स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण)

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, परिबद्ध संचालिका (या, अधिक सामान्यतः, असीमित संचालक) का स्पेक्ट्रम आव्युह (गणित) के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय का सामान्यीकरण है। विशेष रूप से, जटिल संख्या $\lambda$ परिबद्ध रैखिक संकारक $T$ के स्पेक्ट्रम में होना कहा जाता है यदि $T-\lambda I$

• या तो कोई सेट-सैद्धांतिक प्रतिलोम फलन नहीं है;
• या सेट-सैद्धांतिक व्युत्क्रम या तो असीमित है या गैर-सघन उपसमुच्चय पर परिभाषित है।

यहाँ, $I$ पहचान संचालक है।

बंद ग्राफ प्रमेय द्वारा, $\lambda$ स्पेक्ट्रम में है यदि और केवल यदि बाध्य संचालक $T-\lambda I:V\to V$, $V$ पर गैर-विशेषण है।

स्पेक्ट्रा और संबंधित गुणों के अध्ययन को स्पेक्ट्रल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जिसमें कई अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण।

आयामी (सदिश स्थल ) पर संचालक का स्पेक्ट्रमया आयाम (वेक्टर स्थान) ठीक आइगेनवैल्यू का समुच्चय है। चूंकि अनंत-आयामी अंतरिक्ष पर संचालक के स्पेक्ट्रम में अतिरिक्त तत्व हो सकते हैं, और हो सकता है कि कोई आइगेनवैल्यू न हो। उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट अंतरिक्ष एलपी अंतरिक्ष या ℓ पर एकतरफा शिफ्ट संचालक आर पर विचार करें

$(x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots ).$

इसका कोई आइगेनवैल्यूज़ ​​नहीं है, क्योंकि यदि Rx=λx तो इस व्यंजक का विस्तार करके हम देखते हैं कि x₁= 0, X₂=0, आदि। दूसरी ओर, 0 स्पेक्ट्रम में है क्योंकि यद्यपि संचालक R − 0 (अर्थात स्वयं R) व्युत्क्रमणीय है, व्युत्क्रम को समुच्चय पर परिभाषित किया गया है जो एलपी स्थान में सघन नहीं है या ^{वास्तव में जटिल संख्या बनच स्थान पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालिका के पास गैर-खाली स्पेक्ट्रम होना चाहिए।}

स्पेक्ट्रम की धारणा अनबाउंड संचालक (अर्थात् आवश्यक रूप से बाध्य नहीं) संचालकों तक फैली हुई है। सम्मिश्र संख्या λ को असीमित संकारक के स्पेक्ट्रम में कहा जाता है $T:\,X\to X$ डोमेन पर परिभाषित $D(T)\subseteq X$ यदि कोई परिबद्ध व्युत्क्रम नहीं है $(T-\lambda I)^{-1}:\,X\to D(T)$ समग्र रूप से परिभाषित $X.$ यदि टी बंद संचालक है (जिसमें टी बाध्य होने पर मामला सम्मिलित है), की बाध्यता $(T-\lambda I)^{-1}$ इसके अस्तित्व से स्वचालित रूप से अनुसरण करता है।

बानाच स्पेस एक्स पर परिबद्ध रैखिक संचालकों बी (एक्स) की स्थान यूनिटल बीजगणित बनच बीजगणित का उदाहरण है। चूंकि स्पेक्ट्रम की परिभाषा में बी (एक्स) के किसी भी गुण का उल्लेख नहीं है, सिवाय इसके कि ऐसे किसी भी बीजगणित में है, स्पेक्ट्रम की धारणा को इस संदर्भ में उसी परिभाषा शब्दशः का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक बंधे हुए संचालक का स्पेक्ट्रम

परिभाषा

होने देना $T$ बनच स्थान पर अभिनय करने वाला परिबद्ध रेखीय संचालिका हो $X$ जटिल अदिश क्षेत्र पर $\mathbb {C}$, और $I$ पहचान संचालक ऑन रहें $X$. का स्पेक्ट्रम $T$ सभी का समुच्चय है $\lambda \in \mathbb {C}$ जिसके लिए आपरेटर $T-\lambda I$ व्युत्क्रम नहीं है जो परिबद्ध रैखिक संकारक है।

तब से $T-\lambda I$ रेखीय संकारक है, यदि व्युत्क्रम उपस्थित है तो रेखीय है; और, परिबद्ध व्युत्क्रम प्रमेय द्वारा, यह परिबद्ध है। इसलिए, स्पेक्ट्रम में स्पष्ट रूप से वे अदिश होते हैं $\lambda$ जिसके लिए $T-\lambda I$ विशेषण नहीं है।

