अष्टाधारी

Numeral systems, bits and Gray code

hex	dec	oct	3	2	1	0	step
0hex	00dec	00oct	0	0	0	0	g0
1hex	01dec	01oct	0	0	0	1	h1
2hex	02dec	02oct	0	0	1	0	j3
3hex	03dec	03oct	0	0	1	1	i2
4hex	04dec	04oct	0	1	0	0	n7
5hex	05dec	05oct	0	1	0	1	m6
6hex	06dec	06oct	0	1	1	0	k4
7hex	07dec	07oct	0	1	1	1	l5
8hex	08dec	10oct	1	0	0	0	vF
9hex	09dec	11oct	1	0	0	1	uE
Ahex	10dec	12oct	1	0	1	0	sC
Bhex	11dec	13oct	1	0	1	1	tD
Chex	12dec	14oct	1	1	0	0	o8
Dhex	13dec	15oct	1	1	0	1	p9
Ehex	14dec	16oct	1	1	1	0	rB
Fhex	15dec	17oct	1	1	1	1	qA

अष्टक अंक प्रणाली, या संक्षेप में अष्टक, मूलांक-8 संख्या प्रणाली है, और संख्यात्मक अंक 0 से 7 तक का उपयोग करता है। यह कहना है कि 10_octal आठ और 100 का प्रतिनिधित्व करता है_octal चौंसठ का प्रतिनिधित्व करता है। हालाँकि, अंग्रेजी, अधिकांश भाषाओं की तरह, एक आधार 10|आधार-10 संख्या प्रणाली का उपयोग करती है, इसलिए एक वास्तविक अष्टक प्रणाली विभिन्न शब्दावली का उपयोग कर सकती है।

दशमलव प्रणाली में, प्रत्येक स्थान दस की शक्ति है। उदाहरण के लिए:

$\mathbf {74} _{10}=\mathbf {7} \times 10^{1}+\mathbf {4} \times 10^{0}$

अष्टक प्रणाली में, प्रत्येक स्थान आठ की शक्ति है। उदाहरण के लिए:

$\mathbf {112} _{8}=\mathbf {1} \times 8^{2}+\mathbf {1} \times 8^{1}+\mathbf {2} \times 8^{0}$

परिचित दशमलव प्रणाली में ऊपर की गणना करके, हम देखते हैं कि ऑक्टल में 112 बराबर क्यों है $64+8+2=74$ दशमलव में।

ऑक्टल अंकों को तीन के समूहों में लगातार बाइनरी अंकों को समूहित करके (पूर्णांक के लिए दाईं ओर से शुरू करके) बाइनरी अंक प्रणाली के प्रतिनिधित्व (एक चतुर्धातुक अंक प्रणाली के समान) से आसानी से परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दशमलव 74 के लिए द्विआधारी प्रतिनिधित्व 1001010 है। बाईं ओर दो शून्य जोड़े जा सकते हैं: (00)1 001 010, अष्टक अंकों के अनुरूप 1 1 2, अष्टक प्रतिनिधित्व 112 की उपज।

The octal multiplication table

×	1	2	3	4	5	6	7	10
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	4	6	10	12	14	16	20
3	3	6	11	14	17	22	25	30
4	4	10	14	20	24	30	34	40
5	5	12	17	24	31	36	43	50
6	6	14	22	30	36	44	52	60
7	7	16	25	34	43	52	61	70
10	10	20	30	40	50	60	70	100

उपयोग

चीन में

आधार पर 0, शीर्ष पर 7, दाईं ओर 1 से 3, बाईं ओर 4 से 6

आई चिंग के आठ बगुआ या त्रिकोण अष्टक अंकों के अनुरूप हैं:

• 0 = ☷, 1 = ☳, 2 = ☵, 3 = ☱,
• 4 = ☶, 5 = ☲, 6 = ☴, 7 = ☰।

Gottfried Wilhelm Leibniz ने 1703 में ट्रिग्राम, हेक्साग्राम और बाइनरी नंबर के बीच संबंध बनाया।

