अनौपचारिक प्रणाली

नियंत्रण सिद्धांत में, कारण प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जहां आउटपुट अतीत और वर्तमान निविष्ट पर निर्भर करता है लेकिन भविष्य के निविष्ट पर नहीं- यानी $t\leq t_{0}$ मान के लिए आउटपुट $y(t_{0})$, निविष्ट $x(t)$ पर ही निर्भर करता है। कारण प्रणाली को भौतिक प्रणाली या गैर-प्रत्याशित प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है

किसी भी समय अगर किसी कार्य का आउटपुट केवल निविष्ट के अतीत और वर्तमान मूल्यों पर निर्भर करता है तो सामान्यतौर पर संदर्भित गुणों द्वारा करणीयता के रूप में परिभाषित किया जाता है। अगर किसी प्रणाली में संभावित अतीत या वर्त्तमान निविष्ट मूल्यों के अतिरिक्त भविष्य से निविष्ट मूल्यों पर कुछ निर्भरता होती है तो उस प्रणाली को गैर-कारण या आकस्मिक प्रणाली कहा जाता है, और जो प्रणाली पूरी तरह से भविष्य के निविष्ट मूल्यों पर निर्भर करती है उसे आकस्मिक प्रणाली कहा जाता है। कुछ लेखकों के अनुसार अकारण प्रणाली को भविष्य और वर्त्तमान निविष्ट मूल्यों पर निर्भरता के रूप में परिभाषित किया है, अधिक सरलता से, एक ऐसी प्रणाली जो अतीत के निविष्ट मूल्यों पर निर्भर नहीं करता है।

प्राचीन रूप से, प्रकृति या भौतिक वास्तविकता को एक कारण प्रणाली माना गया है। विशेष आपेक्षिकता या सामान्य सापेक्षता वाले भौतिकी में कार्य-कारण की अधिक सावधान परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, जैसा कि कारणता (भौतिकी) में विस्तृत रूप से वर्णित है।

अंकीय संकेत प्रक्रिया में सिस्टम की कार्य-कारणता भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जहां LTI सिस्टम सिद्धांत का निर्माण किया जाता है ताकि वे कारणात्मक हों, कभी-कभी कार्य-कारण की कमी को दूर करने के लिए एक गैर-कारण सूत्रीकरण को बदलकर, ताकि यह वसूली योग्य हो। अधिक जानकारी के लिए कारण फ़िल्टर देखें।

एक कारण प्रणाली के लिए, सिस्टम की आवेग प्रतिक्रिया को आउटपुट निर्धारित करने के लिए केवल निविष्ट के वर्तमान और पिछले मूल्यों का उपयोग करना चाहिए। रैखिकता की परवाह किए बिना, यह आवश्यकता एक प्रणाली के कारण होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है। ध्यान दें कि समान नियम असतत या निरंतर मामलों पर लागू होते हैं। भविष्य के निविष्ट मूल्यों की आवश्यकता नहीं होने की इस परिभाषा के अनुसार, सिस्टम को वास्तविक समय में संकेतों को संसाधित करने के लिए कारण होना चाहिए।

गणितीय परिभाषाएँ

परिभाषा 1: एक सिस्टम मैपिंग $x$ को $y$ निविष्ट सिग्नल की किसी भी जोड़ी के लिए अगर और केवल अगर कारण है $x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$ और कोई भी विकल्प $t_{0}$, ऐसा है कि

$x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},$

संबंधित आउटपुट संतुष्ट करते हैं

$y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.$

परिभाषा 2: मान लीजिए $h(t)$ किसी भी प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया है $H$ एक रेखीय निरंतर गुणांक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित। प्रणाली $H$ कारण है अगर और केवल अगर

$h(t)=0,\quad \forall \ t<0$

अन्यथा यह अकारण है।

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण एक निविष्ट वाले सिस्टम के लिए हैं $x$ और आउटपुट $y$.

कारण प्रणालियों के उदाहरण

• मेमोरीलेस सिस्टम

$y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)$

• ऑटोरेग्रेसिव फिल्टर

$y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau$

गैर-कारण (अकारण) प्रणालियों के उदाहरण

$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau$

• सेंट्रल मूविंग एवरेज

$y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}$

विरोधी कारण प्रणाली के उदाहरण

$y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau$

• भविष्य का ध्यान करना

$y_{n}=x_{n+1}$

संदर्भ

• Oppenheim, Alan V.; Willsky, Alan S.; Nawab, Hamid; with S. Hamid (1998). Signals and Systems. Pearson Education. ISBN 0-13-814757-4.