किसी दिए गए संचालक का स्पेक्ट्रम $T$ अधिकांशतः निरूपित किया जाता है $\sigma (T)$, और इसके पूरक, विलायक समुच्चय को निरूपित किया जाता है $\rho (T)=\mathbb {C} \setminus \sigma (T)$. ($\rho (T)$ कभी-कभी वर्णक्रमीय त्रिज्या को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है $T$)

आइगेनवैल्यू से संबंध

यदि $\lambda$ का आइगेनवैल्यू है $T$, फिर संचालक $T-\lambda I$ एक-से-एक नहीं है, और इसलिए इसका उलटा है $(T-\lambda I)^{-1}$ परिभाषित नहीं है। चूंकि , विपरीत कथन सत्य नहीं है: संचालक $T-\lambda I$ व्युत्क्रम नहीं हो सकता है, तथापि $\lambda$ आइगेनवैल्यू नहीं है। इस प्रकार संचालक के स्पेक्ट्रम में सदैव उसके सभी आइगेनवेल्यू होते हैं, किन्तु यह उन तक सीमित नहीं है।

उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्पेस पर विचार करें $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$, जिसमें वास्तविक संख्याओं के सभी अनुक्रम परिमित और अनंत या द्वि-अनंत अनुक्रम सम्मिलित हैं

$v=(\ldots ,v_{-2},v_{-1},v_{0},v_{1},v_{2},\ldots )$

जिनके पास वर्गों का परिमित योग है ${\textstyle \sum _{i=-\infty }^{+\infty }v_{i}^{2}}$. द्विपक्षीय शिफ्ट संचालक $T$ बस अनुक्रम के प्रत्येक तत्व को स्थिति से विस्थापित कर देता है; अर्थात् यदि $u=T(v)$ तब $u_{i}=v_{i-1}$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $i$. आइगेनवैल्यू समीकरण $T(v)=\lambda v$ इस स्थान में कोई अशून्य समाधान नहीं है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि सभी मान $v_{i}$ समान निरपेक्ष मूल्य है (यदि $\vert \lambda \vert =1$) या ज्यामितीय प्रगति है (यदि $\vert \lambda \vert \neq 1$); किसी भी तरह से, उनके वर्गों का योग परिमित नहीं होगा। चूंकि , संचालक $T-\lambda I$ उलटा नहीं है यदि $|\lambda |=1$. उदाहरण के लिए, अनुक्रम $u$ ऐसा है कि $u_{i}=1/(|i|+1)$ में है $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$; किन्तु कोई क्रम नहीं है $v$ में $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$ ऐसा है कि $(T-I)v=u$ (वह है, $v_{i-1}=u_{i}+v_{i}$ सभी के लिए $i$).

मूलभूत गुण

परिबद्ध संकारक T का वर्णक्रम सदैव संवृत्त समुच्चय, परिबद्ध समुच्चय और रिक्त समुच्चय होता है। जटिल तल का अरिक्त उपसमुच्चय।

यदि स्पेक्ट्रम खाली था, तो रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता

$R(\lambda )=(T-\lambda I)^{-1},\qquad \lambda \in \mathbb {C} ,$

जटिल विमान पर हर स्थान परिभाषित किया जाएगा और घिरा होगा। किन्तु यह दिखाया जा सकता है कि रिज़ॉल्वेंट फ़ंक्शन R अपने डोमेन पर होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। लिउविल के प्रमेय (जटिल विश्लेषण)यालिउविल के प्रमेय के वेक्टर-मूल्यवान संस्करण द्वारा, यह फ़ंक्शन स्थिर है, इस प्रकार हर स्थान शून्य है क्योंकि यह अनंत पर शून्य है। यह विरोधाभास होगा।

स्पेक्ट्रम की सीमा λ में न्यूमैन श्रृंखला से आती है; स्पेक्ट्रम σ(T) ||T|| से घिरा है। समान परिणाम स्पेक्ट्रम की निकटता को दर्शाता है।

बाउंड ||टी|| स्पेक्ट्रम पर कुछ सीमा तक परिष्कृत किया जा सकता है। T का वर्णक्रमीय त्रिज्या, r(T), जटिल तल में सबसे छोटे वृत्त की त्रिज्या है जो मूल पर केंद्रित है और इसके अंदर स्पेक्ट्रम σ(T) समाहित करता है, अर्थात

$r(T)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}.$

वर्णक्रमीय त्रिज्या सूत्र कहता है कि किसी भी तत्व के लिए $T$ बनच बीजगणित का,

$r(T)=\lim _{n\to \infty }\left\|T^{n}\right\|^{1/n}.$

एक असीमित संचालक का स्पेक्ट्रम

एक बनच स्पेस एक्स पर असीमित संचालकों के लिए स्पेक्ट्रम की परिभाषा का विस्तार कर सकते हैं। ये संचालक जो बनच बीजगणित बी (एक्स) में अब तत्व नहीं हैं।

परिभाषा

बता दें कि एक्स बनच स्पेस है और $T:\,D(T)\to X$ डोमेन पर परिभाषित असीमित संचालक बनें $D(T)\subseteq X$.

