बहु-मूल्यवान तर्क: Difference between revisions

Revision as of 15:10, 21 February 2023

बहु-मूल्यवान तर्क (बहु- या बहु-मूल्यवान तर्क भी) प्रस्तावपरक कलन को संदर्भित करता है जिसमें दो से अधिक सत्य मान होते हैं। परंपरागत रूप से, अरस्तू के शब्द तर्क में, किसी भी तर्कवाक्य के लिए केवल दो संभावित मान (अर्थात, सत्य और असत्य) थे। शास्त्रीय द्वि-मूल्यवान तर्क को n तक विस्तारित किया जा सकता है -2 से अधिक n के लिए मूल्यवान तर्क। साहित्य में सबसे लोकप्रिय हैं तीन-मूल्यवान तर्क|तीन-मूल्यवान (जैसे, जन लुकासिविक्ज़| स्टीफन कोल क्लेन | क्लेन, जो मानों को सत्य, असत्य और अज्ञात स्वीकार करते हैं), चार-मूल्यवान तर्क|चार-मूल्यवान, नौ-मूल्यवान तर्क|नौ-मूल्यवान, परिमित-मूल्यवान तर्क|परिमित-मूल्यवान (परिमित-कई मूल्यवान) ) तीन से अधिक मानों के साथ, और अनंत-मूल्यवान तर्क|अनंत-मूल्यवान (अनंत-अनेक-मूल्यवान), जैसे फजी लॉजिक और संभाव्य तर्क।

इतिहास

यह गलत है कि पहले ज्ञात शास्त्रीय तर्कशास्त्री, जिन्होंने बहिष्कृत मध्य के कानून को पूरी तरह से स्वीकार नहीं किया था, अरस्तू थे (जिन्हें, विडंबना यह है कि आम तौर पर पहले शास्त्रीय तर्कशास्त्री और [दो- मूल्यवान] तर्क^[1]). वास्तव में, अरस्तू ने बहिष्कृत मध्य के कानून की सार्वभौमिकता का विरोध नहीं किया था, लेकिन द्विसंयोजक सिद्धांत की सार्वभौमिकता: उन्होंने स्वीकार किया कि यह सिद्धांत सभी भविष्य की घटनाओं पर लागू नहीं होता (डी इंटरप्रिटेशन, अध्याय IX) ),^[2] लेकिन उन्होंने इस पृथक टिप्पणी की व्याख्या करने के लिए बहु-मूल्यवान तर्क की व्यवस्था नहीं बनाई। 20वीं सदी के आने तक, बाद के तर्कशास्त्रियों ने अरिस्टोटेलियन तर्कशास्त्र का पालन किया, जिसमें बहिष्कृत मध्य का कानून शामिल है या मानता है।

20वीं शताब्दी बहु-मूल्यवान तर्कशास्त्र के विचार को वापस लेकर आई। पोलिश तर्कशास्त्री और दार्शनिक जन लुकासिविक्ज़ ने 1920 में अरस्तू की भविष्य की आकस्मिकताओं की समस्या से निपटने के लिए, तीसरे मूल्य का उपयोग करते हुए, बहु-मूल्यवान तर्क की प्रणालियाँ बनाना शुरू किया। इस बीच, अमेरिकी गणितज्ञ, एमिल पोस्ट|एमिल एल. पोस्ट (1921) ने भी n ≥ 2 के साथ अतिरिक्त सत्य डिग्री के सूत्रीकरण की शुरुआत की, जहाँ n सत्य मान हैं। बाद में, Jan Łukasiewicz और Alfred Tarski ने मिलकर n ≥ 2 सत्य मानों पर तर्क तैयार किया। 1932 में, Hans Reichenbach ने कई सत्य मानों का तर्क तैयार किया जहाँ n→∞। 1932 में कर्ट गोडेल ने दिखाया कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क बहुत-बहुत मूल्यवान तर्क नहीं है, और गोडेल तर्कशास्त्र की प्रणाली को परिभाषित किया जो शास्त्रीय तर्क और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीच मध्यवर्ती है; ऐसे लॉजिक्स को मध्यवर्ती तर्क के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

क्लीन (मजबूत) $K 3$ और पुजारी तर्क $P 3$

स्टीफन कोल क्लेन का (मजबूत) अनिश्चितता का तर्क $K 3$ (कभी-कभी $K_{3}^{S}$ ) और ग्राहम पुजारी का विरोधाभास का तर्क तीसरा अपरिभाषित या अनिश्चित सत्य मूल्य जोड़ता है $I$ . सत्य निषेध (¬) के लिए कार्य करता है, तार्किक संयोजन (∧), संयोजन (∨), सामग्री सशर्त (→K), और द्विशर्त (↔K) द्वारा दिया गया है:^[3]

¬
$T$	$F$
$I$	$I$
$F$	$T$

∧	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$

∨	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$T$	$T$
$I$	$T$	$I$	$I$
$F$	$T$	$I$	$F$

→K	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$T$	$I$	$I$
$F$	$T$	$T$	$T$

↔K	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$F$	$I$	$T$

दो लॉजिक्स के बीच का अंतर निहित है कि कैसे टॉटोलॉजी (तर्क) को परिभाषित किया जाता है। में $K 3$ केवल $T$ निर्दिष्ट सत्य मान है, जबकि में $P 3$ दोनों $T$ और $I$ हैं (तार्किक सूत्र को पुनरुक्ति माना जाता है यदि यह निर्दिष्ट सत्य मान का मूल्यांकन करता है)। क्लेन के तर्क में $I$ प्रीस्ट के तर्क में, न तो सत्य और न ही असत्य होने के कारण, कम निर्धारित होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है $I$ अतिनिर्धारित होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, सत्य और असत्य दोनों होने के नाते। $K 3$ जबकि कोई तनातनी नहीं है $P 3$ शास्त्रीय दो-मूल्यवान तर्क के समान ही पुनरुत्पादन है।^[4]

बोचवर का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क

अन्य तर्क दिमित्री बोचवार का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क है $B_{3}^{I}$ , जिसे क्लेन का कमजोर तीन-मूल्यवान तर्क भी कहा जाता है। निषेध और द्विप्रतिबंध को छोड़कर, इसकी सत्य तालिकाएँ उपरोक्त सभी से भिन्न हैं।^[5]

∧+	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$F$	$I$	$F$

∨+	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$T$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$T$	$I$	$F$

→+	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$T$	$I$	$T$

बोचवार के आंतरिक तर्क में मध्यवर्ती सत्य मान को संक्रामक के रूप में वर्णित किया जा सकता है क्योंकि यह किसी अन्य चर के मान की परवाह किए बिना सूत्र में प्रसारित होता है।^[5]

बेलनाप तर्क ( $B 4$ )

न्युएल बेलनाप का तर्क $B 4$ को जोड़ती है $K 3$ और $P 3$ . अतिनिर्धारित सत्य मान को यहाँ B और अधोनिर्धारित सत्य मान को N के रूप में दर्शाया गया है।

$f \neg$
$T$	$F$
$B$	$B$
$N$	$N$
$F$	$T$

$f \land$	$T$	$B$	$N$	$F$
$T$	$T$	$B$	$N$	$F$
$B$	$B$	$B$	$F$	$F$
$N$	$N$	$F$	$N$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$f \lor$	$T$	$B$	$N$	$F$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$B$	$T$	$B$	$T$	$B$
$N$	$T$	$T$	$N$	$N$
$F$	$T$	$B$	$N$	$F$

गोडेल लॉजिक्स जी_kऔर जी_∞

1932 में कर्ट गोडेल|गोडेल ने परिभाषित किया^[6] परिवार $G_{k}$ बहु-मूल्यवान तर्कों की, बहुत से सत्य मूल्यों के साथ $0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1$ , उदाहरण के लिए $G_{3}$ सत्य मूल्य हैं $0,{\tfrac {1}{2}},1$ और $G_{4}$ है $0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1$ . इसी तरह उन्होंने तर्क को असीम रूप से कई सत्य मूल्यों के साथ परिभाषित किया, $G_{\infty }$ , जिसमें सत्य मान अंतराल में सभी वास्तविक संख्याएँ हैं $[0,1]$ . इन लॉजिक्स में निर्दिष्ट सत्य मान 1 है।

संयोजन $\wedge$ और वियोग $\vee$ क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम ऑपरेंड के रूप में परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}

नकार $\neg _{G}$ और निहितार्थ ${\xrightarrow[{G}]{}}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}

गोडेल लॉजिक्स पूरी तरह से स्वयंसिद्ध हैं, यानी यह कहना संभव है कि तार्किक कलन को परिभाषित करना संभव है जिसमें सभी पुनरुत्पादन सिद्ध होते हैं। उपरोक्त निहितार्थ इस तथ्य से परिभाषित अद्वितीय हेयटिंग निहितार्थ है कि सुप्रीमा और मिनिमा ऑपरेशन अनंत वितरण कानून के साथ पूर्ण जाली बनाते हैं, जो जाली पर अद्वितीय पूर्ण हेटिंग बीजगणित संरचना को परिभाषित करता है।

लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स $L v$ और $L \infty$

निहितार्थ ${\xrightarrow[{L}]{}}$ और निषेध ${\underset {L}{\neg }}$ जन लुकासिविक्ज़ द्वारा निम्नलिखित कार्यों के माध्यम से परिभाषित किया गया था:

{\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1,1-u+v\}\end{aligned}}

सबसे पहले Łukasiewicz ने 1920 में अपने तीन-मूल्यवान तर्क के लिए इन परिभाषाओं का उपयोग किया $L_{3}$ , सत्य मूल्यों के साथ $0,{\frac {1}{2}},1$ . 1922 में उन्होंने अपरिमित रूप से अनेक मानों वाला तर्क विकसित किया $L_{\infty }$ , जिसमें सत्य मान अंतराल में वास्तविक संख्याओं को फैलाते हैं $[0,1]$ . दोनों मामलों में नामित सत्य मान 1 था।^[7] गोडेल लॉजिक्स के लिए उसी तरह परिभाषित सत्य मूल्यों को अपनाने से $0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1$ , लॉजिक्स का अंतिम-मूल्यवान परिवार बनाना संभव है $L_{v}$ , उपर्युक्त $L_{\infty }$ और तर्क $L_{\aleph _{0}}$ , जिसमें अंतराल में परिमेय संख्याओं द्वारा सत्य मान दिए जाते हैं $[0,1]$ . में टॉटोलॉजी का सेट $L_{\infty }$ और $L_{\aleph _{0}}$ समान है।

उत्पाद तर्क $Π$

उत्पाद तर्क में हमारे पास अंतराल में सत्य मूल्य हैं $[0,1]$ , संयोजन $\odot$ और निहितार्थ ${\xrightarrow[{\Pi }]{}}$ , इस प्रकार परिभाषित किया गया है^[8]

{\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}

इसके अतिरिक्त नकारात्मक नामित मूल्य है ${\overline {0}}$ जो असत्य की अवधारणा को दर्शाता है। इस मूल्य के माध्यम से निषेध को परिभाषित करना संभव है ${\underset {\Pi }{\neg }}$ और अतिरिक्त संयोजन ${\underset {\Pi }{\wedge }}$ निम्नलिखित नुसार:

{\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} {\overline {0}}\\u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v&:=u\odot \left(u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v\right)\end{aligned}}

और तब $u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v=\min\{u,v\}$ .

पोस्ट लॉजिक्स पी_m

1921 में एमिल लियोन पोस्ट ने लॉजिक्स के परिवार को परिभाषित किया $P_{m}$ के साथ (के रूप में $L_{v}$ और $G_{k}$ ) सत्य मान $0,{\tfrac {1}{m-1}},{\tfrac {2}{m-1}},\ldots ,{\tfrac {m-2}{m-1}},1$ . नकार ${\underset {P}{\neg }}$ और संयोजन ${\underset {P}{\wedge }}$ और विच्छेदन ${\underset {P}{\vee }}$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

{\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac {1}{m-1}},&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\u\mathbin {\underset {P}{\wedge }} v&:=\min\{u,v\}\\u\mathbin {\underset {P}{\vee }} v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}

रोज लॉजिक्स

1951 में, एलन रोज़ ने उन प्रणालियों के लिए लॉजिक्स के और परिवार को परिभाषित किया, जिनके सत्य-मूल्य जाली (आदेश सिद्धांत) का निर्माण करते हैं।^[9]

शास्त्रीय तर्क से संबंध

लॉजिक्स आमतौर पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनका उद्देश्य परिवर्तनों के दौरान प्रस्तावों की कुछ सिमेंटिक संपत्ति को संरक्षित करने के लिए नियमों को संहिताबद्ध करना होता है। शास्त्रीय तर्क में, यह गुण सत्य है। वैध तर्क में, व्युत्पन्न प्रस्ताव की सच्चाई की गारंटी दी जाती है यदि परिसर संयुक्त रूप से सत्य हैं, क्योंकि वैध चरणों का प्रयोग संपत्ति को संरक्षित करता है। हालाँकि, वह गुण सत्य का होना आवश्यक नहीं है; इसके बजाय, यह कोई अन्य अवधारणा हो सकती है।

बहु-मूल्यवान लॉजिक्स का उद्देश्य पदनाम (या नामित) की संपत्ति को संरक्षित करना है। चूंकि दो से अधिक सत्य मूल्य हैं, अनुमान के नियमों का उद्देश्य सत्य के अनुरूप (प्रासंगिक अर्थ में) से अधिक को संरक्षित करना हो सकता है। उदाहरण के लिए, तीन-मूल्य वाले तर्क में, कभी-कभी दो सबसे बड़े सत्य-मान (जब उन्हें सकारात्मक पूर्णांक के रूप में दर्शाया जाता है) निर्दिष्ट किए जाते हैं और अनुमान के नियम इन मूल्यों को संरक्षित करते हैं। संक्षेप में, वैध तर्क ऐसा होगा कि संयुक्त रूप से लिए गए परिसर का मूल्य हमेशा निष्कर्ष से कम या उसके बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, संरक्षित संपत्ति औचित्य हो सकती है, अंतर्ज्ञानवादी तर्क की मूलभूत अवधारणा। इस प्रकार, प्रस्ताव सही या गलत नहीं है; इसके बजाय, यह उचित या त्रुटिपूर्ण है। इस मामले में, औचित्य और सत्य के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि बहिष्कृत मध्य का कानून पकड़ में नहीं आता है: प्रस्ताव जो त्रुटिपूर्ण नहीं है वह आवश्यक रूप से उचित नहीं है; इसके बजाय, यह केवल सिद्ध नहीं है कि यह त्रुटिपूर्ण है। मुख्य अंतर संरक्षित संपत्ति की निर्धारकता है: कोई यह साबित कर सकता है कि पी न्यायोचित है, कि पी त्रुटिपूर्ण है, या या तो साबित करने में असमर्थ है। वैध तर्क परिवर्तनों में औचित्य को बरकरार रखता है, इसलिए न्यायसंगत प्रस्तावों से प्राप्त प्रस्ताव अभी भी उचित है। हालाँकि, शास्त्रीय तर्क में ऐसे प्रमाण हैं जो बहिष्कृत मध्य के नियम पर निर्भर करते हैं; चूँकि वह कानून इस योजना के तहत प्रयोग करने योग्य नहीं है, ऐसे प्रस्ताव हैं जिन्हें इस तरह से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

सुज़्को की थीसिस

बहु-मूल्यवान लॉजिक्स की कार्यात्मक पूर्णता

कार्यात्मक पूर्णता शब्द है जिसका प्रयोग परिमित लॉजिक्स और बीजगणित की विशेष संपत्ति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। संयोजकों के तर्क समुच्चय को क्रियात्मक रूप से पूर्ण या पर्याप्त कहा जाता है यदि और केवल तभी जब संयोजकों के समुच्चय का उपयोग प्रत्येक संभव सत्य फलन के अनुरूप सूत्र बनाने के लिए किया जा सकता है।^[10] पर्याप्त बीजगणित वह है जिसमें चर के प्रत्येक परिमित मानचित्रण को उसके संचालन की कुछ संरचना द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।^[11] क्लासिकल लॉजिक: CL = ({0,1}, ¬, →, ∨, ∧, ↔) कार्यात्मक रूप से पूर्ण है, जबकि कोई Łukasiewicz लॉजिक या असीम रूप से कई-मूल्यवान लॉजिक में यह गुण नहीं है।^[11]^[12] हम एल के रूप में बहुत से मूल्यवान तर्क को परिभाषित कर सकते हैं_n({1, 2, ..., एन} ƒ₁, ..., ƒ_m) जहां n ≥ 2 दी गई प्राकृत संख्या है। एमिल लियोन पोस्ट (1921) साबित करता है कि तर्क मानने से किसी भी एम के समारोह का उत्पादन करने में सक्षम होता है^{वें क्रम मॉडल में पर्याप्त तर्क एल में संयोजकों का कुछ संगत संयोजन होता है_nजो क्रम m+1 का मॉडल तैयार कर सकता है।^[13]}

अनुप्रयोग

बहु-मूल्यवान तर्क के ज्ञात अनुप्रयोगों को मोटे तौर पर दो समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है।^[14] बाइनरी समस्याओं को अधिक कुशलता से हल करने के लिए पहला समूह कई-मूल्यवान तर्क का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, बहु-आउटपुट बूलियन फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रसिद्ध दृष्टिकोण इसके आउटपुट भाग को एकल-मूल्यवान चर के रूप में व्यवहार करना और इसे एकल-आउटपुट विशेषता फ़ंक्शन (विशेष रूप से, संकेतक फ़ंक्शन) में परिवर्तित करना है। बहु-मूल्यवान लॉजिक के अन्य अनुप्रयोगों में इनपुट डिकोडर्स के साथ प्रोग्राम करने योग्य तर्क सरणी (PLAs) का डिज़ाइन, परिमित अवस्था मशीनों का अनुकूलन, परीक्षण और सत्यापन शामिल हैं।

