आवेश घनत्व

"Charge distribution" redirects here. This article is about the physical quantity in electromagnetism. For other uses see charge and density.

विद्युत चुंबकत्व में, आवेश घनत्व प्रति इकाई लंबाई, सतह क्षेत्र या आयतन में विद्युत आवेश की मात्रा है। आयतन आवेश घनत्व (यूनानी अक्षर ρ द्वारा दर्शाया गया) प्रति इकाई आयतन आवेश की मात्रा है, जिसे सिस्टम्स इंटरनेशनल प्रणाली में कूलम्ब प्रति घन मीटर (C⋅m) में मापा जाता है।⁻³), वॉल्यूम में किसी भी बिंदु पर। पृष्ठीय आवेश घनत्व (σ) प्रति इकाई क्षेत्र में आवेश की मात्रा है, जिसे कूलॉम प्रति वर्ग मीटर (C⋅m) में मापा जाता है^-2), दो आयामी सतह पर भूतल प्रभार के किसी भी बिंदु पर। रेखीय आवेश घनत्व (λ) प्रति इकाई लंबाई आवेश की मात्रा है, जिसे कूलॉम प्रति मीटर (C⋅m) में मापा जाता है^-1), लाइन चार्ज वितरण पर किसी भी बिंदु पर। आवेश घनत्व या तो धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, क्योंकि विद्युत आवेश धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

द्रव्यमान घनत्व की तरह, चार्ज घनत्व स्थिति के साथ भिन्न हो सकता है। शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में चार्ज घनत्व को स्थिति के निरंतरता (गणित) स्केलर (गणित) फ़ंक्शन के रूप में आदर्शित किया जाता है ${\boldsymbol {x}}$, तरल पदार्थ की तरह, और $\rho ({\boldsymbol {x}})$, $\sigma ({\boldsymbol {x}})$, और $\lambda ({\boldsymbol {x}})$ आम तौर पर निरंतर चार्ज वितरण के रूप में माना जाता है, भले ही सभी वास्तविक चार्ज वितरण असतत आवेशित कणों से बने होते हैं। विद्युत आवेश के संरक्षण के कारण, किसी भी आयतन में आवेश घनत्व केवल तभी बदल सकता है जब आवेश का विद्युत प्रवाह आयतन में या बाहर प्रवाहित हो। यह निरंतरता समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है जो चार्ज घनत्व के परिवर्तन की दर को जोड़ता है $\rho ({\boldsymbol {x}})$ और वर्तमान घनत्व ${\boldsymbol {J}}({\boldsymbol {x}})$.

चूँकि सभी आवेश उप-परमाण्विक कणों द्वारा वहन किए जाते हैं, जिन्हें बिंदुओं के रूप में आदर्श बनाया जा सकता है, सतत आवेश वितरण की अवधारणा सन्निकटन है, जो छोटी लंबाई के पैमाने पर गलत हो जाता है। आवेश वितरण अंततः बिना किसी आवेश वाले क्षेत्रों द्वारा अलग-अलग आवेशित कणों से बना होता है। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेशित धातु की वस्तु में आवेश धातु के क्रिस्टल लैटिस में बेतरतीब ढंग से चलने वाले [[चालन इलेक्ट्रॉन]]ों से बना होता है। स्थैतिक बिजली वस्तुओं की सतह पर आयनों से युक्त सतह के आवेशों के कारण होती है, और वेक्यूम - ट्यूब में अंतरिक्ष आवेश मुक्त इलेक्ट्रॉनों के बादल से बना होता है जो अंतरिक्ष में बेतरतीब ढंग से घूमता है। किसी चालक में आवेश वाहक घनत्व मोबाइल आवेश वाहकों (इलेक्ट्रॉनों, आयनों आदि) की प्रति इकाई आयतन की संख्या के बराबर होता है। किसी भी बिंदु पर चार्ज घनत्व चार्ज वाहक घनत्व के बराबर होता है जो कणों पर प्राथमिक चार्ज से गुणा होता है। हालाँकि, क्योंकि इलेक्ट्रॉन पर प्राथमिक आवेश इतना छोटा है (1.6⋅10^-19 C) और मैक्रोस्कोपिक आयतन में उनमें से बहुत सारे हैं (लगभग 10 हैं²² तांबे के घन सेंटीमीटर में चालन इलेक्ट्रॉन) मैक्रोस्कोपिक वॉल्यूम और यहां तक ​​कि नैनोमीटर स्तर से ऊपर के सूक्ष्म वॉल्यूम पर लागू होने पर निरंतर सन्निकटन बहुत सटीक होता है।