एक जटिल संख्या λ को 'रिज़ॉल्वेंट सेट' (जिसे 'नियमित सेट' भी कहा जाता है) में कहा जाता है $T$ यदि संचालक

$T-\lambda I:\,D(T)\to X$

हर स्थान परिभाषित उलटा है, अर्थात यदि कोई बाध्य संचालक उपस्थित है

$S:\,X\rightarrow D(T)$

ऐसा है कि

$S(T-\lambda I)=I_{D(T)},\,(T-\lambda I)S=I_{X}.$

एक जटिल संख्या λ तब 'स्पेक्ट्रम' में होती है यदि λ विलायक समुच्चय में नहीं है।

λ के लिए विलायक में होना (अर्थात स्पेक्ट्रम में नहीं), जैसे बंधे हुए स्थितियों में, $T-\lambda I$ वस्तुनिष्ठ होना चाहिए, क्योंकि इसमें दो तरफा व्युत्क्रम होना चाहिए। पहले की तरह, यदि कोई व्युत्क्रम उपस्थित है, तो इसकी रैखिकता तत्काल है, किन्तु सामान्यतः यह बाध्य नहीं हो सकता है, इसलिए इस स्थिति को अलग से जांचा जाना चाहिए।

बंद ग्राफ प्रमेय द्वारा, की सीमा $(T-\lambda I)^{-1}$ T बंद संकारक होने पर अपने अस्तित्व से सीधे अनुसरण करता है। फिर, बंधे हुए स्थितियों की तरह, सम्मिश्र संख्या λ बंद संकारक T के स्पेक्ट्रम में निहित है यदि और केवल यदि $T-\lambda I$ विशेषण नहीं है। ध्यान दें कि बंद संचालकों की श्रेणी में सभी बंधे हुए संचालक सम्मिलित हैं।

मूल गुण

एक असीमित संचालक का स्पेक्ट्रम सामान्य रूप से जटिल विमान का बंद, संभवतः खाली, सबसेट है।

यदि संकारक T संवृत्त रैखिक संकारक नहीं है, तब $\sigma (T)=\mathbb {C}$.

स्पेक्ट्रम में बिंदुओं का वर्गीकरण

Further information: स्पेक्ट्रम का अपघटन (कार्यात्मक विश्लेषण)

बानाच स्थान पर बंधा हुआ संचालक टी उलटा है, अर्थात बाध्य उलटा है, यदि और केवल यदि टी नीचे घिरा हुआ है, अर्थात । $\|Tx\|\geq c\|x\|,$ कुछ के लिए $c>0,$ और सघन सीमा है। तदनुसार, T के स्पेक्ट्रम को निम्नलिखित भागों में विभाजित किया जा सकता है:

1. $\lambda \in \sigma (T)$ यदि $T-\lambda I$ नीचे बाध्य नहीं है। विशेष रूप से, यदि ऐसा होता है $T-\lambda I$ अंतःक्षेपी नहीं है, अर्थात λ आइगेनमान है। आइगेनवैल्यू के समुच्चय को T का 'पॉइंट स्पेक्ट्रम' कहा जाता है और इसे σ द्वारा निरूपित किया जाता है_p(टी)। वैकल्पिक रूप से, $T-\lambda I$ एक-से-एक हो सकता है किन्तु अभी भी नीचे बाध्य नहीं है। इस तरह के λ एइगेन्वलुए नहीं है, किन्तु फिर भी T का अनुमानित एइगेन्वलुए है (स्वयं आइगेनवैल्यूज़ ​​भी अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​हैं)। अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय (जिसमें बिंदु स्पेक्ट्रम सम्मिलित है) को T का 'अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम' कहा जाता है, जिसे σ द्वारा निरूपित किया जाता है।_ap(टी)।
2. $\lambda \in \sigma (T)$ यदि $T-\lambda I$ सघन सीमा नहीं है। ऐसे λ के समुच्चय को T का 'संपीड़न स्पेक्ट्रम' कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $\sigma _{\mathrm {cp} }(T)$. यदि $T-\lambda I$ सघन रेंज नहीं है, किन्तु इंजेक्शन है, λ को टी के 'अवशिष्ट स्पेक्ट्रम' में कहा जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $\sigma _{\mathrm {res} }(T)$.

