प्रासंगिकता तर्क

प्रासंगिकता तर्क, जिसे प्रासंगिक तर्कशास्त्र भी कहा जाता है यह एक प्रकार का गैर-शास्त्रीय तर्क है जिसके कारण प्रासंगिकता से संबद्ध होने के लिए पूर्ववर्ती (तर्क) और निहितार्थों की आवश्यकता होती है। जिन्हे संरचनात्मक तर्क या मॉडल तर्क के समूह के रूप में देखा जा सकता है। लेकिन सामान्यतः इसे ब्रिटिश और विशेष रूप से, ऑस्ट्रेलियाई तर्कशास्त्रियों द्वारा प्रासंगिक तर्क और अमेरिकी तर्कशास्त्रियों द्वारा प्रासंगिक तर्क नहीं कहा जाता है।

प्रासंगिक तर्कशास्त्र का उद्देश्य शास्त्रीय सत्य-कार्यात्मक तर्क में "भौतिक निहितार्थ" संचालक द्वारा उपेक्षित किए जाने वाले निहितार्थ के दृष्टिकोण को अधिकृत करना है, अर्थात् एक सत्य निहितार्थ के पूर्ववर्ती और प्रतिबन्ध के बीच प्रासंगिकता की धारणा का यह विचार नया नहीं है सी.आई. लुईस को मोडल तर्क का आविष्कार करने के लिए प्रेरित किया गया था और विशेष रूप से पूर्ण निहितार्थ आधार पर शास्त्रीय तर्क भौतिक निहितार्थ के विरोधाभासों को अनुदान देता है जैसे कि असत्य सिद्धांत किसी भी प्रस्ताव को प्रदर्शित करता है। जैसे "यदि मैं एक गधा हूं, दो और दो चार होते हैं" सत्य है जब एक भौतिक निहितार्थ के रूप में अनुवादित किया जाता है, फिर भी यह सहज रूप से असत्य लगता है क्योंकि एक सत्य निहितार्थ को प्रासंगिकता की कुछ धारणा द्वारा पूर्ववर्ती और परिणामस्वरूप एक साथ संबद्ध होना चाहिए और बोलने वाला गधा है या नहीं, यह किसी भी प्रकार से प्रासंगिक नहीं लगता कि दो और दो चार हैं या नहीं प्रासंगिकता तर्क प्रासंगिकता की धारणा को औपचारिक रूप से कैसे अधिकृत करता है? एक प्रस्ताव कलन के लिए एक वाक्यात्मक बाधा के संदर्भ में, यह आवश्यक होता है लेकिन पर्याप्त नहीं है कि परिसर और निष्कर्ष साझा परमाणु सूत्र (सूत्र जिनमें कोई तार्किक संबंध नहीं है) एक विधेय कलन में, प्रासंगिकता के लिए परिसर और निष्कर्ष के बीच चर और स्थिरांक साझा करने की आवश्यकता होती है। यह जटिल परिस्थितियों के साथ सुनिश्चित किया जा सकता है उदाहरण के लिए, प्राकृतिक निगमन प्रणाली के नियमों पर कुछ प्रतिबंध लगाकर विशेष रूप से, एक फिच-शैली की प्राकृतिक निगमन मे प्रासंगिकता को समायोजित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जिसमें अनुमान के अनुप्रयोग प्रत्येक पंक्ति के अंत में एक चिन्ह लगाकर अनुमान के निष्कर्ष के लिए प्रासंगिक परिसर का संकेत दिया जा सकता है। जेंटजन-शैली अनुक्रम गणना को अपेक्षाकृत कम करने वाले नियमों को हटाकर संशोधित किया जा सकता है जो अनुक्रमों के दाएं या बाएं तरफ अपेक्षाकृत रूप से सूत्रों के प्रारम्भ होने की स्वीकृति देते है।

प्रासंगिकता तर्क की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि वे संगत तर्क होते हैं एक विरोधाभास के अस्तित्व से "बाहुल्य" नहीं है यह इस तथ्य का अनुसरण करता है कि एक विरोधाभासी पूर्ववर्ती के साथ एक प्रासंगिकता तर्क जो परिणाम के साथ कोई प्रस्ताव या विधेय पत्र साझा नहीं करता है, वह सत्य या व्युत्पन्न नहीं हो सकता है।

