फलन क्षेत्र (योजना सिद्धांत)

तर्कसंगत कार्यों का पुलिंदा के_Xएक योजना का (गणित) एक्स शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति में बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र की धारणा के योजना सिद्धांत का सामान्यीकरण है। किस्मों के मामले में, इस तरह का एक पुलिंदा प्रत्येक खुले सेट यू को उस खुले सेट पर सभी तर्कसंगत कार्यों के रिंग (गणित) से जोड़ता है; दूसरे शब्दों में, के_X(यू) यू पर नियमित कार्यों के अंशों का सेट है। इसके नाम के बावजूद, के_Xसामान्य योजना X के लिए हमेशा कोई फ़ील्ड (गणित) नहीं देता है।

साधारण मामले

सरलतम मामलों में, K की परिभाषा_Xसीधा है। यदि X एक (irreducible) affine बीजगणितीय किस्म है, और यदि U, X का एक खुला उपसमुच्चय है, तो K_X(यू) यू पर नियमित कार्यों की अंगूठी के अंशों का क्षेत्र होगा। चूंकि एक्स एफ़िन है, यू पर नियमित कार्यों की अंगूठी एक्स के वैश्विक वर्गों का स्थानीयकरण होगा, और इसके परिणामस्वरूप के_Xनिरंतर शीफ होगा जिसका मूल्य एक्स के वैश्विक वर्गों का अंश क्षेत्र है।

यदि X स्कीम थ्योरी #इंटीग्रल की शब्दावली है, लेकिन एफ़िन नहीं है, तो कोई भी गैर-खाली एफ़िन ओपन सेट X में घना सेट होगा। इसका मतलब है कि यू के बाहर कुछ भी दिलचस्प करने के लिए एक नियमित फ़ंक्शन के लिए पर्याप्त जगह नहीं है, और इसके परिणामस्वरूप यू पर तर्कसंगत कार्यों का व्यवहार एक्स पर तर्कसंगत कार्यों के व्यवहार को निर्धारित करना चाहिए। वास्तव में, किसी भी खुले सेट पर नियमित कार्यों के छल्ले के अंश क्षेत्र समान होंगे, इसलिए हम परिभाषित करते हैं, किसी भी यू, के के लिए_X(यू) एक्स के किसी भी ओपन एफाइन सबसेट पर नियमित कार्यों के किसी भी रिंग का सामान्य अंश क्षेत्र होना। वैकल्पिक रूप से, इस मामले में फ़ंक्शन फ़ील्ड को सामान्य बिंदु के स्थानीय रिंग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

सामान्य मामला

समस्या तब शुरू होती है जब X अभिन्न नहीं रह जाता है। फिर नियमित कार्यों की अंगूठी में शून्य विभाजक होना संभव है, और परिणामस्वरूप अंश क्षेत्र मौजूद नहीं है। भोली समाधान अंश क्षेत्र को कुल भागफल वलय द्वारा प्रतिस्थापित करना है, अर्थात प्रत्येक तत्व को उलटना है जो शून्य भाजक नहीं है। दुर्भाग्य से, सामान्य तौर पर, कुल भागफल वलय एक शीफ की तुलना में एक प्रीशेफ का उत्पादन नहीं करता है। ग्रंथ सूची में सूचीबद्ध क्लेमन का प्रसिद्ध लेख ऐसा उदाहरण देता है।

सही समाधान इस प्रकार आगे बढ़ना है:

प्रत्येक खुले समुच्चय U के लिए, मान लीजिए S_UΓ(यू, ओ.) में सभी तत्वों का समुच्चय हो_X) जो किसी डंठल O में शून्य विभाजक नहीं हैं_X,x. चलो के_X^pre presheaf हो जिसके U पर खंड एक रिंग S का स्थानीयकरण हैं_U⁻¹Γ(यू, ओ_X) और जिनके प्रतिबंध मानचित्र O के प्रतिबंध मानचित्रों से प्रेरित हैं_Xस्थानीयकरण की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा। तब के_Xप्रीशेफ K से संबंधित पूला है_X^प्री.

आगे के मुद्दे

एक बार के_Xपरिभाषित है, तो X के गुणों का अध्ययन करना संभव है जो केवल K पर निर्भर करते हैं_X. यह द्विभाजित ज्यामिति का विषय है।

यदि X क्षेत्र k पर एक बीजगणितीय विविधता है, तो प्रत्येक खुले सेट U पर हमारे पास एक फ़ील्ड एक्सटेंशन K है_X(यू) के के। U का आयाम इस क्षेत्र विस्तार की श्रेष्ठता की डिग्री के बराबर होगा। कश्मीर के सभी परिमित पारगमन डिग्री क्षेत्र विस्तार कुछ प्रकार के तर्कसंगत कार्य क्षेत्र के अनुरूप हैं।

एक बीजगणितीय वक्र C के विशेष मामले में, अर्थात, आयाम 1, यह अनुसरण करता है कि C पर कोई भी दो गैर-निरंतर कार्य F और G एक बहुपद समीकरण P(F, G) = 0 को संतुष्ट करते हैं।

ग्रन्थसूची

• Kleiman, S., "Misconceptions about K_X", Enseign. Math. 25 (1979), 203–206, available at https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1979:25::101