ध्यान दें कि अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम और अवशिष्ट स्पेक्ट्रम अनिवार्य रूप से अलग नहीं हैं ( चूंकि , बिंदु स्पेक्ट्रम और अवशिष्ट स्पेक्ट्रम हैं)।

निम्नलिखित उपखंड ऊपर स्केच किए गए σ(T) के तीन भागों पर अधिक विवरण प्रदान करते हैं।

बिंदु स्पेक्ट्रम

यदि कोई संचालक इंजेक्टिव नहीं है (इसलिए T(x) = 0 के साथ कुछ गैर-शून्य x है), तो यह स्पष्ट रूप से उलटा नहीं है। तो यदि λ टी का एइगेन्वलुए है, तो जरूरी है कि λ ∈ σ(T) हो। T के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय को T का 'पॉइंट स्पेक्ट्रम' भी कहा जाता है, जिसे σ द्वारा निरूपित किया जाता है।_p(T)।

अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम

अधिक सामान्यतः, परिबद्ध व्युत्क्रम प्रमेय द्वारा, T उलटा नहीं है यदि यह नीचे परिबद्ध नहीं है; अर्थात , यदि ऐसा कोई c > 0 नहीं है कि ||Tx|| ≥ सी||एक्स|| सभी के लिए x ∈ X. तो स्पेक्ट्रम में अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​का समुच्चय सम्मिलित है, जो कि λ जैसे हैं T - λI नीचे बाध्य नहीं है; समतुल्य रूप से, यह λ का समुच्चय है जिसके लिए इकाई सदिशों x का क्रम है₁, X₂, ... जिसके लिए

$\lim _{n\to \infty }\|Tx_{n}-\lambda x_{n}\|=0$.

अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय को अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है, जिसे निरूपित किया जाता है $\sigma _{\mathrm {ap} }(T)$.

यह देखना आसान है कि आइगेनवैल्यूज़ ​​​​अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम में हैं।

उदाहरण के लिए, राइट शिफ्ट आर ऑन पर विचार करें $l^{2}(\mathbb {Z} )$ द्वारा परिभाषित

$R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\quad j\in \mathbb {Z} ,$

कहाँ ${\big (}e_{j}{\big )}_{j\in \mathbb {N} }$ में मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार है $l^{2}(\mathbb {Z} )$. प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि R का कोई आइगेनमान नहीं है, किन्तु प्रत्येक λ |λ| के साथ है = 1 अनुमानित आइगेनवैल्यू है; एक्स दे रहा है_n वेक्टर हो

${\frac {1}{\sqrt {n}}}(\dots ,0,1,\lambda ^{-1},\lambda ^{-2},\dots ,\lambda ^{1-n},0,\dots )$

कोई देख सकता है कि ||x_n|| = 1 सभी n के लिए, लेकिन

$\|Rx_{n}-\lambda x_{n}\|={\sqrt {\frac {2}{n}}}\to 0.$

चूँकि R एकात्मक संकारक है, इसका स्पेक्ट्रम इकाई वृत्त पर स्थित है। इसलिए, R का अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम इसका संपूर्ण स्पेक्ट्रम है।

यह निष्कर्ष संचालकों के अधिक सामान्य वर्ग के लिए भी सही है। एकात्मक संकारक सामान्य संकारक होता है। वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा, हिल्बर्ट स्पेस एच पर बाध्य संचालक सामान्य है यदि और केवल यदि यह समतुल्य है (एच की पहचान के बाद $L^{2}$ स्पेस) गुणा संचालक के लिए। यह दिखाया जा सकता है कि परिबद्ध गुणन संकारक का अनुमानित बिंदु स्पेक्ट्रम उसके स्पेक्ट्रम के बराबर होता है।

सतत स्पेक्ट्रम

जिसके लिए सभी λ का समुच्चय $T-\lambda I$ इंजेक्शन है और इसकी सघन सीमा है, किन्तु विशेषण नहीं है, इसे 'टी' का निरंतर स्पेक्ट्रम कहा जाता है, जिसे इसके द्वारा दर्शाया गया है $\sigma _{\mathbb {c} }(T)$. निरंतर स्पेक्ट्रम इसलिए उन अनुमानित आइगेनवैल्यूज़ ​​​​से बना होता है जो आइगेनवैल्यूज़ ​​​​नहीं होते हैं और अवशिष्ट स्पेक्ट्रम में नहीं होते हैं। वह है,

$\sigma _{\mathrm {c} }(T)=\sigma _{\mathrm {ap} }(T)\setminus (\sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T))$.

