अक्ष घूर्णन

एक कोण के माध्यम से घुमाया गया एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $\theta$ एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए

गणित में, दो आयामी अक्षों का परिवर्तन एक चित्रण है जो एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक नक्शा (गणित) है जिसमें मूल (गणित) रखा जाता है स्थिर और x′ और y′ अक्ष एक कोणाकार दिशा में x और y अक्ष को घूमा जाता है। $\theta$. एक बिंदु P के निर्देशांक (x, y) मूल प्रणाली के संबंध में होते हैं और निर्देशांक (x′, y′) नई प्रणाली के संबंध में होते हैं। नई समन्वय प्रणाली में, बिंदु P विपरीत दिशा में घूमता हुआ प्रतीत होगा, अर्थात समय की दिशा में, घूमा हुआ दिखाई देगा, जिसमें कोण दिग्गजवार $\theta$ के माध्यम से होता है। दो से अधिक आयामों में अक्षों के घूर्णन को समान रूप से परिभाषित किया गया है। अक्ष का एक घूर्णन एक रैखिक नक्शा है और एक कठोर परिवर्तन है।

प्रेरणा

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की विधियों का उपयोग करते हुए वक्र (ज्यामिति) के समीकरणों के अध्ययन के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ आवश्यक हैं। निर्देशांक ज्यामिति की विधि का उपयोग करने के लिए, अक्षों को विचाराधीन वक्र के संबंध में सुविधाजनक स्थिति में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए, फोकस (ज्यामिति) सामान्यतः एक अक्ष पर स्थित होते हैं और मूल के संबंध में सममित रूप से स्थित होते हैं। यदि वक्र (अतिशयोक्ति , परबोला, दीर्घवृत्त, आदि) अक्ष के संबंध में आसानी से स्थित नहीं है, तो वक्र को सुविधाजनक और परिचित स्थान और अभिविन्यास पर रखने के लिए समन्वय प्रणाली को बदला जाना चाहिए। इस परिवर्तन को करने की प्रक्रिया को को ऑर्डिनेट सिस्टम ट्रांसफॉर्मेशन कहा जाता है।

एक ही मूल से नए अक्षों को प्राप्त करने के लिए निर्देशांक अक्षों को घुमाकर कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

दो आयामों में परिवर्तन को परिभाषित करने वाले समीकरण, जो xy अक्षों को एक कोण से वामावर्त घुमाते हैं $\theta$ x'y' अक्ष में, निम्नानुसार व्युत्पन्न होते हैं।

मान लीजिए कि xy प्रणाली में बिंदु P का ध्रुवीय निर्देशांक तंत्र है $(r,\alpha )$. तब, x'y' निकाय में, P के ध्रुवीय निर्देशांक होंगे $(r,\alpha -\theta )$.

त्रिकोणमिति फ़ंक्शन का उपयोग करके, हमारे पास निम्नलिखित होगा:

$$x=r\cos \alpha$$

(1)

$$y=r\sin \alpha$$

(2)

और अंतर के लिए मानक त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके,हमें निम्नलिखित मिलेगा:

$$x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta$$

(3)

$$y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta .$$

(4)

प्रतिस्थापन समीकरण (1) तथा (2) को समीकरणों (3) तथा (4),में प्रतिस्थापित करके

$$x'=x\cos \theta +y\sin \theta$$

(5)

$$y'=-x\sin \theta +y\cos \theta .$$

(6)

समीकरण (5) तथा (6) को मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$$

जो दो आयामों में अक्षों के घूर्णन का मानक मैट्रिक्स समीकरण है।

उलटा परिवर्तन है

$$x=x'\cos \theta -y'\sin \theta$$

(7)

$$y=x'\sin \theta +y'\cos \theta ,$$

(8)

या

$${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.$$

दो आयामों में उदाहरण

उदाहरण 1

बिंदु के निर्देशांक खोजें $P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)$ अक्ष को कोण के माध्यम से घुमाए जाने के बाद $\theta _{1}=\pi /6$, या 30°.