दूसरा समूह इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन को लक्षित करता है जो संकेतों के दो से अधिक असतत स्तरों को नियोजित करता है, जैसे कि कई-मूल्यवान यादें, अंकगणितीय सर्किट और क्षेत्र में प्रोग्राम की जा सकने वाली द्वार श्रंखला (FPGAs)। बहु-मूल्यवान परिपथों में मानक बाइनरी परिपथों की तुलना में कई सैद्धांतिक लाभ हैं। उदाहरण के लिए, यदि सर्किट में सिग्नल केवल दो के बजाय चार या अधिक स्तर ग्रहण करते हैं, तो इंटरकनेक्ट ऑन और ऑफ चिप को कम किया जा सकता है। मेमोरी डिज़ाइन में, प्रति मेमोरी सेल में बिट सूचना के बजाय दो स्टोर करने से उसी डाई (एकीकृत सर्किट) आकार में मेमोरी का घनत्व दोगुना हो जाता है। अंकगणित सर्किट का उपयोग करने वाले अनुप्रयोग अक्सर बाइनरी नंबर सिस्टम के विकल्प का उपयोग करने से लाभान्वित होते हैं। उदाहरण के लिए, अवशेष संख्या प्रणाली और निरर्थक बाइनरी प्रतिनिधित्व^[15] रिपल-कैरी योजक|रिपल-थ्रू कैरीज़ को कम या समाप्त कर सकता है जो सामान्य बाइनरी जोड़ या घटाव में शामिल होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उच्च-गति अंकगणितीय संचालन होते हैं। इन संख्या प्रणालियों में कई मूल्यवान सर्किटों का उपयोग करके प्राकृतिक कार्यान्वयन होता है। हालांकि, इन संभावित लाभों की व्यावहारिकता काफी हद तक सर्किट प्राप्तियों की उपलब्धता पर निर्भर करती है, जो वर्तमान मानक प्रौद्योगिकियों के साथ संगत या प्रतिस्पर्धी होनी चाहिए। इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन में सहायता के अलावा, दोषों और दोषों के लिए सर्किट का परीक्षण करने के लिए कई-मूल्यवान तर्क का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मूल रूप से डिजिटल सर्किट परीक्षण के लिए उपयोग किए जाने वाले सभी ज्ञात स्वचालित परीक्षण पैटर्न पीढ़ी (एटीजी) एल्गोरिदम को सिम्युलेटर की आवश्यकता होती है जो 5-मूल्यवान तर्क (0, 1, x, D, D') को हल कर सके। रेफरी नाम = अब्रामोविसी 1994 >Abramovici, Miron; Breuer, Melvin A.; Friedman, Arthur D. (1994). डिजिटल सिस्टम परीक्षण और परीक्षण योग्य डिजाइन. New York: Computer Science Press. p. 183. ISBN 978-0-7803-1062-9.</ref> अतिरिक्त मान-x, D, और D'- (1) अज्ञात/असंरंभीकृत, (2) 1 के बजाय 0, और (3) 0 के बजाय 1 का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अनुसंधान स्थान

मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक (ISMVL) पर IEEE अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी 1970 से प्रतिवर्ष आयोजित की जाती रही है। यह ज्यादातर डिजिटल डिजाइन और सत्यापन में अनुप्रयोगों को पूरा करती है।^[16] जर्नल ऑफ़ मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक एंड सॉफ्ट कंप्यूटिंग जर्नल भी है।^[17]

यह भी देखें

गणितीय तर्क

सत्य की डिग्री
फजी लॉजिक
गोडेल तर्क
जैन सात-मूल्य तर्क
क्लेन तर्क
क्लेन बीजगणित (इनवोल्यूशन के साथ)
लुकासिविक्ज़ तर्क
एमवी-बीजगणित
एमिल लियोन पोस्ट
द्वैधता का सिद्धांत
ए. एन. प्रायर
प्रासंगिकता तर्क

दार्शनिक तर्क

मिथ्या दुविधा
म्यू (नकारात्मक)

डिजिटल लॉजिक

एमवीसीएमएल, बहु-मूल्यवान वर्तमान-मोड तर्क
IEEE 1164 VHDL के लिए नौ-मूल्यवान मानक
Verilog#चार-मूल्यवान तर्क Verilog के लिए चार-मूल्यवान मानक
तीन-राज्य तर्क
शोर आधारित तर्क

संदर्भ

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Specific

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Bolc, Leonard; Borowik, Piotr (2003). Many-valued Logics 2: Automated reasoning and practical applications. Springer. ISBN 978-3-540-64507-8.
Stanković, Radomir S.; Astola, Jaakko T.; Moraga, Claudio (2012). Representation of Multiple-Valued Logic Functions. Morgan & Claypool Publishers. doi:10.2200/S00420ED1V01Y201205DCS037. ISBN 978-1-60845-942-1.
Abramovici, Miron; Breuer, Melvin A.; Friedman, Arthur D. (1994). Digital Systems Testing and Testable Design. New York: Computer Science Press. ISBN 978-0-7803-1062-9.

बाहरी संबंध

Gottwald, Siegfried (2022). "Many-Valued Logic". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 Edition).
Shramko, Yaroslav and Wansing, Heinrich (2021). "Truth Values". In Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 Edition).
IEEE Computer Society's Technical Committee on Multiple-Valued Logic
Resources for Many-Valued Logic by Reiner Hähnle, Chalmers University
Many-valued Logics W3 Server (archived)
Yaroslav Shramko and Heinrich Wansing (2020). "Suszko's Thesis". Stanford Encyclopedia of Philosophy.{{cite encyclopedia}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)
Carlos Caleiro, Walter Carnielli, Marcelo E. Coniglio and João Marcos, Two's company: "The humbug of many logical values" in Jean-Yves Beziau, ed. (2007). Logica Universalis: Towards a General Theory of Logic (2nd ed.). Springer Science & Business Media. pp. 174–194. ISBN 978-3-7643-8354-1.

[1] Hurley, Patrick. A Concise Introduction to Logic, 9th edition. (2006).

[2] Jules Vuillemin, Necessity or Contingency, CSLI Lecture Notes, N°56, Stanford, 1996, pp. 133-167

[3] (Gottwald 2005, p. 19)

[4] Humberstone, Lloyd (2011). The Connectives. Cambridge, Massachusetts: The MIT Press. pp. 201. ISBN 978-0-262-01654-4.

[Bergmann_2008_80-5] 5.0 ^5.1 (Bergmann 2008, p. 80)

[6] Gödel, Kurt (1932). "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül". Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien (69): 65f.

[7] Kreiser, Lothar; Gottwald, Siegfried; Stelzner, Werner (1990). Nichtklassische Logik. Eine Einführung. Berlin: Akademie-Verlag. pp. 41ff–45ff. ISBN 978-3-05-000274-3.

[8] Hajek, Petr: Fuzzy Logic. In: Edward N. Zalta: The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2009. ([1])

[9] Rose, Alan (December 1951). "Systems of logic whose truth-values form lattices". Mathematische Annalen. 123: 152–165. doi:10.1007/BF02054946. S2CID 119735870.

[10] Smith, Nicholas (2012). Logic: The Laws of Truth. Princeton University Press. p. 124.

[:02-11] 11.0 ^11.1 Malinowski, Grzegorz (1993). Many-Valued Logics. Clarendon Press. pp. 26–27.

[12] Church, Alonzo (1996). Introduction to Mathematical Logic (in English). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02906-1.

[13] Post, Emil L. (1921). "Introduction to a General Theory of Elementary Propositions". American Journal of Mathematics. 43 (3): 163–185. doi:10.2307/2370324. hdl:2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q. ISSN 0002-9327. JSTOR 2370324.

[14] Dubrova, Elena (2002). Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization, in Hassoun S. and Sasao T., editors, Logic Synthesis and Verification, Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114

[Meher_2009-15] Meher, Pramod Kumar; Valls, Javier; Juang, Tso-Bing; Sridharan, K.; Maharatna, Koushik (August 22, 2008). "CORDIC के 50 वर्ष: एल्गोरिथम, आर्किटेक्चर और अनुप्रयोग" (PDF). IEEE Transactions on Circuits & Systems I: Regular Papers (published September 9, 2009). 56 (9): 1893–1907. doi:10.1109/TCSI.2009.2025803. S2CID 5465045. Archived (PDF) from the original on October 9, 2022. Retrieved January 3, 2016.

[16] "IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic (ISMVL)". www.informatik.uni-trier.de/~ley.

[17] "MVLSC home". Archived from the original on March 15, 2014. Retrieved August 12, 2011.

