कैंटर स्पेस

गणित में, कैंटर अंतराल, जिसे जॉर्ज कैंटर के नाम पर रखा गया है, चिरसम्मत कैंटर समुच्चय का सांस्थितिक संक्षिप्तीकरण है- सांस्थितिक अंतराल एक कैंटर अंतराल है, यदि यह कैंटर समुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। समुच्चय सिद्धांत में, सांस्थितिक अंतराल 2^ω को "द" कैंटर अंतराल कहा जाता है।

उदाहरण

कैंटर समुच्चय स्वयं एक कैंटर अंतराल है। लेकिन कैंटर अंतराल का प्रामाणिक उदाहरण असतत 2-बिंदु अंतराल {0, 1} का गणनीय अनंत सांस्थितिक गुणनफल है। यह प्रायः $2^{\mathbb {N} }$ या 2^ω के रूप में लिखा जाता है (जहां 2 असतत टोपोलॉजी के साथ 2-अल्पांश समुच्चय {0,1} को दर्शाता है)। 2^ω में बिंदु अनंत बाइनरी अनुक्रम है, जो कि अनुक्रम है जो केवल मान 0 या 1 मानता है। इस तरह के अनुक्रम को देखते हुए a₀, a₁, a₂,..., इसे वास्तविक संख्या में मैप कर सकते हैं

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n+1}}}.$

यह मैपिंग 2^ω से कैंटर समुच्चय पर होमियोमोर्फिज्म देता है, यह प्रदर्शित करता है कि 2^ω वास्तव में कैंटर अंतराल है।

कैंटर अंतराल वास्तविक विश्लेषण में बहुतायत से पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, वे प्रत्येक संपूर्ण, पूर्ण मापीय अंतराल में उप-अंतराल के रूप में उपस्थित होते हैं। (इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि ऐसे अंतराल में, किसी भी गैर-रिक्त पूर्ण समुच्चय में मनमाने ढंग से छोटे व्यास के दो अलग-अलग गैर-रिक्त पूर्ण उपसमुच्चय होते हैं, और इसलिए कोई सामान्य कैंटर समुच्चय के निर्माण का अनुकरण कर सकता है।) इसके अतिरिक्त, प्रत्येक असंख्य, वियोज्य, पूरी तरह से मेट्रिजेबल अंतराल में कैंटर अंतराल को उपस्थान के रूप में सम्मिलित किया गया है। इसमें वास्तविक विश्लेषण में अधिकांश सामान्य अंतराल सम्मिलित हैं।

विशेषता

ब्रौवेर के प्रमेय द्वारा कैंटर अंतराल का सांस्थितिक लक्षण वर्णन दिया गया है-

अलग-अलग बिंदुओं के बिना कोई भी दो गैर-रिक्त सघन हौसडॉर्फ अंतराल और क्लोपेन समुच्चय से युक्त गणनीय आधार एक-दूसरे के लिए होमियोमोर्फिक हैं।

क्लॉपेन समुच्चय से युक्त आधार होने की सांस्थितिकीय गुण को कभी-कभी "शून्य-आयामीता" के रूप में जाना जाता है। ब्रौवर के प्रमेय को इस रूप में पुन: प्रस्तुत किया जा सकता है-

सांस्थितिक अंतराल कैंटर अंतराल है यदि और केवल अगर यह गैर-रिक्त, पूर्ण, सघन, पूर्ण रूप से असंबद्ध और मेट्रिज़ेबल है।

यह प्रमेय भी समतुल्य (बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के माध्यम से) है इस तथ्य के लिए कि कोई भी दो गणनीय परमाणु रहित बूलियन बीजगणित समरूपी हैं।

गुण

जैसा कि ब्रौवर के प्रमेय से आशा की जा सकती है, कैंटर अंंतराल कई रूपों में दिखाई देते हैं। लेकिन कैंटर अंतराल के कई गुणों को 2^ω का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है, क्योंकि गुणनफल के रूप में इसका निर्माण विश्लेषण के लिए उपयुक्त बनाता है।

कैंटर अंतराल में निम्नलिखित गुण हैं-

• किसी भी कैंटर अंतराल का गणनांक $2^{\aleph _{0}}$ है, जो कि सातत्य का गणनांक है।
• कैंटर अंतराल के दो (या यहां तक ​​कि किसी भी परिमित या गणनीय संख्या) का गुणनफल कैंटर अंतराल है। कैंटर फलन के साथ, इस तथ्य का उपयोग स्थान-भरने वाले वक्र बनाने के लिए किया जा सकता है।
• (गैर-रिक्त) हॉउसडॉर्फ सांस्थितिक अंतराल सघन मेट्रिजेबल है यदि और केवल अगर यह कैंटर अंतराल का एक सतत चित्र है।

माना C(X) सांस्थितिक अंतराल X पर सभी वास्तविक मान, परिबद्ध सतत फलनों की अंतराल को दर्शाता है। K सघन मीट्रिक अंतराल को निरूपित करते हैं, और Δ कैंटर समुच्चय को निरूपित करते हैं। तब कैंटर समुच्चय में निम्नलिखित गुण होते हैं-

• C(K) C(Δ) की संवृत्त उपअंतराल के लिए सममितीय है।

सामान्य रूप से, यह सममितीय अद्वितीय नहीं है, और इस प्रकार स्पष्ट रूप से सार्वभौमिक गुण नहीं है।

• कैंटर अंतराल के सभी होमियोमॉर्फिज़्म का समूह सरल है।

यह भी देखें

• अंतराल (गणित)
• कैंटर समुच्चय
• कैंटर घन

संदर्भ

• Kechris, A. (1995). Classical Descriptive Set Theory (Graduate Texts in Mathematics 156 ed.). Springer. ISBN 0-387-94374-9.