क्लोपेन सेट: Difference between revisions

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[[Image:Pseudoforest.svg|thumb|upright=1.3|कई क्लोपेन सेट के साथ एक [[ग्राफ (असतत गणित)]]। तीन बड़े टुकड़ों में से प्रत्येक (अर्थात् [[जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी)]]) एक क्लोपेन सेट है, जैसा कि किसी भी दो या तीनों का मिलन है।]][[टोपोलॉजी]] में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में एक क्लॉपेन सेट (बंद-खुले सेट का एक बंदरगाह) एक सेट है जो दोनों खुले सेट और [[बंद सेट]] है। यह संभव है कि यह प्रति-सहज ज्ञान युक्त लग सकता है क्योंकि {{em|खुले}} और {{em|बंद}}  के सामान्य अर्थ विलोम हैं, लेकिन उनकी गणितीय परिभाषाएँ [[परस्पर अनन्य]] नहीं हैं। एक सेट बंद है यदि इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] खुला है, जो एक खुले सेट की संभावना को छोड़ देता है जिसका पूरक भी खुला है, जिससे दोनों सेट खुले और बंद हो जाते हैं {{em|और}}  इसलिए बंद हो जाते हैं। जैसा कि टोपोलॉजिस्ट [[जेम्स मुनक्रेस]] द्वारा वर्णित है, एक दरवाजे के विपरीत, एक सेट खुला, या बंद, या दोनों, या दोनों में से कोई भी हो सकता है!{{sfn|Munkres|2000|p=91}} इस बात पर जोर देते हुए कि खुले / बंद का अर्थ {{em|सेट}}  के लिए उनके अर्थ से संबंधित नहीं है (और इसलिए खुला/बंद दरवाजा द्विभाजन खुले/बंद सेट में स्थानांतरित नहीं होता है)। {{em|डोर्स}}  के इस विपरीत ने टोपोलॉजिकल स्पेस के वर्ग को [[दरवाजे की जगह|डोर स्पेस]] के नाम से जाना जाता है।
[[Image:Pseudoforest.svg|thumb|upright=1.3|कई क्लोपेन सेट के साथ एक [[ग्राफ (असतत गणित)]]। तीन बड़े टुकड़ों में से प्रत्येक (अर्थात् [[जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी)]]) एक क्लोपेन सेट है, जैसा कि किसी भी दो या तीनों का मिलन है।]][[टोपोलॉजी]] में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में एक क्लॉपेन सेट (बंद-खुले सेट का एक बंदरगाह) एक सेट है जो दोनों खुले सेट और [[बंद सेट]] है। यह संभव है कि यह प्रति-सहज ज्ञान युक्त लग सकता है क्योंकि {{em|खुले}} और {{em|बंद}}  के सामान्य अर्थ विलोम हैं, लेकिन उनकी गणितीय परिभाषाएँ [[परस्पर अनन्य]] नहीं हैं। एक सेट बंद है यदि इसका [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] खुला है, जो एक खुले सेट की संभावना को छोड़ देता है जिसका पूरक भी खुला है, जिससे दोनों सेट खुले और बंद हो जाते हैं {{em|और}}  इसलिए बंद हो जाते हैं। जैसा कि टोपोलॉजिस्ट [[जेम्स मुनक्रेस]] द्वारा वर्णित है, एक दरवाजे के विपरीत, एक सेट खुला, या बंद, या दोनों, या दोनों में से कोई भी हो सकता है!{{sfn|Munkres|2000|p=91}} इस बात पर जोर देते हुए कि खुले / बंद का अर्थ {{em|सेट}}  के लिए उनके अर्थ से संबंधित नहीं है (और इसलिए खुला/बंद दरवाजा द्विभाजन खुले/बंद सेट में स्थानांतरित नहीं होता है)। {{em|डोर्स}}  के इस विपरीत ने टोपोलॉजिकल स्पेस के वर्ग को [[दरवाजे की जगह|डोर स्पेस]] के नाम से जाना जाता है।