उदाहरण के लिए, $A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $e_{j}\mapsto e_{j}/j$, $j\in \mathbb {N}$, इंजेक्शन है और इसकी सघन सीमा है, फिर भी $\mathrm {Ran} (A)\subsetneq l^{2}(\mathbb {N} )$. दरअसल, यदि ${\textstyle x=\sum _{j\in \mathbb {N} }c_{j}e_{j}\in l^{2}(\mathbb {N} )}$ साथ $c_{j}\in \mathbb {C}$ ऐसा है कि ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }|c_{j}|^{2}<\infty }$, किसी के पास जरूरी नहीं है ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }\left|jc_{j}\right|^{2}<\infty }$, और तब ${\textstyle \sum _{j\in \mathbb {N} }jc_{j}e_{j}\notin l^{2}(\mathbb {N} )}$.

संपीड़न स्पेक्ट्रम

के समुच्चय $\lambda \in \mathbb {C}$ जिसके लिए $T-\lambda I$ सघन परास नहीं होता है जिसे T के संपीडन स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $\sigma _{\mathrm {cp} }(T)$.

अवशिष्ट स्पेक्ट्रम

के समुच्चय $\lambda \in \mathbb {C}$ जिसके लिए $T-\lambda I$ इंजेक्शन है किन्तु इसमें सघन सीमा नहीं है जिसे 'टी' के अवशिष्ट स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $\sigma _{\mathrm {r} }(T)$:

$\sigma _{\mathrm {r} }(T)=\sigma _{\mathrm {cp} }(T)\setminus \sigma _{\mathrm {p} }(T).$

एक संचालक इंजेक्शन हो सकता है, यहां तक ​​​​कि नीचे भी घिरा हुआ है, किन्तु अभी भी उलटा नहीं है। दाहिनी ओर शिफ्ट $l^{2}(\mathbb {N} )$, $R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1},\,j\in \mathbb {N}$, ऐसा ही उदाहरण है। यह शिफ्ट संचालक आइसोमेट्री है, इसलिए नीचे 1 से घिरा है। किन्तु यह व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि यह विशेषण नहीं है ($e_{1}\not \in \mathrm {Ran} (R)$), और इसके अतिरिक्त $\mathrm {Ran} (R)$ में घना नहीं है $l^{2}(\mathbb {N} )$

($e_{1}\notin {\overline {\mathrm {Ran} (R)}}$).

परिधीय स्पेक्ट्रम

एक संचालक के परिधीय स्पेक्ट्रम को उसके स्पेक्ट्रम में बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें इसके वर्णक्रमीय त्रिज्या के बराबर मापांक होता है।

असतत स्पेक्ट्रम

असतत स्पेक्ट्रम (गणित) को सामान्य आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, इसे स्पेक्ट्रम के पृथक बिंदुओं के समुच्चय के रूप में चित्रित किया जा सकता है, जैसे कि संबंधित रिज प्रोजेक्टर परिमित रैंक का है।

आवश्यक स्पेक्ट्रम

बंद घनी परिभाषित रैखिक संचालक के आवश्यक स्पेक्ट्रम की पांच समान परिभाषाएं हैं $A:\,X\to X$ जो संतुष्ट करता है

$\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)\subset \sigma (A).$

ये सभी स्पेक्ट्रा $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(A),\ 1\leq k\leq 5$, स्व-आसन्न संकारकों के स्थितियों में संपाती है।