परमाणुओं और अणुओं के और भी छोटे पैमाने पर, क्वांटम यांत्रिकी के अनिश्चितता सिद्धांत के कारण, आवेशित कण की सटीक स्थिति नहीं होती है, लेकिन संभाव्यता वितरण द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए व्यक्तिगत कण का आवेश बिंदु पर केंद्रित नहीं होता है लेकिन अंतरिक्ष में 'स्मियर आउट' है और वास्तविक निरंतर चार्ज वितरण की तरह कार्य करता है। यह रसायन और रासायनिक बंधन में प्रयुक्त 'आवेश वितरण' और 'आवेश घनत्व' का अर्थ है। इलेक्ट्रॉन को तरंग क्रिया द्वारा दर्शाया जाता है $\psi ({\boldsymbol {x}})$ जिसका वर्ग किसी भी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता के समानुपाती होता है ${\boldsymbol {x}}$ अंतरिक्ष में, इसलिए $|\psi ({\boldsymbol {x}})|^{2}$ किसी भी बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के आवेश घनत्व के समानुपाती होता है। परमाणुओं और अणुओं में इलेक्ट्रॉनों का आवेश बादलों में वितरित किया जाता है जिन्हें परमाणु कक्षीय कहा जाता है जो परमाणु या अणु को घेरते हैं और रासायनिक बंधन के लिए जिम्मेदार होते हैं।

परिभाषाएँ

निरंतर शुल्क

निरंतर चार्ज वितरण। आयतन आवेश घनत्व ρ प्रति इकाई आयतन (तीन आयामी) आवेश की मात्रा है, सतह आवेश घनत्व σ प्रति इकाई सतह क्षेत्र (सर्कल) की मात्रा है जिसमें बाहरी इकाई सामान्य 'n̂' है, 'd' दो बिंदुओं के बीच का विद्युत द्विध्रुवीय क्षण है आवेश, इनका आयतन घनत्व ध्रुवीकरण घनत्व 'P' है। स्थिति सदिश 'r' विद्युत क्षेत्र की गणना के लिए बिंदु है; आवेशित वस्तु में 'र' बिंदु है।

निरंतर आवेश वितरण की परिभाषाएँ निम्नलिखित हैं।

रेखीय आवेश घनत्व अतिसूक्ष्म विद्युत आवेश dQ (SI इकाई: कूलॉम) का अतिसूक्ष्म रेखा तत्व से अनुपात है,

$$\lambda _{q}={\frac {dQ}{d\ell }}\,,$$

इसी तरह सतह चार्ज घनत्व सतह क्षेत्र तत्व dS का उपयोग करता है

$$\sigma _{q}={\frac {dQ}{dS}}\,,$$

और आयतन आवेश घनत्व आयतन तत्व dV का उपयोग करता है

$$\rho _{q}={\frac {dQ}{dV}}\,,$$

परिभाषाओं को एकीकृत करने से रैखिक चार्ज घनत्व λ के रेखा अभिन्न के अनुसार क्षेत्र का कुल चार्ज Q मिलता है_q(आर) रेखा या 1डी वक्र 'सी' पर,

$$Q=\int _{L}\lambda _{q}(\mathbf {r} )\,d\ell$$

इसी तरह सतह चार्ज घनत्व σ का सतही अभिन्न अंग_q(आर) सतह एस पर,

$$Q=\int _{S}\sigma _{q}(\mathbf {r} )\,dS$$

और वॉल्यूम चार्ज घनत्व ρ का मात्रा अभिन्न_q(आर) मात्रा 'वी' से अधिक,

$$Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV$$

जहां सबस्क्रिप्ट q यह स्पष्ट करने के लिए है कि घनत्व विद्युत आवेश के लिए है, न कि द्रव्यमान घनत्व, संख्या घनत्व, प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन जैसे अन्य घनत्वों के लिए, और तरंग दैर्ध्य, विद्युत प्रतिरोधकता के लिए विद्युत चुंबकत्व में λ, σ, ρ के कई अन्य उपयोगों के साथ संघर्ष को रोकता है। और चालकता।

विद्युत चुंबकत्व के संदर्भ में, सरलता के लिए आमतौर पर सबस्क्रिप्ट को हटा दिया जाता है: λ, σ, ρ। अन्य नोटेशन में शामिल हो सकते हैं: ρ_ℓ, आर_s, आर_v, आर_L, आर_S, आर_Vवगैरह।

