प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन

ज्यामिति में, (वैश्विक रूप से) प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन (प्रक्षेपीय बहुफलक) वास्तविक प्रक्षेपी तल का एक टेसलेशन है।^[1] ये गोलाकार पॉलीहेड्रा के प्रक्षेपीय एनालॉग - गोले के टेसलेशन - और टॉरॉयडल पॉलीहेड्रा - टॉरॉयड के टेसलेशन है।

प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा को अंडाकार टेसेलेशन^[2] या अंडाकार टिलिंग के रूप में भी जाना जाता है, प्रक्षेपीय तल को ((प्रक्षेपीय) अंडाकार ज्यामिति के रूप में संदर्भित किया जाता है, गोलाकार टाइलिंग के अनुरूप,^[3] "गोलाकार बहुफलक" का समानार्थी है। हालांकि, अण्डाकार ज्यामिति शब्द गोलाकार और प्रक्षेपी ज्यामिति दोनों पर प्रयुक्त होता है, इसलिए यह शब्द पॉलीहेड्रा के लिए कुछ अस्पष्टता रखता है।

प्रक्षेपीय तल के कोशिकीय अपघटन के रूप में, उनके पास यूलर विशेषता 1 है, जबकि गोलाकार पॉलीहेड्रा में यूलर विशेषता 2 है। विशेषक "वैश्विक रूप से" स्थानीय रूप से प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा के विपरीत है, जो अमूर्त पॉलीहेड्रा के सिद्धांत में परिभाषित हैं।

गैर-अतिव्यापी प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा (घनत्व 1) केंद्रीय समरूपता के साथ गोलाकार पॉलीहेड्रा (समतुल्य, उत्तल पॉलीहेड्रा) के अनुरूप है। यह गोलाकार पॉलीहेड्रा और पारंपरिक पॉलीहेड्रा के संबंध में विस्तृत और विस्तारित है।

उदाहरण

हेमी-क्यूब एक नियमित प्रक्षेपी पॉलीहेड्रॉन है जिसमें 3 वर्ग चेहरे, 6 किनारे और 4 कोने हैं।

प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण नियमित प्रक्षेपीय पॉलीहेड्रा हैं, केंद्रीय सममित सैद्धांतिक ठोस के उद्धरण के साथ-साथ डायहेड्रा और होसोहेड्रा के दो अनंत वर्ग भी हैं:^[4]

अर्ध-घन, {4,3}/2
अर्ध-अष्टफलक, {3,4}/2
अर्ध-द्वादशफलक, {5,3}/2
अर्ध विंशफलक, {3,5}/2
अर्ध-डायहेड्रॉन, {2p,2}/2, p>=1
अर्ध-होसोहेड्रॉन, {2,2p}/2, p>=1

इन्हें प्रतिमुख मानचित्र (गोले पर विपरीत बिंदुओं की पहचान करके) से संबंधित गोलाकार बहफलक का अंश लेकर प्राप्त किया जा सकता है।

दूसरी ओर, चतुष्फलक में केंद्रीय समरूपता नहीं होती है, इसलिए कोई अर्ध-चतुष्फलक नहीं होता है। चतुष्फलक का व्यवहार कैसे किया जाता है, इस पर नीचे गोलाकार पॉलीहेड्रा के साथ संबंध देखें।

हेमिपोलीहेड्रा

टेट्राहेमीहेक्साइड्रोन एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन है, और एकमात्र समान प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन है जो यूक्लिडियन 3-स्पेस में विसर्जन (गणित) करता है।

ध्यान दें कि उपसर्ग हेमी- का उपयोग हेमिपोलीहेड्रा को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है, जो समान पॉलीहेड्रा होते हैं जिनके कुछ चेहरे होते हैं जो समरूपता के केंद्र से गुजरते हैं। चूंकि ये गोलाकार पॉलीहेड्रा को परिभाषित नहीं करते हैं (क्योंकि वे केंद्र से गुजरते हैं, जो गोले पर एक परिभाषित बिंदु पर मैप नहीं करते हैं), वे प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा को 3-स्पेस (माइनस द ओरिजिन) से प्रोजेक्टिव मैप द्वारा प्रोजेक्टिव तक परिभाषित नहीं करते हैं। विमान।

