प्रवर समुच्चय: Difference between revisions
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[[Image:Upset_210div.svg|thumb|के [[विभाजक]]ों का एक हसी आरेख <math>210</math>, संबंध द्वारा आदेशित ऊपरी | [[Image:Upset_210div.svg|thumb|के [[विभाजक]]ों का एक हसी आरेख <math>210</math>, संबंध द्वारा आदेशित ऊपरी समुच्चय के साथ, का विभाजक है <math>\uparrow 2</math> रंगीन हरा।सफेद समुच्चय निचले समुच्चय का निर्माण करते हैं <math>\downarrow 105.</math>]]गणित में, एक ऊपरी समुच्चय (जिसे ऊपर की ओर बंद समुच्चय भी कहा जाता है, एक अपसमुच्चय , या '' x '' में एक समतानी समुच्चय ){{sfn | Dolecki | Mynard | 2016 | pp=27–29}} एक [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से आदेशित]] समुच्चय <math>(X, \leq)</math> एक उपसमुच्चय है <math>S \subseteq X</math> निम्नलिखित विशेषता के साथ: यदि S S में है और यदि x x में x से बड़ा है <math>s < x</math>), फिर X S में है दूसरे शब्दों में, इसका तात्पर्य है कि X का कोई भी X अवयव है <math>\,\geq\,</math> S के कुछ अवयव के लिए आवश्यक रूप से S का एक अवयव भी है। | ||
शब्द ' | शब्द 'निम्न समुच्चय ' (जिसे 'अधोमुखी बंद समुच्चय ' भी कहा जाता है, 'निम्न समुच्चय ', 'घटते समुच्चय ', 'प्रारंभिक खंड', या 'अर्ध-आदर्श') को इसी तरह परिभाषित किया गया है।विशेषता कि x का कोई भी अवयव x है <math>\,\leq\,</math> एस के कुछ अवयव के लिए आवश्यक रूप से एस का एक अवयव भी है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
होने देना <math>(X, \leq)</math> एक पूर्व निर्धारित | होने देना <math>(X, \leq)</math> एक पूर्व निर्धारित समुच्चय हो। | ||
एक{{em|upper set}}में <math>X</math> (यह भी कहा जाता है{{em|upward closed set}}, एक{{em|upset}}, या एक{{em|isotone}} तय करना){{sfn | Dolecki | Mynard | 2016 | pp=27–29}} एक | |||
एक{{em|upper set}}में <math>X</math> (यह भी कहा जाता है{{em|upward closed set}}, एक{{em|upset}}, या एक{{em|isotone}} तय करना){{sfn | Dolecki | Mynard | 2016 | pp=27–29}} एक उपसमुच्चय है <math>U \subseteq X</math> यह ऊपर जाने के तहत बंद है, इस अर्थ में | |||
:सभी के लिए <math>u \in U</math> और सभी <math>x \in X,</math> अगर <math>u \leq x</math> तब <math>x \in U.</math> | :सभी के लिए <math>u \in U</math> और सभी <math>x \in X,</math> अगर <math>u \leq x</math> तब <math>x \in U.</math> | ||
[[द्वंद्व (आदेश सिद्धांत)]] धारणा एक है{{em|lower set}}(यह भी कहा जाता है{{em|downward closed set}},{{em|down set}},{{em|decreasing set}},{{em|initial segment}}, या{{em|semi-ideal}}), जो एक | [[द्वंद्व (आदेश सिद्धांत)]] धारणा एक है{{em|lower set}}(यह भी कहा जाता है{{em|downward closed set}},{{em|down set}},{{em|decreasing set}},{{em|initial segment}}, या{{em|semi-ideal}}), जो एक उपसमुच्चय है <math>L \subseteq X</math> यह नीचे जाने के तहत बंद है, इस अर्थ में | ||
:सभी के लिए <math>l \in L</math> और सभी <math>x \in X,</math> अगर <math>x \leq l</math> तब <math>x \in L.</math> | :सभी के लिए <math>l \in L</math> और सभी <math>x \in X,</math> अगर <math>x \leq l</math> तब <math>x \in L.</math> | ||
शर्तें{{em|order ideal}}या{{em|[[Ideal (order theory)|ideal]]}}कभी -कभी निचले | शर्तें{{em|order ideal}}या{{em|[[Ideal (order theory)|ideal]]}}कभी -कभी निचले समुच्चय के लिए पर्यायवाची के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref name="DP" /><ref>{{cite book |last1=Stanley |first1=R.P. |title=Enumerative combinatorics |series=Cambridge studies in advanced mathematics |volume=1 |year=2002 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-66351-9 | page=100}}</ref><ref>{{cite book |last1=Lawson |first1=M.V. |title=Inverse semigroups: the theory of partial symmetries |url=https://archive.org/details/inversesemigroup00laws|url-access=limited |year=1998 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-02-3316-7 | page=[https://archive.org/details/inversesemigroup00laws/page/n34 22]}}</ref> शब्दावली की यह पसंद जाली (ऑर्डर) के एक आदर्श की धारणा को प्रतिबिंबित करने में विफल रहती है क्योंकि जरूरी जरूरी नहीं कि जरूरी एक सबलैटिस हो।