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 {{Use mdy dates|date=November 2022}}{{Short description|Propositional calculus in which there are more than two truth values}}
-बहु-मूल्यवान तर्क (बहु- या बहु-मूल्यवान तर्क भी) एक [[प्रस्ताव]]परक कलन को संदर्भित करता है जिसमें दो से अधिक सत्य मान होते हैं। परंपरागत रूप से, [[अरस्तू]] के [[शब्द तर्क]] में, किसी भी तर्कवाक्य के लिए केवल दो संभावित मान (अर्थात, सत्य और असत्य) थे। शास्त्रीय द्वि-मूल्यवान तर्क को ''n'' तक विस्तारित किया जा सकता है -2 से अधिक ''n'' के लिए मूल्यवान तर्क। साहित्य में सबसे लोकप्रिय हैं [[तीन-मूल्यवान तर्क]]|तीन-मूल्यवान (जैसे, जन लुकासिविक्ज़| स्टीफन कोल क्लेन | क्लेन, जो मानों को सत्य, असत्य और अज्ञात स्वीकार करते हैं), [[चार-मूल्यवान तर्क]]|चार-मूल्यवान, [[नौ-मूल्यवान तर्क]]|नौ-मूल्यवान, [[परिमित-मूल्यवान तर्क]]|परिमित-मूल्यवान (परिमित-कई मूल्यवान) ) तीन से अधिक मानों के साथ, और [[अनंत-मूल्यवान तर्क]]|अनंत-मूल्यवान (अनंत-अनेक-मूल्यवान), जैसे [[फजी लॉजिक]] और [[संभाव्य तर्क]]।
+बहु-मूल्यवान तर्क (बहु- या बहु-मूल्यवान तर्क भी) [[प्रस्ताव]]परक कलन को संदर्भित करता है जिसमें दो से अधिक सत्य मान होते हैं। परंपरागत रूप से, [[अरस्तू]] के [[शब्द तर्क]] में, किसी भी तर्कवाक्य के लिए केवल दो संभावित मान (अर्थात, सत्य और असत्य) थे। शास्त्रीय द्वि-मूल्यवान तर्क को ''n'' तक विस्तारित किया जा सकता है -2 से अधिक ''n'' के लिए मूल्यवान तर्क। साहित्य में सबसे लोकप्रिय हैं [[तीन-मूल्यवान तर्क]]|तीन-मूल्यवान (जैसे, जन लुकासिविक्ज़| स्टीफन कोल क्लेन | क्लेन, जो मानों को सत्य, असत्य और अज्ञात स्वीकार करते हैं), [[चार-मूल्यवान तर्क]]|चार-मूल्यवान, [[नौ-मूल्यवान तर्क]]|नौ-मूल्यवान, [[परिमित-मूल्यवान तर्क]]|परिमित-मूल्यवान (परिमित-कई मूल्यवान) ) तीन से अधिक मानों के साथ, और [[अनंत-मूल्यवान तर्क]]|अनंत-मूल्यवान (अनंत-अनेक-मूल्यवान), जैसे [[फजी लॉजिक]] और [[संभाव्य तर्क]]।
 == इतिहास ==
 यह <i>गलत</i> है कि पहले ज्ञात शास्त्रीय तर्कशास्त्री, जिन्होंने बहिष्कृत मध्य के कानून को पूरी तरह से स्वीकार नहीं किया था, अरस्तू थे (जिन्हें, विडंबना यह है कि आम तौर पर पहले शास्त्रीय तर्कशास्त्री और [दो- मूल्यवान] तर्क<ref>Hurley, Patrick. ''A Concise Introduction to Logic'', 9th edition. (2006).</ref>). वास्तव में, अरस्तू ने बहिष्कृत मध्य के कानून की सार्वभौमिकता का विरोध <i>नहीं</i> किया था, लेकिन द्विसंयोजक सिद्धांत की सार्वभौमिकता: उन्होंने स्वीकार किया कि यह सिद्धांत सभी भविष्य की घटनाओं पर लागू नहीं होता (डी इंटरप्रिटेशन, अध्याय IX) ),<ref>Jules Vuillemin, <i>Necessity or Contingency</i>, CSLI Lecture Notes, N°56, Stanford, 1996, pp. 133-167</ref> लेकिन उन्होंने इस पृथक टिप्पणी की व्याख्या करने के लिए बहु-मूल्यवान तर्क की व्यवस्था नहीं बनाई। 20वीं सदी के आने तक, बाद के तर्कशास्त्रियों ने [[अरिस्टोटेलियन तर्क]]शास्त्र का पालन किया, जिसमें बहिष्कृत मध्य का कानून शामिल है या मानता है।
-वीं शताब्दी बहु-मूल्यवान तर्कशास्त्र के विचार को वापस लेकर आई। पोलिश तर्कशास्त्री और दार्शनिक जन लुकासिविक्ज़ ने 1920 में अरस्तू की भविष्य की आकस्मिकताओं की समस्या से निपटने के लिए, तीसरे मूल्य का उपयोग करते हुए, बहु-मूल्यवान तर्क की प्रणालियाँ बनाना शुरू किया। इस बीच, अमेरिकी गणितज्ञ, एमिल पोस्ट|एमिल एल. पोस्ट (1921) ने भी n ≥ 2 के साथ अतिरिक्त सत्य डिग्री के सूत्रीकरण की शुरुआत की, जहाँ n सत्य मान हैं। बाद में, Jan Łukasiewicz और [[Alfred Tarski]] ने मिलकर n ≥ 2 सत्य मानों पर एक तर्क तैयार किया। 1932 में, [[Hans Reichenbach]] ने कई सत्य मानों का एक तर्क तैयार किया जहाँ n→∞। 1932 में कर्ट गोडेल ने दिखाया कि [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] एक बहुत-बहुत मूल्यवान तर्क नहीं है, और गोडेल तर्कशास्त्र की एक प्रणाली को परिभाषित किया जो [[शास्त्रीय तर्क]] और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीच मध्यवर्ती है; ऐसे लॉजिक्स को [[मध्यवर्ती तर्क]] के रूप में जाना जाता है।
+वीं शताब्दी बहु-मूल्यवान तर्कशास्त्र के विचार को वापस लेकर आई। पोलिश तर्कशास्त्री और दार्शनिक जन लुकासिविक्ज़ ने 1920 में अरस्तू की भविष्य की आकस्मिकताओं की समस्या से निपटने के लिए, तीसरे मूल्य का उपयोग करते हुए, बहु-मूल्यवान तर्क की प्रणालियाँ बनाना शुरू किया। इस बीच, अमेरिकी गणितज्ञ, एमिल पोस्ट|एमिल एल. पोस्ट (1921) ने भी n ≥ 2 के साथ अतिरिक्त सत्य डिग्री के सूत्रीकरण की शुरुआत की, जहाँ n सत्य मान हैं। बाद में, Jan Łukasiewicz और [[Alfred Tarski]] ने मिलकर n ≥ 2 सत्य मानों पर तर्क तैयार किया। 1932 में, [[Hans Reichenbach]] ने कई सत्य मानों का तर्क तैयार किया जहाँ n→∞। 1932 में कर्ट गोडेल ने दिखाया कि [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] बहुत-बहुत मूल्यवान तर्क नहीं है, और गोडेल तर्कशास्त्र की प्रणाली को परिभाषित किया जो [[शास्त्रीय तर्क]] और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीच मध्यवर्ती है; ऐसे लॉजिक्स को [[मध्यवर्ती तर्क]] के रूप में जाना जाता है।
 == उदाहरण ==
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 |}
-दो लॉजिक्स के बीच का अंतर निहित है कि कैसे [[टॉटोलॉजी (तर्क)]] को परिभाषित किया जाता है। में {{math|''K''<sub>3</sub>}} केवल {{math|T}} एक निर्दिष्ट सत्य मान है, जबकि में {{math|''P''<sub>3</sub>}} दोनों {{math|T}} और {{math|I}} हैं (एक तार्किक सूत्र को एक पुनरुक्ति माना जाता है यदि यह निर्दिष्ट सत्य मान का मूल्यांकन करता है)। क्लेन के तर्क में {{math|I}} प्रीस्ट के तर्क में, न तो सत्य और न ही असत्य होने के कारण, कम निर्धारित होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{math|I}} अतिनिर्धारित होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, सत्य और असत्य दोनों होने के नाते। {{math|''K''<sub>3</sub>}} जबकि कोई तनातनी नहीं है {{math|''P''<sub>3</sub>}} शास्त्रीय दो-मूल्यवान तर्क के समान ही पुनरुत्पादन है।<ref>{{cite book
+दो लॉजिक्स के बीच का अंतर निहित है कि कैसे [[टॉटोलॉजी (तर्क)]] को परिभाषित किया जाता है। में {{math|''K''<sub>3</sub>}} केवल {{math|T}} निर्दिष्ट सत्य मान है, जबकि में {{math|''P''<sub>3</sub>}} दोनों {{math|T}} और {{math|I}} हैं (तार्किक सूत्र को पुनरुक्ति माना जाता है यदि यह निर्दिष्ट सत्य मान का मूल्यांकन करता है)। क्लेन के तर्क में {{math|I}} प्रीस्ट के तर्क में, न तो सत्य और न ही असत्य होने के कारण, कम निर्धारित होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{math|I}} अतिनिर्धारित होने के रूप में व्याख्या की जा सकती है, सत्य और असत्य दोनों होने के नाते। {{math|''K''<sub>3</sub>}} जबकि कोई तनातनी नहीं है {{math|''P''<sub>3</sub>}} शास्त्रीय दो-मूल्यवान तर्क के समान ही पुनरुत्पादन है।<ref>{{cite book
 |last= Humberstone
 |first= Lloyd
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 === बोचवर का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क ===
-एक अन्य तर्क दिमित्री बोचवार का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क है <math>B_3^I</math>, जिसे क्लेन का कमजोर तीन-मूल्यवान तर्क भी कहा जाता है। निषेध और द्विप्रतिबंध को छोड़कर, इसकी सत्य तालिकाएँ उपरोक्त सभी से भिन्न हैं।<ref name="Bergmann 2008 80">{{harv|Bergmann|2008|p=80}}</ref>
+अन्य तर्क दिमित्री बोचवार का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क है <math>B_3^I</math>, जिसे क्लेन का कमजोर तीन-मूल्यवान तर्क भी कहा जाता है। निषेध और द्विप्रतिबंध को छोड़कर, इसकी सत्य तालिकाएँ उपरोक्त सभी से भिन्न हैं।<ref name="Bergmann 2008 80">{{harv|Bergmann|2008|p=80}}</ref>
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-बोचवार के आंतरिक तर्क में मध्यवर्ती सत्य मान को संक्रामक के रूप में वर्णित किया जा सकता है क्योंकि यह किसी अन्य चर के मान की परवाह किए बिना एक सूत्र में प्रसारित होता है।<ref name="Bergmann 2008 80"/>
+बोचवार के आंतरिक तर्क में मध्यवर्ती सत्य मान को संक्रामक के रूप में वर्णित किया जा सकता है क्योंकि यह किसी अन्य चर के मान की परवाह किए बिना सूत्र में प्रसारित होता है।<ref name="Bergmann 2008 80"/>
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   | journal = Anzeiger der Akademie der Wissenschaften in Wien
   | date = 1932 | issue = 69 | pages = 65f
-}}</ref> एक परिवार <math>G_k</math> बहु-मूल्यवान तर्कों की, बहुत से सत्य मूल्यों के साथ <math>0, \tfrac{1}{k - 1}, \tfrac{2}{k - 1}, \ldots, \tfrac{k - 2}{k - 1}, 1</math>, उदाहरण के लिए <math>G_3</math> सत्य मूल्य हैं <math>0, \tfrac{1}{2}, 1</math> और <math>G_4</math> है <math>0, \tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}, 1</math>. इसी तरह उन्होंने एक तर्क को असीम रूप से कई सत्य मूल्यों के साथ परिभाषित किया, <math>G_\infty</math>, जिसमें सत्य मान अंतराल में सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं <math>[0, 1]</math>. इन लॉजिक्स में निर्दिष्ट सत्य मान 1 है।
