रैखिक बहुपद

गणित में, एक रैखिक बहुपद (या क्यू-बहुपद) एक बहुपद है जिसके लिए सभी घटक एकपद के घातांक क्यू की शक्ति (गणित) हैं और गुणांक परिमित के कुछ विस्तार क्षेत्र से आते हैं। आदेश का क्षेत्र क्यू।

हम एक विशिष्ट उदाहरण लिखते हैं

$$L(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{q^{i}},$$

जहां प्रत्येक $a_{i}$ में है $F_{q^{m}}(=\operatorname {GF} (q^{m}))$ कुछ निश्चित सकारात्मक पूर्णांक के लिए $m$.

बहुपदों का यह विशेष वर्ग सैद्धांतिक और अनुप्रयोग दोनों दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण है। किसी कार्य के मूल की अत्यधिक संरचित प्रकृति इन जड़ों को निर्धारित करना आसान बनाती है।

गुण

• वो नक्शा x ↦ L(x) एफ वाले किसी भी क्षेत्र (गणित) पर एक रेखीय नक्शा है_क्यू.
• एल की जड़ों का सेट (गणित) एक 'एफ' है_क्यू-सदिश स्थल और क्यू-फ्रोबेनियस नक्शा के तहत बंद है।
• इसके विपरीत, यदि यू कोई 'एफ' है_क्यू एफ युक्त कुछ परिमित क्षेत्र के रैखिक उप-स्थान_क्यू, तो वह बहुपद जो यू पर बिल्कुल लुप्त हो जाता है, एक रैखिक बहुपद है।
• किसी दिए गए क्षेत्र पर रैखिककृत बहुपदों का सेट बहुपदों के जोड़ और कार्य संरचना के तहत बंद है।
• यदि एल एक शून्येतर रैखिक बहुपद है $F_{q^{n}}$ जिसकी सारी जड़ें खेत में पड़ी हों $F_{q^{s}}$ का एक विस्तार क्षेत्र $F_{q^{n}}$, तो एल के प्रत्येक मूल की समान बहुलता है, जो या तो एक है, या क्यू की धनात्मक घात है।

प्रतीकात्मक गुणन

सामान्य तौर पर, दो रैखिक बहुपदों का गुणनफल एक रैखिककृत बहुपद नहीं होगा, लेकिन चूंकि दो रैखिककृत बहुपदों की रचना के परिणामस्वरूप एक रैखिक बहुपद होता है, रचना को गुणन के प्रतिस्थापन के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है और, इस कारण से, रचना को अक्सर प्रतीकात्मक कहा जाता है इस सेटिंग में गुणन। सांकेतिक रूप से, यदि एल_एक(एक्स) और एल_दो(एक्स) रैखिक बहुपद हैं जिन्हें हम परिभाषित करते हैं

$$L_{1}(x)\otimes L_{2}(x)=L_{1}(L_{2}(x))$$

जब यह दृष्टिकोण लिया जा रहा है।

संबंधित बहुपद

बहुपद L(x) और

$$l(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$$

क्यू-एसोसिएट्स हैं (ध्यान दें: एक्सपोनेंट्स क्यू^{एल(एक्स) के i} को एल(एक्स) में i से बदल दिया गया है)। विशेष रूप से, एल(एक्स) को एल(एक्स) का पारंपरिक क्यू-सहयोगी कहा जाता है, और एल(एक्स) एल(एक्स) का रैखिकीकृत क्यू-सहयोगी है।

क्यू-बहुपद 'एफ' पर_क्यू

एफ में गुणांकों के साथ रेखीयकृत बहुपद_क्यू अतिरिक्त गुण हैं जो प्रतीकात्मक विभाजन, प्रतीकात्मक न्यूनीकरण और प्रतीकात्मक गुणनखंड को परिभाषित करना संभव बनाते हैं। इस प्रकार के रैखिक बहुपद के दो महत्वपूर्ण उदाहरण फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म हैं $x\mapsto x^{q}$ और ट्रेस फ़ंक्शन ${\textstyle \operatorname {Tr} (x)=\sum _{i=0}^{n-1}x^{q^{i}}.}$ इस विशेष मामले में यह दिखाया जा सकता है कि, एक ऑपरेशन (गणित) के रूप में, प्रतीकात्मक गुणन क्रमविनिमेय गुण, साहचर्य और वितरणात्मक गुण साधारण योग से अधिक है। इसके अलावा, इस विशेष मामले में, हम सांकेतिक विभाजन के संचालन को परिभाषित कर सकते हैं। अगर एल(एक्स) और एल_एक(एक्स) 'एफ' पर रैखिक बहुपद हैं_क्यू, हम कहते हैं कि एल_एक(एक्स) प्रतीकात्मक रूप से एल (एक्स) को विभाजित करता है यदि एक रैखिक बहुपद एल मौजूद है_दो(एक्स) 'एफ' से अधिक_क्यू जिसके लिए:

