नीलसन-थर्स्टन वर्गीकरण

गणित में, थर्स्टन का वर्गीकरण प्रमेय एक सघन ओरिएंटेबल सतह के होमियोमोर्फिज्म की विशेषता है। जैकब निल्सन (1944) के द्वारा प्रारम्भ किये गए कार्य को विलियम थर्स्टन के प्रमेय के द्वारा पूर्ण किया गया है।

एक होमोमोर्फिज्म f : S → S दिया गया है, f के लिए एक मानचित्र g आईसोटोपी है, जिसमें निम्न में से कम से कम एक धारण करता है:

• g आवधिक है,अर्थात g की कुछ शक्ति पहचान है;
• g, s पर अलग-अलग सरल बंद वक्रों के कुछ असंयुक्त सम्मिलन को संरक्षित करता है (इस सन्दर्भ में, g को कम करने योग्य कहा जाता है); या
• g छद्म-अनोसोव मानचित्र है।

यह कथन जहां S एक टोरस्र्स है (अर्थात, एक सतह जिसका एक ही वर्ग (गणित) है) को अलग से देखा जाता है (टोरस बंडल देखें) और थर्स्टन के कार्य से पहले प्रख्यात था। यदि S का वर्ग दो या अधिक है, तो S स्वाभाविक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति है, और टैक्मुलर सिद्धांत के उपकरण उपयोगी हो जाते हैं। निम्नलिखित में, हम मानते हैं कि S के पास कम से कम दो वर्ग हैं, जैसा कि थर्स्टन ने माना है। (ध्यान दें, ऐसे कथन जहां S की सीमा (टोपोलॉजी) है या उन्मुख नहीं है, निश्चित रूप से अभी भी उपयोगी स्थान रखते हैं।)

इस वर्गीकरण में तीन प्रकार परस्पर अनन्य 'नहीं' हैं, हालांकि एक छद्म-एनोसोव होमोमोर्फिज्म कभी भी आवधिक या कम करने योग्य नहीं होता है। सरल बंद वक्र के संरक्षित संघ के साथ सतह को काटकर एक कम करने योग्य होमोमोर्फिज्म g का और अधिक विश्लेषण किया जा सकता है। सिमा रेखा के साथ परिणामी सघन सतहों में से प्रत्येक पर g की कुछ शक्ति (यानी फ़ंक्शन रचना) द्वारा कार्य किया जाता है, और वर्गीकरण को फिर से इस होमोमोर्फिज्म पर प्रयोग किया जा सकता है।

उच्च वर्गों की सतहों के लिए माप श्रेणियों का समूह = थर्स्टन का वर्गीकरण वर्ग ≥ 2 की ओरिएंटेबल सतहों के होमोमोर्फिज्म पर प्रयुक्त होता है, लेकिन होमोमोर्फिज्म का प्रकार केवल माप श्रेणियों के समूह मॉड (S) के संबंधित तत्व पर निर्भर करता है। वास्तव में, वर्गीकरण प्रमेय का प्रमाण अच्छे ज्यामितीय गुणों वाले प्रत्येक मानचित्रण वर्ग के एक विहित रूप प्रतिनिधि की ओर जाता है। उदाहरण के लिए:

• जब g आवधिक होता है, तो इसके मानचित्रण वर्ग का एक तत्व होता है जो कि s पर हाइपरबोलिक ज्यामिति का एक आइसोमेट्री होता है।
• जब g छद्म-अनोसोव होता है, तो इसके मानचित्रण वर्ग का एक तत्व होता है जो s की ट्रांसवर्सलिटी (गणित) एकवचन स्थिति की एक जोड़ी को संरक्षित करता है, एक कीस्थितियो को खींचता है (अस्थिर पर्णसमूह) जबकि दूसरे की स्थितियो को सिकोड़ता है।

मैपिंग टोरी

इस वर्गीकरण को विकसित करने के लिए थर्स्टन की मूल प्रेरणा बीजगणितीय कल्पना द्वारा ज्ञात की गई प्रकार की टोरी मैपिंग पर ज्यामितीय संरचनाओं को खोजना था। मानचित्रण टोरस M_g एक सतह S का होमोमोर्फिज्म g, S × [0,1] से S × {0} को S × {1} से g का उपयोग करके 3-गुना प्राप्त किया गया है। यदि S के वर्ग कम से कम दो हैं, तो M_g की ज्यामितीय संरचना g के वर्गीकरण के प्रकारो से जुड़ा होता है जो निम्न है;