इतिहास

प्रासंगिकता तर्क 1928 में सोवियत दार्शनिक इवान ई. ओर्लोव (1886 लगभग 1936) द्वारा गणितीय पेपर "द लॉजिक ऑफ़ कम्पैटिबिलिटी ऑफ़ प्रपोज़िशन्स" अर्थात "प्रस्तावों की संगतता का तर्क" में प्रस्तावित किया गया था, जो मेटमैथेस्की स्बोर्निक प्रकाशन में प्रकाशित हुआ था। प्रासंगिक निहितार्थ का मूल विचार मध्यकालीन तर्क में प्रकट होता है और कुछ आगामी कार्य 1950 के दशक में विल्हेम एकरमैन मोह शॉ-क्वेई और अलोंजो चर्च थे उन पर चित्रण करते हुए, न्युएल बेलनाप और एलन रॉस एंडरसन ने अन्य लोगों के साथ 1970 के दशक में इस विषय की महान रचना "प्रासंगिकता और आवश्यकता का तर्क" लिखी। जो दूसरे खंड नब्बे के दशक में प्रकाशित हुई। उन्होंने प्रवेश की प्रणालियों और प्रासंगिकता की प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित किया। जहां पूर्व प्रकार के निहितार्थ प्रासंगिक तर्क और आवश्यक तर्क दोनों तर्कों को स्वीकृत किया जाता था।

सिद्धांत

प्रासंगिकता तर्क के प्रारम्भिक विकास ने बहुसंख्यक प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित किया। राउतले-मेयर शब्दार्थ के विकास ने दुर्बल तर्क की एक श्रृंखला को सामने प्रस्तुत किया। इन तर्कों में सबसे दुर्बल प्रासंगिकता तर्क B है। यह निम्नलिखित सिद्धांतों और नियमों के साथ स्वयंसिद्ध होता है।

1. $A\to A$
2. $A\land B\to A$
3. $A\land B\to B$
4. $(A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)$
5. $A\to A\lor B$
6. $B\to A\lor B$
7. $(A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)$
8. $A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)$
9. $\lnot \lnot A\to A$

नियम निम्नलिखित हैं।

1. $A,A\to B\vdash B$
2. $A,B\vdash A\land B$
3. $A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)$
4. $A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)$
5. $A\to B\vdash \lnot B\to \lnot A$

निम्नलिखित में से किसी भी स्वयंसिद्ध को जोड़कर बहुसंख्यक तर्क प्राप्त किए जा सकते हैं।

1. $(A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)$
2. $(A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)$
3. $(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
4. $(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
5. $(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
6. $(A\land (A\to B))\to B$
7. $(A\to \lnot A)\to \lnot A$
8. $(A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))$
9. $A\to ((A\to B)\to B)$
10. $((A\to A)\to B)\to B$
11. $A\lor \lnot A$
12. $A\to (A\to A)$

B की तुलना में कुछ उल्लेखनीय तर्क बहुसंख्यक हैं जिन्हें निम्नानुसार B में सिद्धांतों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है।

• DW के लिए 1 जोड़ें।
• DJ के लिए, 1, 2 जोड़ें।
• TW के लिए, 1, 2, 3, 4 जोड़ें।
• RW के लिए, 1, 2, 3, 4, 8, 9 जोड़ें।
• T के लिए 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11 जोड़ें।
• R के लिए, 1-11 जोड़ें।
• E के लिए, 1-7, 10, 11 जोड़ें, $((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C$, और $\Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)$, जहाँ $\Box A$ के रूप मे $(A\to A)\to A$ को परिभाषित किया जाता है।
• RM के लिए, सभी अतिरिक्त फलन को स्वतः जोड़ें।