कुल आवेश को लंबाई, सतह क्षेत्र, या आयतन से विभाजित करने पर औसत आवेश घनत्व होगा:

$$\langle \lambda _{q}\rangle ={\frac {Q}{\ell }}\,,\quad \langle \sigma _{q}\rangle ={\frac {Q}{S}}\,,\quad \langle \rho _{q}\rangle ={\frac {Q}{V}}\,.$$

फ्री, बाउंड और टोटल चार्ज

ढांकता हुआ सामग्री में, किसी वस्तु के कुल आवेश को मुक्त और बाध्य आवेशों में अलग किया जा सकता है।

बाउंड चार्ज लागू विद्युत क्षेत्र ई के जवाब में इलेक्ट्रिक डिप्लोल्स सेट करते हैं, और अन्य आस-पास के डिप्लोल्स को ध्रुवीकृत करते हैं जो उन्हें लाइन करने के लिए प्रवृत्त होते हैं, डिप्लोल्स के अभिविन्यास से चार्ज का शुद्ध संचय बाध्य चार्ज होता है। उन्हें बाध्य कहा जाता है क्योंकि उन्हें हटाया नहीं जा सकता: ढांकता हुआ पदार्थ में आवेश परमाणु नाभिक से बंधे इलेक्ट्रॉन होते हैं।

मुक्त आवेश वे अतिरिक्त आवेश होते हैं जो इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन में स्थानांतरित हो सकते हैं, अर्थात जब आवेश गतिमान नहीं होते हैं और परिणामी विद्युत क्षेत्र समय से स्वतंत्र होता है, या विद्युत धाराओं का गठन करता है।

कुल चार्ज घनत्व

आयतन आवेश घनत्व के संदर्भ में, कुल आवेश घनत्व है:

$$\rho =\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\,.$$

सतह चार्ज घनत्व के लिए:

$$\sigma =\sigma _{\text{f}}+\sigma _{\text{b}}\,.$$

जहां सबस्क्रिप्ट f और b क्रमशः मुक्त और बाध्य दर्शाते हैं।

बाउंड चार्ज

बाउंड सरफेस चार्ज वह चार्ज है जो डाइइलेक्ट्रिक की सतह पर ढेर हो जाता है, जो सतह के लम्बवत् द्विध्रुव आघूर्ण द्वारा दिया जाता है:

$$q_{b}={\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {\hat {n}} }{|\mathbf {s} |}}$$

जहाँ s द्विध्रुव बनाने वाले बिंदु आवेशों के बीच का अलगाव है, $\mathbf {d}$ विद्युत द्विध्रुवीय क्षण है, $\mathbf {\hat {n}}$ सतह के लिए इकाई सामान्य वेक्टर है।

अपरिमेय लेना:

$$dq_{b}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |}}\cdot \mathbf {\hat {n}}$$

और अंतर सतह तत्व dS द्वारा विभाजित करने से बाध्य सतह चार्ज घनत्व मिलता है:

$$\sigma _{b}={\frac {dq_{b}}{dS}}={\frac {d\mathbf {d} }{|\mathbf {s} |dS}}\cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {d\mathbf {d} }{dV}}\cdot \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,.$$

जहां पी ध्रुवीकरण घनत्व है, यानी सामग्री के भीतर विद्युत द्विध्रुवीय क्षणों का घनत्व, और 'डीवी' अंतर मात्रा तत्व है। विचलन प्रमेय का उपयोग करते हुए, सामग्री के भीतर बाध्य आयतन आवेश घनत्व है

$$q_{b}=\int \rho _{b}\,dV=-\oint _{S}\mathbf {P} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,dS=-\int \nabla \cdot \mathbf {P} \,dV$$

इस तरह:

$$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} \,.$$

द्विध्रुवों में आवेशों पर विपरीत चिह्नों के कारण ऋणात्मक चिन्ह उत्पन्न होता है, सिरा वस्तु के आयतन के भीतर होता है, दूसरा सतह पर।

एक अधिक कठोर व्युत्पत्ति नीचे दी गई है।

Derivation of bound surface and volume charge densities from internal dipole moments (bound charges)

The electric potential due to a dipole moment d is:

$$\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {d} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$$