<ref name="DP">{{cite book | author1=Brian A. Davey | author2= Hilary Ann Priestley | author2-link= Hilary Priestley | title=Introduction to Lattices and Order|title-link= Introduction to Lattices and Order | edition=2nd | year=2002 | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-78451-4 | lccn=2001043910 |pages= 20, 44}}</ref> | ||
== गुण == | == गुण == | ||
* प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया | * प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय खुद का एक ऊपरी समुच्चय है। | ||
* ऊपरी | * ऊपरी समुच्चय के किसी भी परिवार का चौराहा (समुच्चय सिद्धांत) और संघ (समुच्चय सिद्धांत) फिर से एक ऊपरी समुच्चय है। | ||
* किसी भी ऊपरी | * किसी भी ऊपरी समुच्चय का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) एक निचला समुच्चय है, और इसके विपरीत। | ||
* एक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए | * एक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय को दिया गया <math>(X, \leq),</math> के ऊपरी समुच्चय का परिवार <math>X</math> समावेश (समुच्चय सिद्धांत) संबंध के साथ आदेश दिया गया एक पूर्ण जाली है, ऊपरी समुच्चय जाली। | ||
* एक मनमाना | * एक मनमाना उपसमुच्चय दिया गया <math>Y</math> एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय <math>X,</math> सबसे छोटा ऊपरी समुच्चय युक्त <math>Y</math> के रूप में एक अप तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया है <math>\uparrow Y</math> (देखें #upper क्लोजर और निम्न क्लोजर)। | ||
** dally, सबसे छोटा निचला | ** dally, सबसे छोटा निचला समुच्चय युक्त <math>Y</math> के रूप में एक नीचे तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया है <math>\downarrow Y.</math> | ||
* एक निचले | * एक निचले समुच्चय को प्रिंसिपल कहा जाता है यदि यह फॉर्म का है <math>\downarrow\{x\}</math> कहाँ <math>x</math> का एक अवयव है <math>X.</math> | ||
* हर निचला | * हर निचला समुच्चय <math>Y</math> एक परिमित आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय <math>X</math> के सभी [[अधिकतम तत्व]]ों वाले सबसे छोटे निचले समुच्चय के बराबर है <math>Y</math> **<math>\downarrow Y = \downarrow \operatorname{Max}(Y)</math> कहाँ <math>\operatorname{Max}(Y)</math> के अधिकतम तत्वों वाले समुच्चय को दर्शाता है <math>Y.</math> | ||
* एक [[निर्देशित सेट]] | * एक [[निर्देशित सेट|निर्देशित]] समुच्चय निम्न समुच्चय को एक ऑर्डर आदर्श कहा जाता है। | ||
* आंशिक आदेशों के लिए [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करने के लिए, एंटीचेन और ऊपरी | * आंशिक आदेशों के लिए [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करने के लिए, एंटीचेन और ऊपरी समुच्चय निम्नलिखित बायजेक्शन के माध्यम से एक-से-एक पत्राचार में हैं: प्रत्येक एंटीचैन को इसके ऊपरी बंद करने के लिए मैप करें (नीचे देखें);इसके विपरीत, प्रत्येक ऊपरी समुच्चय को उसके न्यूनतम तत्वों के समुच्चय पर मैप करें।यह पत्राचार अधिक सामान्य आंशिक आदेशों के लिए नहीं है;उदाहरण के लिए [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय <math>\{ x \in \R: x > 0 \}</math> और <math>\{ x \in \R: x > 1 \}</math> दोनों को खाली एंटीचैन में मैप किया जाता है। | ||
