एपिपोलर ज्यामिति

For broader coverage of this topic, see कंप्यूटर स्टीरियो विजन.

एपिपोलर ज्यामिती के लिए विशिष्ट उपयोग मामला
Two cameras take a picture of the same scene from different points of view. The एपिपोलर geometry then describes the relation between the two resulting views.

एपिपोलर ज्यामिती स्टीरियो विजन कंप्यूटर स्टीरियो विजन की ज्यामिती है। जब दो कैमरे दो अलग-अलग स्थितियों से 3डी दृश्य को देखते हैं, तो 3डी बिंदुओं और 2डी प्रतिबिम्बों पर उनके अनुमानों के बीच कई ज्यामितीय संबंध होते हैं जो प्रतिबिंब बिंदुओं के बीच बाधाओं का कारण बनते हैं। ये संबंध इस धारणा के आधार पर निकाले गए हैं कि कैमरों को पिनहोल कैमरा प्रारूप द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

1. एपिपोलर बाधा और त्रिकोणासन दो पिनहोल कैमरों को बिंदु X पर देखते हुए दर्शाया जाता है। वास्तविक कैमरों में, प्रतिबिंब तल वास्तव में फोकल केंद्र के पीछे होता है, और इसी प्रकार प्रतिबिंब बनाता है जो लेंस के फोकल केंद्र के बारे में सममित होती है। चूंकि यहाँ पर समरूपता द्वारा परिवर्तित नहीं किए गए प्रतिबिंब का निर्माण करने के लिए फोकल सेंटर अर्ताथ प्रत्येक कैमरा लेंस के ऑप्टिकल केंद्र के सामने 'वर्चुअल इमेज प्लेन' रखकर समस्या को सरल बनाया गया है। H_L और O_R दो कैमरों के लेंसों के समरूपता के केंद्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं। X दोनों कैमरों में रुचि के बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। अंक X_L और X_R प्रतिबिंब तलों पर बिंदु X का अनुमान हैं।

एपिपोलर ज्यामिति

प्रत्येक कैमरा 3D दुनिया की 2D प्रतिबिंब कैप्चर करता है। 3डी से 2डी में इस रूपांतरण को परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसे पिनहोल कैमरे के प्रारूप द्वारा वर्णित किया जाता है। इस प्रोजेक्शन ऑपरेशन को कैमरे से निकलने वाली किरणों द्वारा, इसके फोकल सेंटर से गुजरते हुए प्रारूप करना सरल होता हैं। प्रत्येक निकलने वाली किरण प्रतिबिंब में एक बिंदु से मेल खाती है।

एपिपोल या एपिपोलर पॉइंट

चूंकि कैमरों के लेंस के ऑप्टिकल केंद्र अलग-अलग होते हैं, इसलिए प्रत्येक केंद्र दूसरे कैमरे के प्रतिबिंब तल में अलग बिंदु पर प्रोजेक्ट करता है। इन दो प्रतिबिंब बिंदुओं को E_L और E_R एरी कॉलिट एपिपोलरिस या एपिपोलर पॉइंट द्वारा दर्शाया गया है। सतही मान के लिए 'N'_L और E_R उनके संबंधित प्रतिबिम्बों के विमानों और दोनों ऑप्टिकल केंद्र O I_L और O_R 3डी लाइन पर व्याप्त हो जाते हैं।

बिट ध्रुवीय

O_L–X को बाएं कैमरे द्वारा एक बिंदु के रूप में देखा जाता है क्योंकि यह सीधे उस कैमरे के लेंस ऑप्टिकल केंद्र के अनुरूप होता है। चूंकि, दायाँ कैमरा इस रेखा को अपने प्रतिबिंब तल में रेखा के रूप में देखता है। वह रेखा (E_R-X_R) दाहिने कैमरे में एपिपोलर लाइन कहा जाता है। सममित रूप से, रेखा 'O'_R–X को दाहिने कैमरे द्वारा बिंदु के रूप में देखा जाता है और इसे एपिपोलर लाइन e_L-X_Lबाएं कैमरे द्वारा के रूप में देखा जाता है।

एपिपोलर लाइन 3डी स्पेस में बिंदु X की स्थिति का कार्य करती है, अर्ताथ जैसे X परिवर्तित होता हैं, दोनों प्रतिबिम्बों में एपिपोलर लाइनों का सेट उत्पन्न होता है। 3डी लाइन के बाद से H_L-X लेंस O_L के ऑप्टिकल केंद्र से होकर गुजरता है, इस प्रकार सही प्रतिबिंब में संबंधित एपिपोलर लाइन एपिपोल E_R से होकर गुजरनी चाहिए (और तदनुसार बाईं प्रतिबिंब में एपिपोलर लाइनों के लिए किया जाता हैं)। किसी प्रतिबिंब में सभी एपिपोलर लाइन्स में उस इमेज का एपिपोलर पॉइंट होता है। वास्तव में कोई भी रेखा जिसमें अधिध्रुवीय बिंदु होता है, जिस पर अधिध्रुवीय रेखा होती है क्योंकि इसे किसी 3D बिंदु X से प्राप्त किया जा सकता है।

एपिपोलर प्लेन

एक वैकल्पिक विज़ुअलाइज़ेशन के रूप में बिंदुओं X, O_L और O_R पर विचार करें जो एक तल बनाती है जिसे अधिध्रुवीय तल कहते हैं। एपिपोलर प्लेन प्रत्येक कैमरे के इमेज प्लेन को काटता है जहाँ यह रेखाएँ बनाता है जिसे एपिपोलर लाइन्स के द्वारा व्यक्त करते हैं। सभी एपिपोलर प्लेन और एपिपोलर लाइनें एपिपोल को काटती हैं, भले ही 'X' पूर्ण रूप से संलग्न हों।