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किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>X,</math> [[खाली सेट]] और पूरी जगह <math>X</math> दोनों क्लोपेन हैं।<ref>{{cite book|last1=Bartle|first1=Robert G.|author-link1=Robert G. Bartle |last2=Sherbert|first2=Donald R.|date=1992|orig-year=1982|title=Introduction to Real Analysis|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|page=348}} (regarding the real numbers and the empty set in R)</ref><ref>{{cite book|last1=Hocking|first1=John G.|last2=Young|first2=Gail S. |date=1961|title=टोपोलॉजी|publisher=Dover Publications, Inc.|location=NY|page=56}} (regarding topological spaces)</ref>
किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>X,</math> [[खाली सेट]] और पूरी जगह <math>X</math> दोनों क्लोपेन हैं।<ref>{{cite book|last1=Bartle|first1=Robert G.|author-link1=Robert G. Bartle |last2=Sherbert|first2=Donald R.|date=1992|orig-year=1982|title=Introduction to Real Analysis|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|page=348}} (regarding the real numbers and the empty set in R)</ref><ref>{{cite book|last1=Hocking|first1=John G.|last2=Young|first2=Gail S. |date=1961|title=टोपोलॉजी|publisher=Dover Publications, Inc.|location=NY|page=56}} (regarding topological spaces)</ref>
अब अंतरिक्ष पर विचार करें <math>X</math> जिसमें दो खुले [[अंतराल (गणित)]] का मिलन होता है <math>(0, 1)</math> और <math>(2, 3)</math> का <math>\R.</math> टोपोलॉजी चालू है <math>X</math> [[वास्तविक रेखा]] पर साधारण टोपोलॉजी से [[टोपोलॉजिकल सबस्पेस]] के रूप में विरासत में मिला है <math>\R.</math> में <math>X,</math> सेट <math>(0, 1)</math> क्लोपेन है, जैसा कि सेट है <math>(2, 3).</math> यह एक काफी विशिष्ट उदाहरण है: जब भी कोई स्थान इस प्रकार से असंयुक्त कनेक्टेड रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या से बना होता है, तो घटक क्लोपेन होंगे।


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अब अंतरिक्ष <math>X</math> पर विचार करें जिसमें दो खुले [[अंतराल (गणित)]] <math>(0, 1)</math> और <math>(2, 3)</math> का <math>\R</math> का मिलन होता है <math>X</math> पर टोपोलॉजी [[वास्तविक रेखा]] <math>\R.</math> पर साधारण टोपोलॉजी से [[टोपोलॉजिकल सबस्पेस|टोपोलॉजिकल उपस्पेस]] के रूप में विरासत में मिला है <math>X</math> में, सेट <math>(0, 1)</math> क्लोपेन है, जैसा कि सेट <math>(2, 3)</math>है  यह एक काफी विशिष्ट उदाहरण है: जब भी कोई स्थान इस प्रकार से असंयुक्त कनेक्टेड रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या से बना होता है, तो घटक क्लोपेन होंगे।


कम तुच्छ उदाहरण के रूप में, अंतरिक्ष पर विचार करें <math>\Q</math> सभी परिमेय संख्याओं की उनकी साधारण टोपोलॉजी और सेट के साथ <math>A</math> सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं का जिनका वर्ग 2 से बड़ा है। इस तथ्य का प्रयोग करके कि <math>\sqrt 2</math> इसमें नहीं है <math>\Q,</math> कोई इसे बहुत आसानी से दिखा सकता है <math>A</math> का एक क्लोपेन उपसमुच्चय है <math>\Q.</math> (<math>A</math> है {{em|not}} वास्तविक रेखा का एक क्लोपेन उपसमुच्चय <math>\R</math>; यह न तो खुला है और न ही अंदर बंद है <math>\R.</math>)
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कम तुच्छ उदाहरण के रूप में, अंतरिक्ष <math>\Q</math> पर विचार करें सभी परिमेय संख्याओं की उनकी साधारण टोपोलॉजी और सेट के साथ <math>A</math> सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं का जिनका वर्ग 2 से बड़ा है। इस तथ्य का प्रयोग करके कि <math>\sqrt 2</math> इसमें <math>\Q</math> नहीं है, कोई इसे बहुत आसानी से दिखा सकता है <math>A</math> का एक क्लोपेन उपसमुच्चय <math>\Q.</math> है (<math>A</math> है {{em|not}} वास्तविक रेखा का एक क्लोपेन उपसमुच्चय <math>\R</math>; यह न तो खुला है और न ही अंदर बंद है <math>\R.</math>)


== गुण ==
== गुण ==

Revision as of 08:21, 19 February 2023

Not to be confused with आधा खुला अंतराल.
कई क्लोपेन सेट के साथ एक ग्राफ (असतत गणित)। तीन बड़े टुकड़ों में से प्रत्येक (अर्थात् जुड़ा हुआ घटक (टोपोलॉजी)) एक क्लोपेन सेट है, जैसा कि किसी भी दो या तीनों का मिलन है।

