अंशांकन

गणित में, विशेष रूप से समरूपता सिद्धांत में, एक सतत मानचित्रण

$i:A\to X$,

कहाँ $A$ और $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, एक कोफिब्रेशन है अगर यह मैप्स के होमोटॉपी क्लासेस देता है $[A,S]$ नक्शों की होमोटॉपी कक्षाओं तक बढ़ाया जा सकता है $[X,S]$ जब भी कोई नक्शा $f\in {\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(A,S)$ मानचित्र तक बढ़ाया जा सकता है $f'\in {\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(X,S)$ कहाँ $f'\circ i=f$, इसलिए उनके संबद्ध होमोटोपी वर्ग समान हैं $[f]=[f'\circ i]$.

इस प्रकार की संरचना को सभी स्थानों के संबंध में होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति होने की तकनीकी स्थिति के साथ एन्कोड किया जा सकता है $S$. यह परिभाषा एक कंपन की दोहरी है, जो सभी रिक्त स्थान के संबंध में होमोटॉपी उठाने वाली संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक है। इस द्वैत को अनौपचारिक रूप से एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है। सामान्यता के कारण यह तकनीकी स्थिति बताई गई है, इसका उपयोग मॉडल श्रेणी में किया जा सकता है।

परिभाषा

होमोटॉपी सिद्धांत

निम्नलिखित में, चलो $I=[0,1]$ इकाई अंतराल को निरूपित करें।

नक्षा $i\colon A\to X$ टोपोलॉजिकल स्पेस को कोफिब्रेशन कहा जाता है^{पृष्ठ 51} यदि किसी मानचित्र के लिए $f:A\to S$ जैसे कि एक विस्तार है $X$, मतलब एक नक्शा है $f':X\to S$ ऐसा है कि $f'\circ i=f$, हम मानचित्रों की समरूपता का विस्तार कर सकते हैं $H:A\times I\to S$ मानचित्रों की एक समरूपता के लिए $H':X\times I\to S$, जहां

${\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}$

हम निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख

में इस स्थिति को एन्कोड कर सकते हैं

कहाँ $S^{I}={\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(I,S)$ का पाथ स्पेस फिब्रेशन है $S$.

कोफ़िब्रेंट ऑब्जेक्ट

एक मॉडल श्रेणी के लिए ${\mathcal {M}}$, जैसे पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, एक ऑब्जेक्ट $X$ कोफाइब्रेंट कहा जाता है अगर नक्शा $*\to X$ एक कोफिब्रेशन है। ध्यान दें कि पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में, कोफिब्रेशन की धारणा पिछली परिभाषा के साथ मेल खाती है, यह मानते हुए कि मैप्स टोपोलॉजिकल स्पेस के मैप्स हैं।

उदाहरण

टोपोलॉजी में

कम्प्यूटेशनल परिप्रेक्ष्य से कोफिब्रेशन नक्शे का एक अजीब वर्ग है क्योंकि उन्हें एक औपचारिक तकनीकी उपकरण के रूप में अधिक आसानी से देखा जाता है जो किसी को टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के साथ होमोटोपी सैद्धांतिक निर्माण करने में सक्षम बनाता है। सौभाग्य से, किसी भी नक्शे के लिए

$f:X\to Y$

टोपोलॉजिकल स्पेस में, स्पेस से जुड़ा एक कॉफिब्रेशन होता है $Mf$ मैपिंग सिलेंडर कहा जाता है (जहाँ $Y$ एक विरूपण वापसी है, इसलिए होमोटोपी इसके समतुल्य है) जिसमें एक प्रेरित कोफिब्रेशन होता है जिसे कोफिब्रेशन के साथ मैप को बदलना कहा जाता है

$i:X\to Mf$

और एक नक्शा $Mf\to Y$ जिसके माध्यम से $f$ कारकों के माध्यम से, जिसका अर्थ है कि एक क्रमविनिमेय आरेख है

कहाँ $r$ एक होमोटॉपी तुल्यता है।

उदाहरणों के इस वर्ग के अलावा, और भी हैं

• अक्सर उपयोग किया जाने वाला तथ्य यह है कि एक सेलुलर समावेशन एक कोफिब्रेशन है (इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि $(X,A)$ एक सीडब्ल्यू-जोड़ी है, तो $A\to X$ एक कोफिब्रेशन है)। यह पिछले तथ्य से इस प्रकार है $S^{n-1}\to D^{n}$ प्रत्येक के लिए एक कोफिब्रेशन है $n$, और पुशआउट्स ग्लूइंग मैप्स हैं $n-1$ कंकाल।
• कोफिब्रेशन को पुशआउट्स और कंपोजीशन के तहत संरक्षित किया जाता है, जिसे ठीक नीचे बताया गया है।

श्रृंखला परिसरों में

अगर हम जाने दें $C_{+}({\mathcal {A}})$ श्रृंखला परिसरों की श्रेणी हो जो हैं $0$ डिग्री में $q<<0$, तो वहाँ एक मॉडल श्रेणी संरचना है^{pg 1.2} जहां कमजोर समकक्ष अर्ध-समरूपता हैं।$i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }$जो इंजेक्शन और कोकर्नेल कॉम्प्लेक्स हैं ${\text{Coker}}(i)_{\bullet }$ में प्रक्षेप्य वस्तु का एक कॉम्प्लेक्स है ${\mathcal {A}}$. इसके अलावा, कॉफ़िब्रेंट ऑब्जेक्ट वे कॉम्प्लेक्स हैं जिनकी ऑब्जेक्ट सभी प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट हैं ${\mathcal {A}}$.