मॉडल

रूटले-मेयर मॉडल

प्रासंगिकता तर्क के लिए वह मानक मॉडल सिद्धांत रिचर्ड सिल्वन और बॉब मेयेर (तर्कशास्त्री द्वारा विकसित रूटले-मेयर टर्नरी-संबंध शब्दार्थ मॉडल है। एक प्रस्तावक भाषा के लिए एक रूटली-मेयर फ्रेम F चार गुना (W,R,*,0) है, जहां w एक गैर-रिक्त समुच्चय है R W पर एक टर्नरी संबंध है, और $0\in W$ से W और ∈ से एक फलन है एएक रूटली-मेयर मॉडल M एक रूटली-मेयर फ्रेम F है, जो मूल्यांकन $\Vdash$ के साथ प्रत्येक बिंदु के सापेक्ष प्रत्येक परमाणु प्रस्ताव को $a\in W$ मान प्रदान करता है रूटली-मेयर फ्रेम पर कुछ शर्तें को $a\leq b$ और $R0ab$ के रूप परिभाषित किया गया है।

• $a\leq a$.
• यदि $a\leq b$ और $b\leq c$, तब $a\leq c$.
• यदि $d\leq a$ और $Rabc$, तब $Rdbc$.
• $a^{**}=a$.
• यदि $a\leq b$, तब $b^{*}\leq a^{*}$.

$M,a\Vdash A$ और $M,a\nVdash A$ को इंगित करने के लिए कि सूत्र $A$ सत्य है या सत्य नहीं है क्रमशः बिंदु पर $a$ में $M$ रूटली-मेयर मॉडल पर एक अंतिम शर्त पारंपरिक स्थिति है।

• यदि $M,a\Vdash p$ और $a\leq b$, तब $M,b\Vdash p$, $p$ के सभी प्रस्तावों के लिए होता है।

विवेचनात्मक तर्क द्वारा, नीचे दी गई सत्य स्थितियों का उपयोग करते हुए, मॉडल को जटिल सूत्रों तक विस्तारित करने के लिए प्रदर्शित किया जा सकता है।

• यदि $M,a\Vdash A$ और $a\leq b$, तब $M,b\Vdash A$, $A$ सभी सूत्रों के लिए होता है

समिश्र सूत्रों के लिए सत्य स्थितियाँ इस प्रकार हैं।

• $M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ और $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ या $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)$
• $M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A$

एक सूत्र $A$ मॉडल केवल $M,0\Vdash A$ की स्थिति में मॉडल $M$ में धारण करता है। एक सूत्र $A$ एक फ्रेम $F$ पर रखता है यदि $F$ प्रत्येक मॉडल में $(F,\Vdash )$धारण करता है तब एक सूत्र $A$ फ्रेम के एक वर्ग में मान्य होता है यदि $A$ उस वर्ग में प्रत्येक फ्रेम पर रखता है। उपरोक्त शर्तों को पूरा करने वाले सभी रूटली-मेयर फ़्रेमों का वर्ग प्रासंगिकता तर्क B को मान्य करता है। R और * पर उपयुक्त प्रतिबंध लगाकर अन्य प्रासंगिक तर्कों के लिए रूटले-मेयर फ़्रेम प्राप्त कर सकते हैं। कुछ मानक परिभाषाओं का उपयोग करके इन स्थितियों को प्रस्तुत करना साधारण होता है। माना कि $Rabcd$ को $\exists x(Rabx\land Rxcd)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और $Ra(bc)d$ को $\exists x(Rbcx\land Raxd)$ परिभाषित किया जाता है फ्रेम की कुछ शर्तें और सिद्धांत जो वे स्वीकृत करते हैं वे निम्नलिखित हैं।

नाम	फ्रेम की स्थिति	सिद्धांत
स्यूडो-मोडस पोनेन्स	$Raaa$	$(A\land (A\to B))\to B$
उपसर्ग	$Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d$	$(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
प्रत्यय	$Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d$	$(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
संकुचन	$Rabc\Rightarrow Rabbc$	$(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
संयोजक	$Rabc\Rightarrow Ra(ab)c$	$(A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)$
निष्चयन	$Rabc\Rightarrow Rbac$	$A\to ((A\to B)\to B)$
ई-सिद्धांत	$Ra0a$	$((A\to A)\to B)\to B$
मिन्गले सिद्धांत	$Rabc\Rightarrow a\leq c$ or $b\leq c$	$A\to (A\to A)$
न्यूनीकरण	$Raa^{*}a$	$(A\to \lnot A)\to \lnot A$
प्रति-परिवर्तन	$Rabc\Rightarrow Rac^{*}b^{*}$	$(A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)$
बहिष्कृत मध्य	$0^{*}\leq 0$	$A\lor \lnot A$
समिश्र निहितार्थ विकृति	$0\leq a$	$A\to (B\to B)$
विकृति	$Rabc\Rightarrow b\leq c$	$A\to (B\to A)$