+}}</ref> परिवार <math>G_k</math> बहु-मूल्यवान तर्कों की, बहुत से सत्य मूल्यों के साथ <math>0, \tfrac{1}{k - 1}, \tfrac{2}{k - 1}, \ldots, \tfrac{k - 2}{k - 1}, 1</math>, उदाहरण के लिए <math>G_3</math> सत्य मूल्य हैं <math>0, \tfrac{1}{2}, 1</math> और <math>G_4</math> है <math>0, \tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}, 1</math>. इसी तरह उन्होंने तर्क को असीम रूप से कई सत्य मूल्यों के साथ परिभाषित किया, <math>G_\infty</math>, जिसमें सत्य मान अंतराल में सभी [[वास्तविक संख्या]]एँ हैं <math>[0, 1]</math>. इन लॉजिक्स में निर्दिष्ट सत्य मान 1 है।
 संयोजन <math>\wedge</math> और वियोग <math>\vee</math> क्रमशः [[न्यूनतम]] और [[अधिकतम]] ऑपरेंड के रूप में परिभाषित किया गया है:
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                             \end{cases}
 \end{align}</math>
-गोडेल लॉजिक्स पूरी तरह से स्वयंसिद्ध हैं, यानी यह कहना संभव है कि एक तार्किक कलन को परिभाषित करना संभव है जिसमें सभी पुनरुत्पादन सिद्ध होते हैं। उपरोक्त निहितार्थ इस तथ्य से परिभाषित अद्वितीय हेयटिंग निहितार्थ है कि सुप्रीमा और मिनिमा ऑपरेशन एक अनंत वितरण कानून के साथ एक पूर्ण जाली बनाते हैं, जो जाली पर एक अद्वितीय पूर्ण हेटिंग बीजगणित संरचना को परिभाषित करता है।
+गोडेल लॉजिक्स पूरी तरह से स्वयंसिद्ध हैं, यानी यह कहना संभव है कि तार्किक कलन को परिभाषित करना संभव है जिसमें सभी पुनरुत्पादन सिद्ध होते हैं। उपरोक्त निहितार्थ इस तथ्य से परिभाषित अद्वितीय हेयटिंग निहितार्थ है कि सुप्रीमा और मिनिमा ऑपरेशन अनंत वितरण कानून के साथ पूर्ण जाली बनाते हैं, जो जाली पर अद्वितीय पूर्ण हेटिंग बीजगणित संरचना को परिभाषित करता है।
 === लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स {{mvar|L<sub>v</sub>}} और {{math|''L''<sub>∞</sub>}}===
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 |isbn= 978-3-05-000274-3
 }}</ref>
-गोडेल लॉजिक्स के लिए उसी तरह परिभाषित सत्य मूल्यों को अपनाने से <math>0, \tfrac{1}{v-1}, \tfrac{2}{v-1}, \ldots, \tfrac {v-2} {v-1}, 1</math>, लॉजिक्स का एक अंतिम-मूल्यवान परिवार बनाना संभव है <math>L_v</math>, उपर्युक्त <math>L_\infty</math> और तर्क <math>L_{\aleph_0}</math>, जिसमें अंतराल में परिमेय संख्याओं द्वारा सत्य मान दिए जाते हैं <math>[0,1]</math>. में टॉटोलॉजी का सेट <math>L_\infty</math> और <math>L_{\aleph_0}</math> समान है।
+गोडेल लॉजिक्स के लिए उसी तरह परिभाषित सत्य मूल्यों को अपनाने से <math>0, \tfrac{1}{v-1}, \tfrac{2}{v-1}, \ldots, \tfrac {v-2} {v-1}, 1</math>, लॉजिक्स का अंतिम-मूल्यवान परिवार बनाना संभव है <math>L_v</math>, उपर्युक्त <math>L_\infty</math> और तर्क <math>L_{\aleph_0}</math>, जिसमें अंतराल में परिमेय संख्याओं द्वारा सत्य मान दिए जाते हैं <math>[0,1]</math>. में टॉटोलॉजी का सेट <math>L_\infty</math> और <math>L_{\aleph_0}</math> समान है।
 === उत्पाद तर्क {{math|Π}} ===
-उत्पाद तर्क में हमारे पास अंतराल में सत्य मूल्य हैं <math>[0,1]</math>, एक संयोजन <math>\odot</math> और एक निहितार्थ <math>\xrightarrow [\Pi]{}</math>, इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>Hajek, Petr: ''Fuzzy Logic''. In: Edward N. Zalta: ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'', Spring 2009. ([http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/logic-fuzzy/])</ref>
+उत्पाद तर्क में हमारे पास अंतराल में सत्य मूल्य हैं <math>[0,1]</math>, संयोजन <math>\odot</math> और निहितार्थ <math>\xrightarrow [\Pi]{}</math>, इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>Hajek, Petr: ''Fuzzy Logic''. In: Edward N. Zalta: ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'', Spring 2009. ([http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/logic-fuzzy/])</ref>
 : <math>\begin{align}
                            u \odot v &:= uv \\
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      \end{cases}
 \end{align}</math>
-इसके अतिरिक्त एक नकारात्मक नामित मूल्य है <math>\overline{0}</math> जो असत्य की अवधारणा को दर्शाता है। इस मूल्य के माध्यम से एक निषेध को परिभाषित करना संभव है <math>\underset{\Pi}{\neg}</math> और एक अतिरिक्त संयोजन <math>\underset{\Pi}{\wedge}</math> निम्नलिखित नुसार:
+इसके अतिरिक्त नकारात्मक नामित मूल्य है <math>\overline{0}</math> जो असत्य की अवधारणा को दर्शाता है। इस मूल्य के माध्यम से निषेध को परिभाषित करना संभव है <math>\underset{\Pi}{\neg}</math> और अतिरिक्त संयोजन <math>\underset{\Pi}{\wedge}</math> निम्नलिखित नुसार:
 : <math>\begin{align}
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 === पोस्ट लॉजिक्स पी<sub>m</sub>===
-में [[एमिल लियोन पोस्ट]] ने लॉजिक्स के एक परिवार को परिभाषित किया <math>P_m</math> के साथ (के रूप में <math>L_v</math> और <math>G_k</math>) सत्य मान <math>0, \tfrac 1 {m-1}, \tfrac 2 {m-1}, \ldots, \tfrac {m-2} {m-1}, 1</math>. नकार <math>\underset{P}{\neg}</math> और संयोजन <math>\underset{P}{\wedge}</math> और विच्छेदन <math>\underset{P}{\vee}</math> निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
+में [[एमिल लियोन पोस्ट]] ने लॉजिक्स के परिवार को परिभाषित किया <math>P_m</math> के साथ (के रूप में <math>L_v</math> और <math>G_k</math>) सत्य मान <math>0, \tfrac 1 {m-1}, \tfrac 2 {m-1}, \ldots, \tfrac {m-2} {m-1}, 1</math>. नकार <math>\underset{P}{\neg}</math> और संयोजन <math>\underset{P}{\wedge}</math> और विच्छेदन <math>\underset{P}{\vee}</math> निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 : <math>\begin{align}
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 === रोज लॉजिक्स ===
-में, एलन रोज़ ने उन प्रणालियों के लिए लॉजिक्स के एक और परिवार को परिभाषित किया, जिनके सत्य-मूल्य [[जाली (आदेश सिद्धांत)]] का निर्माण करते हैं।<ref>{{cite journal|title=Systems of logic whose truth-values form lattices|journal=Mathematische Annalen|volume=123|date=December 1951|pages=152–165|doi=10.1007/BF02054946|last1=Rose|first1=Alan|s2cid=119735870}}</ref>
+में, एलन रोज़ ने उन प्रणालियों के लिए लॉजिक्स के और परिवार को परिभाषित किया, जिनके सत्य-मूल्य [[जाली (आदेश सिद्धांत)]] का निर्माण करते हैं।<ref>{{cite journal|title=Systems of logic whose truth-values form lattices|journal=Mathematische Annalen|volume=123|date=December 1951|pages=152–165|doi=10.1007/BF02054946|last1=Rose|first1=Alan|s2cid=119735870}}</ref>
 == शास्त्रीय [[तर्क]] से संबंध ==
-लॉजिक्स आमतौर पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनका उद्देश्य परिवर्तनों के दौरान प्रस्तावों की कुछ सिमेंटिक संपत्ति को संरक्षित करने के लिए नियमों को संहिताबद्ध करना होता है। शास्त्रीय तर्क में, यह गुण सत्य है। एक वैध तर्क में, व्युत्पन्न प्रस्ताव की सच्चाई की गारंटी दी जाती है यदि परिसर संयुक्त रूप से सत्य हैं, क्योंकि वैध चरणों का प्रयोग संपत्ति को संरक्षित करता है। हालाँकि, वह गुण सत्य का होना आवश्यक नहीं है; इसके बजाय, यह कोई अन्य अवधारणा हो सकती है।
+लॉजिक्स आमतौर पर ऐसे सिस्टम होते हैं जिनका उद्देश्य परिवर्तनों के दौरान प्रस्तावों की कुछ सिमेंटिक संपत्ति को संरक्षित करने के लिए नियमों को संहिताबद्ध करना होता है। शास्त्रीय तर्क में, यह गुण सत्य है। वैध तर्क में, व्युत्पन्न प्रस्ताव की सच्चाई की गारंटी दी जाती है यदि परिसर संयुक्त रूप से सत्य हैं, क्योंकि वैध चरणों का प्रयोग संपत्ति को संरक्षित करता है। हालाँकि, वह गुण सत्य का होना आवश्यक नहीं है; इसके बजाय, यह कोई अन्य अवधारणा हो सकती है।
-बहु-मूल्यवान लॉजिक्स का उद्देश्य पदनाम (या नामित) की संपत्ति को संरक्षित करना है। चूंकि दो से अधिक सत्य मूल्य हैं, अनुमान के नियमों का उद्देश्य सत्य के अनुरूप (प्रासंगिक [[अर्थ]] में) से अधिक को संरक्षित करना हो सकता है। उदाहरण के लिए, तीन-मूल्य वाले तर्क में, कभी-कभी दो सबसे बड़े सत्य-मान (जब उन्हें सकारात्मक पूर्णांक के रूप में दर्शाया जाता है) निर्दिष्ट किए जाते हैं और अनुमान के नियम इन मूल्यों को संरक्षित करते हैं। संक्षेप में, एक वैध तर्क ऐसा होगा कि संयुक्त रूप से लिए गए परिसर का मूल्य हमेशा निष्कर्ष से कम या उसके बराबर होगा।
+बहु-मूल्यवान लॉजिक्स का उद्देश्य पदनाम (या नामित) की संपत्ति को संरक्षित करना है। चूंकि दो से अधिक सत्य मूल्य हैं, अनुमान के नियमों का उद्देश्य सत्य के अनुरूप (प्रासंगिक [[अर्थ]] में) से अधिक को संरक्षित करना हो सकता है। उदाहरण के लिए, तीन-मूल्य वाले तर्क में, कभी-कभी दो सबसे बड़े सत्य-मान (जब उन्हें सकारात्मक पूर्णांक के रूप में दर्शाया जाता है) निर्दिष्ट किए जाते हैं और अनुमान के नियम इन मूल्यों को संरक्षित करते हैं। संक्षेप में, वैध तर्क ऐसा होगा कि संयुक्त रूप से लिए गए परिसर का मूल्य हमेशा निष्कर्ष से कम या उसके बराबर होगा।
