पूर्णतया अवयव: Difference between revisions
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गणित में, एक शोषक तत्व (या नष्ट करने वाला तत्व) उस | गणित में, एक शोषक तत्व (या नष्ट करने वाला तत्व) उस समुच्चय पर [[बाइनरी ऑपरेशन]] के संबंध में [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] का विशेष प्रकार का तत्व है। समुच्चय के किसी भी तत्व के साथ अवशोषक तत्व के संयोजन का परिणाम अवशोषी तत्व ही है। [[ semigroup ]] थ्योरी में, अवशोषक तत्व को सेमीग्रुप#आइडेंटिटी और जीरो कहा जाता है<ref>J.M. Howie, pp. 2–3</ref><ref name=kkm>M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev pp. 14–15</ref> क्योंकि उल्लेखनीय अपवाद के साथ, [[शून्य तत्व]] के साथ भ्रम का कोई खतरा नहीं है: योज्य संकेतन शून्य के तहत, स्वाभाविक रूप से, एक मोनोइड के तटस्थ तत्व को निरूपित कर सकता है। इस लेख में शून्य तत्व और शोषक तत्व पर्यायवाची हैं। | ||
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औपचारिक रूप से, चलो {{nowrap|(''S'', •)}} बंद बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक | औपचारिक रूप से, चलो {{nowrap|(''S'', •)}} बंद बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक समुच्चय एस हो • उस पर ([[मैग्मा (बीजगणित)]] के रूप में जाना जाता है)। 'शून्य अवयव' एक ऐसा अवयव z है, जो S में सभी s के लिए, {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''s'' • ''z'' = ''z''}}. इस धारणा को बाएँ शून्य की धारणाओं में परिष्कृत किया जा सकता है, जहाँ किसी को केवल उसकी आवश्यकता होती है {{nowrap|1=''z'' • ''s'' = ''z''}}, और दाएँ शून्य, जहाँ {{nowrap|1=''s'' • ''z'' = ''z''}}.<ref name=kkm/> | ||
शोषक करने वाले तत्व विशेष रूप से सेमीग्रुप के लिए दिलचस्प होते हैं, विशेष रूप से [[मोटी हो जाओ]] के गुणक सेमीग्रुप। 0 के साथ सेमीरिंग के मामले में, अवशोषक तत्व की परिभाषा कभी-कभी ढीली होती है ताकि 0 को शोषक करने की आवश्यकता न हो; अन्यथा, केवल 0 ही अवशोषक तत्व होगा।<ref>J.S. Golan p. 67</ref> | शोषक करने वाले तत्व विशेष रूप से सेमीग्रुप के लिए दिलचस्प होते हैं, विशेष रूप से [[मोटी हो जाओ]] के गुणक सेमीग्रुप। 0 के साथ सेमीरिंग के मामले में, अवशोषक तत्व की परिभाषा कभी-कभी ढीली होती है ताकि 0 को शोषक करने की आवश्यकता न हो; अन्यथा, केवल 0 ही अवशोषक तत्व होगा।<ref>J.S. Golan p. 67</ref> | ||
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*किसी भी वलय (गणित) का शून्य भी अवशोषक तत्व होता है। वलय R के एक अवयव r के लिए, r0=r(0+0)=r0+r0, इसलिए 0=r0, क्योंकि शून्य अद्वितीय अवयव a है जिसके लिए r-r=a वलय R में किसी भी r के लिए है। यह गुण धारण करता है rng (गणित) में भी सत्य है क्योंकि गुणात्मक पहचान की आवश्यकता नहीं है। | *किसी भी वलय (गणित) का शून्य भी अवशोषक तत्व होता है। वलय R के एक अवयव r के लिए, r0=r(0+0)=r0+r0, इसलिए 0=r0, क्योंकि शून्य अद्वितीय अवयव a है जिसके लिए r-r=a वलय R में किसी भी r के लिए है। यह गुण धारण करता है rng (गणित) में भी सत्य है क्योंकि गुणात्मक पहचान की आवश्यकता नहीं है। | ||
* IEEE-754 मानक में परिभाषित [[तैरनेवाला स्थल]] अंकगणित में विशेष मान होता है जिसे Not-a-Number ( NaN ) कहा जाता है। यह हर ऑपरेशन के लिए अवशोषक तत्व है; अर्थात।, {{nowrap|1=''x'' + NaN = NaN + ''x'' = NaN}}, {{nowrap|1=''x'' − NaN = NaN − ''x'' = NaN}}, वगैरह। | * IEEE-754 मानक में परिभाषित [[तैरनेवाला स्थल]] अंकगणित में विशेष मान होता है जिसे Not-a-Number ( NaN ) कहा जाता है। यह हर ऑपरेशन के लिए अवशोषक तत्व है; अर्थात।, {{nowrap|1=''x'' + NaN = NaN + ''x'' = NaN}}, {{nowrap|1=''x'' − NaN = NaN − ''x'' = NaN}}, वगैरह। | ||
* | * समुच्चय एक्स पर बाइनरी संबंधों का समुच्चय, संबंधों की संरचना के साथ शून्य के साथ [[मोनोइड]] बनाता है, जहां शून्य तत्व [[खाली संबंध]] ([[खाली सेट|खाली समुच्चय]]) होता है। | ||
