एफ़िन समतल

ज्यामिति में, एफ़िन प्लेन द्वि-आयामी affine अंतरिक्ष है।

उदाहरण

एफ़िन समतल के विशिष्ट उदाहरण हैं

• यूक्लिडियन तल, जो मीट्रिक (गणित), यूक्लिडियन दूरी से सुसज्जित वास्तविक संख्या से अधिक परिबद्ध तल हैं। रियल के ऊपर एफाइन प्लेन यूक्लिडियन विमान है जिसमें कोई मीट्रिक भूल गया है (अर्थात , कोई लंबाई की बात नहीं करता है और न ही कोण के उपायों की)।
• आयाम दो के वेक्टर रिक्त स्थान, जिसमें शून्य वेक्टर को अन्य तत्वों से अलग नहीं माना जाता है
• प्रत्येक क्षेत्र (गणित) या विभाजन वलय F के लिए, समुच्चय F^{F के तत्वों के जोड़े का 2}
• किसी भी प्रक्षेपी तल से किसी रेखा (और इस रेखा के सभी बिंदुओं) को हटाने का परिणाम#Affine तल

निर्देशांक और समरूपता

क्षेत्र पर परिभाषित सभी सजातीय तल समरूपता हैं। अधिक सटीक रूप से, क्षेत्र F पर affine समतल P के लिए affine निर्देशांक प्रणाली (या, वास्तविक मामले में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली) का चुनाव P और F के बीच affine तलों के समरूपता को प्रेरित करता है।^{2</उप>।}

अधिक सामान्य स्थिति में, जहां एफ़िन समतल को क्षेत्र पर परिभाषित नहीं किया जाता है, वे सामान्य रूप से आइसोमोर्फिक नहीं होंगे। ही गैर-कार्टेशियन विमान से उत्पन्न होने वाले दो एफाइन प्लेन | अलग-अलग लाइनों को हटाने से नॉन-डिसार्ग्यूजियन प्रोजेक्टिव प्लेन आइसोमोर्फिक नहीं हो सकता है।

परिभाषाएँ

औपचारिक रूप से एफ़िन समतल को परिभाषित करने के दो तरीके हैं, जो क्षेत्र में एफ़िन समतल के बराबर हैं। पहले वाले में एफाइन प्लेन को सेट के रूप में परिभाषित करना सम्मलित है, जिस पर डायमेंशन दो ग्रुप ्शन (गणित) का वेक्टर स्पेस होता है। सहजता से, इसका मतलब यह है कि सजातीय तल आयाम दो का सदिश स्थान है जिसमें कोई भूल गया है कि मूल कहाँ है। घटना ज्यामिति में, सजातीय तल (घटना ज्यामिति) को सिद्धांतों की प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं और रेखाओं की सार प्रणाली के रूप में परिभाषित किया गया है।

अनुप्रयोग

गणित के अनुप्रयोगों में, अधिकांशतः ऐसी स्थितियां होती हैं जहां यूक्लिडियन विमान के अतिरिक्त यूक्लिडियन मीट्रिक के बिना संबधित विमान का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के ग्राफ़ में, जिसे कागज पर खींचा जा सकता है, और जिसमें कण की स्थिति को समय के विरुद्ध प्लॉट किया जाता है, यूक्लिडियन मीट्रिक इसकी व्याख्या के लिए पर्याप्त नहीं है, क्योंकि इसके बिंदुओं के बीच की दूरी या माप इसकी रेखाओं के बीच के कोणों का, सामान्य रूप से, कोई भौतिक महत्व नहीं होता है (एफ़ाइन तल में अक्ष विभिन्न इकाइयों का उपयोग कर सकते हैं, जो तुलनीय नहीं हैं, और माप भी विभिन्न इकाइयों और पैमानों के साथ भिन्न होते हैं).

स्रोत

• Artin, Emil (1987), "II. Affine and Projective Geometry", Geometric Algebra, Interscience Publishers, ISBN 0-470-03432-7
• Blumenthal, Leonard M. (1980) [1961], "IV. Coordinates in an Affine Plane", A Modern View of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63962-2
• Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1977), "II. Affine and Projective Geometry", Linear Geometry (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90227-9
• Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989) [1971], Metric Affine Geometry, Dover, ISBN 0-486-66108-3
• Yale, Paul B. (1968), "Chapter 5 Affine Spaces", Geometry and Symmetry, Holden-Day