1. आवश्यक स्पेक्ट्रम $\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $\lambda$ स्पेक्ट्रम का ऐसा है $A-\lambda I$ फ्रेडहोम संचालिका नहीं है या सेमी-फ्रेडहोम। (संचालक अर्ध-फ्रेडहोम है यदि इसकी सीमा बंद है और इसका कर्नेल या कोकर्नेल (या दोनों) परिमित-आयामी है।)
   'उदाहरण 1:' $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ संचालक के लिए $A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $A:\,e_{j}\mapsto e_{j}/j,~j\in \mathbb {N}$ (क्योंकि इस संचालक की सीमा बंद नहीं है: श्रेणी में सभी सम्मिलित नहीं हैं $l^{2}(\mathbb {N} )$ चूंकि इसका समापन होता है)।
   उदाहरण 2: $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(N)$ के लिए $N:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $N:\,v\mapsto 0$ किसी के लिए $v\in l^{2}(\mathbb {N} )$ (क्योंकि इस संचालक के कर्नेल और कोकर्नेल दोनों अनंत-आयामी हैं)।
2. आवश्यक स्पेक्ट्रम $\sigma _{\mathrm {ess} ,2}(A)$ बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $\lambda$ स्पेक्ट्रम के ऐसे कि संचालक या तो $A-\lambda I$ अनंत-आयामी कर्नेल है या सीमा है जो बंद नहीं है। इसे वेइल की कसौटी के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है: अनुक्रम उपस्थित है $(x_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ स्पेस एक्स में ऐसा है $\Vert x_{j}\Vert =1$, ${\textstyle \lim _{j\to \infty }\left\|(A-\lambda I)x_{j}\right\|=0,}$ और ऐसा है $(x_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ कोई अभिसरण अनुवर्ती नहीं है। इस तरह के अनुक्रम को एकवचन अनुक्रम (या विलक्षण वेइल अनुक्रम) कहा जाता है।
   'उदाहरण:' $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(B)$ संचालक के लिए $B:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $B:\,e_{j}\mapsto e_{j/2}$ यदि j सम है और $e_{j}\mapsto 0$ जब j विषम होता है (कर्नेल अनंत-आयामी होता है; कोकर्नेल शून्य-आयामी होता है)। ध्यान दें कि $\lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(B)$.
3. आवश्यक स्पेक्ट्रम $\sigma _{\mathrm {ess} ,3}(A)$ बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $\lambda$ स्पेक्ट्रम का ऐसा है $A-\lambda I$ फ्रेडहोम संचालक नहीं है। (संचालक फ्रेडहोम है यदि इसकी सीमा बंद है और इसके कर्नेल और कोकर्नेल दोनों परिमित-आयामी हैं।)
   'उदाहरण:' $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(J)$ संचालक के लिए $J:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $J:\,e_{j}\mapsto e_{2j}$ (कर्नेल शून्य-आयामी है, कोकर्नेल अनंत-आयामी है)। ध्यान दें कि $\lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,2}(J)$.
4. आवश्यक स्पेक्ट्रम $\sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)$ बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $\lambda$ स्पेक्ट्रम का ऐसा है $A-\lambda I$ इंडेक्स जीरो का फ्रेडहोम संचालक नहीं है। इसे ए के स्पेक्ट्रम के सबसे बड़े हिस्से के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो कॉम्पैक्ट संचालक अस्तव्यस्तता द्वारा संरक्षित है। दूसरे शब्दों में, ${\textstyle \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(A)=\bigcap _{K\in B_{0}(X)}\sigma (A+K)}$; यहाँ $B_{0}(X)$ एक्स पर सभी कॉम्पैक्ट संचालकों के समुच्चय को दर्शाता है।
   'उदाहरण:' $\lambda =0\in \sigma _{\mathrm {ess} ,4}(R)$ कहाँ $R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$ सही शिफ्ट संचालक है, $R:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $R:\,e_{j}\mapsto e_{j+1}$ के लिए $j\in \mathbb {N}$ (इसका कर्नेल शून्य है, इसका कोकर्नेल आयामी है)। ध्यान दें कि $\lambda =0\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,3}(R)$.
5. आवश्यक स्पेक्ट्रम $\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(A)$ का संघ है $\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ के सभी घटकों के साथ $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(A)$ जो रिज़ॉल्वेंट समुच्चय के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है $\mathbb {C} \setminus \sigma (A)$. इसकी विशेषता भी हो सकती है $\sigma (A)\setminus \sigma _{\mathrm {d} }(A)$.
   उदाहरण: संचालक पर विचार करें $T:\,l^{2}(\mathbb {Z} )\to l^{2}(\mathbb {Z} )$, $T:\,e_{j}\mapsto e_{j-1}$ के लिए $j\neq 0$, $T:\,e_{0}\mapsto 0$. तब से $\Vert T\Vert =1$, किसी के पास $\sigma (T)\subset {\overline {\mathbb {D} _{1}}}$. किसी के लिए $z\in \mathbb {C}$ साथ $|z|=1$, की सीमा $T-zI$ घना है किन्तु बंद नहीं है, इसलिए यूनिट डिस्क की सीमा पहले प्रकार के आवश्यक स्पेक्ट्रम में है: $\partial \mathbb {D} _{1}\subset \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$. किसी के लिए $z\in \mathbb {C}$ साथ $|z|<1$, $T-zI$ बंद रेंज, आयामी कर्नेल और आयामी कोकर्नेल है, इसलिए $z\in \sigma (T)$ यद्यपि $z\not \in \sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)$ के लिए $1\leq k\leq 4$; इस प्रकार, $\sigma _{\mathrm {ess} ,k}(T)=\partial \mathbb {D} _{1}$ के लिए $1\leq k\leq 4$. के दो घटक होते हैं $\mathbb {C} \setminus \sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)$: $\{z\in \mathbb {C} :\,|z|>1\}$ और $\{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}$. घटक $\{|z|<1\}$ विलायक समुच्चय के साथ कोई प्रतिच्छेदन नहीं है; परिभाषा से, $\sigma _{\mathrm {ess} ,5}(T)=\sigma _{\mathrm {ess} ,1}(T)\cup \{z\in \mathbb {C} :\,|z|<1\}=\{z\in \mathbb {C} :\,|z|\leq 1\}$.