* बंद अंतराल {{nowrap|1=''H'' = [0, 1]}} साथ {{nowrap|1=''x'' • ''y'' = min(''x'', ''y'')}} भी शून्य के साथ मोनोइड है, और शून्य तत्व 0 है। | * बंद अंतराल {{nowrap|1=''H'' = [0, 1]}} साथ {{nowrap|1=''x'' • ''y'' = min(''x'', ''y'')}} भी शून्य के साथ मोनोइड है, और शून्य तत्व 0 है। | ||
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Revision as of 18:14, 1 March 2023
गणित में, एक शोषक तत्व (या नष्ट करने वाला तत्व) उस समुच्चय पर बाइनरी ऑपरेशन के संबंध में समुच्चय (गणित) का विशेष प्रकार का तत्व है। समुच्चय के किसी भी तत्व के साथ अवशोषक तत्व के संयोजन का परिणाम अवशोषी तत्व ही है। semigroup थ्योरी में, अवशोषक तत्व को सेमीग्रुप#आइडेंटिटी और जीरो कहा जाता है[1][2] क्योंकि उल्लेखनीय अपवाद के साथ, शून्य तत्व के साथ भ्रम का कोई खतरा नहीं है: योज्य संकेतन शून्य के तहत, स्वाभाविक रूप से, एक मोनोइड के तटस्थ तत्व को निरूपित कर सकता है। इस लेख में शून्य तत्व और शोषक तत्व पर्यायवाची हैं।
परिभाषा
औपचारिक रूप से, चलो (S, •) बंद बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक समुच्चय एस हो • उस पर (मैग्मा (बीजगणित) के रूप में जाना जाता है)। 'शून्य अवयव' एक ऐसा अवयव z है, जो S में सभी s के लिए, z • s = s • z = z. इस धारणा को बाएँ शून्य की धारणाओं में परिष्कृत किया जा सकता है, जहाँ किसी को केवल उसकी आवश्यकता होती है z • s = z, और दाएँ शून्य, जहाँ s • z = z.[2]
शोषक करने वाले तत्व विशेष रूप से सेमीग्रुप के लिए दिलचस्प होते हैं, विशेष रूप से मोटी हो जाओ के गुणक सेमीग्रुप। 0 के साथ सेमीरिंग के मामले में, अवशोषक तत्व की परिभाषा कभी-कभी ढीली होती है ताकि 0 को शोषक करने की आवश्यकता न हो; अन्यथा, केवल 0 ही अवशोषक तत्व होगा।[3]
गुण
- यदि किसी मैग्मा में बायाँ शून्य z और दायाँ शून्य z′ दोनों हैं, तो इसका एक शून्य है, चूँकि z = z • z′ = z′.
- मैग्मा में अधिकतम एक शून्य तत्व हो सकता है।
उदाहरण
- अवशोषक तत्व का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण प्राथमिक बीजगणित से आता है, जहां किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर शून्य के बराबर होता है। शून्य इस प्रकार एक अवशोषक तत्व है।
- किसी भी वलय (गणित) का शून्य भी अवशोषक तत्व होता है। वलय R के एक अवयव r के लिए, r0=r(0+0)=r0+r0, इसलिए 0=r0, क्योंकि शून्य अद्वितीय अवयव a है जिसके लिए r-r=a वलय R में किसी भी r के लिए है। यह गुण धारण करता है rng (गणित) में भी सत्य है क्योंकि गुणात्मक पहचान की आवश्यकता नहीं है।
- IEEE-754 मानक में परिभाषित तैरनेवाला स्थल अंकगणित में विशेष मान होता है जिसे Not-a-Number ( NaN ) कहा जाता है। यह हर ऑपरेशन के लिए अवशोषक तत्व है; अर्थात।, x + NaN = NaN + x = NaN, x − NaN = NaN − x = NaN, वगैरह।
- समुच्चय एक्स पर बाइनरी संबंधों का समुच्चय, संबंधों की संरचना के साथ शून्य के साथ मोनोइड बनाता है, जहां शून्य तत्व खाली संबंध (खाली समुच्चय) होता है।
- बंद अंतराल H = [0, 1] साथ x • y = min(x, y) भी शून्य के साथ मोनोइड है, और शून्य तत्व 0 है।
- और ज्यादा उदाहरण:
| Domain | Operation | Absorber | ||
|---|---|---|---|---|
| Real numbers | ⋅ | Multiplication | 0 | |
| Integers | Greatest common divisor | 1 | ||
| n-by-n square matrices | Matrix multiplication | Matrix of all zeroes | ||
| Extended real numbers | Minimum/infimum | −∞ | ||
| Maximum/supremum | +∞ | |||
| Sets | ∩ | Intersection | ∅ | Empty set |
| Subsets of a set M | ∪ | Union | M | |
| Boolean logic | ∧ | Logical and | ⊥ | Falsity |
| ∨ | Logical or | ⊤ | Truth | |
यह भी देखें
- Idempotent (अंगूठी सिद्धांत) – रिंग का एक तत्व x ऐसा है कि x2</सुप> = एक्स
- पहचान तत्व
- अशक्त अर्धसमूह
टिप्पणियाँ
संदर्भ
- Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
- Golan, Jonathan S. (1999). Semirings and Their Applications. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.
बाहरी संबंध
- Absorbing element at PlanetMath