अमेरिकी मूल-निवासियों द्वारा

• कैलिफोर्निया में युकी भाषा में एक अष्टक प्रणाली है क्योंकि वक्ता उंगलियों के बजाय अपनी उंगलियों के बीच के रिक्त स्थान का उपयोग करके गिनते हैं।
• मेक्सिको में पेम भाषा में भी एक अष्टक प्रणाली है, क्योंकि उनके बोलने वाले एक बंद मुट्ठी के पोर पर गिनते हैं।

यूरोपियों द्वारा

• यह सुझाव दिया गया है कि नौ के लिए पुनर्निर्मित प्रोटो-इंडो-यूरोपियन|प्रोटो-इंडो-यूरोपियन (पीआईई) शब्द नए के लिए पीआईई शब्द से संबंधित हो सकता है। इसके आधार पर, कुछ ने अनुमान लगाया है कि प्रोटो-इंडो-यूरोपीय लोगों ने एक अष्टक संख्या प्रणाली का इस्तेमाल किया था, हालांकि इसका समर्थन करने वाले सबूत पतले हैं।
• 1668 में, जॉन विल्किंस ने एन एस्से टुवर्ड्स ए रियल कैरेक्टर, एंड ए फिलोसोफिकल लैंग्वेज में 10 के बजाय आधार 8 के उपयोग का प्रस्ताव दिया क्योंकि द्विभाजन या द्विभाजन का तरीका सबसे स्वाभाविक और आसान प्रकार का विभाजन है, वह संख्या इसे नीचे करने में सक्षम है एक यूनाईटेड के लिए।
• 1716 में, स्वीडन के राजा चार्ल्स XII ने एमानुएल स्वीडनबॉर्ग से 10 के बजाय 64 पर आधारित एक संख्या प्रणाली को विस्तृत करने के लिए कहा। स्वीडनबॉर्ग ने तर्क दिया, हालांकि, राजा की तुलना में कम बुद्धि वाले लोगों के लिए इतना बड़ा आधार बहुत कठिन होगा और इसके बजाय 8 प्रस्तावित किया आधार के रूप में। 1718 में स्वीडनबॉर्ग ने एक पांडुलिपि लिखी (लेकिन प्रकाशित नहीं की): En ny rekenkonst som vexlas wid Thalet 8 i stelle then wanliga wid Thalet 10 (एक नया अंकगणित (या गिनती की कला) जो सामान्य के बजाय संख्या 8 पर बदलता है नंबर 10)। संख्या 1-7 को व्यंजन l, s, n, m, t, f, u (v) और शून्य को स्वर o द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार 8 = लो, 16 = सो, 24 = नहीं, 64 = लू, 512 = लू आदि। क्रमागत व्यंजन वाली संख्याओं का उच्चारण एक विशेष नियम के अनुसार स्वरों के साथ किया जाता है।
• द जेंटलमैन मैगज़ीन, (लंदन) जुलाई 1745 में छद्म नाम हिरोसा एपी-इस्किम के तहत लिखते हुए, ह्यूग जोन्स (श्रद्धेय) ने ब्रिटिश सिक्कों, वज़न और माप के लिए एक अष्टक प्रणाली का प्रस्ताव रखा। जबकि कारण और सुविधा हमें सभी मात्राओं के लिए एक समान मानक का संकेत देती है; जिसे मैं जॉर्जियाई मानक कहूंगा; और वह केवल प्रत्येक पूर्णांक को आठ समान भागों में विभाजित करना है, और प्रत्येक भाग को फिर से 8 वास्तविक या काल्पनिक कणों में, जहाँ तक आवश्यक हो, विभाजित करना है। सभी राष्ट्रों के लिए दसियों (मूल रूप से दोनों हाथों पर अंकों की संख्या के आधार पर) द्वारा सार्वभौमिक रूप से गिना जाता है, फिर भी 8 कहीं अधिक पूर्ण और विशाल संख्या है; चूंकि यह एक अंश के बिना आधा, चौथाई, और आधा चौथाई (या इकाइयों) में विभाज्य है, जिनमें से उपखंड दस असमर्थ है ... ह्यूग जोन्स (श्रद्धेय) # प्रकाशन (1753) पर एक बाद के ग्रंथ में जोन्स ने निष्कर्ष निकाला: अंकगणित द्वारा ऑक्टेव चीजों की प्रकृति के लिए सबसे अधिक स्वीकार्य लगता है, और इसलिए दशकों से उपयोग में आने वाले प्राकृतिक अंकगणित के विरोध में प्राकृतिक अंकगणित कहा जा सकता है; जिसे कृत्रिम अंकगणित माना जा सकता है। * 1801 में हर्मिस्टन के जेम्स एंडरसन ने दशमलव अंकगणित पर मीट्रिक प्रणाली के आधार के लिए फ्रेंच की आलोचना की। उन्होंने आधार 8 का सुझाव दिया, जिसके लिए उन्होंने ऑक्टल शब्द गढ़ा। उनका काम मनोरंजक गणित के रूप में था, लेकिन उन्होंने वजन और माप की एक विशुद्ध रूप से अष्टक प्रणाली का सुझाव दिया और देखा कि अंग्रेजी इकाइयों की मौजूदा प्रणाली पहले से ही एक उल्लेखनीय सीमा तक एक अष्टक प्रणाली थी।
• 19वीं शताब्दी के मध्य में, अल्फ्रेड बी. टेलर ने निष्कर्ष निकाला कि हमारा ऑक्टोनरी [आधार 8] मूलांक इसलिए, सभी तुलनाओं से परे एक अंकगणितीय प्रणाली के लिए सर्वोत्तम संभव मूलांक है। प्रस्ताव में अंकों के लिए एक ग्राफिकल नोटेशन और संख्याओं के लिए नए नाम शामिल थे, जिसमें यह सुझाव दिया गया था कि हमें अन, डु, द, फ़ो, पा, से, की, यूनिटी, यूनिटी-अन, अन्टी-डु और इसी तरह की गिनती क्रमिक रूप से करनी चाहिए। आठ के गुणज में यूनिटी, ड्यूटी, थेटी, फोटी, पैटी, सेट्य, किटी और अंडर नाम दिया गया है। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 65 (ऑक्टल में 101) ऑक्टोनरी में अंडर-अन के रूप में बोली जाएगी। टेलर ने उपरोक्त उद्धृत प्रकाशनों के परिशिष्ट के रूप में ऑक्टल पर स्वीडनबॉर्ग के कुछ कार्यों को भी पुनर्प्रकाशित किया।