उदाहरण: हाइड्रोजन परमाणु

हाइड्रोजन परमाणु विभिन्न प्रकार के स्पेक्ट्रा का उदाहरण प्रदान करता है। आणविक हैमिल्टन $H=-\Delta -{\frac {Z}{|x|}}$, $Z>0$, डोमेन के साथ $D(H)=H^{1}(\mathbb {R} ^{3})$ आइगेनवैल्यूज़ ​​​​का असतत समुच्चय है (असतत स्पेक्ट्रम $\sigma _{\mathrm {d} }(H)$, जो इस स्थितियों में बिंदु स्पेक्ट्रम के साथ मेल खाता है $\sigma _{\mathrm {p} }(H)$ चूंकि निरंतर स्पेक्ट्रम में कोई ईजेनवेल्यूज सन्निहित नहीं है) जिसकी गणना रिडबर्ग सूत्र द्वारा की जा सकती है। उनके संबंधित एइगेन्फ़ुन्क्तिओन्स ईजेनस्टेट्स, या बाध्य राज्यों कहा जाता है। आयनीकरण प्रक्रिया का परिणाम स्पेक्ट्रम के निरंतर भाग द्वारा वर्णित है (टक्कर/आयनीकरण की ऊर्जा मात्राबद्ध नहीं है), द्वारा दर्शाया गया है $\sigma _{\mathrm {cont} }(H)=[0,+\infty )$ (यह आवश्यक स्पेक्ट्रम के साथ भी मेल खाता है, $\sigma _{\mathrm {ess} }(H)=[0,+\infty )$).

आसन्न संचालक का स्पेक्ट्रम

बता दें कि एक्स बनच स्पेस है और $T:\,X\to X$ असीमित संचालक घने डोमेन के साथ बंद रैखिक संचालक $D(T)\subset X$. यदि X * X की दोहरी स्थान है, और $T^{*}:\,X^{*}\to X^{*}$ तब T का हर्मिटियन सन्निकट है

$\sigma (T^{*})={\overline {\sigma (T)}}:=\{z\in \mathbb {C} :{\bar {z}}\in \sigma (T)\}.$

Theorem — For a bounded (or, more generally, closed and densely defined) operator T,

$\sigma _{\mathrm {cp} }(T)={\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}$.

In particular, $\sigma _{\mathrm {r} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {r} }(T)\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T)$.

Proof

Suppose that $\mathrm {Ran} (T-\lambda I)$ is not dense in X. By the Hahn–Banach theorem, there exists a non-zero $\varphi \in X^{*}$ that vanishes on $\mathrm {Ran} (T-\lambda I)$. For all x ∈ X,

$\langle \varphi ,(T-\lambda )x\rangle =\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =0.$

Therefore, $(T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0\in X^{*}$ and ${\bar {\lambda }}$ is an eigenvalue of T*.

Conversely, suppose that ${\bar {\lambda }}$ is an eigenvalue of T*. Then there exists a non-zero $\varphi \in X^{*}$ such that $(T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi =0$, i.e.

$\forall x\in X,\;\langle (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)\varphi ,x\rangle =\langle \varphi ,(T-\lambda I)x\rangle =0.$

If $\mathrm {Ran} (T-\lambda I)$ is dense in X, then φ must be the zero functional, a contradiction. The claim is proved.

हमें भी मिलता है $\sigma _{\mathrm {p} }(T)\subset {\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})\cup \sigma _{\mathrm {p} }(T^{*})}}$ निम्नलिखित तर्क द्वारा: X आइसोमेट्रिक रूप से X** में एम्बेड होता है। इसलिए, के कर्नेल में प्रत्येक गैर-शून्य तत्व के लिए $T-\lambda I$ X** में गैर-शून्य तत्व उपस्थित है जो गायब हो जाता है $\mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)$. इस प्रकार $\mathrm {Ran} (T^{*}-{\bar {\lambda }}I)$ घना नहीं हो सकता।

इसके अतिरिक्त , यदि एक्स रिफ्लेक्सिव है, तो हमारे पास है ${\overline {\sigma _{\mathrm {r} }(T^{*})}}\subset \sigma _{\mathrm {p} }(T)$.

