त्रिभुज के कोणों का योग
यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, त्रिभुज के कोणों का योग सीधे कोण (180 डिग्री (कोण), π रेडियंस, दो समकोण, या आधा-मोड़ (ज्यामिति) के बराबर होता है। एक त्रिभुज में तीन कोण होते हैं, प्रत्येक शीर्ष पर एक, आसन्न किनारों (ज्यामिति) की एक जोड़ी से घिरा होता है।
यह लंबे समय से अज्ञात था कि क्या अन्य ज्यामिति मौजूद हैं, जिनके लिए यह राशि अलग है। गणित पर इस समस्या का प्रभाव विशेष रूप से उन्नीसवीं शताब्दी के दौरान मजबूत था। अंततः, उत्तर सकारात्मक साबित हुआ: अन्य स्थानों (ज्यामिति) में यह योग अधिक या कम हो सकता है, लेकिन फिर इसे त्रिकोण पर निर्भर होना चाहिए। 180 डिग्री से इसका अंतर कोणीय दोष का मामला है और ज्यामितीय प्रणालियों के लिए एक महत्वपूर्ण भेद के रूप में कार्य करता है।
मामले
यूक्लिडियन ज्यामिति
यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज अभिधारणा बताती है कि त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होता है। यह अभिधारणा समानांतर अभिधारणा के तुल्य है।[1] यूक्लिडियन ज्यामिति के अन्य अभिगृहीतों की उपस्थिति में, निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:[2]
- त्रिभुज अभिधारणा: त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होते हैं।
- प्लेफेयर का अभिगृहीत: एक सीधी रेखा दी गई है और एक बिंदु रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर बिंदु के माध्यम से ठीक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
- प्रोक्लस की अभिगृहीत: यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से किसी एक को काटती है, तो उसे दूसरी को भी प्रतिच्छेद करना चाहिए।[3]
- समांतर अभिधारणा: समानांतर रेखाएँ हर जगह समान दूरी पर होती हैं (अर्थात एक रेखा पर प्रत्येक बिंदु से दूसरी रेखा की दूरी हमेशा समान होती है।)
- त्रिभुज क्षेत्र की संपत्ति: त्रिभुज का क्षेत्रफल जितना हम चाहें उतना बड़ा हो सकता है।
- तीन बिंदु गुण: तीन बिंदु या तो एक रेखा पर स्थित होते हैं या एक वृत्त पर स्थित होते हैं।
- पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।[1]
अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है। कोणीय दोष और त्रिभुज के क्षेत्रफल के बीच संबंध सबसे पहले जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा सिद्ध किया गया था।[4] कोई आसानी से देख सकता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति कैसे प्लेफेयर के स्वयंसिद्ध को तोड़ती है, प्रोक्लस का स्वयंसिद्ध (समानांतरवाद, जिसे गैर-चौराहे के रूप में परिभाषित किया गया है, एक अतिशयोक्तिपूर्ण विमान में अकर्मक है), समतुल्यता अभिधारणा (एक तरफ के बिंदु, और एक दी गई रेखा से समदूरस्थ) रेखा नहीं बनाते हैं), और पाइथागोरस प्रमेय। एक चक्र[5] मनमाने ढंग से छोटा वक्रता नहीं हो सकता,[6] इसलिए तीन बिंदुओं की संपत्ति भी विफल हो जाती है।
कोणों का योग मनमाने ढंग से छोटा (लेकिन धनात्मक) हो सकता है। एक आदर्श त्रिभुज के लिए, अतिपरवलयिक त्रिभुजों का एक सामान्यीकरण, यह योग शून्य के बराबर है।
गोलाकार ज्यामिति
गोलाकार त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है और 540° तक हो सकता है। विशेष रूप से, कोणों का योग है
- 180° × (1 + 4f ),
जहाँ f गोले के क्षेत्रफल का अंश है जो त्रिभुज से घिरा है।
ध्यान दें कि गोलीय ज्यामिति यूक्लिड के कई अभिगृहीतों (समानांतर अभिधारणा सहित) को संतुष्ट नहीं करती है।
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बाहरी कोण
त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के बीच का कोण यूक्लिडियन और अन्य ज्यामितियों में आंतरिक कोणों के रूप में जाना जाता है। बाहरी कोणों को भी परिभाषित किया जा सकता है, और यूक्लिडियन त्रिकोण अभिधारणा को बाहरी कोण प्रमेय के रूप में तैयार किया जा सकता है। कोई भी तीनों बाह्य कोणों के योग पर विचार कर सकता है, जो कि 360° के बराबर होता है[7] यूक्लिडियन मामले में (किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए), गोलाकार मामले में 360° से कम है, और अतिपरवलयिक मामले में 360° से अधिक है।
अंतर ज्यामिति में
सतहों के विभेदक ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणीय दोष के प्रश्न को गॉस-बोनट प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में समझा जाता है जहां एक बंद वक्र की वक्रता एक कार्य नहीं है, लेकिन समर्थन (गणित) के साथ एक माप (गणित) है। बिल्कुल तीन बिंदुओं में - त्रिभुज के शीर्ष।
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यह भी देखें
- यूक्लिड के तत्व|यूक्लिड के तत्व
- ज्यामिति की नींव
- हिल्बर्ट के स्वयंसिद्ध
- सचेरी चतुर्भुज (उमर खय्याम द्वारा सचेरी से पहले माना गया)
- लैम्बर्ट चतुर्भुज
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1
Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). p. 2147. ISBN 1-58488-347-2.
The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
- ↑ Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. p. 161. ISBN 0-8050-7254-3.
- ↑ Essentially, the transitivity of parallelism.
- ↑ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, p. 99, ISBN 9780387331973,
That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
- ↑ Defined as the set of points at the fixed distance from its centre.
- ↑ Defined in the differentially-geometrical sense.
- ↑ From the definition of an exterior angle, its sums up to the straight angle with the interior angles. So, the sum of three exterior angles added to the sum of three interior angles always gives three straight angles.
