हाइपरसाइकिल (ज्यामिति)

पॉइनकेयर डिस्क हाइपरसाइकिल दिखाती है HC जो सीधी रेखा द्वारा निर्धारित किया जाता है L (सीधा कहा जाता है क्योंकि यह क्षितिज को समकोण पर काटता है) और बिंदु P

अतिपरवलयिक ज्यामिति में, एक अतिचक्र , अतिचक्र या समदूरस्थ वक्र एक वक्र होता है जिसके बिंदुओं की दी गई सीधी रेखा (इसकी धुरी) के समान लंबकोणीय दूरी होती है।

एक सीधी रेखा एल और एक बिंदु पी दिया गया है जो एल पर नहीं है,एल के एक ही तरफ के सभी बिंदुओं क्यू को पी के रूप में लेकर एक अतिचक्र का निर्माण किया जा सकता है, पी के बराबर एल की लंबवत दूरी के साथ। रेखा एल को अतिचक्र की धुरी, केंद्र या आधार रेखा कहा जाता है। एल के लंबवत रेखाएँ , जो अतिचक्र के लम्बवत् भी हैं, अतिचक्र के सामान्य कहलाती हैं। एल और अतिचक्र के बीच के सामान्य खंड को त्रिज्या कहा जाता है। उनकी सामान्य लंबाई को अतिचक्र की दूरी या त्रिज्या कहा जाता है।

किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से अतिचक्र जो उस बिंदु के माध्यम से एक स्पर्शरेखा साझा करते हैं, एक कुंडली की ओर अभिसरण करते हैं क्योंकि उनकी दूरी अनंत की ओर जाती है।

यूक्लिडियन रेखाओं के समान गुण

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में हाइपरसाइकल में यूक्लिडियन ज्यामिति में रेखा (ज्यामिति) के समान कुछ गुण होते हैं:

• एक समतल में, एक रेखा दी गई है और एक बिंदु उस पर नहीं है, दी गई रेखा का केवल एक अतिचक्र होता है (यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए Playfair के अभिगृहीत से तुलना करें)।
• किसी हाइपर साइकिल के तीन बिंदु वृत्त पर नहीं होते।
• एक हाइपरसाइकल इसके लंबवत प्रत्येक रेखा के लिए सममित है। (हाइपरसाइकल के लम्बवत् एक रेखा में हाइपरसाइकल को परावर्तित करने से समान हाइपरसाइकल होता है।)

यूक्लिडियन मंडलियों के समान गुण

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में हाइपरसाइकल में यूक्लिडियन ज्यामिति में हलकों के समान कुछ गुण होते हैं:

• किसी अतिचक्र की जीवा के मध्य बिंदु पर लम्बवत् रेखा एक त्रिज्या होती है और यह जीवा द्वारा अंतरित चाप को समद्विभाजित करती है।

  मान लीजिए AB जीवा है और M इसका मध्य बिंदु है।

  सममिति के अनुसार रेखा R से M के माध्यम से AB पर लम्बवत् रेखा L को अक्ष L के लिए ओर्थोगोनल होना चाहिए।

  इसलिए R एक त्रिज्या है।

  साथ ही सममिति द्वारा, R चाप AB को समद्विभाजित करेगा।

• हाइपरसायकल की धुरी और दूरी विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है।

  आइए मान लें कि एक हाइपरसाइकल C में दो अलग-अलग अक्ष L हैं₁ और मैं₂.

  पिछली संपत्ति का दो बार अलग-अलग तारों के साथ उपयोग करके हम दो अलग त्रिज्या आर निर्धारित कर सकते हैं₁ और आर₂. आर₁ और आर₂ फिर दोनों एल के लिए लंबवत होना होगा₁ और मैं₂, हमें एक आयत दे रहा है। यह एक विरोधाभास है क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में आयत एक असंभव आकृति है।

• दो हाइपर साइकिलों की दूरी समान होती है यदि और केवल यदि वे सर्वांगसम हों।

  यदि उनके पास समान दूरी है, तो हमें केवल अक्षों को एक कठोर गति से मिलाने की आवश्यकता है और साथ ही सभी त्रिज्याएं भी मिल जाएंगी; चूंकि दूरी समान है, इसलिए दोनों अतिचक्रों के बिंदु भी संपाती होंगे।