कंप्यूटर में

जब UNIVAC 1050, PDP-8, ICT 1900 सीरीज़ और IBM मेनफ्रेम जैसी प्रणालियों ने छह-बिट वर्ण कोड | 6-बिट, 12-बिट कंप्यूटिंग | 12-बिट, 24-बिट कंप्यूटिंग | 24 को नियोजित किया, तो ऑक्टल का कंप्यूटिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। -बिट या 36-बिट कंप्यूटिंग | 36-बिट शब्द। ऑक्टल इन मशीनों के लिए बाइनरी का एक आदर्श संक्षिप्त नाम था क्योंकि उनका शब्द आकार तीन से विभाज्य है (प्रत्येक ऑक्टल अंक तीन बाइनरी अंकों का प्रतिनिधित्व करता है)। तो दो, चार, आठ या बारह अंक पूरे शब्द (कंप्यूटर आर्किटेक्चर) को संक्षिप्त रूप से प्रदर्शित कर सकते हैं। इसने एनआई राइट ट्यूब, सात-खंड डिस्प्ले और कैलकुलेटर को ऑपरेटर कंसोल के लिए उपयोग करने की अनुमति देकर लागत में कटौती की, जहां बाइनरी डिस्प्ले उपयोग करने के लिए बहुत जटिल थे, दशमलव डिस्प्ले को रेडिस को बदलने के लिए जटिल हार्डवेयर की आवश्यकता होती है, और हेक्साडेसिमल डिस्प्ले को अधिक अंक प्रदर्शित करने की आवश्यकता होती है। .