इन समान हेमिपोलहेड्रा में से, केवल टेट्राहेमीहेक्सहेड्रोन स्थलीय रूप से एक प्रक्षेपी पॉलीहेड्रॉन है, जैसा कि इसकी यूलर विशेषता और रोमन सतह से स्पष्ट रूप से स्पष्ट कनेक्शन द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। यह cuboctahedron द्वारा 2-कवर किया गया है, और एंटीपोडल मानचित्र द्वारा गोलाकार क्यूबोक्टाहेड्रोन के भागफल के रूप में महसूस किया जा सकता है। यह एकमात्र समान (पारंपरिक) पॉलीहेड्रॉन है जो प्रोजेक्टिव है - यानी, एकमात्र समान प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन जो यूक्लिडियन थ्री-स्पेस में एक समान पारंपरिक पॉलीहेड्रॉन के रूप में विसर्जन (गणित) करता है।

गोलाकार पॉलीहेड्रा के साथ संबंध

2-टू-1 कवरिंग नक्शा है $S^{2}\to \mathbf {RP} ^{2}$ प्रोजेक्टिव तल के गोले का, और इस नक्शे के तहत, प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा केंद्रीय समरूपता के साथ गोलाकार पॉलीहेड्रा के अनुरूप है - एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन का 2-गुना कवर एक केंद्रीय सममित गोलाकार पॉलीहेड्रॉन है। इसके अलावा, क्योंकि एक कवरिंग मैप एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म (इस मामले में एक स्थानीय isometric) है, गोलाकार और संबंधित प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा दोनों में एक ही अमूर्त शीर्ष आकृति है।

उदाहरण के लिए, (प्रक्षेपी) हेमीक्यूब (ज्यामिति) का 2-गुना कवर | हेमी-क्यूब (गोलाकार) क्यूब है। हेमी-क्यूब में 4 कोने, 3 चेहरे और 6 किनारे होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को गोले में 2 प्रतियों द्वारा कवर किया जाता है, और तदनुसार घन में 8 कोने, 6 चेहरे और 12 किनारे होते हैं, जबकि इन दोनों पॉलीहेड्रा में 4.4 होते हैं। 4 शीर्ष आकृति (3 वर्ग एक शीर्ष पर मिलते हैं)।

इसके अलावा, एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन और कवरिंग गोलाकार पॉलीहेड्रॉन के समरूपता समूह (आइसोमेट्री) संबंधित हैं: प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन की समरूपता को गोलाकार पॉलीहेड्रॉन के रोटेशन समरूपता के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाना जाता है, जबकि गोलाकार पॉलीहेड्रॉन का पूर्ण समरूपता समूह है इसके घूर्णन समूह (प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन का समरूपता समूह) और क्रम 2, {±I} के चक्रीय समूह का उत्पाद। विस्तार और अन्य आयामों के लिए नीचे #Symmetry group देखें।

केंद्रीय समरूपता के बिना गोलाकार पॉलीहेड्रा एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन को परिभाषित नहीं करता है, क्योंकि शिखर, किनारों और चेहरों की छवियां ओवरलैप होंगी। टाइलिंग की भाषा में, प्रोजेक्टिव तल में छवि एक डिग्री 2 टाइलिंग है, जिसका अर्थ है कि यह प्रोजेक्टिव तल को दो बार कवर करती है - प्रोजेक्टिव तल में 1 चेहरे के अनुरूप गोले में 2 चेहरों के बजाय, इसे दो बार कवर करना, प्रत्येक चेहरा अंदर गोला प्रक्षेप्य तल में एक ही चेहरे से मेल खाता है, तदनुसार इसे दो बार कवर करता है।