  इसके विपरीत, यदि वे सर्वांगसम हैं तो पिछली संपत्ति द्वारा दूरी समान होनी चाहिए।

• एक सीधी रेखा हाइपरसाइकल को अधिक से अधिक दो बिंदुओं पर काटती है।

  मान लें कि लाइन K हाइपरसाइकल C को दो बिंदुओं A और B में काटती है। पहले की तरह, हम AB के मध्य बिंदु M के माध्यम से C की त्रिज्या R का निर्माण कर सकते हैं। ध्यान दें कि K अक्ष L के समानांतर है क्योंकि उनके पास सामान्य लंब R है। इसके अलावा, दो अति समानांतर रेखाओं की सामान्य लंब और नीरस रूप से बढ़ती दूरी पर न्यूनतम दूरी होती है क्योंकि हम लंब से दूर जाते हैं।

  इसका अर्थ है कि AB के अंदर K के बिंदुओं की दूरी L से A और B की सामान्य दूरी की तुलना में L से कम होगी, जबकि AB के बाहर K के बिंदुओं की दूरी अधिक होगी। अंत में, K का कोई अन्य बिंदु C पर नहीं हो सकता।

• दो हाइपरसाइकल अधिक से अधिक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं।

  मान लीजिए सी₁ और सी₂ तीन बिंदुओं A, B और C में प्रतिच्छेद करने वाली हाइपरसाइकल हो।

  यदि आर₁ अपने मध्य बिंदु के माध्यम से AB के लिए ओर्थोगोनल रेखा है, हम जानते हैं कि यह दोनों C की त्रिज्या है₁ और सी₂.

  इसी प्रकार हम R का निर्माण करते हैं₂, बीसी के मध्य बिंदु के माध्यम से त्रिज्या।

  आर₁ और आर₂ अक्ष एल के साथ-साथ ऑर्थोगोनल हैं₁ और मैं₂ सी का₁ और सी₂, क्रमश।

  हम पहले ही साबित कर चुके हैं कि एल₁ और मैं₂ संयोग होना चाहिए (अन्यथा हमारे पास एक आयत है)।

  फिर सी₁ और सी₂ एक ही अक्ष और कम से कम एक सामान्य बिंदु है, इसलिए उनकी दूरी समान है और वे संपाती हैं।

• हाइपरसाइकिल के कोई भी तीन बिंदु संरेख नहीं होते हैं।

  यदि हाइपरसाइकल के बिंदु A, B और C संरेख हैं तो जीवा AB और BC एक ही रेखा K पर हैं। मान लीजिए R₁ और आर₂ एबी और बीसी के मध्य बिंदुओं के माध्यम से त्रिज्या बनें। हम जानते हैं कि अतिचक्र का अक्ष L, R का उभयनिष्ठ लंब है₁ और आर₂.

  लेकिन K वह सामान्य लंब है। तब दूरी 0 होनी चाहिए और हाइपरसाइकल एक लाइन में बदल जाती है।

अन्य गुण

• दो बिन्दुओं के बीच एक अतिचक्र के चाप की लंबाई होती है
  • उन दो बिंदुओं के बीच रेखा खंड की लंबाई से अधिक,
  • उन दो बिंदुओं के बीच दो चक्रों में से एक के चाप की लंबाई से कम, और
  • उन दो बिंदुओं के बीच किसी भी वृत्त चाप से छोटा।
• एक हाइपर साइकिल और एक कुंडली अधिकतम दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
• त्रिज्या r का एक हाइपरसाइकल $\sinh$(2r) = 1 व्युत्क्रम द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण तल की अर्ध-समरूपता को प्रेरित करता है। (इस प्रकार का अतिचक्र अपनी धुरी से π/4 के कोण पर मिलता है।) विशेष रूप से, अक्ष के खुले अर्ध-तल में एक बिंदु P' P' पर पलटता है जिसका समांतरता का कोण P का पूरक है। यह अर्ध-समरूपता उच्च आयाम के हाइपरबॉलिक रिक्त स्थान को सामान्य करता है जहां यह हाइपरबॉलिक मैनिफोल्ड के अध्ययन की सुविधा प्रदान करता है। यह अतिशयोक्तिपूर्ण तल में शांकवों के वर्गीकरण में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है जहां इसे विभक्त उलटा कहा गया है। हालांकि अनुरूप, विभाजित उलटा एक वास्तविक समरूपता नहीं है क्योंकि यह अक्ष को विमान की सीमा के साथ बदल देता है और निश्चित रूप से, एक आइसोमेट्री नहीं है।

एक चाप की लंबाई

निरंतर गॉसियन वक्रता -1 के हाइपरबॉलिक विमान में, हाइपरसाइकल के एक चाप की लंबाई की गणना त्रिज्या r और उन बिंदुओं के बीच की दूरी से की जा सकती है जहां सूत्र सूत्र का उपयोग करके अक्ष d के साथ प्रतिच्छेद करते हैं l = d cosh r.