हालाँकि, सभी आधुनिक कंप्यूटिंग प्लेटफ़ॉर्म 16-, 32-, या 64-बिट शब्दों का उपयोग करते हैं, जिन्हें आगे ऑक्टेट (कंप्यूटिंग) | आठ-बिट बाइट्स में विभाजित किया गया है। ऐसी प्रणालियों पर प्रति बाइट तीन अष्टक अंकों की आवश्यकता होगी, जिसमें सबसे महत्वपूर्ण अष्टक अंक दो द्विआधारी अंकों का प्रतिनिधित्व करता है (साथ ही अगले महत्वपूर्ण बाइट का एक बिट, यदि कोई हो)। 16-बिट शब्द के ऑक्टल प्रतिनिधित्व के लिए 6 अंकों की आवश्यकता होती है, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण ऑक्टल अंक केवल एक बिट (0 या 1) का प्रतिनिधित्व करता है। यह प्रतिनिधित्व सबसे महत्वपूर्ण बाइट को आसानी से पढ़ने का कोई तरीका प्रदान नहीं करता है, क्योंकि यह चार ऑक्टल अंकों से घिरा हुआ है। इसलिए, आज प्रोग्रामिंग भाषाओं में हेक्साडेसिमल का अधिक उपयोग किया जाता है, क्योंकि दो हेक्साडेसिमल अंक बिल्कुल एक बाइट निर्दिष्ट करते हैं। पावर-ऑफ़-टू शब्द आकार वाले कुछ प्लेटफ़ॉर्म में अभी भी निर्देश उपशब्द हैं जो ऑक्टल में प्रदर्शित होने पर अधिक आसानी से समझ में आते हैं; इसमें PDP-11 और Motorola 68000 परिवार शामिल हैं। आधुनिक समय का सर्वव्यापी x86 आर्किटेक्चर भी इसी श्रेणी में आता है, लेकिन इस प्लेटफॉर्म पर ऑक्टल का उपयोग बहुत कम किया जाता है, हालांकि ऑक्टल में प्रदर्शित होने पर ओपकोड के बाइनरी एन्कोडिंग के कुछ गुण अधिक आसानी से स्पष्ट हो जाते हैं, उदा। ModRM बाइट, जो 2, 3, और 3 बिट्स के क्षेत्रों में विभाजित है, इसलिए ऑक्टल इन एनकोडिंग का वर्णन करने में उपयोगी हो सकता है। कोडांतरक (कम्प्यूटिंग) की उपलब्धता से पहले, कुछ प्रोग्रामर ऑक्टल में प्रोग्राम को हैंडकोड करेंगे; उदाहरण के लिए, डिक व्हिपल और जॉन अर्नोल्ड ने ऑक्टल का उपयोग करते हुए सीधे मशीन कोड में टिनी बेसिक लिखा। ऑक्टल का उपयोग कभी-कभी हेक्साडेसिमल के बजाय कंप्यूटिंग में किया जाता है, शायद आधुनिक समय में अक्सर यूनिक्स सिस्टम के तहत फ़ाइल अनुमतियों के संयोजन में (चामोद देखें)। इसमें अंकों के रूप में किसी भी अतिरिक्त प्रतीकों की आवश्यकता नहीं होने का लाभ है (हेक्साडेसिमल प्रणाली आधार -16 है और इसलिए 0–9 से आगे छह अतिरिक्त प्रतीकों की आवश्यकता है)। इसका उपयोग डिजिटल डिस्प्ले के लिए भी किया जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं में, ऑक्टल लिटरल (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) को आमतौर पर अंक सहित विभिन्न प्रकार के उपसर्गों के साथ पहचाना जाता है 0, पत्र o या q, अंक-अक्षर संयोजन 0o, या प्रतीक & या $. मोटोरोला कन्वेंशन में, ऑक्टल नंबरों के साथ उपसर्ग किया जाता है @, जबकि एक छोटा (या Capital पत्र oया qइंटेल सम्मेलन के बाद एक प्रत्यय के रूप में जोड़ा गया है। समवर्ती DOS में, बहुउपयोगकर्ता DOS और REAL/32 के साथ-साथ DOS प्लस और DR-DOS में विभिन्न पर्यावरण चर जैसे %$CLS%|$CLS, %$ON%|$ON, %$OFF%|$ बंद, %$HEADER%|$HEADER या %$FOOTER%|$FOOTER एक का समर्थन करें \nnn अष्टक संख्या संकेतन,और DR-DOS DEBUG उपयोग करता है \ साथ ही अष्टक संख्याओं को उपसर्ग करने के लिए।