अर्ध-सरल सेट

श्रेणी के लिए $ss{\textbf {Set}}$ अर्ध-सरल सेटों की^{pg 1.3} (जिसका अर्थ है कि डिग्री में कोई सह-अध: पतन मानचित्र नहीं हैं), कान-फिब्रेशन द्वारा दिए गए फ़िब्रेशन के साथ एक मॉडल श्रेणी संरचना है, कोफिब्रेशन इंजेक्शन मैप्स, और ज्यामितीय प्राप्ति के बाद कमजोर समकक्षों द्वारा दी गई कमजोर समकक्षता।

गुण

• हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए, प्रत्येक कोफिब्रेशन एक बंद समावेशन (बंद छवि के साथ अंतःक्षेपण) है; परिणाम भी कमजोर हॉउसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत होता है।
• कोफिब्रेशन का पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) एक कॉफिब्रेशन है। यानी अगर $g\colon A\to B$ कोई भी (निरंतर) नक्शा है (कॉम्पैक्ट रूप से जेनरेट किए गए रिक्त स्थान के बीच), और $i\colon A\to X$ एक कोफिब्रेशन है, फिर प्रेरित नक्शा $B\to B\cup _{g}X$ एक कोफिब्रेशन है।
• मैपिंग सिलेंडर को पुशआउट के रूप में समझा जा सकता है $i\colon A\to X$ और एम्बेडिंग (इकाई अंतराल के एक छोर पर) $i_{0}\colon A\to A\times I$. अर्थात्, मैपिंग सिलेंडर को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $Mi=X\cup _{i}(A\times I)$. पुशआउट की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, $i$ एक कोफिब्रेशन ठीक है जब प्रत्येक स्थान एक्स के लिए मैपिंग सिलेंडर का निर्माण किया जा सकता है।
• मैपिंग सिलेंडर निर्माण के माध्यम से प्रत्येक मानचित्र को कोफिब्रेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यही है, एक मनमाना (निरंतर) नक्शा दिया गया है $f\colon X\to Y$ (कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान के बीच), एक मैपिंग सिलेंडर को परिभाषित करता है

$Mf=Y\cup _{f}(X\times I)$.

एक तो decomposes $f$ एक कोफिब्रेशन और एक होमोटॉपी तुल्यता के सम्मिश्रण में। वह है, $f$ मानचित्र के रूप में लिखा जा सकता है

$X\xrightarrow {j} Mf\xrightarrow {r} Y$

साथ $f=rj$, कब $j\colon x\mapsto (x,0)$ समावेशन है, और $r\colon y\mapsto y$ पर $Y$ और $r\colon (x,s)\mapsto f(x)$ पर $X\times I$.

• एक कोफिब्रेशन (ए, एक्स) है, अगर और केवल अगर विरूपण से पीछे हटना है $X\times I$ को $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$, चूंकि यह पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) है और इस प्रकार आरेख में समझदार प्रत्येक स्थान के लिए नक्शे को प्रेरित करता है।
• विरूपण-वापसी जोड़े और पड़ोस विरूपण-वापसी जोड़े के लिए समान समानताएं बताई जा सकती हैं।

कोफिब्रेशन के साथ निर्माण

कोफ़िब्रेंट प्रतिस्थापन

ध्यान दें कि एक मॉडल श्रेणी में ${\mathcal {M}}$ अगर $i:*\to X$ कोफिब्रेशन नहीं है, तो मैपिंग सिलेंडर $Mi$ एक कोफ़िब्रेंट प्रतिस्थापन बनाता है। वास्तव में, यदि हम सिर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में काम करते हैं, तो किसी भी मैप के लिए एक बिंदु से स्पेस तक कोफिब्रेंट रिप्लेसमेंट कोफिब्रेंट रिप्लेसमेंट बनाता है।

कोफाइबर

कोफिब्रेशन के लिए $A\to X$ हम कोफाइबर को प्रेरित भागफल स्थान के रूप में परिभाषित करते हैं $X/A$. सामान्य तौर पर, के लिए $f:X\to Y$, कोफाइबर^{पृष्ठ 59} को भागफल स्थान <ब्लॉककोट> के रूप में परिभाषित किया गया है$C_{f}=M_{f}/(A\times \{0\})$जिसका मैपिंग कोन है $f$. होमोटोपिक रूप से, कोफाइबर मानचित्र के होमोटॉपी कोकर्नेल के रूप में कार्य करता है $f:X\to Y$. वास्तव में, पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, होमोटॉपी कोलिमिट ऑफ़ <ब्लॉकक्वोट>${\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\*\end{matrix}}\right)=C_{f}$दरअसल, नक्शों का क्रम $X\to Y\to C_{f}$ कोफाइबर अनुक्रम से लैस आता है जो त्रिकोणीय श्रेणियों में एक विशिष्ट त्रिकोण की तरह काम करता है।

यह भी देखें

• कंपन
• होमोटॉपी कोलिमिट
• होमोटॉपी फाइबर

संदर्भ

• Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology" : chapter 6 defines and discusses cofibrations, and they are used throughout
• Brown, Ronald. "7. Cofibrations". Topology and Groupoids. ISBN 978-1-4196-2722-4. Chapter 7 has many results not found elsewhere.