एपिपोलर बाधा और त्रिभुज

यदि दो कैमरों की सापेक्ष स्थिति ज्ञात है, तो इससे दो महत्वपूर्ण प्रेक्षण प्राप्त होते हैं:

• प्रक्षेपण बिंदु x_L मान लें जाना जाता है, और एपिपोलर लाइन E_R-X_R ज्ञात है और बिंदु X सही प्रतिबिंब में, बिंदु x_R पर प्रोजेक्ट करता है जो इस विशेष एपिपोलर लाइन पर होना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि प्रतिबिंब में देखे गए प्रत्येक बिंदु के लिए किसी बिंदु को दूसरी प्रतिबिंब में ज्ञात एपिपोलर लाइन पर देखा जाना चाहिए। यह एपिपोलर बाधा प्रदान करता है: दाएं कैमरे के विमान X' पर X_R का प्रक्षेपण E_R-X_R एपिपोलर लाइन में निहित होना आवश्यक होता हैं। सभी बिंदु के लिए X, X₁, X₂, X₃ O_L-X_L पर लाइन उस बाधा को सत्यापित करती हैं। इसका तात्पर्य है कि यह परीक्षण करना संभव है कि क्या दो बिंदु एक ही 3D बिंदु पर पत्राचार की समस्या के कारण होता हैं। दो कैमरों के बीच आवश्यक आव्यूह या मौलिक आव्यूह (कंप्यूटर दृष्टि) द्वारा एपिपोलर बाधाओं का भी वर्णन किया जा सकता है।
• यदि अंक x_L और X_R ज्ञात हैं, उनकी प्रक्षेपण रेखाएँ भी ज्ञात रहती हैं। यदि दो प्रतिबिंब बिंदु एक ही 3D बिंदु X के अनुरूप होते हैं, तो प्रक्षेपण रेखाओं को X पर मुख्य रूप से प्रतिच्छेद करना आवश्यक होता हैं। इसका तात्पर्य है कि X की गणना दो प्रतिबिंब बिंदुओं के निर्देशांक से की जा सकती है, इस प्रक्रिया को त्रिकोण (कंप्यूटर दृष्टि) कहा जाता है।

सरलीकृत स्थिति

यदि दो कैमरा इमेज प्लेन मेल खाते हैं तो एपिपोलर ज्यामिती सरल हो जाती है। इस स्थिति में, एपिपोलर लाइनें (E_L-X_L = O_R-X_R) भी मेल खाती हैं। इसके अतिरिक्त, एपिपोलर लाइनें O_L-O_R लाइन के समानांतर हैं, इसे प्रक्षेपण के केंद्रों के बीच और व्यवहारिक रूप से दो प्रतिबिम्बों के क्षैतिज अक्षों के साथ संरेखित किया जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि किसी प्रतिबिंब में प्रत्येक बिंदु के लिए, दूसरी प्रतिबिंब में इसके संबंधित बिंदु को केवल क्षैतिज रेखाओं के साथ पाया जाता हैं। यदि कैमरों को इस प्रकार से नहीं रखा जाता है, तो कैमरों से प्रतिबिंब निर्देशांक को सामान्य प्रतिबिंब तल के अनुकरण के लिए रूपांतरित किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को प्रतिबिंब सुधार कहा जाता है।

पुशब्रूम सेंसर की एपिपोलर ज्यामिती

पारंपरिक फ्रेम कैमरे के विपरीत, द्वि-आयामी सीसीडी का उपयोग करता है, जिसे पुश स्कैनर लंबी निरंतर प्रतिबिंब पट्टी बनाने के लिए एक-आयामी सीसीडी की सारणी को अपनाता है जिसे प्रतिबिंब काल कहा जाता है। इस सेंसर की एपिपोलर ज्यामिती पिनहोल प्रोजेक्शन कैमरों से अधिक अलग होते हैं। सबसे पहले पुशब्रूम सेंसर की एपिपोलर लाइन सीधी नहीं होती हैं, लेकिन हाइपरबोला जैसी वक्र सम्मिलित होते हैं। इसके लिए दूसरा, एपिपोलर 'वक्र' जोड़ी सम्मिलित नहीं होता हैं। चूंकि, कुछ विशेष परिस्थितियों में, उपग्रह चित्रों की एपिपोलर ज्यामिति को रेखीय प्रारूप के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

• 3 डी पुनर्निर्माण
• कई प्रतिबिम्बों से 3डी पुनर्निर्माण
• 3डी स्कैनर
• दूरबीन असमानता
• संपार्श्विक समीकरण
• फोटोग्रामेट्री
• आवश्यक आव्यूह, प्राथमिक आव्यूह
• ट्राइफोकल टेंसर

अग्रिम पठन

• Richard Hartley and Andrew Zisserman (2003). Multiple View Geometry in computer vision. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54051-8.

• Quang-Tuan Luong. "Learning Epipolar Geometry". Artificial Intelligence Center. SRI International. Retrieved 2007-03-04.

• Robyn Owens. "Epipolar geometry". Retrieved 2007-03-04.

• Linda G. Shapiro and George C. Stockman (2001). Computer Vision. Prentice Hall. pp. 395–403. ISBN 0-13-030796-3.

• Vishvjit S. Nalwa (1993). A Guided Tour of Computer Vision. Addison Wesley. pp. 216–240. ISBN 0-201-54853-4.

• Roberto Cipolla and Peter Giblin (2000). Visual motion of curves and surfaces. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-63251-X.