• यदि g कम करने योग्य है, तो M_gअसंपीड्य सतह टोरस है, और इन टोरी के साथ टुकड़ों को कम किया जाना चाहिए ताकि प्रत्येक में ज्यामितीय संरचनाएं हों (जेएसजे अपघटन);
• यदि जी छद्म-अनोसोव मानचित्र है, तो M_gएक अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति संरचना है (जैसे की H³)।    

पहले दो सन्दर्भ तुलनात्मक रूप से आसान हैं, जबकि छद्म-एनोसोव होमोमोर्फिज्म के मानचित्रण टोरस पर एक अतिशयोक्तिपूर्ण संरचना का अस्तित्व एक गहरा और कठिन प्रमेय है (विलियम थर्स्टन के कारण भी)। इस तरह से उत्पन्न होने वाले अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफोल्ड्स को फाइबरेड कहा जाता है क्योंकि वे वृत्त के ऊपर सतह बंडल होते हैं, और इन मैनिफोल्ड्स को हुक कई गुना के लिए थर्स्टन के ज्यामितीय अनुमान के प्रमाण में अलग से ज्ञात किया जाता है। फाइबरयुक्त अतिशयोक्तिपूर्ण 3-गुना में कई दिलचस्प और मनोविकारी गुण हैं; उदाहरण के लिए, केनन और थर्स्टन ने दिखाया कि उत्पन्न होने वाले क्लेनियन समूह के सतह उपसमूह की सीमा निर्धारित है जो एक स्थान-भरने वाला वक्र है|

निश्चित बिंदु वर्गीकरण

तीन प्रकार की सतह होमियोमॉर्फिज्म भी टेचमुलर स्पेस T(S) पर माप श्रेणी समूह मॉड (S) की गतिशील प्रणाली से संबंधित हैं। थर्स्टन ने T(S) का एक संघनन ज्ञात किया जो एक बंद बॉल के लिए होमोमोर्फिक है, और जिसके लिए मॉड (S) की क्रिया स्वाभाविक रूप से विस्तारित है। थर्स्टन वर्गीकरण में मानचित्रण वर्ग समूह के एक तत्व g का प्रकार T(S) के संघनन पर कार्य करते समय उसके निश्चित बिंदुओं से संबंधित होता है:

• यदि g आवधिक है, तो T(S) के भीतर एक निश्चित बिंदु है; यह बिंदु S पर एक अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति से मिलता है जिसके समकक्षीय समूह में g के लिए एक समस्थानिक तत्व होता है;
• यदि g स्यूडो-एनोसोव है, तो g का T(S) में कोई निश्चित बिंदु नहीं है, लेकिन थर्स्टन सीमा पर निश्चित बिंदुओं की एक जोड़ी है; ये निश्चित बिंदु g द्वारा संरक्षित s के स्थिर और अस्थिर घुमाव के अनुरूप हैं।
• कुछ कम करने योग्य माप श्रेणी g के लिए, थर्स्टन सीमा पर एक निश्चित बिंदु है; उदहारण के लिए पैंट अपघटन में पड़ने वाले कई पड़ाव। इस मामले में थर्स्टन सीमा पर g का निश्चित बिंदु Γ से मिलता है।

यह अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति समकक्षीय के अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकारों में वर्गीकरण की का ध्यान है (जो कि आवधिक, कम करने योग्य, और ऊपर सूचीबद्ध छद्म-एनोसोव प्रकारों के समान निश्चित बिंदु संरचनाएं हैं)।

यह भी देखें

• ट्रेन की पटरियों का मानचित्र

संदर्भ

• Bestvina, M.; Handel, M. (1995). "Train-tracks for surface homeomorphisms" (PDF). Topology. 34 (1): 109–140. doi:10.1016/0040-9383(94)E0009-9.
• Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob (2003). Schmidt, Asmus L. (ed.). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. Vol. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.
• Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque, 66-67, Soc. Math. France, Paris, 1979
• Handel, M.; Thurston, W. P. (1985). "New proofs of some results of Nielsen" (PDF). Advances in Mathematics. 56 (2): 173–191. doi:10.1016/0001-8708(85)90028-3. MR 0788938.
• Nielsen, Jakob (1944), "Surface transformation classes of algebraically finite type", Danske Vid. Selsk. Math.-Phys. Medd., 21 (2): 89, MR 0015791
• Penner, R. C. (1988). "A construction of pseudo-Anosov homeomorphisms". Transactions of the American Mathematical Society. 310 (1): 179–197. doi:10.1090/S0002-9947-1988-0930079-9. MR 0930079.
• Thurston, William P. (1988), "On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 19 (2): 417–431, doi:10.1090/S0273-0979-1988-15685-6, ISSN 0002-9904, MR 0956596