रेखा-गोलाकार चौराहा

तीन संभावित रेखा-क्षेत्र चौराहा:
1. कोई चौराहा नहीं।
2. बिंदु चौराहा।
3. दो बिंदु चौराहा।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक रेखा (गणित) और एक गोला तीन तरीकों से प्रतिच्छेद कर सकता है:

1. कोई चौराहा नहीं
2. बिल्कुल एक बिंदु में चौराहा
3. दो बिंदुओं में चौराहा।

इन मामलों को अलग करने के तरीके, और बाद के मामलों में बिंदुओं के लिए निर्देशांक निर्धारित करना, कई परिस्थितियों में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, किरण अनुरेखण (ग्राफिक्स) के दौरान प्रदर्शन करना एक सामान्य गणना है।

इन मामलों को अलग करने के तरीके, और बाद के मामलों में बिंदुओं के लिए निर्देशांक निर्धारित करना, कई परिस्थितियों में उपयोगी होते हैं।

3डी में वैक्टर का उपयोग कर गणना

सदिश संकेतन में, समीकरण इस प्रकार हैं:

गोले के लिए समीकरण

$\left\Vert \mathbf {x} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}$

• $\mathbf {x}$ : गोले पर बिंदु
• $\mathbf {c}$ : केंद्र बिंदु
• $r$ : गोले की त्रिज्या

से शुरू होने वाली रेखा के लिए समीकरण $\mathbf {o}$

$\mathbf {x} =\mathbf {o} +d\mathbf {u}$

• $\mathbf {x}$ : रेखा पर बिंदु
• $\mathbf {o}$ : रेखा की उत्पत्ति
• $d$ : रेखा की उत्पत्ति से दूरी
• $\mathbf {u}$ : रेखा की दिशा (एक गैर-शून्य वेक्टर)

उन बिंदुओं की खोज करना जो रेखा पर हैं और गोले पर हैं, का अर्थ है समीकरणों को जोड़ना और हल करना $d$, वैक्टर के डॉट उत्पाद को शामिल करना:

संयुक्त समीकरण

$\left\Vert \mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}=r^{2}\Leftrightarrow (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} +d\mathbf {u} -\mathbf {c} )=r^{2}$

विस्तारित और पुनर्व्यवस्थित:

$d^{2}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+2d[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]+(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=0$

द्विघात सूत्र का रूप अब देखने योग्य है। (यह द्विघात समीकरण जोआचिमस्थल के समीकरण का एक उदाहरण है।)

$ad^{2}+bd+c=0$

कहाँ

• $a=\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}$
• $b=2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]$
• $c=(\mathbf {o} -\mathbf {c} )\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )-r^{2}=\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2}$

सरलीकृत

$d={\frac {-2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(2[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )])^{2}-4\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{2\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}={\frac {-[\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {(\mathbf {u} \cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} ))^{2}-\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})}}}{\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}}}$

ध्यान दें कि विशिष्ट मामले में जहां $\mathbf {u}$ एक इकाई वेक्टर है, और इस प्रकार $\left\Vert \mathbf {u} \right\Vert ^{2}=1$, हम इसे और सरल कर सकते हैं (लिखने के लिए ${\hat {\mathbf {u} }}$ के बजाय $\mathbf {u}$ एक इकाई वेक्टर इंगित करने के लिए):

$\nabla =[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]^{2}-(\left\Vert \mathbf {o} -\mathbf {c} \right\Vert ^{2}-r^{2})$

$d=-[{\hat {\mathbf {u} }}\cdot (\mathbf {o} -\mathbf {c} )]\pm {\sqrt {\nabla }}$

• अगर $\nabla <0$, तो यह स्पष्ट है कि कोई समाधान मौजूद नहीं है, अर्थात रेखा गोले को नहीं काटती है (केस 1)।
• अगर $\nabla =0$, तो वास्तव में एक समाधान मौजूद है, यानी रेखा सिर्फ एक बिंदु (केस 2) में गोले को छूती है।
• अगर $\nabla >0$, दो समाधान मौजूद हैं, और इस प्रकार रेखा दो बिंदुओं (केस 3) में गोले को छूती है।

यह भी देखें

• चौराहा (ज्यामिति) ए लाइन और एक वृत्त
• विश्लेषणात्मक ज्यामिति
• लाइन-प्लेन चौराहा
• प्लेन-प्लेन चौराहा
• विमान-गोलाकार चौराहा