{{anchor|Upper closure|Upward closure|Lower closure|Downward closure}} | {{anchor|Upper closure|Upward closure|Lower closure|Downward closure}} | ||
== ऊपरी क्लोजर और | == ऊपरी क्लोजर और निम्न क्लोजर == | ||
एक | एक अवयव दिया <math>x</math> एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय <math>(X, \leq),</math> ऊपरी बंद या ऊपर की ओर बंद करना <math>x,</math> द्वारा चिह्नित <math>x^{\uparrow X},</math> <math>x^{\uparrow},</math> या <math>\uparrow\! x,</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
<math display=block>x^{\uparrow X} =\; \uparrow\! x = \{ u \in X : x \leq u\}</math> | <math display=block>x^{\uparrow X} =\; \uparrow\! x = \{ u \in X : x \leq u\}</math> | ||
जबकि कम बंद या नीचे की ओर बंद होना <math>x</math>, द्वारा चिह्नित <math>x^{\downarrow X},</math> <math>x^{\downarrow},</math> या <math>\downarrow\! x,</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | जबकि कम बंद या नीचे की ओर बंद होना <math>x</math>, द्वारा चिह्नित <math>x^{\downarrow X},</math> <math>x^{\downarrow},</math> या <math>\downarrow\! x,</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
<math display=block>x^{\downarrow X} =\; \downarrow\! x = \{l \in X : l \leq x\}.</math> | <math display=block>x^{\downarrow X} =\; \downarrow\! x = \{l \in X : l \leq x\}.</math> | ||
समुच्चय <math>\uparrow\! x</math> और <math>\downarrow\! x</math> क्रमशः, सबसे छोटे ऊपरी और निचले समुच्चय होते हैं <math>x</math> एक अवयव के रूप में। | |||
अधिक आम तौर पर, एक | अधिक आम तौर पर, एक उपसमुच्चय दिया गया <math>A \subseteq X,</math> ऊपरी/ऊपर की ओर बंद होने और निचले/नीचे की ओर बंद होने को परिभाषित करें <math>A,</math> द्वारा चिह्नित <math>A^{\uparrow X}</math> और <math>A^{\downarrow X}</math> क्रमशः, के रूप में | ||
<math display=block>A^{\uparrow X} = A^{\uparrow} = \bigcup_{a \in A} \uparrow\!a</math> | |||
और | और | ||
<math display=block>A^{\downarrow X} = A^{\downarrow} = \bigcup_{a \in A} \downarrow\!a.</math> इस प्रकार से, <math>\uparrow x = \uparrow\{x\}</math> और <math>\downarrow x = \downarrow\{x\},</math> जहां इस फॉर्म के ऊपरी | <math display=block>A^{\downarrow X} = A^{\downarrow} = \bigcup_{a \in A} \downarrow\!a.</math> इस प्रकार से, <math>\uparrow x = \uparrow\{x\}</math> और <math>\downarrow x = \downarrow\{x\},</math> जहां इस फॉर्म के ऊपरी समुच्चय और निचले समुच्चय को प्रिंसिपल कहा जाता है।एक समुच्चय का ऊपरी बंद और निचला बंद होना, क्रमशः सबसे छोटा ऊपरी समुच्चय और निचला समुच्चय है। | ||
ऊपरी और निचले क्लोजर, जब पावर | ऊपरी और निचले क्लोजर, जब पावर समुच्चय से फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है <math>X</math> अपने आप में, [[कुरातोव्स्की बंद स्वयंसिद्ध]]#परिभाषा के उदाहरण हैं क्योंकि वे कुरातोव्स्की क्लोजर एंसिओम्स के सभी को संतुष्ट करते हैं।नतीजतन, एक समुच्चय का ऊपरी बंद होना सभी ऊपरी समुच्चय ों के चौराहे के बराबर है, और इसी तरह निचले समुच्चय ों के लिए।(वास्तव में, यह क्लोजर ऑपरेटरों की एक सामान्य घटना है। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय का [[सामयिक बंद करना]] इसमें शामिल सभी [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] ों का चौराहा है; वैक्टर के एक समुच्चय का [[रैखिक अवधि]] सभी रैखिक उप -समूह का चौराहा है;एक [[समूह (गणित)]] के एक समूह का निर्माण समुच्चय करना सभी उपसमूहों का चौराहा है, जिसमें एक [[अंगूठी (गणित)]] के एक उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) सभी आदर्शों का चौराहा है, जो इसे समाहित करता है; और इसी तरह)। | ||
== [[क्रमसूचक संख्या]] == | == [[क्रमसूचक संख्या]] == | ||