प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा और केंद्रीय रूप से सममित गोलाकार पॉलीहेड्रा के बीच पत्राचार को सभी गोलाकार पॉलीहेड्रा (जरूरी नहीं कि केंद्रीय सममित) सहित एक गाल्वा कनेक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, यदि कक्षाओं को प्रोजेक्टिव तल की डिग्री 2 टाइलिंग शामिल करने के लिए बढ़ाया जाता है, जिनके कवर पॉलीहेड्रा नहीं हैं, बल्कि एक गैर-केंद्रीय सममित पॉलीहेड्रॉन का पॉलीहेड्रल यौगिक, इसके केंद्रीय व्युत्क्रम (2 बहुफलकीय यौगिक एक यौगिक) के साथ। यह O(3) और PO(3) के परिमित उपसमूहों के स्तर पर Galois कनेक्शन को ज्यामितिकृत करता है, जिसके तहत संयोजन केंद्रीय व्युत्क्रम के साथ संघ है। उदाहरण के लिए, टेट्राहेड्रॉन केंद्रीय रूप से सममित नहीं है, और इसमें 4 कोने, 6 किनारे, और 4 फलक हैं, और शीर्ष आकृति 3.3.3 (प्रत्येक शीर्ष पर 3 त्रिकोण मिलते हैं)। प्रोजेक्टिव तल में इसकी छवि में 4 कोने, 6 किनारे (जो एक दूसरे को काटते हैं), और 4 चेहरे (जो ओवरलैप होते हैं), प्रोजेक्टिव तल को दो बार कवर करते हैं। इसका आवरण तारकीय अष्टफलक है - समतुल्य, दो टेट्राहेड्रा का यौगिक - जिसमें 8 शीर्ष, 12 किनारे और 8 फलक हैं, और शीर्ष आकृति 3.3.3 है।

सामान्यीकरण

अमूर्त पॉलीटोप्स के संदर्भ में, इसके बजाय एक स्थानीय रूप से प्रोजेक्टिव पॉलीटोप्स को संदर्भित करता है - सार पॉलीटॉप # स्थानीय टोपोलॉजी देखें। सार पॉलीटॉप: स्थानीय टोपोलॉजी। उदाहरण के लिए, 11-कोशिका एक स्थानीय रूप से प्रोजेक्टिव पॉलीटॉप है, लेकिन यह विश्व स्तर पर प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन नहीं है, और न ही वास्तव में किसी भी कई गुना टेसेलेट करता है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से यूक्लिडियन नहीं है, बल्कि स्थानीय रूप से प्रोजेक्टिव है, जैसा कि नाम इंगित करता है।

प्रोजेक्टिव पॉलीटोप्स को एक कम आयाम में प्रोजेक्टिव स्पेस के टेसेलेशन के रूप में उच्च आयाम में परिभाषित किया जा सकता है। एन-डायमेंशनल प्रोजेक्टिव स्पेस में k- डायमेंशनल प्रोजेक्टिव पॉलीटोप्स को परिभाषित करना कुछ पेचीदा है, क्योंकि यूक्लिडियन स्पेस में पॉलीटोप्स की सामान्य परिभाषा के लिए बिंदुओं के उत्तल संयोजनों को लेने की आवश्यकता होती है, जो एक प्रोजेक्टिव कॉन्सेप्ट नहीं है, और साहित्य में अक्सर संबोधित किया जाता है, लेकिन किया गया है परिभाषित, जैसे में (Vives & Mayo 1991).

समरूपता समूह

एक प्रोजेक्टिव पॉलीटॉप का समरूपता समूह एक परिमित है (इसलिए असतत)^{[note 1]} प्रक्षेपी ओर्थोगोनल समूह का उपसमूह, पीओ, और इसके विपरीत पीओ का हर परिमित उपसमूह समूह के लिए एक मौलिक डोमेन की छवियों द्वारा दिए गए पॉलीटॉप को लेकर एक प्रोजेक्टिव पॉलीटॉप का समरूपता समूह है।

संबंधित आयाम इस प्रकार हैं: एन-डायमेंशनल रियल प्रोजेक्टिव स्पेस (एन+1)-डायमेंशनल यूक्लिडियन अंतरिक्ष का प्रोजेक्टिवाइजेशन है, $\mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {P} (\mathbf {R} ^{n+1}),$ इसलिए एन-डायमेंशनल प्रोजेक्टिव स्पेस के प्रोजेक्टिव ऑर्थोगोनल ग्रुप को निरूपित किया जाता है

पीओ(एन+1) = पी(ओ(एन+1)) = ओ(एन+1)/{±आई}।

यदि n=2k सम है (इसलिए n+1 = 2k+1 विषम है), तो O(2k+1) = SO(2k+1)×{±I} एक उत्पाद के रूप में विघटित हो जाता है, और इस प्रकार $PO(2k+1)=PSO(2k+1)\cong SO(2k+1)$ ^{[note 2]} इसलिए प्रोजेक्टिव आइसोमेट्रीज़ के समूह को घूर्णी आइसोमेट्रीज़ के समूह के साथ पहचाना जा सकता है।