उदाहरण के लिए, शाब्दिक 73 (आधार 8) को इस रूप में दर्शाया जा सकता है 073, o73, q73, 0o73, \73, @73, &73, $73 या 73o विभिन्न भाषाओं में।

नई भाषाएँ उपसर्ग को छोड़ रही हैं 0, क्योंकि दशमलव संख्याएं अक्सर अग्रणी शून्यों के साथ प्रदर्शित होती हैं। उपसर्ग q उपसर्ग से बचने के लिए पेश किया गया था o एक शून्य के लिए गलत किया जा रहा है, जबकि उपसर्ग 0o एक वर्णमाला वर्ण के साथ एक संख्यात्मक शाब्दिक शुरू करने से बचने के लिए पेश किया गया था (जैसे o या q), क्योंकि ये शाब्दिक को चर नाम के साथ भ्रमित कर सकते हैं। उपसर्ग 0o उपसर्ग द्वारा निर्धारित मॉडल का भी अनुसरण करता है 0x सी (प्रोग्रामिंग भाषा) में हेक्साडेसिमल शाब्दिक के लिए उपयोग किया जाता है; यह हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) द्वारा समर्थित है, OCaml, पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) संस्करण 3.0 के रूप में, राकू (प्रोग्रामिंग भाषा), रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा), टीसीएल संस्करण 9 के रूप में, PHP संस्करण 8.1 के रूप में, जंग (प्रोग्रामिंग भाषा) और इसका उद्देश्य ईसीएमएस्क्रिप्ट 6 द्वारा समर्थित होना है (उपसर्ग 0 मूल रूप से जावास्क्रिप्ट में बेस 8 के लिए खड़ा था लेकिन भ्रम पैदा कर सकता था, इसलिए इसे ईसीएमएस्क्रिप्ट 3 में हतोत्साहित किया गया है और ईसीएमएस्क्रिप्ट 5 में हटा दिया गया है).

ऑक्टल नंबर जो कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं (सी, पर्ल, परिशिष्ट भाग ...) में बाइट स्ट्रिंग्स के टेक्स्ट/ग्राफ़िकल प्रस्तुतियों के लिए उपयोग किए जाते हैं, जब कुछ बाइट मान (कोड पृष्ठ में अप्रतिबंधित, गैर-ग्राफ़िकल, वर्तमान संदर्भ में विशेष अर्थ वाले या अन्यथा) अवांछित) चरित्र से बचने के लिए होना चाहिए \nnn. ऑक्टल प्रतिनिधित्व विशेष रूप से UTF-8 के गैर-ASCII बाइट्स के साथ आसान हो सकता है, जो 6 बिट्स के समूहों को एन्कोड करता है, और जहां किसी भी स्टार्ट बाइट का ऑक्टल मान होता है \3nn और किसी भी निरंतरता बाइट का ऑक्टल मान होता है \2nn.

ऑक्टल का उपयोग फेरेंटी एटलस (1962), बरोज़ B5500 (1964), बरोज़ B5700 (1971), बरोज़ B6700 (1971) और बरोज़ B7700 (1972) कंप्यूटरों में फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए भी किया गया था।

विमानन में

विमान में ट्रांसपोंडर (एरोनॉटिक्स) एक स्क्वॉक ट्रांसपोंडर (एरोनॉटिक्स) #ट्रांसपोंडर कोड प्रसारित करता है, जिसे चार-ऑक्टल-अंकों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, जब ग्राउंड रडार द्वारा पूछताछ की जाती है। इस कोड का उपयोग रडार स्क्रीन पर अलग-अलग विमानों को अलग करने के लिए किया जाता है।

आधारों के बीच रूपांतरण

दशमलव से अष्टक रूपांतरण

8 द्वारा उत्तरोत्तर यूक्लिडियन विभाजन की विधि

पूर्णांक दशमलव को अष्टक में बदलने के लिए, यूक्लिडियन विभाजन मूल संख्या को 8 की सबसे बड़ी संभव शक्ति से विभाजित करता है और शेष को 8 की क्रमिक छोटी शक्तियों से विभाजित करता है जब तक कि शक्ति 1 न हो। अष्टक प्रतिनिधित्व को भागफलों द्वारा बनाया जाता है, जो कि उत्पन्न क्रम में लिखा जाता है। एल्गोरिथ्म। उदाहरण के लिए, 125 को कन्वर्ट करने के लिए₁₀ अष्टक के लिए:

125 = 8² × 1 + 61

61 = 8¹ × 7 + 5

5 = 8⁰ × 5 + 0

इसलिए, 125₁₀ = 175₈.

