त्रैराशिक (तीन का नियम)

परिचय

प्राचीन भारतीय गणितीय ग्रंथों में अनुपात,  समानुपात आदि जैसे विषयों को तीन के खंड नियम के अधीन चलाया जाता है। जब भी तुलना में संख्याएँ शामिल होती हैं तो अनुपात का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए; एक साइकिल की कीमत रु. 10,000 और एक मोटरबाइक की कीमत रु 1,00,000.

जब हम दोनों वस्तुओं की लागत की तुलना करते हैं।

${\frac {100000}{10000}}={\frac {10}{1}}=10:1$

अतः मोटरबाइक की कीमत साइकिल की कीमत का दस गुना है। अनुपात विभाजन द्वारा तुलना है। अनुपात ":" द्वारा दर्शाया गया है। एक अनुपात एक मात्रा को दूसरी मात्रा से गुणा करने की संख्या को व्यक्त करता है। दो मात्राएँ एक ही इकाई में होनी चाहिए।

दो मूल्यों को प्रत्यक्ष समानुपात में कहा जाता है जब एक में वृद्धि/कमी के परिणामस्वरूप एक ही कारक द्वारा दूसरे में वृद्धि/कमी होती है।

निम्नलिखित उदाहरणों में प्रत्यक्ष अनुपात देखा जाता है।

1. ईंधन की मात्रा बढ़ने पर ईंधन की लागत बढ़ जाती है
2. टाइप किए जाने वाले पृष्ठों में वृद्धि के साथ लगने वाला समय बढ़ जाता है।
3. सब्जी का वजन बढ़ने से सब्जी की कीमत बढ़ जाती है।
4. मशीन के काम करने के घंटों के साथ मशीन द्वारा निर्मित इकाइयों की संख्या बढ़ जाती है।

त्रैराशिक (तीन का नियम)

तीन के नियम के लिए हिंदू नाम को "त्रैराशिक" कहा जाता है (तीन शब्द, इसलिए तीन का नियम)। त्रैराशिक शब्द बख्शाली पांडुलिपि, आर्यभटीय में आता है। भास्कर प्रथम (सी 525) ने इस नाम की उत्पत्ति पर टिप्पणी की "यहां तीन मात्राओं की आवश्यकता है (कथन और गणना में) इसलिए विधि को त्रैराशिक (तीन शब्दों का नियम) कहा जाता है"। तीन के नियम के साथ एक समस्या का यह रूप है: यदि p, f देता है, तो i क्या प्राप्त करेगा? इस्तेमाल किए गए तीन शब्द p, f , i हैं। हिंदुओं ने शब्द p (प्रमाण - तर्क), f (फल -परिणाम), और i (इच्छा - मांग) कहा। कभी-कभी उन्हें केवल क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे के रूप में संदर्भित किया जाता है।

आर्यभट द्वितीय ने तीन पदों को क्रमशः मन, विनिमय , और इच्छा के रूप में अलग-अलग नाम दिए।

ब्रह्मगुप्त नियम देता है "तीन प्रमाण (तर्क) के नियम में, फल (परिणाम) और इच्छा (आवश्यकता) (दिए गए) शब्द हैं; पहली और आखिरी शर्तें समान होनी चाहिए। इच्छा को फल से गुणा किया जाता है और विभाजित किया जाता है जो प्रमाण , फल देता है (अनुरोध का) "।

भास्कर प्रथम ने अपने आर्यभटीय-भाष्य में त्रैराशिक के बारे में बात की है

त्रयो राशयः समाहृताः त्रिराशिः । त्रिराशिः प्रयोजनमस्य गणितस्येति त्रैराशिकः । त्रैराशिके फलराशिः त्रैराशिकफलराशिः । (आर्यभटीय -भाष्य ,भास्कर प्रथम द्वारा 11.26, पृष्ठ 116 पर)

"त्रैराशि तीन मात्राओं को इकट्ठा किया गया है। इन मात्राओं के साथ इस गणना के कारण इसे त्रैराशिक कहा जाता है। त्रैराशिक -फलाराशि तीन के नियम में वांछित परिणाम है।"

त्रैराशिक में तीन ज्ञात मात्राएँ और एक अज्ञात मात्रा शामिल है। ज्ञात मात्राएँ हैं प्रमाण (ज्ञात माप), प्रमाणफल (ज्ञात माप से संबंधित परिणाम), और इच्छा (वांछित माप)। अज्ञात मात्रा के लिए प्रयुक्त शब्द इच्छाफल (वांछित माप से संबंधित परिणाम) है।

उदाहरण: एक कार 2 लीटर पेट्रोल के साथ 30 किमी की दूरी तय करती है। 150 किमी की दूरी तय करने के लिए कितने लीटर पेट्रोल की आवश्यकता होती है?

हल: 30 किलोमीटर के लिए पेट्रोल की जरूरत = 2 लीटर

150 किमी के लिए, पेट्रोल की आवश्यकता = 'x' लीटर

यहाँ प्रमाण = 30; प्रमाणफल = 2 ; इच्छा = 150; इच्छाफल = 'x' लीटर

प्रमाण -> प्रमाणफल ( 30 -> 2)

इच्छा -> (इच्छा X प्रमाणफल) / प्रमाण = इच्छाफल

150 -> (150 x 2) / 30 = 300/30 = 10

x = 10; 150 किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए 10 लीटर पेट्रोल की जरूरत होती है।

एक अन्य गणितज्ञ श्रीधर द्वारा त्रैराशिक पर समाधान कहता है: ""तीन मात्राओं में से, प्रमाण ("तर्क") और इच्छा ("आवश्यकता") जो एक ही संप्रदाय के हैं, पहले और अंतिम हैं; फल ("परिणाम") जो एक अलग संप्रदाय का है, बीच में खड़ा है; इस और आखिरी के गुणनफल को पहले से विभाजित किया जाना है।"

-लीलावती बनाम 74, पृष्ठ 72 से उदाहरण: यदि $2{\frac {1}{2}}$ पलास (एक वजन माप) केसर की कीमत ${\frac {3}{7}}$ निष्कास (पैसे की एक इकाई), हे विशेषज्ञ व्यवसायी, जल्दी से बताओ केसर की कितनी मात्रा हो सकती है $9$ निष्कास में खरीदा जा सकता है।

समाधान:

प्रमाण और प्रमाणफल -

${\frac {3}{7}}$  निष्कास और

$2{\frac {1}{2}}$  पलास

इच्छा और इच्छाफल - $9$ निष्कास और x

तीन के नियम के अनुसार - पहले (प्रमाण) और तीसरे (प्रमाणफल) कॉलम में निर्णयों द्वारा बताई गई मात्राओं को रखें। शेष मात्रा को मध्य कॉलम में रखें।

प्रथम - मात्रा (प्रमाण)	मध्य - मात्रा (प्रमाणफल)	अंतिम - मात्रा (इच्छा)
${\frac {3}{7}}$	$2{\frac {1}{2}}={\frac {5}{2}}$	$9$

प्रतिफल = ${\frac {Middle-quantity\ X\ Last-quantity}{First-quantity}}$

इच्छाफल = ${\frac {{\frac {5}{2}}\ X\ 9}{\frac {3}{7}}}$= ${\frac {5\ X\ 9\ X\ 7}{2\ X\ 3}}={\frac {105}{2}}$ पलास

इसलिए केसर की मात्रा जिसके लिए $9$  निष्कास खरीदा जा सकता है $52{\frac {1}{2}}$  पलास है ।

यह भी देखें

Trairasika (Rule of Three)