एक क्रमिक संख्या को आमतौर पर सभी छोटे क्रमिक संख्याओं के | एक क्रमिक संख्या को आमतौर पर सभी छोटे क्रमिक संख्याओं के समुच्चय के साथ पहचाना जाता है।इस प्रकार प्रत्येक ऑर्डिनल संख्या सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग में एक निचला समुच्चय बनाती है, जो पूरी तरह से निर्धारित समावेश द्वारा आदेशित हैं। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* सार सरलीशान परिसर (जिसे भी कहा जाता है: [[स्वतंत्रता प्रणाली]])-एक | * सार सरलीशान परिसर (जिसे भी कहा जाता है: [[स्वतंत्रता प्रणाली]])-एक समुच्चय -परिवार जो कि नियंत्रण संबंध के संबंध में नीचे की ओर-बंद है। | ||
* [[कोफिनल सेट]] - एक | * [[कोफिनल सेट|कोफिनल]] समुच्चय - एक उपसमुच्चय <math>U</math> एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय <math>(X, \leq)</math> जिसमें हर अवयव के लिए शामिल है <math>x \in X,</math> कुछ अवयव <math>y</math> ऐसा है कि <math>x \leq y.</math> | ||
Revision as of 22:39, 15 February 2023
के विभाजकों का एक हसी आरेख , संबंध द्वारा आदेशित ऊपरी समुच्चय के साथ, का विभाजक है रंगीन हरा।सफेद समुच्चय निचले समुच्चय का निर्माण करते हैं
गणित में, एक ऊपरी समुच्चय (जिसे ऊपर की ओर बंद समुच्चय भी कहा जाता है, एक अपसमुच्चय , या x में एक समतानी समुच्चय )[1] एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय एक उपसमुच्चय है निम्नलिखित विशेषता के साथ: यदि S S में है और यदि x x में x से बड़ा है ), फिर X S में है दूसरे शब्दों में, इसका तात्पर्य है कि X का कोई भी X अवयव है S के कुछ अवयव के लिए आवश्यक रूप से S का एक अवयव भी है।
शब्द 'निम्न समुच्चय ' (जिसे 'अधोमुखी बंद समुच्चय ' भी कहा जाता है, 'निम्न समुच्चय ', 'घटते समुच्चय ', 'प्रारंभिक खंड', या 'अर्ध-आदर्श') को इसी तरह परिभाषित किया गया है।विशेषता कि x का कोई भी अवयव x है एस के कुछ अवयव के लिए आवश्यक रूप से एस का एक अवयव भी है।
परिभाषा
होने देना एक पूर्व निर्धारित समुच्चय हो।
एकupper setमें (यह भी कहा जाता हैupward closed set, एकupset, या एकisotone तय करना)[1] एक उपसमुच्चय है यह ऊपर जाने के तहत बंद है, इस अर्थ में
- सभी के लिए और सभी अगर तब
द्वंद्व (आदेश सिद्धांत) धारणा एक हैlower set(यह भी कहा जाता हैdownward closed set,down set,decreasing set,initial segment, याsemi-ideal), जो एक उपसमुच्चय है यह नीचे जाने के तहत बंद है, इस अर्थ में
- सभी के लिए और सभी अगर तब
शर्तेंorder idealयाidealकभी -कभी निचले समुच्चय के लिए पर्यायवाची के रूप में उपयोग किया जाता है।[2][3][4] शब्दावली की यह पसंद जाली (ऑर्डर) के एक आदर्श की धारणा को प्रतिबिंबित करने में विफल रहती है क्योंकि जरूरी जरूरी नहीं कि जरूरी एक सबलैटिस हो।[2]
गुण
- प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय खुद का एक ऊपरी समुच्चय है।
- ऊपरी समुच्चय के किसी भी परिवार का चौराहा (समुच्चय सिद्धांत) और संघ (समुच्चय सिद्धांत) फिर से एक ऊपरी समुच्चय है।
- किसी भी ऊपरी समुच्चय का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) एक निचला समुच्चय है, और इसके विपरीत।
- एक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय को दिया गया के ऊपरी समुच्चय का परिवार समावेश (समुच्चय सिद्धांत) संबंध के साथ आदेश दिया गया एक पूर्ण जाली है, ऊपरी समुच्चय जाली।
- एक मनमाना उपसमुच्चय दिया गया एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय सबसे छोटा ऊपरी समुच्चय युक्त के रूप में एक अप तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया है (देखें #upper क्लोजर और निम्न क्लोजर)।
- dally, सबसे छोटा निचला समुच्चय युक्त के रूप में एक नीचे तीर का उपयोग करके निरूपित किया गया है
- एक निचले समुच्चय को प्रिंसिपल कहा जाता है यदि यह फॉर्म का है कहाँ का एक अवयव है
- हर निचला समुच्चय एक परिमित आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय के सभी अधिकतम तत्वों वाले सबसे छोटे निचले समुच्चय के बराबर है ** कहाँ के अधिकतम तत्वों वाले समुच्चय को दर्शाता है