संचालकों के विशेष वर्गों का स्पेक्ट्रा

कॉम्पैक्ट संचालक

यदि टी कॉम्पैक्ट संचालक है, या अधिक सामान्यतः , सख्ती से एकवचन संचालक है, तो यह दिखाया जा सकता है कि स्पेक्ट्रम गणना योग्य है, शून्य ही एकमात्र संभावित संचय बिंदु है, और स्पेक्ट्रम में कोई भी गैर-शून्य λ आइगेनवैल्यू है।

क्वैसिनिलपोटेंट संचालक

एक बंधा हुआ संचालक $A:\,X\to X$ क्वैसिनिलपोटेंट है यदि $\lVert A^{n}\rVert ^{1/n}\to 0$ जैसा $n\to \infty$ (दूसरे शब्दों में, यदि A का वर्णक्रमीय त्रिज्या शून्य के बराबर है)। ऐसे संचालकों को समान रूप से स्थिति की विशेषता हो सकती है

$\sigma (A)=\{0\}.$

ऐसे संचालक का उदाहरण है $A:\,l^{2}(\mathbb {N} )\to l^{2}(\mathbb {N} )$, $e_{j}\mapsto e_{j+1}/2^{j}$ के लिए $j\in \mathbb {N}$.

स्व-आसन्न संचालक

यदि X हिल्बर्ट स्थान है और T स्व-संबद्ध संकारक है (या, अधिक सामान्यतः, सामान्य संकारक), तो वर्णक्रमीय प्रमेय के रूप में जाना जाने वाला उल्लेखनीय परिणाम सामान्य परिमित-आयामी संचालकों के लिए विकर्ण प्रमेय का एनालॉग देता है (हर्मिटियन मैट्रिसेस) , उदाहरण के लिए)।

स्व-आसन्न संचालकों के लिए, वर्णक्रमीय माप अपघटन (कार्यात्मक विश्लेषण) को पूरी तरह से निरंतर, शुद्ध बिंदु और एकवचन भागों में परिभाषित करने के लिए वर्णक्रमीय उपायों का उपयोग कर सकते हैं।

एक वास्तविक संचालक का स्पेक्ट्रम

विलायक और स्पेक्ट्रम की परिभाषाओं को किसी भी निरंतर रैखिक संचालक तक बढ़ाया जा सकता है $T$ बनच स्थान पर अभिनय $X$ वास्तविक क्षेत्र के ऊपर $\mathbb {R}$ (जटिल क्षेत्र के अतिरिक्त $\mathbb {C}$) इसकी जटिलता के माध्यम से $T_{\mathbb {C} }$. इस स्थितियों में हम विलायक समुच्चय को परिभाषित करते हैं $\rho (T)$ सभी के समुच्चय के रूप में $\lambda \in \mathbb {C}$ ऐसा है कि $T_{\mathbb {C} }-\lambda I$ जटिल स्थान पर कार्यरत संचालक के रूप में उलटा है $X_{\mathbb {C} }$; फिर हम परिभाषित करते हैं $\sigma (T)=\mathbb {C} \setminus \rho (T)$.

वास्तविक स्पेक्ट्रम

एक सतत रैखिक संचालक का वास्तविक स्पेक्ट्रम $T$ वास्तविक बनच स्थान पर अभिनय करना $X$, निरूपित $\sigma _{\mathbb {R} }(T)$, सभी के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $\lambda \in \mathbb {R}$ जिसके लिए $T-\lambda I$ परिबद्ध रैखिक संचालकों के वास्तविक बीजगणित में उलटा होने में विफल रहता है $X$. इस स्थितियों में हमारे पास है $\sigma (T)\cap \mathbb {R} =\sigma _{\mathbb {R} }(T)$. ध्यान दें कि वास्तविक स्पेक्ट्रम जटिल स्पेक्ट्रम के साथ मेल खा सकता है या नहीं भी हो सकता है। विशेष रूप से, वास्तविक स्पेक्ट्रम खाली हो सकता है।

एक इकाई बनच बीजगणित का स्पेक्ट्रम

बी को इकाई (रिंग थ्योरी) ई युक्त जटिल बनच बीजगणित होने दें। फिर हम स्पेक्ट्रम σ(x) (या अधिक स्पष्ट रूप से σ_B(x)) बी के तत्व x का उन जटिल संख्याओं का समुच्चय होना λ जिसके लिए λe − x बी में व्युत्क्रमणीय नहीं है। यह बानाच स्पेस एक्स पर बंधे रैखिक संचालकों बी (एक्स) के लिए परिभाषा का विस्तार करता है, क्योंकि बी (एक्स) इकाई बनच बीजगणित है।

यह भी देखें

• आवश्यक स्पेक्ट्रम
• असतत स्पेक्ट्रम (गणित)
• स्वयं संलग्न संचालिका
• स्यूडोस्पेक्ट्रम
• समाधान सेट

संदर्भ

• Dales et al., Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0
• "Spectrum of an operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]