एक और उदाहरण:

900 = 8³ × 1 + 388

388 = 8² × 6 + 4

4 = 8¹ × 0 + 4

4 = 8⁰ × 4 + 0

इसलिए, 900₁₀ = 1604₈.

8 से लगातार गुणा करने की विधि

दशमलव अंश को अष्टक में बदलने के लिए, 8 से गुणा करें; परिणाम का पूर्णांक भाग अष्टक अंश का पहला अंक है। परिणाम के आंशिक भाग के साथ प्रक्रिया को दोहराएं, जब तक कि यह शून्य या स्वीकार्य त्रुटि सीमा के भीतर न हो।

उदाहरण: 0.1640625 को अष्टक में बदलें:

0.1640625 × 8 = 1.3125 = 1 + 0.3125

0.3125 × 8 = 2.5 = 2 + 0.5

0.5 × 8 = 4.0 = 4 + 0

इसलिए, 0.1640625₁₀ = 0.124₈.

इन दो विधियों को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों के साथ दशमलव संख्याओं को संभालने के लिए जोड़ा जा सकता है, पहले का उपयोग पूर्णांक भाग पर और दूसरा भिन्नात्मक भाग पर किया जाता है।

क्रमिक दोहराव की विधि

पूर्णांक दशमलव को अष्टक में बदलने के लिए, संख्या को 0 के साथ उपसर्ग करें। जब तक अंक मूलांक के दाईं ओर रहते हैं, तब तक निम्नलिखित चरणों का पालन करें: मूलांक के बाईं ओर के मान को दोगुना करें, अष्टक नियमों का उपयोग करते हुए, मूलांक बिंदु को एक अंक दाईं ओर ले जाएं, और फिर दोगुने मान को वर्तमान मान के नीचे रखें ताकि मूलांक बिंदु संरेखित हों। यदि स्थानांतरित रेडिक्स बिंदु 8 या 9 के अंक से अधिक हो जाता है, तो इसे 0 या 1 में परिवर्तित करें और वर्तमान मान के अगले बाएं अंक में ले जाएं। मूलांक के बाईं ओर अष्टक रूप से उन अंकों को जोड़ें और बिना किसी संशोधन के उन अंकों को दाईं ओर नीचे गिरा दें।

उदाहरण: <पूर्व>

0.4 9 1 8 दशमलव मान
 +0
---------
  4.9 1 8
 +1 0
 --------
  6 1.1 8
 +1 4 2
 --------
  7 5 3.8
 +1 7 2 6
 --------
1 1 4 6 6. ऑक्टल मान

</पूर्व>

दशमलव रूपांतरण के लिए अष्टक

संख्या बदलने के लिए k दशमलव के लिए, उस सूत्र का उपयोग करें जो इसके आधार-8 प्रतिनिधित्व को परिभाषित करता है:

$k=\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times 8^{i}\right)$

इस सूत्र में, a_i एक व्यक्तिगत अष्टक अंक परिवर्तित किया जा रहा है, जहाँ i अंक की स्थिति है (सबसे दाहिने अंक के लिए 0 से गिनती)।

उदाहरण: कन्वर्ट 764₈ दशमलव के लिए:

764₈ = 7 × 8² + 6 × 8¹ + 4 × 8⁰ = 448 + 48 + 4 = 500₁₀

दो-अंकीय ऑक्टल संख्याओं के लिए यह विधि मुख्य अंक को 8 से गुणा करने और कुल प्राप्त करने के लिए दूसरे अंक को जोड़ने के बराबर है।