For a continuous distribution, the material can be divided up into infinitely many infinitesimal dipoles

$$d\mathbf {d} =\mathbf {P} dV=\mathbf {P} d^{3}\mathbf {r}$$

where dV = d³r′ is the volume element, so the potential is the volume integral over the object:

$$\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}d^{3}\mathbf {r'}$$

Since

$$\nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\equiv \left(\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x'}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y'}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z'}}\right)\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}$$

where ∇′ is the gradient in the r′ coordinates,

$$\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \mathbf {P} \cdot \nabla '\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)d^{3}\mathbf {r'}$$

Integrating by parts

$$\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint \left[\nabla '\cdot \left({\frac {\mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-{\frac {1}{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}}(\nabla '\cdot \mathbf {P} )\right]d^{3}\mathbf {r'}$$

using the divergence theorem:

$\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ ${\scriptstyle S}$ ${\frac {\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\nabla '\cdot \mathbf {P} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'}$

which separates into the potential of the surface charge (surface integral) and the potential due to the volume charge (volume integral):

$\varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$ ${\scriptstyle S}$ ${\frac {\sigma _{b}dS'}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {\rho _{b}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r'}$

that is

$$\sigma _{b}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,,\quad \rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$$

फ्री चार्ज डेंसिटी

मुक्त आवेश घनत्व बिजली के लिए गॉस के नियम में उपयोगी सरलीकरण के रूप में कार्य करता है; इसका आयतन अभिन्न आवेशित वस्तु में संलग्न मुक्त आवेश है - वस्तु से निकलने वाले विद्युत विस्थापन क्षेत्र D के शुद्ध प्रवाह के बराबर:

$\Phi _{D}=$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {n}} dS=\iiint \rho _{f}dV$

अधिक जानकारी के लिए मैक्सवेल के समीकरण और संवैधानिक संबंध देखें।

सजातीय चार्ज घनत्व

समरूपता (भौतिकी) चार्ज घनत्व ρ के विशेष मामले के लिए₀, स्थिति से स्वतंत्र यानी सामग्री के पूरे क्षेत्र में स्थिर, समीकरण को सरल करता है:

$$Q=V\rho _{0}.$$

प्रमाण

निरंतर आयतन आवेश घनत्व की परिभाषा के साथ प्रारंभ करें:

$$Q=\int _{V}\rho _{q}(\mathbf {r} )\,dV.$$

फिर, एकरूपता की परिभाषा के अनुसार, ρ_q(आर) ρ द्वारा निरूपित स्थिरांक है_{q, 0} (निरंतर और गैर-निरंतर घनत्वों के बीच अंतर करने के लिए), और इसलिए अभिन्न के गुणों से अभिन्न के बाहर खींचा जा सकता है जिसके परिणामस्वरूप:

$$Q=\rho _{q,0}\int _{V}\,dV=\rho _{0}V$$

इसलिए,

$$Q=V\rho _{q,0}.$$

रेखीय आवेश घनत्व और पृष्ठीय आवेश घनत्व के लिए समतुल्य प्रमाण उपरोक्त के समान तर्कों का पालन करते हैं।

असतत शुल्क

स्थिति 'r' पर एकल बिंदु आवेश q के लिए₀ 3डी स्थान R के क्षेत्र के अंदर, इलेक्ट्रॉन की तरह, आयतन आवेश घनत्व को डिराक डेल्टा समारोह द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

$$\rho _{q}(\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})$$

जहाँ r आवेश की गणना करने की स्थिति है।

हमेशा की तरह, अंतरिक्ष के क्षेत्र पर चार्ज घनत्व का अभिन्न हिस्सा उस क्षेत्र में निहित चार्ज होता है। डेल्टा फ़ंक्शन में किसी भी फ़ंक्शन f के लिए सिफ्टिंग प्रॉपर्टी है:

$$\int _{R}d^{3}\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=f(\mathbf {r} _{0})$$

इसलिए डेल्टा फ़ंक्शन यह सुनिश्चित करता है कि जब चार्ज घनत्व R पर एकीकृत होता है, तो R में कुल चार्ज q होता है:

$$Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\rho _{q}=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \,\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=q$$