-उदाहरण के लिए, संरक्षित संपत्ति औचित्य हो सकती है, अंतर्ज्ञानवादी तर्क की मूलभूत अवधारणा। इस प्रकार, एक प्रस्ताव सही या गलत नहीं है; इसके बजाय, यह उचित या त्रुटिपूर्ण है। इस मामले में, औचित्य और सत्य के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि बहिष्कृत मध्य का कानून पकड़ में नहीं आता है: एक प्रस्ताव जो त्रुटिपूर्ण नहीं है वह आवश्यक रूप से उचित नहीं है; इसके बजाय, यह केवल सिद्ध नहीं है कि यह त्रुटिपूर्ण है। मुख्य अंतर संरक्षित संपत्ति की निर्धारकता है: कोई यह साबित कर सकता है कि पी न्यायोचित है, कि पी त्रुटिपूर्ण है, या या तो साबित करने में असमर्थ है। एक वैध तर्क परिवर्तनों में औचित्य को बरकरार रखता है, इसलिए न्यायसंगत प्रस्तावों से प्राप्त एक प्रस्ताव अभी भी उचित है। हालाँकि, शास्त्रीय तर्क में ऐसे प्रमाण हैं जो बहिष्कृत मध्य के नियम पर निर्भर करते हैं; चूँकि वह कानून इस योजना के तहत प्रयोग करने योग्य नहीं है, ऐसे प्रस्ताव हैं जिन्हें इस तरह से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।
+उदाहरण के लिए, संरक्षित संपत्ति औचित्य हो सकती है, अंतर्ज्ञानवादी तर्क की मूलभूत अवधारणा। इस प्रकार, प्रस्ताव सही या गलत नहीं है; इसके बजाय, यह उचित या त्रुटिपूर्ण है। इस मामले में, औचित्य और सत्य के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि बहिष्कृत मध्य का कानून पकड़ में नहीं आता है: प्रस्ताव जो त्रुटिपूर्ण नहीं है वह आवश्यक रूप से उचित नहीं है; इसके बजाय, यह केवल सिद्ध नहीं है कि यह त्रुटिपूर्ण है। मुख्य अंतर संरक्षित संपत्ति की निर्धारकता है: कोई यह साबित कर सकता है कि पी न्यायोचित है, कि पी त्रुटिपूर्ण है, या या तो साबित करने में असमर्थ है। वैध तर्क परिवर्तनों में औचित्य को बरकरार रखता है, इसलिए न्यायसंगत प्रस्तावों से प्राप्त प्रस्ताव अभी भी उचित है। हालाँकि, शास्त्रीय तर्क में ऐसे प्रमाण हैं जो बहिष्कृत मध्य के नियम पर निर्भर करते हैं; चूँकि वह कानून इस योजना के तहत प्रयोग करने योग्य नहीं है, ऐसे प्रस्ताव हैं जिन्हें इस तरह से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।
 === सुज़्को की थीसिस ===
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 == बहु-मूल्यवान लॉजिक्स की [[कार्यात्मक पूर्णता]] ==
-कार्यात्मक पूर्णता एक शब्द है जिसका प्रयोग परिमित लॉजिक्स और बीजगणित की एक विशेष संपत्ति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। संयोजकों के एक तर्क समुच्चय को क्रियात्मक रूप से पूर्ण या पर्याप्त कहा जाता है यदि और केवल तभी जब संयोजकों के समुच्चय का उपयोग प्रत्येक संभव सत्य फलन के अनुरूप सूत्र बनाने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite book|last1=Smith|first1=Nicholas|title=Logic: The Laws of Truth|date=2012|publisher=Princeton University Press|pages=124}}</ref> एक पर्याप्त बीजगणित वह है जिसमें चर के प्रत्येक परिमित मानचित्रण को उसके संचालन की कुछ संरचना द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=":02">{{cite book|last1=Malinowski|first1=Grzegorz|title=Many-Valued Logics|date=1993|publisher=Clarendon Press|pages=26–27}}</ref>
+कार्यात्मक पूर्णता शब्द है जिसका प्रयोग परिमित लॉजिक्स और बीजगणित की विशेष संपत्ति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। संयोजकों के तर्क समुच्चय को क्रियात्मक रूप से पूर्ण या पर्याप्त कहा जाता है यदि और केवल तभी जब संयोजकों के समुच्चय का उपयोग प्रत्येक संभव सत्य फलन के अनुरूप सूत्र बनाने के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite book|last1=Smith|first1=Nicholas|title=Logic: The Laws of Truth|date=2012|publisher=Princeton University Press|pages=124}}</ref> पर्याप्त बीजगणित वह है जिसमें चर के प्रत्येक परिमित मानचित्रण को उसके संचालन की कुछ संरचना द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।<ref name=":02">{{cite book|last1=Malinowski|first1=Grzegorz|title=Many-Valued Logics|date=1993|publisher=Clarendon Press|pages=26–27}}</ref>
 क्लासिकल लॉजिक: CL = ({0,1}, ¬, →, ∨, ∧, ↔) कार्यात्मक रूप से पूर्ण है, जबकि कोई Łukasiewicz लॉजिक या असीम रूप से कई-मूल्यवान लॉजिक में यह गुण नहीं है।<ref name=":02" /><ref>{{Cite book|last=Church|first=Alonzo|url=https://books.google.com/books?id=JDLQOMKbdScC&pg=PA162|title=Introduction to Mathematical Logic|date=1996|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-02906-1|language=en}}</ref>
-हम एल के रूप में एक बहुत से मूल्यवान तर्क को परिभाषित कर सकते हैं<sub>n</sub>({1, 2, ..., एन} ƒ<sub>1</sub>, ..., ƒ<sub>m</sub>) जहां n ≥ 2 एक दी गई प्राकृत संख्या है। एमिल लियोन पोस्ट (1921) साबित करता है कि एक तर्क मानने से किसी भी एम के एक समारोह का उत्पादन करने में सक्षम होता है<sup>वें क्रम मॉडल में पर्याप्त तर्क एल में संयोजकों का कुछ संगत संयोजन होता है<sub>n</sub>जो क्रम m+1 का एक मॉडल तैयार कर सकता है।<ref>{{Cite journal|last=Post|first=Emil L.|date=1921|title=Introduction to a General Theory of Elementary Propositions|url=https://www.jstor.org/stable/2370324|journal=American Journal of Mathematics|volume=43|issue=3|pages=163–185|doi=10.2307/2370324|jstor=2370324|hdl=2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q|issn=0002-9327|hdl-access=free}}</ref>
+हम एल के रूप में बहुत से मूल्यवान तर्क को परिभाषित कर सकते हैं<sub>n</sub>({1, 2, ..., एन} ƒ<sub>1</sub>, ..., ƒ<sub>m</sub>) जहां n ≥ 2 दी गई प्राकृत संख्या है। एमिल लियोन पोस्ट (1921) साबित करता है कि तर्क मानने से किसी भी एम के समारोह का उत्पादन करने में सक्षम होता है<sup>वें क्रम मॉडल में पर्याप्त तर्क एल में संयोजकों का कुछ संगत संयोजन होता है<sub>n</sub>जो क्रम m+1 का मॉडल तैयार कर सकता है।<ref>{{Cite journal|last=Post|first=Emil L.|date=1921|title=Introduction to a General Theory of Elementary Propositions|url=https://www.jstor.org/stable/2370324|journal=American Journal of Mathematics|volume=43|issue=3|pages=163–185|doi=10.2307/2370324|jstor=2370324|hdl=2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q|issn=0002-9327|hdl-access=free}}</ref>
 == अनुप्रयोग ==
-बहु-मूल्यवान तर्क के ज्ञात अनुप्रयोगों को मोटे तौर पर दो समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है।<ref>Dubrova, Elena (2002). [http://dl.acm.org/citation.cfm?id=566849 Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization], in Hassoun S. and Sasao T., editors, ''Logic Synthesis and Verification'', Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114</ref> बाइनरी समस्याओं को अधिक कुशलता से हल करने के लिए पहला समूह कई-मूल्यवान तर्क का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, एक बहु-आउटपुट बूलियन फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्रसिद्ध दृष्टिकोण इसके आउटपुट भाग को एक एकल-मूल्यवान चर के रूप में व्यवहार करना और इसे एकल-आउटपुट विशेषता फ़ंक्शन (विशेष रूप से, संकेतक फ़ंक्शन) में परिवर्तित करना है। बहु-मूल्यवान लॉजिक के अन्य अनुप्रयोगों में इनपुट डिकोडर्स के साथ [[प्रोग्राम करने योग्य तर्क सरणी]] (PLAs) का डिज़ाइन, [[परिमित अवस्था मशीन]]ों का अनुकूलन, परीक्षण और सत्यापन शामिल हैं।
+बहु-मूल्यवान तर्क के ज्ञात अनुप्रयोगों को मोटे तौर पर दो समूहों में वर्गीकृत किया जा सकता है।<ref>Dubrova, Elena (2002). [http://dl.acm.org/citation.cfm?id=566849 Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization], in Hassoun S. and Sasao T., editors, ''Logic Synthesis and Verification'', Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114</ref> बाइनरी समस्याओं को अधिक कुशलता से हल करने के लिए पहला समूह कई-मूल्यवान तर्क का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, बहु-आउटपुट बूलियन फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रसिद्ध दृष्टिकोण इसके आउटपुट भाग को एकल-मूल्यवान चर के रूप में व्यवहार करना और इसे एकल-आउटपुट विशेषता फ़ंक्शन (विशेष रूप से, संकेतक फ़ंक्शन) में परिवर्तित करना है। बहु-मूल्यवान लॉजिक के अन्य अनुप्रयोगों में इनपुट डिकोडर्स के साथ [[प्रोग्राम करने योग्य तर्क सरणी]] (PLAs) का डिज़ाइन, [[परिमित अवस्था मशीन]]ों का अनुकूलन, परीक्षण और सत्यापन शामिल हैं।