टोपोलॉजी में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक क्लॉपेन सेट (बंद-खुले सेट का एक बंदरगाह) एक सेट है जो दोनों खुले सेट और बंद सेट है। यह संभव है कि यह प्रति-सहज ज्ञान युक्त लग सकता है क्योंकि खुले और बंद के सामान्य अर्थ विलोम हैं, लेकिन उनकी गणितीय परिभाषाएँ परस्पर अनन्य नहीं हैं। एक सेट बंद है यदि इसका पूरक (सेट सिद्धांत) खुला है, जो एक खुले सेट की संभावना को छोड़ देता है जिसका पूरक भी खुला है, जिससे दोनों सेट खुले और बंद हो जाते हैं और इसलिए बंद हो जाते हैं। जैसा कि टोपोलॉजिस्ट जेम्स मुनक्रेस द्वारा वर्णित है, एक दरवाजे के विपरीत, एक सेट खुला, या बंद, या दोनों, या दोनों में से कोई भी हो सकता है![1] इस बात पर जोर देते हुए कि खुले / बंद का अर्थ सेट के लिए उनके अर्थ से संबंधित नहीं है (और इसलिए खुला/बंद दरवाजा द्विभाजन खुले/बंद सेट में स्थानांतरित नहीं होता है)। डोर्स के इस विपरीत ने टोपोलॉजिकल स्पेस के वर्ग को डोर स्पेस के नाम से जाना जाता है।

उदाहरण

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में खाली सेट और पूरी जगह दोनों क्लोपेन हैं।[2][3]

अब अंतरिक्ष पर विचार करें जिसमें दो खुले अंतराल (गणित) और का का मिलन होता है पर टोपोलॉजी वास्तविक रेखा पर साधारण टोपोलॉजी से टोपोलॉजिकल उपस्पेस के रूप में विरासत में मिला है में, सेट क्लोपेन है, जैसा कि सेट है यह एक काफी विशिष्ट उदाहरण है: जब भी कोई स्थान इस प्रकार से असंयुक्त कनेक्टेड रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या से बना होता है, तो घटक क्लोपेन होंगे।

अब को असतत मीट्रिक के तहत एक अनंत सेट होने दे – अर्थात् दो बिंदु दूरी 1 है यदि वे समान बिंदु नहीं हैं, तो वह 0 होंगे। परिणामी मीट्रिक स्थान के तहत, कोई भी सिंगलटन सेट खुला है; इसलिए कोई भी सेट, एकल बिंदुओं का मिलन होने के कारण खुला है। चूँकि कोई भी समुच्चय खुला होता है, किसी भी समुच्चय का पूरक भी खुला होता है, और इसलिए कोई भी समुच्चय बंद होता है। तो, इस मीट्रिक स्पेस में सभी सेट क्लोपेन हैं।

कम तुच्छ उदाहरण के रूप में, अंतरिक्ष पर विचार करें सभी परिमेय संख्याओं की उनकी साधारण टोपोलॉजी और सेट के साथ सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं का जिनका वर्ग 2 से बड़ा है। इस तथ्य का प्रयोग करके कि इसमें नहीं है, कोई इसे बहुत आसानी से दिखा सकता है का एक क्लोपेन उपसमुच्चय है ( है not वास्तविक रेखा का एक क्लोपेन उपसमुच्चय ; यह न तो खुला है और न ही अंदर बंद है )

गुण

  • एक टोपोलॉजिकल स्पेस कनेक्टेड स्पेस है अगर और केवल अगर केवल क्लोपेन सेट खाली सेट हैं और अपने आप।
  • एक सेट क्लोपेन है अगर और केवल अगर उसकी सीमा (टोपोलॉजी) खाली है।[4]
  • कोई भी क्लोपेन सेट कनेक्टेड स्पेस (संभवतः असीम रूप से कई) का एक संघ है।
  • यदि सभी जुड़े हुए घटक (टोपोलॉजी) के खुले हैं (उदाहरण के लिए, if केवल बहुत से घटक हैं, या यदि स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है), तो एक सेट क्लोपेन इन है अगर और केवल अगर यह जुड़े हुए घटकों का एक संघ है।
  • एक टोपोलॉजिकल स्पेस असतत स्थान है अगर और केवल अगर इसके सभी उपसमुच्चय क्लोपेन हैं।
  • यूनियन (सेट थ्योरी) और इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) को संचालन के रूप में उपयोग करना, किसी दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस के क्लोपेन सबसेट एक बूलियन बीजगणित (संरचना) बनाएं। Every बूलियन बीजगणित को एक उपयुक्त टोपोलॉजिकल स्पेस से इस प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है: बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय देखें।

यह भी देखें


टिप्पणियाँ

  1. ↑ Munkres 2000, p. 91.
  2. ↑ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1992) [1982]. Introduction to Real Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 348. (regarding the real numbers and the empty set in R)
  3. ↑ Hocking, John G.; Young, Gail S. (1961). टोपोलॉजी. NY: Dover Publications, Inc. p. 56. (regarding topological spaces)
  4. ↑ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 87. ISBN 0-486-66352-3. Let be a subset of a topological space. Prove that if and only if is open and closed. (Given as Exercise 7)


संदर्भ

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