं।

एसाइलिंड्रिकली हाइपरबॉलिक समूह

एक और अधिक सामान्य धारणा एक सिलिंडिक रूप से अतिपरवलयिक समूह की है।^[13] एक समूह की कार्रवाई की तीक्ष्णता $G$ एक मीट्रिक स्थान पर $X$ कार्रवाई की उचित निरंतरता का कमजोर होना है।^[14], एक समूह को एसाइलिंड्रिक रूप से हाइपरबोलिक कहा जाता है यदि यह ग्रोमोव-हाइपरबोलिक स्पेस (आवश्यक रूप से उचित नहीं) पर एक गैर-प्राथमिक एसाइलिंड्रिकल क्रिया को स्वीकार करता है। इस धारणा में वक्र परिसरों पर उनके कार्यों के माध्यम से वर्ग समूहों का मानचित्रण सम्मिलित है। उच्च-श्रेणी के लाई समूहों में जाली (अभी भी!) सिलिंडरिक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं हैं।

कैट (0) समूह

एक अन्य दिशा में उपरोक्त उदाहरणों में वक्रता के बारे में धारणा को कमजोर कर सकते हैं: कैट (0) समूह कैट (0) स्थान पर एक ज्यामितीय क्रिया को स्वीकार करने वाला समूह है। इसमें अंतरिक्ष समूह और उच्च-श्रेणी के लाई समूहों में समान जाली सम्मिलित हैं।

यह ज्ञात नहीं है कि क्या कोई अतिशयोक्तिपूर्ण समूह मौजूद है जो सीएटी (0) नहीं है।^[15]

↑ Gromov, Mikhail (1987). "Hyperbolic Groups". In Gersten, S.M. (ed.). Essays in Group Theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol 8. New York, NY: Springer. pp. 75–263.
↑ Bowditch, 2006 & Theorem 3.6.
↑ for a proof that this includes the previous examples see https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/
↑ Ghys & de la Harpe 1990, Ch. 8, Th. 37.
↑ Bridson & Haefliger 1999, Chapter 3.Γ, Corollary 3.10..
↑ Bowditch 2006, (F4) in paragraph 6.11.2.
↑ Ghys & de la Harpe 1990, Chapitre 4.
↑ Mineyev 2002.
↑ Charney 1992.
↑ Dahmani & Guirardel 2011.
↑ Cannon & Swenson 1998.
↑ Bowditch 2012.
↑ Osin 2016.
↑ In some detail: it asks that for every $\varepsilon >0$ there exist $R,N>0$ such that for every two points $x,y\in X$ which are at least $R$ apart there are at most $N$ elements $g\in G$ satisfying $d(x,gx)<\varepsilon$ and $d(y,gy)<\varepsilon$ .
↑ "Are all δ-hyperbolic groups CAT(0)?". Stack Exchange. February 10, 2015.

संदर्भ

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[1] Gromov, Mikhail (1987). "Hyperbolic Groups". In Gersten, S.M. (ed.). Essays in Group Theory. Mathematical Sciences Research Institute Publications, vol 8. New York, NY: Springer. pp. 75–263.

[FOOTNOTEBowditch2006Theorem_3.6-2] Bowditch, 2006 & Theorem 3.6.

[3] r a proof that this includes the previous examples see https://lamington.wordpress.com/2012/10/17/upper-curvature-bounds-and-catk/

[FOOTNOTEGhysde_la_Harpe1990Ch._8,_Th._37-4] Ghys & de la Harpe 1990, Ch. 8, Th. 37.

[FOOTNOTEBridsonHaefliger1999Chapter_3.Γ,_Corollary_3.10.-5] Bridson & Haefliger 1999, Chapter 3.Γ, Corollary 3.10..

[FOOTNOTEBowditch2006(F4)_in_paragraph_6.11.2-6] Bowditch 2006, (F4) in paragraph 6.11.2.

[FOOTNOTEGhysde_la_Harpe1990Chapitre_4-7] Ghys & de la Harpe 1990, Chapitre 4.

[FOOTNOTEMineyev2002-8] Mineyev 2002.

[FOOTNOTECharney1992-9] Charney 1992.

[FOOTNOTEDahmaniGuirardel2011-10] Dahmani & Guirardel 2011.

[FOOTNOTECannonSwenson1998-11] Cannon & Swenson 1998.

[FOOTNOTEBowditch2012-12] Bowditch 2012.

[FOOTNOTEOsin2016-13] Osin 2016.

[14] In some detail: it asks that for every $\varepsilon >0$ there exist $R,N>0$ such that for every two points $x,y\in X$ which are at least $R$ apart there are at most $N$ elements $g\in G$ satisfying $d(x,gx)<\varepsilon$ and $d(y,gy)<\varepsilon$ .

[15] "Are all δ-hyperbolic groups CAT(0)?". Stack Exchange. February 10, 2015.

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 == उदाहरण ==
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+=== प्राथमिक अतिशयोक्तिपूर्ण समूह ===
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 == सामान्यीकरण ==
-=== अपेक्षाकृत अतिपरवलयकार समूह ===
+=== अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण समूह ===
 {{main article|Relatively hyperbolic group}}
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