इस प्रकार विशेष रूप से एक प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन का समरूपता समूह कवरिंग गोलाकार पॉलीहेड्रॉन का घूर्णी समरूपता समूह है; गोलाकार पॉलीहेड्रॉन का पूर्ण समरूपता समूह तब मूल के माध्यम से प्रतिबिंब के साथ प्रत्यक्ष उत्पाद है, जो प्रक्षेप्य स्थान के मार्ग पर कर्नेल है। प्रोजेक्टिव तल नॉन-ओरिएंटेबल है, और इस प्रकार प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन की ओरिएंटेशन-संरक्षित आइसोमेट्री की कोई अलग धारणा नहीं है, जो समानता PSO(3) = PO(3) में परिलक्षित होती है।

यदि n=2k + 1 विषम है, तो O(n+1) = O(2k+2) एक उत्पाद के रूप में विघटित नहीं होता है, और इस प्रकार प्रोजेक्टिव पॉलीटॉप का समरूपता समूह केवल गोलाकार पॉलीटॉप की घूर्णी समरूपता नहीं है, बल्कि संबंधित गोलाकार पॉलीटोप के पूर्ण समरूपता समूह का 2 से 1 अंश (गोलाकार समूह प्रक्षेपी समूह का एक केंद्रीय विस्तार (गणित) है)। आगे, विषम प्रक्षेपी आयाम में (सदिश आयाम भी) $PSO(2k)\neq PO(2k)$ और इसके बजाय एक उचित (सूचकांक 2) उपसमूह है, इसलिए अभिविन्यास-संरक्षण आइसोमेट्रीज़ की एक अलग धारणा है।

उदाहरण के लिए, n = 1 (बहुभुज) में, 2r-गॉन की सममिति डायहेड्रल समूह Dih है_2r (क्रम 4r का), घूर्णी समूह चक्रीय समूह C के साथ_2r, ये क्रमशः O(2) और SO(2) के उपसमूह हैं। 2r-गॉन (सर्कल में) का प्रोजेक्टिवाइज़ेशन एक आर-गॉन (प्रोजेक्टिव लाइन में) है, और तदनुसार भागफल समूह, PO(2) और PSO(2) के उपसमूह हैं Dih_r और सी_r. ध्यान दें कि उपसमूहों का एक ही क्रमविनिमेय वर्ग [[स्पिन समूह]] और पिन समूह के वर्ग के लिए होता है - स्पिन (2), पिन₊(2), एसओ (2), ओ (2) - यहाँ 2 गुना भागफल के बजाय 2 गुना आवरण तक जा रहा है।

अंत में, जाली प्रमेय द्वारा ओ (एन) के उपसमूहों और पीओ (एन) के उपसमूहों के बीच विशेष रूप से परिमित उपसमूहों के बीच गैलोज कनेक्शन होता है। इस संबंध के तहत, केंद्रीय सममित पॉलीटॉप्स के समरूपता समूह संबंधित प्रोजेक्टिव पॉलीटोप्स के समरूपता समूहों के अनुरूप होते हैं, जबकि केंद्रीय समरूपता के बिना गोलाकार पॉलीटोप्स के समरूपता समूह डिग्री 2 प्रोजेक्टिव पॉलीटॉप्स (टिलिंग जो प्रोजेक्टिव स्पेस को दो बार कवर करते हैं) के समरूपता समूहों के अनुरूप होते हैं, जिनका कवर ( कनेक्शन के संयोजन के अनुरूप) दो पॉलीटॉप्स का एक यौगिक है - मूल पॉलीटोप और इसका केंद्रीय व्युत्क्रम।

इन समरूपता समूहों की तुलना बाइनरी पॉलीहेड्रल समूहों के साथ की जानी चाहिए - पिन के रूप में_±(n) → O(n) एक 2-टू-1 कवर है, और इसलिए बाइनरी पॉलीहेड्रल समूहों और पॉलीहेड्रल समूहों के बीच गैलोज कनेक्शन है, O(n) → PO(n) 2-टू-1-कवर है , और इसलिए उपसमूहों के बीच एक समान गैलोज कनेक्शन है। हालाँकि, O (n) और PO (n) के असतत उपसमूह गोलाकार और प्रक्षेपी पॉलीटोप्स के समरूपता समूहों के अनुरूप होते हैं, जो ज्यामितीय रूप से कवरिंग मैप के अनुरूप होते हैं। $S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n},$ का कोई आवरण स्थान नहीं है $S^{n}$ (के लिए $n\geq 2$ ) के रूप में क्षेत्र बस जुड़ा हुआ है, और इस प्रकार कोई संबंधित बाइनरी पॉलीटॉप नहीं है जिसके लिए पिन के उपसमूह समरूपता समूह हैं।