समाधान:

$$x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2$$

$$y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.$$

अक्ष को एक कोण के माध्यम से वामावर्त घुमाया गया है $\theta _{1}=\pi /6$ और नए निर्देशांक हैं $P_{1}=(x',y')=(2,0)$. ध्यान दें कि बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाया गया प्रतीत होता है $\pi /6$ स्थिर अक्षों के संबंध में इसलिए यह अब (नए) x' अक्ष के साथ संपाती है।

उदाहरण 2

बिंदु के निर्देशांक खोजें $P_{2}=(x,y)=(7,7)$ अक्षों को दक्षिणावर्त 90° घुमाने के बाद, यानी कोण के माध्यम से $\theta _{2}=-\pi /2$, या -90°।

समाधान:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.$$

अक्ष को के कोण से घुमाया गया है $\theta _{2}=-\pi /2$, जो दक्षिणावर्त दिशा में है और नए निर्देशांक हैं $P_{2}=(x',y')=(-7,7)$. दोबारा, ध्यान दें कि ऐसा प्रतीत होता है कि बिंदु वामावर्त के माध्यम से घुमाया गया है $\pi /2$ स्थिर अक्ष के संबंध में।

शंकु वर्गों का घूर्णन

Main article: शंकु खंड

दूसरी डिग्री के सबसे सामान्य समीकरण का रूप है

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$      ($A,B,C$ not all zero).

(9)

कोई भी निर्देशांक के परिवर्तन के माध्यम से (अक्ष का एक रोटेशन और अक्ष का अनुवाद ), समीकरण (9) को कार्तीय निर्देशांक में एक शांकव खंड मानक रूपों में रखा जा सकता है, जिसके साथ काम करना सामान्यतः आसान होता है। x′y′ पद को समाप्त करने के लिए निर्देशांकों को एक विशिष्ट कोण पर घुमाना हमेशा संभव होता है। प्रतिस्थापन समीकरण (7) तथा (8) समीकरण में (9), हमने प्राप्त किया

$$A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0,$$

(10)

यहां पे

$A'=A\cos ^{2}\theta +B\sin \theta \cos \theta +C\sin ^{2}\theta ,$ $B'=2(C-A)\sin \theta \cos \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ),$ $C'=A\sin ^{2}\theta -B\sin \theta \cos \theta +C\cos ^{2}\theta ,$ $D'=D\cos \theta +E\sin \theta ,$ $E'=-D\sin \theta +E\cos \theta ,$ $F'=F.$

(11)

यदि $\theta$ चुना जाता है ताकि $\cot 2\theta =(A-C)/B$ बनता है, तब हमें $B'=0$ और समीकरण (10) में x′y′ पद समाप्त हो जाएगा।

जब शून्य से अलग सभी बी, डी और ई के साथ कोई समस्या उत्पन्न होती है, तो उन्हें उत्तराधिकार में एक रोटेशन (बी को खत्म करने) और एक अनुवाद (डी और ई शर्तों को खत्म करने) के के माध्यम से समाप्त किया जा सकता है।

घुमाए गए शांकव वर्गों की पहचान करना

समीकरण के माध्यम से दिया गया एक गैर-पतित शांकव खंड (9) का मूल्यांकन करके पहचाना जा सकता है $B^{2}-4AC$. शंकु खंड है:

• एक दीर्घवृत्त या एक वृत्त, यदि $B^{2}-4AC<0$;
• एक परवलय, अगर $B^{2}-4AC=0$;
• एक अतिपरवलय, अगर $B^{2}-4AC>0$.

कई आयामों का सामान्यीकरण

मान लीजिए कि एक आयताकार xyz-निर्देशांक प्रणाली है जो अपनी z अक्ष के चारों ओर वामावर्त घुमाई जाती है (धनात्मक z अक्ष को नीचे की ओर देखते हुए) एक कोण के माध्यम से $\theta$, अर्थात्, धनात्मक x अक्ष को धनात्मक y अक्ष में तुरंत घुमाया जाता है। प्रत्येक बिंदु का z निर्देशांक अपरिवर्तित रहता है और x और y निर्देशांक ऊपर के रूप में रूपांतरित होते हैं। एक बिंदु Q के पुराने निर्देशांक (x, y, z) इसके नए निर्देशांक (x′, y′, z′) से संबंधित हैं

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.$$

किसी भी परिमित संख्या के आयामों के लिए सामान्यीकरण, एक रोटेशन मैट्रिक्स $A$ एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है जो अधिकतम चार तत्वों में पहचान मैट्रिक्स से भिन्न होता है। इन चार तत्वों का प्रारूप होता है

$a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta$      तथा      $a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,$

कुछ के लिए $\theta$ और कुछ मैं जे।

कई आयामों में उदाहरण

उदाहरण 3

बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए $P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)$ सकारात्मक w अक्ष को कोण के माध्यम से घुमाए जाने के बाद $\theta _{3}=\pi /12$, या 15°, धनात्मक z अक्ष में।

'समाधान:'

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

यह भी देखें

• रोटेशन
• रोटेशन (गणित)

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

• अंक शास्त्र
• कार्तीय समन्वय प्रणाली
• अंडाकार
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
• त्रिकोणमितीय फलन

संदर्भ

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th ed.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042