उदाहरण: 65₈ = 6 × 8 + 5 = 53₁₀

क्रमिक दोहराव की विधि

अष्टक को दशमलव में बदलने के लिए, संख्या के आगे 0 लगाएँ। जब तक मूलांक के दाईं ओर अंक रहते हैं, तब तक निम्न चरणों का पालन करें: दशमलव नियमों का उपयोग करते हुए मूलांक के बाईं ओर के मान को दोगुना करें, मूलांक बिंदु को एक अंक दाईं ओर ले जाएं, और फिर वर्तमान के नीचे दोगुने मान को रखें मान ताकि मूलांक बिंदु संरेखित हों। रेडिक्स के बाईं ओर उन अंकों को दशमलव रूप से घटाएं और बिना किसी संशोधन के उन अंकों को दाईं ओर नीचे गिरा दें।

उदाहरण: <पूर्व>

0.1 1 4 6 6 ऑक्टल मान
 -0
-----------
  1.1 4 6 6
 - 2
 ----------
    9.4 6 6
 - 1 8
 ----------
    7 6.6 6
 - 1 5 2
 ----------
    6 1 4.6
 - 1 2 2 8
 ----------
    4 9 1 8. दशमलव मान

</पूर्व>

ऑक्टल से बाइनरी रूपांतरण

ऑक्टल को बाइनरी में बदलने के लिए, प्रत्येक ऑक्टल अंक को उसके बाइनरी प्रतिनिधित्व से बदलें।

उदाहरण: कन्वर्ट 51₈ बाइनरी के लिए:

5₈ = 101₂

1₈ = 001₂

इसलिए, 51₈ = 101 001₂.

बाइनरी से ऑक्टल रूपांतरण

प्रक्रिया पिछले एल्गोरिथ्म के विपरीत है। बाइनरी अंकों को कम से कम महत्वपूर्ण बिट से शुरू करके और बाईं ओर और दाईं ओर आगे बढ़ते हुए, थ्रीज़ द्वारा समूहीकृत किया जाता है। यदि आवश्यक हो तो तीन के अंतिम समूह को भरने के लिए अग्रणी शून्य (या दशमलव बिंदु के दाईं ओर अनुगामी शून्य) जोड़ें। फिर प्रत्येक तिकड़ी को समतुल्य अष्टक अंक से बदलें।

उदाहरण के लिए, बाइनरी 1010111100 को ऑक्टल में बदलें:

001	010	111	100
1	2	7	4

इसलिए, 1010111100₂ = 1274₈.

बाइनरी 11100.01001 को ऑक्टल में बदलें:

011	100	.	010	010
3	4	.	2	2

इसलिए, 11100.01001₂ = 34.22₈.

ऑक्टल से हेक्साडेसिमल रूपांतरण

मध्यवर्ती आधार के रूप में बाइनरी का उपयोग करके रूपांतरण दो चरणों में किया जाता है। ऑक्टल को बाइनरी में और फिर बाइनरी को हेक्साडेसिमल में परिवर्तित किया जाता है, अंकों को चार से समूहित किया जाता है, जो प्रत्येक को हेक्साडेसिमल अंक से मेल खाता है।

उदाहरण के लिए, ऑक्टल 1057 को हेक्साडेसिमल में बदलें:

बाइनरी के लिए:

1	0	5	7
001	000	101	111

फिर हेक्साडेसिमल के लिए:

0010	0010	1111
2	2	F

इसलिए, 1057₈ = मैं खड़ा हूँ₁₆.

हेक्साडेसिमल से ऑक्टल रूपांतरण

हेक्साडेसिमल से ऑक्टल रूपांतरण पहले हेक्साडेसिमल अंकों को 4-बिट बाइनरी मानों में परिवर्तित करके आगे बढ़ता है, फिर बाइनरी बिट्स को 3-बिट ऑक्टल अंकों में पुनर्समूहित करता है।

उदाहरण के लिए, 3FA5 को कन्वर्ट करने के लिए₁₆:

बाइनरी के लिए:

3	F	A	5
0011	1111	1010	0101

फिर अष्टक के लिए:

0	011	111	110	100	101
0	3	7	6	4	5

इसलिए, 3FA5₁₆ = 37645₈.