निर्माण

हाइपरबोलिक तल के पॉइनकेयर डिस्क मॉडल में, हाइपरसाइकल को रेखाओं और वृत्त चापों द्वारा दर्शाया जाता है जो गैर-समकोण पर सीमा वृत्त को काटते हैं। अक्ष का निरूपण सीमा वृत्त को उन्हीं बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, लेकिन समकोण पर।

हाइपरबोलिक तल के पॉइनकेयर अर्ध-विमान मॉडल में, हाइपरसाइकल को रेखाओं और वृत्त चापों द्वारा दर्शाया जाता है जो गैर-समकोण पर सीमा रेखा को काटते हैं। अक्ष का निरूपण सीमा रेखा को उन्हीं बिंदुओं पर काटता है, लेकिन समकोण पर।

स्टाइनर परवलय के सर्वांगसम वर्ग

अतिशयोक्तिपूर्ण तल में स्टाइनर परवलय के सर्वांगसमता वर्ग दिए गए अक्ष के दिए गए अर्ध-तल H में अतिचक्रों के साथ एक-से-एक संगति में हैं। एक आपतन ज्यामिति में, एक बिंदु P पर स्टाइनर शंक्वाकार एक समतलीकरण T द्वारा उत्पन्न होता है, जो प्रतिच्छेदन L का बिंदुपथ होता है। $\cap$ पी के माध्यम से सभी लाइनों एल के लिए टी (एल)। यह एक क्षेत्र पर प्रक्षेपी विमान में एक शांकव की स्टेनर की परिभाषा का एनालॉग है। अतिशयोक्तिपूर्ण तल में स्टेनर शंकुओं के सर्वांगसम वर्ग दूरी द्वारा निर्धारित किए जाते हैं $s$ पी और टी (पी) और रोटेशन के कोण के बीच $\phi$ टी द्वारा टी (पी) के बारे में प्रेरित किया गया। प्रत्येक स्टाइनर पैराबोला उन बिंदुओं का स्थान है, जिनकी फ़ोकस F से दूरी एक हाइपरसाइकल डायरेक्ट्रिक्स की दूरी के बराबर है जो एक रेखा नहीं है। हाइपरसाइकल के लिए एक सामान्य अक्ष मानकर, F का स्थान किसके द्वारा निर्धारित किया जाता है $\phi$ निम्नलिखित नुसार। फिक्सिंग $\sinh(s)=1$, पैराबोलस के वर्ग एक-से-एक पत्राचार में हैं $\phi$ ∈ (0,π/2). अनुरूप डिस्क मॉडल में, प्रत्येक बिंदु P |P| के साथ एक सम्मिश्र संख्या है $<1.$ सामान्य अक्ष को वास्तविक रेखा होने दें और मान लें कि हाइपरसाइकल आधे विमान H में हैं

'मैं' (पी) $>0$. तब प्रत्येक परवलय का शीर्ष H में होगा, और परवलय अक्ष के लंबवत शीर्ष के माध्यम से रेखा के बारे में सममित है। यदि हाइपर साइकिल दूरी पर है $d$ अक्ष से, के साथ $\tanh(d)=\tan(\phi /2)$, तो F =  ((1-टैन$\phi$)/(1+टैन$\phi$))$i$. विशेष रूप से, F = 0 जब $\phi =$ π/4. इस मामले में, ध्यान अक्ष पर है; समतुल्य रूप से, संबंधित हाइपरसाइकल में व्युत्क्रम एच अपरिवर्तनीय छोड़ देता है। यह हार्मोनिक केस है, यानी हाइपरबोलिक प्लेन के किसी भी उलटे मॉडल में पैराबोला का प्रतिनिधित्व एक हार्मोनिक, जीनस 1 कर्व है।

संदर्भ

The alternated octagonal tiling, in a Poincaré disk model, can be seen with edge sequences that follow hypercycles.

• Martin Gardner, Non-Euclidean Geometry, Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics, W. W. Norton & Company, 2001, ISBN 978-0-393-02023-6
• M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 3rd edition, W. H. Freeman, 1994.
• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.
• J. G. Ratcliffe, Foundation of Hyperbolic Manifolds, Springer, New York, 1994.
• David C. Royster, Neutral and Non-Euclidean Geometries.
• J. Sarli, Conics in the hyperbolic plane intrinsic to the collineation group, J. Geom. 103: 131-138 (2012)