-दूसरा समूह इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन को लक्षित करता है जो संकेतों के दो से अधिक असतत स्तरों को नियोजित करता है, जैसे कि कई-मूल्यवान यादें, अंकगणितीय सर्किट और [[क्षेत्र में प्रोग्राम की जा सकने वाली द्वार श्रंखला]] (FPGAs)। बहु-मूल्यवान परिपथों में मानक बाइनरी परिपथों की तुलना में कई सैद्धांतिक लाभ हैं। उदाहरण के लिए, यदि सर्किट में सिग्नल केवल दो के बजाय चार या अधिक स्तर ग्रहण करते हैं, तो इंटरकनेक्ट ऑन और ऑफ चिप को कम किया जा सकता है। मेमोरी डिज़ाइन में, प्रति मेमोरी सेल में एक बिट सूचना के बजाय दो स्टोर करने से उसी डाई (एकीकृत सर्किट) आकार में मेमोरी का घनत्व दोगुना हो जाता है। अंकगणित सर्किट का उपयोग करने वाले अनुप्रयोग अक्सर बाइनरी नंबर सिस्टम के विकल्प का उपयोग करने से लाभान्वित होते हैं। उदाहरण के लिए, [[अवशेष संख्या प्रणाली]] और [[निरर्थक बाइनरी प्रतिनिधित्व]]<ref name="Meher_2009">{{cite journal |first1=Pramod Kumar |last1=Meher |first2=Javier |last2=Valls |first3=Tso-Bing |last3=Juang | first4=K. |last4=Sridharan |first5=Koushik |last5=Maharatna |title=CORDIC के 50 वर्ष: एल्गोरिथम, आर्किटेक्चर और अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Circuits & Systems I: Regular Papers |volume=56 |issue=9 |pages=1893–1907 |publication-date=2009-09-09 |date=2008-08-22<!-- revised November 26, 2008-11-26, 2009-04-10, first published: 2009-06-19, current version first published: 2009-09-02 --> |url=http://core.ac.uk/download/files/34/1509903.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://core.ac.uk/download/files/34/1509903.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |access-date=2016-01-03|doi=10.1109/TCSI.2009.2025803 |s2cid=5465045 }}<!-- ([http://www1.i2r.a-star.edu.sg/~pkmeher/papers/CORDIC-TUT-TACS-I.pdf]) --></ref> [[रिपल-कैरी योजक]]|रिपल-थ्रू कैरीज़ को कम या समाप्त कर सकता है जो सामान्य बाइनरी जोड़ या घटाव में शामिल होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उच्च-गति अंकगणितीय संचालन होते हैं। इन संख्या प्रणालियों में कई मूल्यवान सर्किटों का उपयोग करके प्राकृतिक कार्यान्वयन होता है। हालांकि, इन संभावित लाभों की व्यावहारिकता काफी हद तक सर्किट प्राप्तियों की उपलब्धता पर निर्भर करती है, जो वर्तमान मानक प्रौद्योगिकियों के साथ संगत या प्रतिस्पर्धी होनी चाहिए। इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन में सहायता के अलावा, दोषों और दोषों के लिए सर्किट का परीक्षण करने के लिए कई-मूल्यवान तर्क का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मूल रूप से डिजिटल सर्किट परीक्षण के लिए उपयोग किए जाने वाले सभी ज्ञात [[स्वचालित परीक्षण पैटर्न पीढ़ी]] (एटीजी) एल्गोरिदम को एक सिम्युलेटर की आवश्यकता होती है जो 5-मूल्यवान तर्क (0, 1, x, D, D') को हल कर सके। रेफरी नाम = अब्रामोविसी 1994 >{{cite book |last1=Abramovici |first1=Miron |last2=Breuer |first2=Melvin A. |last3=Friedman |first3=Arthur D. |date=1994 |title=डिजिटल सिस्टम परीक्षण और परीक्षण योग्य डिजाइन|url=https://archive.org/details/digitalsystemste00abra |url-access=limited |location=New York |publisher=Computer Science Press |page=[https://archive.org/details/digitalsystemste00abra/page/n196 183] |isbn=978-0-7803-1062-9 }}</ref> अतिरिक्त मान-x, D, और D'- (1) अज्ञात/असंरंभीकृत, (2) 1 के बजाय 0, और (3) 0 के बजाय 1 का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+दूसरा समूह इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन को लक्षित करता है जो संकेतों के दो से अधिक असतत स्तरों को नियोजित करता है, जैसे कि कई-मूल्यवान यादें, अंकगणितीय सर्किट और [[क्षेत्र में प्रोग्राम की जा सकने वाली द्वार श्रंखला]] (FPGAs)। बहु-मूल्यवान परिपथों में मानक बाइनरी परिपथों की तुलना में कई सैद्धांतिक लाभ हैं। उदाहरण के लिए, यदि सर्किट में सिग्नल केवल दो के बजाय चार या अधिक स्तर ग्रहण करते हैं, तो इंटरकनेक्ट ऑन और ऑफ चिप को कम किया जा सकता है। मेमोरी डिज़ाइन में, प्रति मेमोरी सेल में बिट सूचना के बजाय दो स्टोर करने से उसी डाई (एकीकृत सर्किट) आकार में मेमोरी का घनत्व दोगुना हो जाता है। अंकगणित सर्किट का उपयोग करने वाले अनुप्रयोग अक्सर बाइनरी नंबर सिस्टम के विकल्प का उपयोग करने से लाभान्वित होते हैं। उदाहरण के लिए, [[अवशेष संख्या प्रणाली]] और [[निरर्थक बाइनरी प्रतिनिधित्व]]<ref name="Meher_2009">{{cite journal |first1=Pramod Kumar |last1=Meher |first2=Javier |last2=Valls |first3=Tso-Bing |last3=Juang | first4=K. |last4=Sridharan |first5=Koushik |last5=Maharatna |title=CORDIC के 50 वर्ष: एल्गोरिथम, आर्किटेक्चर और अनुप्रयोग|journal=IEEE Transactions on Circuits & Systems I: Regular Papers |volume=56 |issue=9 |pages=1893–1907 |publication-date=2009-09-09 |date=2008-08-22<!-- revised November 26, 2008-11-26, 2009-04-10, first published: 2009-06-19, current version first published: 2009-09-02 --> |url=http://core.ac.uk/download/files/34/1509903.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://core.ac.uk/download/files/34/1509903.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |access-date=2016-01-03|doi=10.1109/TCSI.2009.2025803 |s2cid=5465045 }}<!-- ([http://www1.i2r.a-star.edu.sg/~pkmeher/papers/CORDIC-TUT-TACS-I.pdf]) --></ref> [[रिपल-कैरी योजक]]|रिपल-थ्रू कैरीज़ को कम या समाप्त कर सकता है जो सामान्य बाइनरी जोड़ या घटाव में शामिल होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उच्च-गति अंकगणितीय संचालन होते हैं। इन संख्या प्रणालियों में कई मूल्यवान सर्किटों का उपयोग करके प्राकृतिक कार्यान्वयन होता है। हालांकि, इन संभावित लाभों की व्यावहारिकता काफी हद तक सर्किट प्राप्तियों की उपलब्धता पर निर्भर करती है, जो वर्तमान मानक प्रौद्योगिकियों के साथ संगत या प्रतिस्पर्धी होनी चाहिए। इलेक्ट्रॉनिक सर्किट के डिजाइन में सहायता के अलावा, दोषों और दोषों के लिए सर्किट का परीक्षण करने के लिए कई-मूल्यवान तर्क का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मूल रूप से डिजिटल सर्किट परीक्षण के लिए उपयोग किए जाने वाले सभी ज्ञात [[स्वचालित परीक्षण पैटर्न पीढ़ी]] (एटीजी) एल्गोरिदम को सिम्युलेटर की आवश्यकता होती है जो 5-मूल्यवान तर्क (0, 1, x, D, D') को हल कर सके। रेफरी नाम = अब्रामोविसी 1994 >{{cite book |last1=Abramovici |first1=Miron |last2=Breuer |first2=Melvin A. |last3=Friedman |first3=Arthur D. |date=1994 |title=डिजिटल सिस्टम परीक्षण और परीक्षण योग्य डिजाइन|url=https://archive.org/details/digitalsystemste00abra |url-access=limited |location=New York |publisher=Computer Science Press |page=[https://archive.org/details/digitalsystemste00abra/page/n196 183] |isbn=978-0-7803-1062-9 }}</ref> अतिरिक्त मान-x, D, और D'- (1) अज्ञात/असंरंभीकृत, (2) 1 के बजाय 0, और (3) 0 के बजाय 1 का प्रतिनिधित्व करते हैं।
 == अनुसंधान स्थान ==
-मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक (ISMVL) पर एक [[IEEE]] अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी 1970 से प्रतिवर्ष आयोजित की जाती रही है। यह ज्यादातर डिजिटल डिजाइन और सत्यापन में अनुप्रयोगों को पूरा करती है।<ref>{{cite web |url=http://www.informatik.uni-trier.de/~ley/db/conf/ismvl/index.html |title=IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic (ISMVL) |website=www.informatik.uni-trier.de/~ley}}</ref> [[जर्नल ऑफ़ मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक एंड सॉफ्ट कंप्यूटिंग]] जर्नल भी है।<ref>{{Cite web |url=http://www.oldcitypublishing.com/MVLSC/MVLSC.html |title=MVLSC home |access-date=2011-08-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140315074532/http://www.oldcitypublishing.com/MVLSC/MVLSC.html |archive-date=2014-03-15 |url-status=dead }}</ref>
+मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक (ISMVL) पर [[IEEE]] अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी 1970 से प्रतिवर्ष आयोजित की जाती रही है। यह ज्यादातर डिजिटल डिजाइन और सत्यापन में अनुप्रयोगों को पूरा करती है।<ref>{{cite web |url=http://www.informatik.uni-trier.de/~ley/db/conf/ismvl/index.html |title=IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic (ISMVL) |website=www.informatik.uni-trier.de/~ley}}</ref> [[जर्नल ऑफ़ मल्टीपल-वैल्यूड लॉजिक एंड सॉफ्ट कंप्यूटिंग]] जर्नल भी है।<ref>{{Cite web |url=http://www.oldcitypublishing.com/MVLSC/MVLSC.html |title=MVLSC home |access-date=2011-08-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140315074532/http://www.oldcitypublishing.com/MVLSC/MVLSC.html |archive-date=2014-03-15 |url-status=dead }}</ref>
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 * [[एमवीसीएमएल]], बहु-मूल्यवान वर्तमान-मोड तर्क
 * [[IEEE 1164]] [[VHDL]] के लिए नौ-मूल्यवान मानक
-* [[Verilog]]#चार-मूल्यवान तर्क Verilog के लिए एक चार-मूल्यवान मानक
+* [[Verilog]]#चार-मूल्यवान तर्क Verilog के लिए चार-मूल्यवान मानक
 * [[तीन-राज्य तर्क]]
 * [[शोर आधारित तर्क]]