- एक निर्देशित समुच्चय निम्न समुच्चय को एक ऑर्डर आदर्श कहा जाता है।
- आंशिक आदेशों के लिए अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करने के लिए, एंटीचेन और ऊपरी समुच्चय निम्नलिखित बायजेक्शन के माध्यम से एक-से-एक पत्राचार में हैं: प्रत्येक एंटीचैन को इसके ऊपरी बंद करने के लिए मैप करें (नीचे देखें);इसके विपरीत, प्रत्येक ऊपरी समुच्चय को उसके न्यूनतम तत्वों के समुच्चय पर मैप करें।यह पत्राचार अधिक सामान्य आंशिक आदेशों के लिए नहीं है;उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और दोनों को खाली एंटीचैन में मैप किया जाता है।
ऊपरी क्लोजर और निम्न क्लोजर
एक अवयव दिया एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय ऊपरी बंद या ऊपर की ओर बंद करना द्वारा चिह्नित या द्वारा परिभाषित किया गया है
जबकि कम बंद या नीचे की ओर बंद होना , द्वारा चिह्नित या द्वारा परिभाषित किया गया है
समुच्चय और क्रमशः, सबसे छोटे ऊपरी और निचले समुच्चय होते हैं एक अवयव के रूप में।
अधिक आम तौर पर, एक उपसमुच्चय दिया गया ऊपरी/ऊपर की ओर बंद होने और निचले/नीचे की ओर बंद होने को परिभाषित करें द्वारा चिह्नित और क्रमशः, के रूप में
और
इस प्रकार से, और जहां इस फॉर्म के ऊपरी समुच्चय और निचले समुच्चय को प्रिंसिपल कहा जाता है।एक समुच्चय का ऊपरी बंद और निचला बंद होना, क्रमशः सबसे छोटा ऊपरी समुच्चय और निचला समुच्चय है।
ऊपरी और निचले क्लोजर, जब पावर समुच्चय से फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है अपने आप में, कुरातोव्स्की बंद स्वयंसिद्ध#परिभाषा के उदाहरण हैं क्योंकि वे कुरातोव्स्की क्लोजर एंसिओम्स के सभी को संतुष्ट करते हैं।नतीजतन, एक समुच्चय का ऊपरी बंद होना सभी ऊपरी समुच्चय ों के चौराहे के बराबर है, और इसी तरह निचले समुच्चय ों के लिए।(वास्तव में, यह क्लोजर ऑपरेटरों की एक सामान्य घटना है। उदाहरण के लिए, एक समुच्चय का सामयिक बंद करना इसमें शामिल सभी बंद समुच्चय ों का चौराहा है; वैक्टर के एक समुच्चय का रैखिक अवधि सभी रैखिक उप -समूह का चौराहा है;एक समूह (गणित) के एक समूह का निर्माण समुच्चय करना सभी उपसमूहों का चौराहा है, जिसमें एक अंगूठी (गणित) के एक उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग सिद्धांत) सभी आदर्शों का चौराहा है, जो इसे समाहित करता है; और इसी तरह)।
क्रमसूचक संख्या
एक क्रमिक संख्या को आमतौर पर सभी छोटे क्रमिक संख्याओं के समुच्चय के साथ पहचाना जाता है।इस प्रकार प्रत्येक ऑर्डिनल संख्या सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग में एक निचला समुच्चय बनाती है, जो पूरी तरह से निर्धारित समावेश द्वारा आदेशित हैं।
यह भी देखें
- सार सरलीशान परिसर (जिसे भी कहा जाता है: स्वतंत्रता प्रणाली)-एक समुच्चय -परिवार जो कि नियंत्रण संबंध के संबंध में नीचे की ओर-बंद है।
- कोफिनल समुच्चय - एक उपसमुच्चय एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय जिसमें हर अवयव के लिए शामिल है कुछ अवयव ऐसा है कि
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Dolecki & Mynard 2016, pp. 27–29.
- ↑ 2.0 2.1 Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN 2001043910.
- ↑ Stanley, R.P. (2002). Enumerative combinatorics. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 1. Cambridge University Press. p. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.
- ↑ Lawson, M.V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. p. 22. ISBN 978-981-02-3316-7.
- Blanck, J. (2000). "Domain representations of topological spaces" (PDF). Theoretical Computer Science. 247 (1–2): 229–255. doi:10.1016/s0304-3975(99)00045-6.
- Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
- Hoffman, K. H. (2001), The low separation axioms (T0) and (T1)