पिछली दो शर्तें अगम्य स्थिति के रूपों को स्वीकृत करती हैं जो प्रासंगिकता तर्क को मूल रूप से सुरक्षित करने के लिए विकसित की गयी थे। रूटले-मेयर मॉडल की अगम्यता को दिखाने के लिए उन्हें सम्मिलित किया गया है।

परिचालन मॉडल

उर्कहार्ट मॉडल

उर्कहार्ट ने अपने पीएचडी थीसिस और बाद के कार्य में प्रासंगिकता तर्कों के निषेध मुक्त भागों के लिए परिचालन मॉडल विकसित किए थे। परिचालन मॉडल के पीछे सहज विचार यह है कि एक मॉडल में बिंदु सूचना के भाग होते हैं और एक सशर्त का समर्थन करने वाली जानकारी को उसके पूर्ववर्ती का समर्थन करने वाली जानकारी के संयोजन से कुछ जानकारी प्राप्त होती है जो परिणाम का समर्थन करती है। चूंकि परिचालन मॉडल सामान्यतः ऋणात्मक व्याख्या नहीं करते हैं, इसलिए यह खंड केवल सशर्त, संयोजन और संयोजन वाली भाषाओं पर विचार करता है।

एक परिचालन फ्रेम $F$ एक ट्रिपल $(K,\cdot ,0)$ है जहाँ $K$ एक अरिक्त समुच्चय $0\in K$ है और $\cdot$ एक बाइनरी ऑपरेशन $K$ है इस फ़्रेम में विभिन्न शर्तें होती हैं, जिनमें से कुछ को अलग-अलग तर्क को मॉडल के रूप मे प्रयोग जा सकता है। उर्कहार्ट की प्रासंगिकता तर्क R की सशर्त प्रतिरूपण के लिए प्रस्तावित शर्तें निम्नलिखित हैं।

• $x\cdot x=x$
• $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
• $x\cdot y=y\cdot x$
• $0\cdot x=x$

इन शर्तों के अंतर्गत, परिचालन फ्रेम एक समुच्चय है।

एक परिचालन मॉडल $M$ एक फ्रेम $F$ है जिसका मूल्यांकन $V$ है जो बिंदुओं के जोड़े और परमाणु प्रस्तावों को सत्य मान T या F के लिए मूल्यांकन करता है। $V$ को मूल्यांकन तक बढ़ाया जा सकता है जहाँ $\Vdash$ समिश्र सूत्रों पर इस प्रकार है।

• $M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T$, परमाणु प्रस्तावों के लिए
• $M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ और $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ या $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

एक सूत्र $A$ मॉडल में $M$ निर्धारित करता है यदि $M,0\Vdash A$ एक सूत्र $A$ मॉडलों की एक श्रेणी को स्वीकृत करता है यदि $C$ यह प्रत्येक मॉडल में $M\in C$ है .

R का सशर्त भाग अर्ध-जाली मॉडल के वर्ग के संबंध में स्थित और पूर्ण है। विशेष रूप से, सूत्र $(A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)$ परिचालन मॉडल के लिए मान्य है लेकिन यह R में अमान्य है। R के लिए परिचालन मॉडल द्वारा उत्पन्न तर्क में किट और जेराल्ड चार्लवुड के कारण एक पूर्ण स्वयंसिद्ध प्रमाण प्रणाली है। चार्लवुड ने तर्क के लिए एक प्राकृतिक घटाव प्रणाली भी प्रदान किया। जिसे उन्होंने स्वयंसिद्ध प्रणाली के समकक्ष सिद्ध किया। चार्लवुड ने दिखाया कि उनकी प्राकृतिक घटाव प्रणाली डेग प्रविट्ज़ द्वारा प्रदान की गई प्रणाली के बराबर है।