वास्तविक संख्या

अंश

केवल दो के कारक होने के कारण, कई ऑक्टल अंशों में दोहराए जाने वाले अंक होते हैं, हालांकि ये काफी सरल होते हैं:

Decimal base Prime factors of the base: 2, 5 Prime factors of one below the base: 3 Prime factors of one above the base: 11 Other Prime factors: 7 13 17 19 23 29 31			Octal base Prime factors of the base: 2 Prime factors of one below the base: 7 Prime factors of one above the base: 3 Other Prime factors: 5 13 15 21 23 27 35 37
Fraction	Prime factors of the denominator	Positional representation	Positional representation	Prime factors of the denominator	Fraction
1/2	2	0.5	0.4	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.2525... = 0.25	3	1/3
1/4	2	0.25	0.2	2	1/4
1/5	5	0.2	0.1463	5	1/5
1/6	2, 3	0.16	0.125	2, 3	1/6
1/7	7	0.142857	0.1	7	1/7
1/8	2	0.125	0.1	2	1/10
1/9	3	0.1	0.07	3	1/11
1/10	2, 5	0.1	0.06314	2, 5	1/12
1/11	11	0.09	0.0564272135	13	1/13
1/12	2, 3	0.083	0.052	2, 3	1/14
1/13	13	0.076923	0.0473	15	1/15
1/14	2, 7	0.0714285	0.04	2, 7	1/16
1/15	3, 5	0.06	0.0421	3, 5	1/17
1/16	2	0.0625	0.04	2	1/20
1/17	17	0.0588235294117647	0.03607417	21	1/21
1/18	2, 3	0.05	0.034	2, 3	1/22
1/19	19	0.052631578947368421	0.032745	23	1/23
1/20	2, 5	0.05	0.03146	2, 5	1/24
1/21	3, 7	0.047619	0.03	3, 7	1/25
1/22	2, 11	0.045	0.02721350564	2, 13	1/26
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.02620544131	27	1/27
1/24	2, 3	0.0416	0.025	2, 3	1/30
1/25	5	0.04	0.02436560507534121727	5	1/31
1/26	2, 13	0.0384615	0.02354	2, 15	1/32
1/27	3	0.037	0.022755	3	1/33
1/28	2, 7	0.03571428	0.02	2, 7	1/34
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.0215173454106475626043236713	35	1/35
1/30	2, 3, 5	0.03	0.02104	2, 3, 5	1/36
1/31	31	0.032258064516129	0.02041	37	1/37
1/32	2	0.03125	0.02	2	1/40

अपरिमेय संख्या

नीचे दी गई तालिका दशमलव और अष्टक में कुछ सामान्य अपरिमेय संख्याओं का विस्तार देती है।

Number	Positional representation
	Decimal	Octal
√2 (the length of the diagonal of a unit square)	1.414213562373095048...	1.3240 4746 3177 1674...
√3 (the length of the diagonal of a unit cube)	1.732050807568877293...	1.5666 3656 4130 2312...
√5 (the length of the diagonal of a 1×2 rectangle)	2.236067977499789696...	2.1706 7363 3457 7224...
φ (phi, the golden ratio = (1+√5)/2)	1.618033988749894848...	1.4743 3571 5627 7512...
π (pi, the ratio of circumference to diameter of a circle)	3.141592653589793238462643 383279502884197169399375105...	3.1103 7552 4210 2643...
e (the base of the natural logarithm)	2.718281828459045235...	2.5576 0521 3050 5355...

यह भी देखें

• Computer number format
• अष्टक खेल, एक गेम नंबरिंग सिस्टम जो कॉम्बिनेटरियल गेम थ्योरी में उपयोग किया जाता है
• स्प्लिट ऑक्टल, एक 16-बिट ऑक्टल नोटेशन जिसका उपयोग हीथ कंपनी, डीईसी और अन्य द्वारा किया जाता है
• स्क्वॉक कोड, गिलहैम कोड का 12-बिट ऑक्टल प्रतिनिधित्व
• सिलेबिक ऑक्टल, अंग्रेजी इलेक्ट्रिक द्वारा उपयोग किए जाने वाले 8-बिट सिलेबल्स का एक ऑक्टल प्रतिनिधित्व

बाहरी कड़ियाँ

• Octomatics is a numeral system enabling simple visual calculation in octal.
• Octal converter performs bidirectional conversions between the octal and decimal system.