यह भी देखें

↑ Since PO is compact, finite and discrete sets are identical – infinite sets have an accumulation point.
↑ The isomorphism/equality distinction in this equation is because the context is the 2-to-1 quotient map $O\to PO$ – PSO(2k+1) and PO(2k+1) are equal subsets of the target (namely, the whole space), hence the equality, while the induced map $SO\to PSO$ is an isomorphism but the two groups are subsets of different spaces, hence the isomorphism rather than an equality. See (Conway & Smith 2003, p. 34) for an example of this distinction being made.

संदर्भ

फुटनोट्स

↑ Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topological classification", Problems on Polytopes, Their Groups, and Realizations, pp. 9–13, arXiv:math/0608397v1, Bibcode:2006math......8397S
↑ Coxeter, Harold Scott Macdonald (1970). Twisted honeycombs. CBMS regional conference series in mathematics (4). AMS Bookstore. p. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.
↑ Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, p. 65, ISBN 978-0-12-465450-1
↑ Coxeter, Introduction to geometry, 1969, Second edition, sec 21.3 Regular maps, p. 386-388

सामान्य संदर्भ

Archdeacon, Dan; Negami, Seiya (1993), "The construction of self-dual projective polyhedra", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 59 (1): 122–131, doi:10.1006/jctb.1993.1059, retrieved 2010-04-15
Arocha, Jorge L.; Bracho, Javier; Montejano, Luis (2000-02-01). "प्लेनर चेहरों के साथ नियमित प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा I" (PDF). Aequationes Mathematicae. 59 (1): 55–73. CiteSeerX 10.1.1.498.9945. doi:10.1007/PL00000128. Retrieved 2010-04-15.
Bracho, Javier (2000-02-01). "तलीय फलकों के साथ नियमित प्रक्षेपी बहुफलक II". Aequationes Mathematicae. 59 (1): 160–176. doi:10.1007/PL00000122.
Conway, John Horton; Smith, Derek Alan (2003-02-07), "3.7 The Projective or Elliptic Groups", On quaternions and octonions, A K Peters, Ltd., pp. 34, ISBN 978-1-56881-134-5
Hilbert, David; Cohn-Vossen, S. (1999), Geometry and the imagination, AMS Bookstore, p. 147, ISBN 978-0-8218-1998-2
McMullen, Peter; Schulte, Egon (December 2002), "6C. Projective Regular Polytopes", Abstract Regular Polytopes (1st ed.), Cambridge University Press, pp. 162–165, ISBN 978-0-521-81496-6
Vives, Gilberto Calvillo; Mayo, Guillermo Lopez (1991). Susana Gómez; Jean Pierre Hennart; Richard A. Tapia (eds.). Advances in numerical partial differential equations and optimization. Fifth United States-Mexico Workshop. SIAM. pp. 43–49. ISBN 978-0-89871-269-8.

श्रेणी:प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रा

[5] Since PO is compact, finite and discrete sets are identical – infinite sets have an accumulation point.

[6] The isomorphism/equality distinction in this equation is because the context is the 2-to-1 quotient map $O\to PO$ – PSO(2k+1) and PO(2k+1) are equal subsets of the target (namely, the whole space), hence the equality, while the induced map $SO\to PSO$ is an isomorphism but the two groups are subsets of different spaces, hence the isomorphism rather than an equality. See (Conway & Smith 2003, p. 34) for an example of this distinction being made.

[1] Schulte, Egon; Weiss, Asia Ivic (2006), "5 Topological classification", Problems on Polytopes, Their Groups, and Realizations, pp. 9–13, arXiv:math/0608397v1, Bibcode:2006math......8397S

[2] Coxeter, Harold Scott Macdonald (1970). Twisted honeycombs. CBMS regional conference series in mathematics (4). AMS Bookstore. p. 11. ISBN 978-0-8218-1653-0.

[3] Magnus, Wilhelm (1974), Noneuclidean tesselations and their groups, Academic Press, p. 65, ISBN 978-0-12-465450-1

[cox-4] Coxeter, Introduction to geometry, 1969, Second edition, sec 21.3 Regular maps, p. 386-388

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[note 2]

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