परिचालन शब्दार्थ को विश्व के एक गैर-रिक्त समुच्चय और फ्रेम के लिए एक अभिगम्यता संबंध $\leq$ पर $W\times W$ को जोड़कर E को सशर्त मॉडल करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। E की सशर्त विचार को पकड़ने के लिए अभिगम्य संबंध को निजवाचक और सकर्मक होना आवश्यक है। मूल्यांकन तब परमाणु प्रस्तावों, बिंदुओं, और विश्व के सत्य मानो के लिए ट्रिपल को मूल्यांकित करता है। सशर्त के लिए सत्य की स्थिति को निम्नलिखित में परिवर्तित कर दिया गया है।

• $M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)$

परिचालन शब्दार्थ को एक संबंध $\leq$ पर $K\times K$ को जोड़कर T की स्थिति को मॉडल करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। निम्नलिखित शर्तों का अनुसरण करने के लिए संबंध आवश्यक है।

• $0\leq x$
• यदि $x\leq y$ और $y\leq z$, तब $x\leq z$
• यदि $x\leq y$, तब $x\cdot z\leq y\cdot z$

सशर्त के लिए सत्य स्थिति को निम्नलिखित में परिवर्तित कर दिया गया है।

• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

परिचालन मॉडल के साथ संकुचन-क्रम प्रासंगिकता तर्क TW और RW को मॉडल करने के दो तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि उस शर्त को $x\cdot x=x$ परिवर्तित कर दिया जाए और दूसरा तरीका फ्रेम पर सेमिलैटिस तर्क की स्थिति रखना और एक द्विआधारी संबंध $J$ को जोड़ना है फ्रेम से असम्बद्धता का इन मॉडलों के लिए, TW की स्थिति में अनुक्रम जोड़ने के साथ, सशर्त के लिए सत्य स्थितियों को निम्न में परिवर्तित कर दिया गया है।

• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

हंबरस्टोन मॉडल

अर्क्हार्ट ने दिखाया कि R के लिए सेमिलैटिस तर्क R के धनात्मक भाग की तुलना में पूर्णतः प्रबल है। लॉयड हंबरस्टोन ने परिचालन मॉडल का एक संवर्धन प्रदान किया जो संयोजन के लिए एक अलग सत्यता की स्थिति की स्वीकृति देता है। मॉडल का परिणामी वर्ग वास्तव में R का धनात्मक भाग उत्पन्न करता है।

एक परिचालन मॉडल $F$, $(K,\cdot ,+,0)$ का चार गुना है जहाँ $K$ एक अरिक्त समुच्चय है, $0\in K$, और {$\cdot$, $+$} बाइनरी परिचालन $K$ सक्रिय हैं माना कि $a\leq b$ $\exists x(a+x=b)$ के रूप में परिभाषित किया गया है जिसकी स्थिति इस प्रकार है।

1. $0\cdot x=x$
2. $x\cdot y=y\cdot x$
3. $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
4. $x\leq x\cdot x$
5. $x+y=y+x$
6. $(x+y)+z=x+(y+z)$
7. $x+x=x$
8. $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
9. $x\leq y+z\Rightarrow \exists y',z'\in K(y'\leq y$, $z'\leq z$ and $x=y'+z')$

एक परिचालन मॉडल $M$ एक फ्रेम $F$ है $V$ मूल्यांकन के साथ जो बिंदुओं के जोड़े कर और परमाणु प्रस्तावों को सत्य मान T या F से मूल्यांकित करता है। $V$ को मूल्यांकन तक विस्तृत किया जा सकता है $\Vdash$ का समिश्र सूत्र पर इस प्रकार हैं।

• $M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T$, परमाणु प्रस्तावों के लिए
• $M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p$ और $M,b\Vdash p$
• $M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ और $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ या $M,a\Vdash B$ या $\exists b,c(a=b+c$; $M,b\Vdash A$ और $M,c\Vdash B)$
• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

एक सूत्र $A$ मॉडल में $M$ को स्थिर रखता है यदि $M,0\Vdash A$. एक सूत्र $A$ मॉडलों की एक श्रेणी में स्वीकृत करता है और $C$ यदि प्रत्येक मॉडल में $M\in C$ है।

इन मॉडलों के वर्ग के संबंध में R का धनात्मक भाग है। हम्बरस्टोन के शब्दार्थ को निम्न प्रकार से फ्रेम स्थितियों को हटाकर या जोड़कर विभिन्न तर्क को मॉडल करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है।