इसे N असतत बिंदु-जैसे आवेश वाहकों तक बढ़ाया जा सकता है। बिंदु 'r' पर निकाय का आवेश घनत्व प्रत्येक आवेश q के आवेश घनत्व का योग होता है_iस्थिति 'आर' पर_i, कहाँ i = 1, 2, ..., N:

$$\rho _{q}(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})$$

प्रत्येक चार्ज q के लिए डेल्टा फ़ंक्शन_iयोग में, δ('r' − 'r'_i), आर पर चार्ज घनत्व का अभिन्न अंग सुनिश्चित करता है, आर में कुल चार्ज लौटाता है:

$$Q=\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}\int _{R}d^{3}\mathbf {r} \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})=\sum _{i=1}^{N}\ q_{i}$$

यदि सभी आवेश वाहकों पर समान आवेश q है (इलेक्ट्रॉनों के लिए q = -e, इलेक्ट्रॉन आवेश) तो आवेश घनत्व को प्रति इकाई आयतन में आवेश वाहकों की संख्या, n('r') द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

$$\rho _{q}(\mathbf {r} )=qn(\mathbf {r} )\,.$$

रैखिक और सतह आवेश घनत्वों के लिए समान समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

विशेष सापेक्षता में चार्ज घनत्व

Further information: classical electromagnetism and special relativity and relativistic electromagnetism

विशेष सापेक्षता में, तार के खंड की लंबाई लंबाई के संकुचन के कारण प्रेक्षक के वेग पर निर्भर करती है, इसलिए आवेश घनत्व भी वेग पर निर्भर करेगा। एंथोनी फ्रेंच ने वर्णन किया है कि इस सापेक्ष चार्ज घनत्व से वर्तमान-असर वाले तार का चुंबकीय क्षेत्र बल कैसे उत्पन्न होता है। उन्होंने यह दिखाने के लिए (पृष्ठ 260) मिन्कोस्की आरेख का उपयोग किया कि कैसे तटस्थ वर्तमान-असर तार चलती फ्रेम में देखे गए शुद्ध चार्ज घनत्व को ले जाने के लिए प्रकट होता है। जब चार्ज घनत्व को संदर्भ के चलते फ्रेम में मापा जाता है तो इसे उचित चार्ज घनत्व कहा जाता है। यह पता चलता है कि चार्ज घनत्व ρ और वर्तमान घनत्व 'J' साथ लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत चार-वर्तमान वेक्टर के रूप में रूपांतरित होते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में चार्ज घनत्व

Main article: quantum mechanics

क्वांटम यांत्रिकी में, चार्ज घनत्व ρ_q समीकरण द्वारा वेवफंक्शन ψ('r') से संबंधित है

$$\rho _{q}(\mathbf {r} )=q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}$$

जहाँ q कण का आवेश है और |ψ(r)|² = ψ*(r)ψ(r) प्रायिकता घनत्व फलन है अर्थात r पर स्थित कण की प्रति इकाई आयतन की संभावना।

जब वेवफंक्शन सामान्यीकृत होता है - क्षेत्र r ∈ R में औसत आवेश होता है

$$Q=\int _{R}q|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r}$$

जहां घ³r 3डी स्थिति स्थान पर एकीकरण और माप सिद्धांत विषयों की सूची है।

आवेदन

आवेश घनत्व विद्युत प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण#विद्युत चुंबकत्व और मैक्सवेल के समीकरणों में भी प्रकट होता है। यह विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का प्रमुख स्रोत शब्द है; जब चार्ज वितरण चलता है, तो यह वर्तमान घनत्व के अनुरूप होता है। अणुओं का आवेश घनत्व रासायनिक और पृथक्करण प्रक्रियाओं को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, आवेश घनत्व धातु-धातु बंधन और हाइड्रोजन बंधन को प्रभावित करता है। नैनोफिल्टरेशन जैसी पृथक्करण प्रक्रियाओं के लिए, आयनों का आवेश घनत्व झिल्ली द्वारा उनकी अस्वीकृति को प्रभावित करता है।

यह भी देखें

• चार्ज घनत्व और वर्तमान घनत्व से संबंधित निरंतरता समीकरण
• आयनिक क्षमता
• चार्ज घनत्व तरंग

संदर्भ

• A. Halpern (1988). 3000 Solved Problems in Physics. Schaum Series, Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-025734-4.
• G. Woan (2010). The Cambridge Handbook of Physics Formulas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57507-2.
• P. A. Tipler, G. Mosca (2008). Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th ed.). Freeman. ISBN 978-0-7167-8964-2.
• R.G. Lerner, G.L. Trigg (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC publishers. ISBN 978-0-89573-752-6.
• C.B. Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC publishers. ISBN 978-0-07-051400-3.

बाहरी संबंध

• [1] - Spatial charge distributions