v t e Non-classical logic
Intuitionistic	Intuitionistic logic Constructive analysis Heyting arithmetic Intuitionistic type theory Constructive set theory
Fuzzy	Degree of truth Fuzzy rule Fuzzy set Fuzzy finite element Fuzzy set operations
Substructural	Structural rule Relevance logic Linear logic
Paraconsistent	Dialetheism
Description	Ontology (computer science) Ontology language
Many-valued	Three-valued Four-valued Łukasiewicz
Digital logic	Three-state logic Tri-state buffer Four-valued Verilog IEEE 1164 VHDL
Others	Dynamic semantics Inquisitive logic Intermediate logic Nonmonotonic logic

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इतिहास

उदाहरण

क्लीन (मजबूत) $K 3$ और पुजारी तर्क $P 3$

बोचवर का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क

बेलनाप तर्क ( $B 4$ )

गोडेल लॉजिक्स जी_kऔर जी_∞

लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स $L v$ और $L \infty$

उत्पाद तर्क $Π$

पोस्ट लॉजिक्स पी_m

रोज लॉजिक्स

शास्त्रीय तर्क से संबंध

सुज़्को की थीसिस

बहु-मूल्यवान लॉजिक्स की कार्यात्मक पूर्णता

अनुप्रयोग

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क्लीन (मजबूत) K3 और पुजारी तर्क P3

बोचवर का आंतरिक तीन-मूल्यवान तर्क

बेलनाप तर्क (B4)

गोडेल लॉजिक्स जीkऔर जी∞

लुकासिविक्ज़ लॉजिक्स Lv और L∞

उत्पाद तर्क Π

पोस्ट लॉजिक्स पीm

रोज लॉजिक्स

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