प्रणाली	फ्रेम की स्थिति
बी	1, 5-9, 14	$x\leq x\cdot 0$ $(x\cdot y)\cdot z\leq y\cdot (x\cdot z)$ $(x\cdot y)\cdot z\leq x\cdot (y\cdot z)$ $x\cdot y\leq (x\cdot y)\cdot y$ $(y+z)\cdot x=y\cdot x+z\cdot x$ $x\cdot x=x$
टीडब्ल्यू	1, 11, 12, 5-9, 14
ईडब्ल्यू	1, 10, 11, 5-9, 14
आरडब्ल्यू	1-3, 5-9
टी	1, 11, 12, 13, 5-9, 14
ई	1, 10, 11, 13, 5-9, 14
आर	1-9
आरएम	1-3, 5-9, 15

बीजगणितीय मॉडल

कुछ प्रासंगिक तर्कों के बीजगणितीय मॉडल दिए जा सकते हैं, जैसे कि तर्क R. R के लिए बीजगणितीय संरचनाएं डी मॉर्गन बीजगणित हैं, जो $(D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)$ टपल हैं जहाँ

• $(D,\land ,\lor ,\lnot )$ एक यूनरी व्यंजक के साथ एक वितरणात्मक अनुक्रम है, $\lnot$$\lnot \lnot x=x$ अनुक्रम का अनुसरण करना और यदि $x\leq y$ तब $\lnot y\leq \lnot x$;
• $e\in D$, बाइनरी व्यंजक $\circ$ क्रमविनिमेय $x\circ y=y\circ x$ है और साहचर्य ($(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$) और $e\circ x=x$, अर्थात $(D,\circ ,e)$ पहचान व्यंजक के साथ एक एबेलियन मोनोइड $e$ है।
• मोनोइड एबेलियन अनुक्रम और संतुष्ट $x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)$ है।
• $x\leq x\circ x$; और
• यदि $x\circ y\leq z$, तब $x\circ \lnot z\leq \lnot y$.

व्यंजक $x\to y$ R की सशर्त व्याख्या के रूप में $\lnot (x\circ \lnot y)$ को परिभाषित किया गया है एक डी मॉर्गन मोनॉयड एक अवशेषित अनुक्रम है, जो निम्नलिखित अवशेषों की स्थिति का अनुसरण करता है।

$x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z$

एक व्याख्या $v$ एक डी मॉर्गन मोनोइड $M$ के लिए प्रस्तावक भाषा से एक समरूपता है जैसे कि

• $v(p)\in D$
• $v(\lnot A)=\lnot v(A)$
• $v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)$
• $v(A\land B)=v(A)\land v(B)$
• $v(A\to B)=v(A)\to v(B)$

एक डी मॉर्गन मोनॉयड $M$ और एक व्याख्या $v$ को देखते हुए यह कहा जा सकता है कि सूत्र $A$ कि स्थिति में $v$ को $e\leq v(A)$ के परिभाषित करता है एक सूत्र $A$ मान्य है यदि यह सभी डी मॉर्गन मोनोइड्स पर सभी व्याख्याओं पर आधारित है। डी मॉर्गन मोनोइड्स के लिए तर्क R व्यंजक और पूर्ण होता है।

यह भी देखें

• संबंध तर्क, भौतिक निहितार्थ के विरोधाभासों के लिए एक अन्य दृष्टिकोण
• गैर-अनुक्रम तर्क
• प्रासंगिक प्रणाली या संरचनात्मक प्रणाली

ग्रन्थसूची

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• Mares, Edwin, and Meyer, R. K., 2001, "Relevant Logics", in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Richard Routley, Val Plumwood, Robert K. Meyer, and Ross T. Brady. Relevant Logics and their Rivals. Ridgeview, 1982.
• R. Brady (ed.), Relevant Logics and their Rivals (Volume II), Aldershot: Ashgate, 2003.
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• Stephen Read, Relevant Logic, Oxford: Blackwell, 1988.
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बाहरी संबंध

• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Relevance logic" – by Edwin Mares.
• Relevance logic – by J. Michael Dunn and Greg Restall
• Relevant Logic – by Stephen Read