वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत)

गणित में, वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत) की धारणा वास्तविक संख्या और समिश्र संख्या संख्याओं के क्षेत्र (बीजगणित) में परिभाषित वस्तुओं से संबंधित है। एक वास्तविक लाई बीजगणित g₀ समिश्र लाई बीजगणित g का वास्तविक रूप कहा जाता है यदि g, g₀ का समिश्रीकरण है:

${\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .$

समिश्र लाई समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को भी परिभाषित किया जा सकता है। समिश्र अर्ध-सरल लाई समूहों और लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को एली कार्टन द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।

लाईे समूहों और बीजगणितीय समूहों के लिए वास्तविक रूप

लाई समूहों और लाई बीजगणितीय समूहों के बीच लाईे का पत्राचार उपयोग करते हुए, लाई समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के स्थितियों में, समिश्र और वास्तविक रूप की धारणाओं का बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में स्वाभाविक वर्णन है।

वर्गीकरण

Main article: List of simple Lie groups

जिस तरह समिश्र अर्धसरल लाई बीजगणित को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को सैटेक आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो समिश्र रूप के डायनकिन आरेख से कुछ शीर्षों को काला (भरा हुआ) लेबल करके प्राप्त किया जाता है, और कुछ अन्य को जोड़ता है। कुछ नियमों के अनुसार, तीरों द्वारा जोड़े में कोने।

यह समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत में एक बुनियादी तथ्य है कि इस तरह के प्रत्येक बीजगणित के दो विशेष वास्तविक रूप होते हैं: एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है और लाई पत्राचार के तहत एक कॉम्पैक्ट लाई समूह से मेल खाता है (इसका साटेक आरेख सभी कोने काला कर दिया गया है) , और दूसरा विभाजित वास्तविक रूप है और एक लाई समूह से मेल खाता है जो कॉम्पैक्ट होने से जितना संभव हो सके (इसके साटेक आरेख में कोई काला नहीं है और कोई तीर नहीं है)। समिश्र विशेष रैखिक समूह SL(n,C) के मामले में, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप विशेष एकात्मक समूह SU(n) और विभाजित वास्तविक रूप है वास्तविक विशेष रेखीय समूह SL(n,R) है। अर्ध-सरल ले बीजगणित के वास्तविक रूपों का वर्गीकरण एली कार्टन द्वारा रीमैनियन सममित रिक्त स्थान के संदर्भ में पूरा किया गया था। सामान्य तौर पर, दो से अधिक वास्तविक रूप हो सकते हैं।

मान लीजिए कि 'जी'₀ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित है। कार्टन की कसौटी के अनुसार, किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट है, और विकर्ण प्रविष्टियों +1 या -1 के साथ एक उपयुक्त आधार पर विकर्ण किया जा सकता है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से, धनात्मक प्रविष्टियों की संख्या, या जड़त्व का धनात्मक सूचकांक, द्विरेखीय रूप का एक अपरिवर्तनीय है, अर्थात यह विकर्णीय आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। यह 0 और जी के आयाम के बीच की एक संख्या है जो वास्तविक लाई बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है, जिसे इसका 'सूचकांक' कहा जाता है।

वास्तविक रूप विभाजित करें

See also: Split Lie algebra

साकार रूप जी₀ एक परिमित-आयामी समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित जी को 'स्प्लिट लाइ बीजगणित' या 'सामान्य' कहा जाता है, यदि प्रत्येक कार्टन अपघटन जी में₀ = के₀⊕ प₀, अंतरिक्ष पी₀ g का अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा होता है₀, यानी इसका यह सबलजेब्रा परीक्षण एली कार्टन ने साबित किया कि प्रत्येक समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित जी का एक विभाजित वास्तविक रूप है, जो समरूपता तक अद्वितीय है। सभी वास्तविक रूपों में इसका अधिकतम सूचकांक है।

स्प्लिट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें कोई शीर्ष काला नहीं होता है और कोई तीर नहीं होता है।

कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप

See also: Compact Lie algebra

एक वास्तविक लाई बीजगणित जी₀ कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कहा जाता है यदि मारक रूप नकारात्मक निश्चित है, यानी 'जी' का सूचकांक₀ शून्य है। इस मामले में जी₀= कश्मीर₀ एक कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित है। यह ज्ञात है कि लाई पत्राचार के तहत, कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कॉम्पैक्ट लाई समूहों के अनुरूप है।

कॉम्पैक्ट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें सभी कोने काले होते हैं।

सघन वास्तविक रूप का निर्माण

सामान्य तौर पर, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का निर्माण अर्धसरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत का उपयोग करता है। शास्त्रीय लाई बीजगणित के लिए एक अधिक स्पष्ट निर्माण है।

चलो जी₀ ट्रांसपोज़ मैप के तहत बंद होने वाले आर पर मैट्रिसेस का वास्तविक लाई बीजगणित हो,

$X\to {X}^{t}.$

फिर जी₀ इसके तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित भाग k के प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है₀ और इसका सममित मैट्रिक्स पी₀, यह कार्टन अपघटन है:

${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.$

जी का समिश्रता जी₀ जी के प्रत्यक्ष योग में विघटित₀ और आईजी₀. मैट्रिसेस का वास्तविक वेक्टर स्थान

${\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}$

कॉम्प्लेक्स लाई बीजगणित जी का एक उप-स्थान है जो कम्यूटेटर के तहत बंद है और इसमें तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स | तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस शामिल हैं। यह इस प्रकार है कि यू₀ जी का एक वास्तविक लाई सबलजेब्रा है, कि इसका किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित है (इसे एक कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित बनाता है), और यह कि यू का समिश्रीकरण₀ जी है इसलिए, यू₀ जी. का संक्षिप्त रूप है।

यह भी देखें

• समिश्रता (लेट ग्रुप)

संदर्भ

• Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Knapp, Anthony (2004), Lie Groups: Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5