$$L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x).$$

अगर एल_एक(एक्स) और एल_दो(एक्स) 'एफ' पर रैखिक बहुपद हैं_क्यू पारंपरिक क्यू-सहयोगियों एल के साथ_एक(एक्स) और एल_दो(एक्स) क्रमशः, फिर एल_एक(एक्स) प्रतीकात्मक रूप से एल को विभाजित करता है_दो(एक्स) अगर और केवल अगर एल_एक(एक्स) एल को विभाजित करता है_दो(एक्स)। आगे, एल_एक(एक्स) एल को विभाजित करता है_दो(एक्स) इस मामले में सामान्य अर्थों में। 'एफ' पर एक रैखिक बहुपद एल(एक्स)_क्यू एक बहुपद की डिग्री> एक 'एफ' पर प्रतीकात्मक रूप से अलघुकरणीय है_क्यू यदि केवल प्रतीकात्मक अपघटन

$$L(x)=L_{1}(x)\otimes L_{2}(x),$$

एल के साथ_i एफ पर_क्यू वे हैं जिनके लिए कारकों में से एक की डिग्री एक है। ध्यान दें कि एक प्रतीकात्मक रूप से अलघुकरणीय बहुपद हमेशा सामान्य अर्थों में कम करने योग्य बहुपद होता है क्योंकि डिग्री के किसी भी रैखिक बहुपद > एक में गैर-कारक एक्स होता है। 'एफ' पर एक रैखिक बहुपद एल(एक्स)_क्यू सांकेतिक रूप से अप्रासंगिक है अगर और केवल अगर इसका पारंपरिक क्यू-एसोसिएट एल (एक्स) 'एफ' पर इरेड्यूसेबल है_क्यू.

'एफ' पर प्रत्येक क्यू-बहुपद एल(एक्स)_क्यू डिग्री का > एक का 'एफ' पर प्रतीकात्मक रूप से अलघुकरणीय बहुपदों में एक प्रतीकात्मक गुणनखंड है_क्यू और यह गुणनखंड अनिवार्य रूप से अद्वितीय है (कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने और एफ के गैर-शून्य तत्वों से गुणा करने तक)।_क्यू.)

उदाहरण के लिए, दो-बहुपद एल(एक्स) = एक्स पर विचार करें^एक6 + एक्स⁸ + एक्स^दो + एक्स ओवर 'एफ'_दो और इसका पारंपरिक दो-सहयोगी एल(एक्स) = एक्स⁴ + एक्स³ + एक्स + एक. एल(एक्स) = (एक्स) के इरेड्यूसिबल में गुणनखंड^दो + एक्स + एक)(एक्स + एक)^दो एफ में_दो[एक्स], प्रतीकात्मक गुणनखंड देता है

$$L(x)=(x^{4}+x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x)\otimes (x^{2}+x).$$

अफिन बहुपद

मान लीजिए कि एल एक रैखिक बहुपद है $F_{q^{n}}$. रूप का एक बहुपद $A(x)=L(x)-\alpha {\text{ for }}\alpha \in F_{q^{n}},$ एक सजातीय बहुपद है $F_{q^{n}}$.

प्रमेय: यदि ए एक शून्येतर सजातीय बहुपद है $F_{q^{n}}$ जिसकी सारी जड़ें खेत में पड़ी हों $F_{q^{s}}$ का एक विस्तार क्षेत्र $F_{q^{n}}$, तो ए के प्रत्येक मूल की समान बहुलता है, जो या तो एक है, या क्यू की धनात्मक घात है।

संदर्भ

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite fields. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 20 (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4. Zbl 0866.11069.
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Handbook of Finite Fields, Discrete Mathematics and its Applications, Boca Raton: CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6