बीआईबीओ स्थिरता

सिग्नल प्रोसेसिंग में, विशेष रूप से नियंत्रण सिद्धांत बाउंड-इनपुट बाउंड-आउटपुट (बीआईबीओ) स्थिरता नियंत्रण सिद्धांत का एक रूप सिग्नल (सूचना सिद्धांत) और नियंत्रण प्रणाली के लिए स्थिरता है। जो इनपुट लेती है। यदि कोई प्रणाली बीआईबीओ स्थिर है, तो आउटपुट प्रणाली के प्रत्येक इनपुट के लिए परिबद्ध समारोह होगा। जो कि बाउंड है।

परिमित मूल्य होने पर एक संकेत बाध्य होता है $B>0$ जैसे कि सिग्नल परिमाण कभी भी अधिक नहीं होता है $B$, वह है

असतत-समय संकेतों के लिए: $\ |y[n]|\leq B\quad {\text{for all }}n\in \mathbb {Z} .$

निरंतर समय संकेतों के लिए: $\ |y(t)|\leq B\quad {\text{for all }}t\in \mathbb {R} .$

लीनियर टाइम-इनवेरिएंट सिस्टम्स के लिए टाइम-डोमेन कंडीशन

निरंतर-समय आवश्यक और पर्याप्त स्थिति

एक सतत कार्य एलटीआई प्रणाली सिद्धांत के लिए | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली, बीआईबीओ स्थिरता के लिए शर्त यह है कि आवेग प्रतिक्रिया, $h(t)$ , पी-अभिन्न कार्य हो, यानी इसका एलपी स्पेस | एल¹ मानदंड मौजूद है।

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}<\infty$

असतत-समय पर्याप्त स्थिति

असतत समय एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए शर्त यह है कि आवेग प्रतिक्रिया पी-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन हो, यानी, इसकी $\ell ^{1}$ एलपी स्पेस मौजूद है।

$\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}<\infty$

पर्याप्तता का प्रमाण

आवेग प्रतिक्रिया के साथ असतत गणित समय LTI प्रणाली को देखते हुए $\ h[n]$ इनपुट के बीच संबंध $\ x[n]$ और आउटपुट $\ y[n]$ है

$\ y[n]=h[n]*x[n]$

कहाँ $*$ कनवल्शन को दर्शाता है। इसके बाद यह कनवल्शन की परिभाषा के अनुसार होता है

$\ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]$

होने देना $\|x\|_{\infty }$ का अधिकतम मूल्य हो $\ |x[n]|$, यानी, सर्वोच्च मानदंड$L_{\infty }$-आदर्श।

$\left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|$

$\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|$ (त्रिकोण असमानता द्वारा)

${\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}$

अगर $h[n]$ तो बिल्कुल योगनीय है $\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty$ और

$\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}$

तो यदि $h[n]$ बिल्कुल योगनीय है और $\left|x[n]\right|$ बंधा हुआ है, तो $\left|y[n]\right|$ साथ ही बाध्य है क्योंकि $\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty .$ निरंतर-समय के लिए प्रमाण समान तर्कों का अनुसरण करता है।

लीनियर टाइम-इनवेरिएंट सिस्टम्स के लिए फ्रीक्वेंसी-डोमेन कंडीशन

निरंतर-समय संकेत

एक परिमेय फलन और सतत फलन|निरंतर-समय प्रणाली के लिए, स्थिरता की शर्त यह है कि लाप्लास परिवर्तन के अभिसरण के क्षेत्र (आरओसी) में जटिल तल शामिल है। जब प्रणाली कारण प्रणाली होता है, तो ROC एक ऊर्ध्वाधर रेखा के दाईं ओर खुला क्षेत्र होता है जिसका भुज सबसे बड़े ध्रुव का वास्तविक भाग होता है, या ध्रुव (जटिल विश्लेषण) जिसमें प्रणाली में किसी भी ध्रुव का सबसे बड़ा वास्तविक भाग होता है . ROC को परिभाषित करने वाले सबसे बड़े ध्रुव के वास्तविक भाग को अभिसरण का भुज कहा जाता है। इसलिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए प्रणाली के सभी पोल रों विमान के सख्त बाएं आधे हिस्से में होने चाहिए।

यह स्थिरता स्थिति उपरोक्त टाइम-डोमेन स्थिति से निम्नानुसार प्राप्त की जा सकती है:

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(1\cdot e)^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)(e^{\sigma +j\omega })^{-t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-st}\right|\,dt\end{aligned}}$

कहाँ $s=\sigma +j\omega$ और $\operatorname {Re} (s)=\sigma =0.$ अभिसरण के क्षेत्र में इसलिए जटिल विमान शामिल होना चाहिए।

असतत समय संकेत

एक तर्कसंगत कार्य और असतत संकेत के लिए, स्थिरता के लिए शर्त यह है कि z-परिणत के लाप्लास ट्रांसफॉर्म # रीजन ऑफ कन्वर्जेंस (आरओसी) में यूनिट सर्कल शामिल है। जब प्रणाली कॉसल प्रणाली होता है, तो ROC एक सर्कल के बाहर खुला क्षेत्र होता है, जिसकी त्रिज्या सबसे बड़े परिमाण के साथ ध्रुव (जटिल विश्लेषण) का परिमाण है। इसलिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए प्रणाली के सभी ध्रुवों को जेड-ट्रांसफॉर्म | जेड-प्लेन में यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए।

यह स्थिरता की स्थिति निरंतर-समय व्युत्पत्ति के समान फैशन में प्राप्त की जा सकती है:

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot e)^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](re^{j\omega })^{-n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]z^{-n}\right|\end{aligned}}$

कहाँ $z=re^{j\omega }$ और $r=|z|=1$.

लाप्लास रूपांतरण # अभिसरण के क्षेत्र में इसलिए यूनिट सर्कल शामिल होना चाहिए।

यह भी देखें

• एलटीआई प्रणाली सिद्धांत
• परिमित आवेग प्रतिक्रिया | परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) फ़िल्टर
• अनंत आवेग प्रतिक्रिया | अनंत आवेग प्रतिक्रिया (IIR) फ़िल्टर
• न्यक्विस्ट प्लॉट
• राउत-हर्विट्ज स्थिरता मानदंड
• बोडे प्लॉट # गेन मार्जिन और फेज मार्जिन
• चरण मार्जिन
• रूट लोकस
• इनपुट-टू-स्टेट स्थिरता

अग्रिम पठन

• Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
• John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
• D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
• Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
• Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577